专题01相交线与平行线期末复习讲义(24大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题01相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握邻补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离等基本概念，熟记各类角的性质。 2.熟练掌握对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义及性质，能准确区分垂线段与点到直线的距离。 3.理解同位角、内错角、同旁内角的定义，能在复杂图形中准确识别三类角。 4.掌握平行线的定义、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理和性质定理，并能明确区分二者。 5.理解平移的概念、平移的两大性质，掌握平移作图的基本要求。 1.识图能力：能在复杂组合图形中快速识别对顶角、邻补角、三线八角，排除图形干扰。 2.推理能力：能结合垂直性质、平行线判定与性质，进行规范几何推理，做到步步有据。 3.计算能力：能利用角的关系、平行线性质求解角度、证明角相等、角互补。 4.作图能力：熟练掌握过点作垂线、作平行线、图形平移的规范作图方法。 5.辨析能力：明确区分平行线判定（由角证平行）与平行线性质（由平行得角关系），避免混用。 1.基础题型：选择、填空零失误，熟练解决角度计算、角的识别、概念辨析题。 2.几何推理题：书写规范、逻辑严谨，熟练完成简单证明、角度推导大题，不跳步、不缺依据。 3.核心重难点：熟练掌握 “转角模型”“折线平行线模型” 等期末高频压轴小题。 4.作图题：规范完成垂线、平移作图，保留作图痕迹，答题格式满分。 5.综合题型：能结合相交线、垂线、平行线综合解题，攻克期末本章综合压轴题，降低失分率。 题型01.对顶角判定与角度计算 题型02.邻补角辨识判定 题型03由邻补角互补求角度 题型04.,垂线辨析与作图 题型05.垂线段与点到直线距离应用 题型06.同位角.内错角.同旁内角 题型07.平行公理及其推论应用 题型08.平行线的判定 题型09.平行线的性质 题型10.由平行线性质探究角的关系 题型11.由平行线性质求角的度数 题型12.平行线性质的应用 题型13.由平行线判定与性质求角度 题型14.由平行线判定与性质证明 题型15.判断是否是是命题 题型16.写出命题的题设与结论 题型17.判断命题真假 题型18.举例说明真假命题 题型19.举反例 题型20.逻辑推理与论证 题型21.平移现象的识别与判定 题型22.利用平移的性质求解 题型23.利用平移解决实际问题 题型24.平移作图 知识点01:相交线（基础必考） 1. 邻补角与对顶角 名称 定义 核心性质 邻补角 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 邻补角互补（和为 180°） 对顶角 两边互为反向延长线的两个角 对顶角相等 2.重要结论 (1)两条直线相交，2 对对顶角，4 对邻补角 (2)对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角 知识点02:垂线（重点、易错） 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 易错：距离是长度，不是线段 知识点03:三线八角（识图核心，期末必考） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，简称 “三线八角” 知识点04:平行线基础概念 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点05:平行线判定与性质（本章重中之重、考试最多） 重点区分： 判定：由角→证平行 性质：由平行→得角关系 1.平行线的判定 2.平行线的性质 、平移（必考作图、填空） 知识点06.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 知识点07.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 知识点08:定义、命题、定理 一、基础概念 概念 释义 关键要点 定义 对名称和术语的含义作出规定描述 常用句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情的语句 疑问句、祈使句、作图语句不是命题 真命题 题设成立，结论一定成立 可作为推理依据 假命题 题设成立，结论不一定成立 举1 个反例即可证伪 反例 满足题设、不满足结论的实例 判定假命题专用方法 二、命题结构 组成：题设（条件）+ 结论 标准改写：如果……（条件），那么……（结论）。 三、原命题与逆命题 命题类型 变形规则 真假规律 原命题 若P，则Q 真命题，逆命题不一定真 逆命题 条件、结论互换：若Q，则P 假命题，逆命题可真可假 四、公理、定理、证明 名称 定义 能否直接使用 是否需要证明 公理（基本事实） 长期实践总结、公认正确的真命题 可以直接当依据 不需要证明 定理 经过推理证明正确的真命题 可以直接当依据 必须经过证明 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理逐步推导结论的过程 几何书写格式：已知、求证、证明 步步标注推理依据 题型01.对顶角判定与角度计算 1．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 3．如图，直线，相交于点，，，则________． 4．如图，直线a与b相交，若 ，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，直线a，b，c两两相交，，，求的度数． 题型02.邻补角辨识判定 6．如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 9．如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是______． 题型03由邻补角互补求角度 10．如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 12．如图，已知点O在直线上，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 题型04.垂线辨析与作图 14．如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（     ） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相平分 D．重合 15．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B． C． D． 16．如图，直线与相交于点，于点，，则度数为______． 17．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05.垂线段与点到直线距离应用 18．下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，，，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 20．如图，的面积为，若，点在直线上运动，则线段长度的最小值是_____． 21．如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为______米．（填一个你认为正确的答案）    22．如图，点是内一点． (1)按下列要求画出图形： ①过点画的垂线，垂足为点； ②过点画交于点； (2)点到直线的距离是线段______的长． 题型06.同位角.内错角.同旁内角 23．下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 24．如图所示的图形中，同位角有_____对 25．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是直线，被直线所截得的同位角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 题型07.平行公理及其推论应用 26．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 27．是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号） 29．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 题型08.平行线的判定 30．小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（     ） A． B． C． D． 31．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 32．如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是__________．根据是__________． 33．请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 34．若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 题型09.平行线的性质 35．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 36．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 37．如图，，点，分别是直线，上的点，且，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 38．填空完成下面的推理过程． 已知：如图，，．求证：． 证明：（已知）， （ ① ）， （等量代换）， （ ② ）， （ ③ ）， （已知）， ④ （等量代换）， ⑤ （内错角相等，两直线平行）， （ ⑥ ）． 39．如图，已知、相交于点，则____________． 题型10.由平行线性质探究角的关系 40．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 41．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 42．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 题型11.由平行线性质求角的度数 43．如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示的位置，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（   ） A． B． C． D． 44．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 45．如图，，点，在直线上，连接，，分别交，于点，，交于点，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，求的度数． 题型12.平行线性质的应用 46．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合相互契合的一种经典连接工艺．如图是卯眼构件的截面图，其中，，则（     ） A． B． C． D． 47．如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 48．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数． . 题型13.由平行线判定与性质求角度 49．把一块直角三角板与一直尺按如图所示放置，若，则（    ） A． B． C． D． 50．如图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为________． 51．如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 题型14.由平行线判定与性质证明 52．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 53．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 54．小明绘制的海鸥简笔画如图所示，已知，，平分，，求证：． 题型15.判断是否是是命题 55．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 56．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有__________，是真命题的有__________．（填序号） 57．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 题型16.写出命题的题设与结论 58．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 59．将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 60．“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是_____． 题型17.判断命题真假 61．下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．过一点只能画一条直线 D．两点之间，线段最短 62．下列命题是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．如果，那么 C．相等的角是对顶角 D．如果，，那么 63．下列命题中，正确的命题有（     ）个． ①相等的角是对顶角；②若，，则；③ 同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 题型18.举例说明真假命题 64．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 65．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 66．有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型19.举反例 67．可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 68．能说明命题“若，则”为假命题的一个反例可以是（   ）． A． B． C． D． 69．下列各组、的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（   ） A． B． C． D． 70．能说明命题“若，则”为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 题型20.逻辑推理与论证 71．A，B，C，D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：①如果A中奖．那么B也中奖；②如果B中奖，那么C中奖或A不中奖；③如果D不中奖，那么A中奖，且C不中奖；④如果D中奖．那么A也中奖，则这四个人中，中奖的人数是（    ）人 A．1 B．2 C．3 D．4 72．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 73．甲、乙、丙、丁四位同学将在学校举办的“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只演讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者．已知有两位演讲者在午餐前演讲，另两位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，丁在第一位或在第四位演讲，在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者，则第三位演讲者是（   ） A．甲 B．丙 C．甲或乙 D．乙或丁 74．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型21.平移现象的识别与判定 75．下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 76．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 77．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 78．在边长为的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 题型22.利用平移的性质求解 79．如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D． 80．如图，将一个周长为8的沿射线方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，连接，已知四边形的周长为12，那么平移的距离是________． 81．在中，将线段沿直线向右平移得到线段（点D与点B对应，且不与点B，C重合），连接，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点C，E重合）． (1)如图1，，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)如图2，，，直接写出的度数．（用含的式子表示） (3)在平移过程中，直接写出和的数量关系． 题型23.利用平移解决实际问题 82．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 83．某校开展“校园开放日”活动，为迎接贵宾来学校指导工作，学校准备在校门内到教学楼前的台阶上铺设某种红色地毯，梯步的宽为4米，其侧面如图所示.已知某商店只有2米宽的红色地毯，标价为28元/米或元/米．若学校领导让你去购买，请问至少需要__________元． 84．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 题型24.平移作图 85．在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是 图①                    图② A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格 86．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 87．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01相交线与平行线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握邻补角、对顶角、垂线、垂线段、点到直线的距离等基本概念，熟记各类角的性质。 2.熟练掌握对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义及性质，能准确区分垂线段与点到直线的距离。 3.理解同位角、内错角、同旁内角的定义，能在复杂图形中准确识别三类角。 4.掌握平行线的定义、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理和性质定理，并能明确区分二者。 5.理解平移的概念、平移的两大性质，掌握平移作图的基本要求。 1.识图能力：能在复杂组合图形中快速识别对顶角、邻补角、三线八角，排除图形干扰。 2.推理能力：能结合垂直性质、平行线判定与性质，进行规范几何推理，做到步步有据。 3.计算能力：能利用角的关系、平行线性质求解角度、证明角相等、角互补。 4.作图能力：熟练掌握过点作垂线、作平行线、图形平移的规范作图方法。 5.辨析能力：明确区分平行线判定（由角证平行）与平行线性质（由平行得角关系），避免混用。 1.基础题型：选择、填空零失误，熟练解决角度计算、角的识别、概念辨析题。 2.几何推理题：书写规范、逻辑严谨，熟练完成简单证明、角度推导大题，不跳步、不缺依据。 3.核心重难点：熟练掌握 “转角模型”“折线平行线模型” 等期末高频压轴小题。 4.作图题：规范完成垂线、平移作图，保留作图痕迹，答题格式满分。 5.综合题型：能结合相交线、垂线、平行线综合解题，攻克期末本章综合压轴题，降低失分率。 题型01.对顶角判定与角度计算 题型02.邻补角辨识判定 题型03由邻补角互补求角度 题型04.,垂线辨析与作图 题型05.垂线段与点到直线距离应用 题型06.同位角.内错角.同旁内角 题型07.平行公理及其推论应用 题型08.平行线的判定 题型09.平行线的性质 题型10.由平行线性质探究角的关系 题型11.由平行线性质求角的度数 题型12.平行线性质的应用 题型13.由平行线判定与性质求角度 题型14.由平行线判定与性质证明 题型15.判断是否是是命题 题型16.写出命题的题设与结论 题型17.判断命题真假 题型18.举例说明真假命题 题型19.举反例 题型20.逻辑推理与论证 题型21.平移现象的识别与判定 题型22.利用平移的性质求解 题型23.利用平移解决实际问题 题型24.平移作图 知识点01:相交线（基础必考） 1. 邻补角与对顶角 名称 定义 核心性质 邻补角 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 邻补角互补（和为 180°） 对顶角 两边互为反向延长线的两个角 对顶角相等 2.重要结论 (1)两条直线相交，2 对对顶角，4 对邻补角 (2)对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角 知识点02:垂线（重点、易错） 垂线 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 易错：距离是长度，不是线段 知识点03:三线八角（识图核心，期末必考） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，简称 “三线八角” 知识点04:平行线基础概念 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点05:平行线判定与性质（本章重中之重、考试最多） 重点区分： 判定：由角→证平行 性质：由平行→得角关系 1.平行线的判定 2.平行线的性质 、平移（必考作图、填空） 知识点06.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。 (3)对应点所连线段平行且相等。 (4)对应角相等。 知识点07.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 知识点08:定义、命题、定理 一、基础概念 概念 释义 关键要点 定义 对名称和术语的含义作出规定描述 常用句式：…… 叫做……；定义一定是真命题 命题 判断一件事情的语句 疑问句、祈使句、作图语句不是命题 真命题 题设成立，结论一定成立 可作为推理依据 假命题 题设成立，结论不一定成立 举1 个反例即可证伪 反例 满足题设、不满足结论的实例 判定假命题专用方法 二、命题结构 组成：题设（条件）+ 结论 标准改写：如果……（条件），那么……（结论）。 三、原命题与逆命题 命题类型 变形规则 真假规律 原命题 若P，则Q 真命题，逆命题不一定真 逆命题 条件、结论互换：若Q，则P 假命题，逆命题可真可假 四、公理、定理、证明 名称 定义 能否直接使用 是否需要证明 公理（基本事实） 长期实践总结、公认正确的真命题 可以直接当依据 不需要证明 定理 经过推理证明正确的真命题 可以直接当依据 必须经过证明 证明 从已知出发，依据定义、公理、定理逐步推导结论的过程 几何书写格式：已知、求证、证明 步步标注推理依据 题型01.对顶角判定与角度计算 1．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，选项不符合题意； B、两个角没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，不符合题意； D、两个角有公共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，是对顶角，符合题意． 2．9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 3．如图，直线，相交于点，，，则________． 【答案】/30度 【分析】根据对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，直线a与b相交，若 ，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，邻补角的概念，解答的关键是对相应的知识的掌握． 由对顶角相等可得，从而可求的度数，再利用邻补角的定义即可求的度数． 【详解】解：直线a与b相交，， 由图可知，， ， ， 故选：D． 5．如图，直线a，b，c两两相交，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据对顶角相等求出，再求出，然后根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵，而， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 题型02.邻补角辨识判定 6．如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 只有选项D符合题意． 7．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 8．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为______． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 9．如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 题型03由邻补角互补求角度 10．如图，直线，相交于点O，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义可得，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， . 11．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 【答案】18或10 【分析】分这两个角是对顶角和邻补角两种情况讨论，根据对顶角的性质和邻补角的定义列方程求解即可． 【详解】解：当这两个角是对顶角时，根据对顶角相等，得： 移项合并同类项得： 解得：； 当这两个角是邻补角时，根据邻补角的和为，得： 解得：； 因此的值为或． 12．如图，已知点O在直线上，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角求出，再结合角平分线的定义，求出，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 13．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，则，再由角平分线得到，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 题型04.垂线辨析与作图 14．如图，直线，相交于点，若与互补，则直线，的位置关系是（     ） A．互相平行 B．互相垂直 C．互相平分 D．重合 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知条件与互补，可求出的度数，进而判断直线，的位置关系． 【详解】解：与是对顶角 ， ， 与互补， ， ， ， ， 即直线，互相垂直． 15．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 16．如图，直线与相交于点，于点，，则度数为______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义可得，结合已知角度比例关系求出的度数，再利用邻补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 题型05.垂线段与点到直线距离应用 18．下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何原理判断求解即可； 【详解】 解：A. ，用垂线段最短解释； B. ，用两点确定一条直线解释； C. ，用两点确定一条直线解释； D. ，用两点之间线段最短解释； 19．如图，，，则点到直线的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长． 20．如图，的面积为，若，点在直线上运动，则线段长度的最小值是_____． 【答案】 【分析】根据“垂线段最短”可知，当时，线段的长度最小． 【详解】根据题意可知，当时，线段的长度最小． 当时，可得 ． 即． 所以，． 所以，线段长度的最小值是． 21．如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得 米，米，则点A到的距离d可能为______米．（填一个你认为正确的答案）    【答案】3米（答案不唯一） 【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：米，米， 点A到的距离d小于或等于4米， 点A到的距离d可能为3米（答案不唯一）． 故答案为：3米（答案不唯一）． 【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义． 22．如图，点是内一点． (1)按下列要求画出图形： ①过点画的垂线，垂足为点； ②过点画交于点； (2)点到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查画垂线、画平行线，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据垂线的定义画图即可． ②根据平行线的判定画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可得答案． 【详解】（1）①如图，直线即为所求． ②如图，直线即为所求． （2）由题意得，点到直线的距离是线段的长． 故答案为： 题型06.同位角.内错角.同旁内角 23．下列图形中，与不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，对选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； B、根据同位角的概念可知，图中和不是同位角，故选项符合题意； C、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意； D、如图， 和是直线和被直线所截形成的同位角，故选项不符合题意． 24．如图所示的图形中，同位角有_____对 【答案】4 【分析】如果两条直线被第三条直线所截，则位于两条被截直线的同旁，截线同侧的两个角一定是同位角．根据同位角的定义求解． 【详解】解：AB、GD被AF所截，∠BAG与∠DGF是同位角； AC、GE被AF所截，∠CAG与∠EGF是同位角． AB、GE被AF所截，∠BAG与∠EGF是同位角． AC、GD被AF所截，∠CAG与∠DGF是同位角． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，注意有以下几个要点：1、分清截线与被截直线；2、两个相同，在截线同旁，在被截直线同侧． 25．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是直线，被直线所截得的同位角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、同位角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是直线，被直线所截得的同位角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 题型07.平行公理及其推论应用 26．如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 27．是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； D、若，则，正确，符合题意． 故选：D 28．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号） 【答案】①⑥ 【分析】利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥． 【详解】①对顶角相等正确； ②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确； ③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； ⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确； ⑥同角的余角相等正确； 正确的有①⑥． 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键． 29．如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时，___________（填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是__________________． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型08.平行线的判定 30．小明试图利用两个三角尺验证直线，则下列验证方式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，观察图形判定即可． 【详解】解：观察选项，A选项中，因为内错角(两直角)相等，所以，，，选项不能得到． 31．如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有_________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ． ②， ． ③， ． ④， ． 综上，能判定的条件有①③④． 32．如图，请添加一个条件，使得，则符合要求的其中一个条件可以是__________．根据是__________． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定定理．根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行或者同位角相等，两直线平行，或者同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：①添加， 则， ∴（内错角相等，两直线平行） ②添加， 则， ∴（同位角相等，两直线平行） ③添加， 则 ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行（答案不唯一） 33．请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 34．若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 题型09.平行线的性质 35．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯底部平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等得出的度数，再利用角和差关系即可得． 【详解】解：， ， ． 36．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 37．如图，，点，分别是直线，上的点，且，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得直角，结合平行线角度关系求． 【详解】解：如图取点， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即． 38．填空完成下面的推理过程． 已知：如图，，．求证：． 证明：（已知）， （ ① ）， （等量代换）， （ ② ）， （ ③ ）， （已知）， ④ （等量代换）， ⑤ （内错角相等，两直线平行）， （ ⑥ ）． 【答案】见解析 【分析】根据两直线相交，对顶角相等可得，根据同旁内角互补，两直线平行可得，由两直线平行，同位角相等得到，即，再根据内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，内错角相等即可得出． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 39．如图，已知、相交于点，则____________． 【答案】 【分析】由平行线的性质，得出，，，，即恰转换为一个周角，故可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型10.由平行线性质探究角的关系 40．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由推出，故A不符合题意； B、由推出等于的对顶角，由对顶角相等得到，故B符合题意； C、由，不能得到，故C不符合题意； D、由，不能得到，故D不符合题意． 41．已知． （1）如图1，判断，，之间的数量关系为______． （2）如图2，设，，．请直接写出的大小______（用含、、的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）过拐点作平行线，利用内错角相等，将大角拆成两个分别等于和的小角，得到数量关系； （2）过两个拐点分别作平行线，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，将目标角拆分为两部分，再用含，，的式子表示． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，， ， ． 42．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)这两个角相等或互补 (3)，或， 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （3）解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 题型11.由平行线性质求角的度数 43．如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示的位置，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得，图2中，从而确定旋转角． 【详解】解：在图2中，∵， ∴， ， ∴木条绕点顺时针旋转． 44．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 【答案】/115度 【分析】先根据平行线的性质可得出，因为，可得的度数，再说明，利用平行线的性质可得出，从而可得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点G作，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 45．如图，，点，在直线上，连接，，分别交，于点，，交于点，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，利用角的和差求出，最后利用平行线的判定定理得出结论； （2）利用平行线的性质得出和，最后利用角的计算求解． 【详解】（1）解：． 理由；因为， 所以． 因为． 所以， 所以． 所以； （2）解：因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 题型12.平行线性质的应用 46．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合相互契合的一种经典连接工艺．如图是卯眼构件的截面图，其中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴. 47．如图，一条平行于凹透镜主光轴的光线（其中，为凹透镜的两个虚焦点），是入射光线经凹透镜折射后的光线，连接，若，则的度数为__________度．（注：折射光线的反向延长线经过虚焦点） 【答案】20 【分析】由折射光线的反向延长线经过虚焦点得到，根据平行线的性质，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，解题的关键是：得到． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 48．2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，求的度数． . 【答案】 【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可． 【详解】解：过作，过作， 由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.由平行线判定与性质求角度 49．把一块直角三角板与一直尺按如图所示放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定和性质得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 50．如图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为________． 【答案】/42度 【分析】过点E作交于点F，过点D作，过点A作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，过点D作，过点A作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 51．如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ， ， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）根据等量代换得出，确定，得出，再由等量代换得出，结合平行线的判定即可证明； （2）根据平行线的性质得出，确定，再由角平分线及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ∴， ． ， ， ， 解得． ， ． 平分， ． ， ． ． ， ． 题型14.由平行线判定与性质证明 52．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过作，由平行的性质可得，进而得到，即，再由平行的传递性可得． 【详解】解：过作， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 53．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质、补角的性质，根据平行线的性质可知，，根据平角的定义可知，根据等角的补角相等，可证结论成立． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （平角的定义）， （等角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；． 54．小明绘制的海鸥简笔画如图所示，已知，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】先由，，求出，再根据角平分线的定义得到，由，证得，最后由“平行于同一直线的两直线平行”证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型15.判断是否是是命题 55．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 56．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有__________，是真命题的有__________．（填序号） 【答案】 ②③ ③ 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 57．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型16.写出命题的题设与结论 58．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 59．将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】先明确命题的题设与结论，再按照要求将命题改写为“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 60．“平行于同一条直线的两条直线平行”这个命题的条件是_____． 【答案】两条直线平行于同一条直线 【分析】本题考查了对命题的题设和结论的理解，把命题改写成“如果⋯那么⋯”的形式，即可求解，把命题改写成“如果那么”的形式是解题的关键． 【详解】解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”可改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”， ∴命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”， 故答案为：两条直线平行于同一条直线． 题型17.判断命题真假 61．下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．内错角相等 C．过一点只能画一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【详解】解：∵同位角相等，内错角相等的前提是两直线平行，选项A，B未给出该条件， ∴A，B是假命题． ∵过一点可以画出无数条直线， ∴C是假命题． ∵“两点之间，线段最短”是几何基本事实， ∴D是真命题． 62．下列命题是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．如果，那么 C．相等的角是对顶角 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】结合内错角的性质，平方的意义，对顶角的概念和平行线的基本性质逐一判断选项． 【详解】解：A. ∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题缺少前提条件，∴A是假命题，不符合题意； B. ∵若，可得或，例如，满足但，∴B是假命题，不符合题意； C. ∵对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，任意两个度数相等的角不一定是对顶角，∴C是假命题，不符合题意； D. ∵根据平行线的传递性，若，，那么，∴D是真命题，符合题意． 63．下列命题中，正确的命题有（     ）个． ①相等的角是对顶角；②若，，则；③ 同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据对顶角定义、平行线的相关性质、邻补角的性质，逐一判断每个命题的真假，统计正确命题的个数即可． 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角，故①错误； ② ∵在同一平面内，当，时，，并非，故②错误； ③ ∵只有两直线平行时，同位角才相等，缺少平行的前提条件，同位角不一定相等，故③错误； ④ 设两个邻补角为和，则，∵平分线将两个角各分为一半，∴两个平分线的夹角为，∴邻补角的平分线互相垂直，故④正确； 综上，正确的命题只有1个． 题型18.举例说明真假命题 64．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 65．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要判断一个命题是假命题，只需举出满足命题条件，但不满足命题结论的反例即可，本题只需找到满足且的值即可． 【详解】解：∵ 命题“若，则”的反例需要满足条件，同时不满足结论， 当时，，满足条件， 且，不满足结论， ∴ 可以作为该命题是假命题的反例． 66．有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中假命题有(   ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了判断真假命题，平方根、立方根等相关知识，根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：∵ 对于①，取，，有，但，∴①为假命题； ∵ 对于②，立方根具有唯一性，，则，∴②为真命题； ∵ 对于③，取，，有，但，∴③为假命题； ∵ 对于④， 则 ，∴④为真命题． ∴ 假命题有①和③． 故选：B． 题型19.举反例 67．可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要证明原命题为假命题，反例需要满足原命题的条件，同时不满足原命题的结论，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：∵反例需满足命题条件“”，不满足命题结论“”， A 选项：代入得，不满足条件，排除； B选项：代入得，满足条件，且，，不满足结论，符合反例要求； C选项：代入得，不满足条件，排除； D选项：代入得，满足条件也满足结论，不能作为反例，排除． 68．能说明命题“若，则”为假命题的一个反例可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断哪个数是命题的反例，需找出满足命题条件，但不满足命题结论的数，即可说明命题为假命题． 【详解】解：A、当时，，且，满足结论，不是反例； B、当时，，且，满足结论，不是反例； C、当时，，满足条件，但，不满足结论，符合反例要求； D、当时，，且，满足结论，不是反例． 69．下列各组、的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、，满足，也满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、满足，不满足，能成为说明命题为假命题的反例． 70．能说明命题“若，则”为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断假命题举反例等知识点，掌握举反例的方法是解题的关键．然后根据举反例的方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、B选项符合，也符合，不符合题意； C选项既不符合，也不符合，不符合题意； D. 符合，但不符合，符合题意． 故选D． 题型20.逻辑推理与论证 71．A，B，C，D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：①如果A中奖．那么B也中奖；②如果B中奖，那么C中奖或A不中奖；③如果D不中奖，那么A中奖，且C不中奖；④如果D中奖．那么A也中奖，则这四个人中，中奖的人数是（    ）人 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】从最后一句话出发：如果D中奖，那么A也中奖；返回到第一句，如果A中奖，那么B也中奖；继续判断，A已经中奖，那么“如果B中奖，那么C中奖或A不中奖”的条件中，应只考虑C中奖的情况．可得到如果B中奖，那么C中奖．所以一共有4个人中奖． 【详解】解：根据题意，可将已知条件大致分为三类：（为叙述方便，将中奖简写为“中”） ①如果A中，则B中； ②如果B中，则C中或A不中； ③如果D不中，则A中且C不中； 已知A中且D中，当A中时，由①知：B也中； 当B中时，由②知C也中（由于A已中奖，因此A不中的条件可以舍去）； 因此A、B、C、D四人都中奖了，由此可得出中奖的人数为4人， 故选D． 【点睛】本题考查了推理与论证，解决本题应从所给的假设入手，然后依据题目所给的条件逐步分析判断． 72．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 73．甲、乙、丙、丁四位同学将在学校举办的“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只演讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者．已知有两位演讲者在午餐前演讲，另两位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，丁在第一位或在第四位演讲，在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者，则第三位演讲者是（   ） A．甲 B．丙 C．甲或乙 D．乙或丁 【答案】C 【分析】本题主要考查推理，解题的关键是根据题意进行推理即可． 分三种情况：若丙在第一位演讲；若丙在第二位演讲，丁在第一位演讲；若丙在第二位演讲，丁在第四位演讲，即可求解． 【详解】解：若丙在第一位演讲，则丁在第四位演讲， ∴此时第二位和第三位为甲和乙， ∵在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者， ∴此时矛盾，不符合题意； 若丙在第二位演讲，丁在第一位演讲， 此时第三位，第四位为甲，乙， ∵在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者， ∴此时矛盾，不符合题意； 若若丙在第二位演讲，丁在第四位演讲， 则甲、乙在第一位和第三位演讲。 此时甲、乙之间恰为第二位的丙，符合在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者的条件， 故此种情况成立，第三位演讲者是甲或乙． 故选：C 74．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 题型21.平移现象的识别与判定 75．下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同． 【详解】解：只有C选项的标志可以用平移变换得来，其他选项均不满足平移的性质． 76．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 77．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 78．在边长为的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到平移前后两条“小鱼”的对应点平移的距离，就是“小鱼”平移的距离． 【详解】解：如下图所示， 点、是对应点，点平移个单位长度到点， “小鱼”平移的距离是． 题型22.利用平移的性质求解 79．如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据平移的性质得，再求出平移距离即可． 【详解】解：∵将沿着方向平移得到， ∴． ∵， ∴． 80．如图，将一个周长为8的沿射线方向平移后得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，连接，已知四边形的周长为12，那么平移的距离是________． 【答案】2 【分析】根据平移的性质得到，，结合三角形和四边形的周长进行求解即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵四边形的周长为12， ∴， ∴， ∵周长为8，即， ∴， ∴， 即平移的距离为2． 81．在中，将线段沿直线向右平移得到线段（点D与点B对应，且不与点B，C重合），连接，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点C，E重合）． (1)如图1，，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)如图2，，，直接写出的度数．（用含的式子表示） (3)在平移过程中，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①见解析，② (2) (3)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过点P作，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可解答； （2）用和（1）相同的方法，即可解答； （3）根据题意分两种情况进行讨论：①当点D在点C左侧时，②当点D在点C右侧时． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，，平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，，平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∴， ①当点D在点C左侧时， 和（2）同理可得：， ∴； ②当点D在点C右侧时， ∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 题型23.利用平移解决实际问题 82．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质可得，所有横向道路线段平移后总长度等于长方形的长，所有纵向道路线段平移后总长度等于长方形的宽，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，道路的总长为． 83．某校开展“校园开放日”活动，为迎接贵宾来学校指导工作，学校准备在校门内到教学楼前的台阶上铺设某种红色地毯，梯步的宽为4米，其侧面如图所示.已知某商店只有2米宽的红色地毯，标价为28元/米或元/米．若学校领导让你去购买，请问至少需要__________元． 【答案】504 【分析】根据题意，结合图形，利用平移的性质先求出地毯的长度和面积，再根据两种购买方式计算出费用比较即可解答． 【详解】解：根据题意，得地毯的长度为：（米）， 地毯的面积为：（平方米）， 若购买28元/米的地毯，则需要（元）， 若购买15元/米的地毯，则需要（元）， ∴买地毯至少需要元． 84．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点 然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到：， ∴线段扫过的面积为16． 题型24.平移作图 85．在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是 图①                    图② A．向下移动1格 B．向上移动1格 C．向上移动2格 D．向下移动2格 【答案】D 【详解】由图可知，图①中的图形N向下移动2格后得到图②．故选D． 86．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 87．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】（1）根据平移的规律先确定，，，进而作出即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小， ∴点P的坐标是； （3）解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $