专题02实数期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题02实数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解算术平方根、平方根、立方根定义、符号与性质，区分三者异同，知晓开方与乘方互为逆运算。 2.能区分有理数、无理数，按要求对实数进行分类。 3.理解实数与数轴上的点一一对应，会求实数的相反数、绝对值。 4.掌握实数四则运算法则与运算律，明确开平方、开立方的取值要求。 1.熟练进行根式求值、实数化简与简单混合运算，提升运算准确率。 2.会用夹逼法估算无理数，灵活选用方法比较实数大小。 3.借助数轴运用数形结合思想，解决化简、取值类习题。 4.辨析易混概念，规避常见审题、计算错误。 1.基础小题：无理数判定、根式求值等选择填空题稳拿分。 2.中档大题：吃透算术平方根非负性、实数化简计算，规范书写解题步骤。 3.拔高小题：攻克无理数估算、数轴综合类考题。 4.整理错题，针对薄弱考点查漏补缺，减少重复丢分。 题型01.求一个数的平方根 题型02.求一个数的算术平方根 题型03.利用算术平方根的非负性解题 题型04.估计算术平方根的取值范围 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 题型06.算术平方根的实际应用 题型07.利用平方根解方程 题型08.已知一个数的平方根,求这个数 题型09.立方根双向计算 题型10.与立方根有关的规律探索题 题型11.立方根的实际应用 题型12.算术平方根和立方根的综合应用. 题型13.无理数与无理数大小估算 题型14.无理数整数部分的有关计数 题型15.实数的分类与性质 题型16.实数与数轴 题型17.实数的大小比较 题型18.实数的混合运算 题型19.程序设计与实数运算 题型20.新定义下的实数运算 题型21.实数运算的实际应用 题型22.与实数运算相关的规律题 知识点01:算术平方根、平方根 名称 定义 符号书写 被开方数要求 结果个数 算术平方根 一个非负数正的平方根 √a a≥0 只有 1 个，结果≥0 平方根 若 x²=a，x 叫 a 的平方根 ±√a a≥0 正数 2 个、0 一个、负数没有 1.重要性质 (1)√a ≥ 0（双重非负性，期末高频大题考点） (2)正数两个平方根互为相反数；0 的算术平方根、平方根都是 0；负数没有平方根。 2.开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点02:立方根 1.基本概念 若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 项目 内容说明 被开方数范围 a可取任意实数（正数、0、负数） 根的个数 任意实数都有且只有 1 个立方根 符号规律 正数的立方根为正；0 的立方根为 0；负数的立方根为负 2.重要公式 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 4.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07.实数的性质（相反数、绝对值、倒数） 1.相反数： 实数a的相反数是-a。 2.绝对值： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 公式：|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)。 3.倒数： 若a≠0，实数a的倒数是（乘积为 1）。 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点10:全章高频易错点汇总 易错类型 典型错误 正确做法 概念混淆 把平方根当成算术平方根，漏写 看清题干要求：求平方根带 ，求算术平方根只取正 取值判断 认为负数有平方根 牢记：负数没有平方根、算术平方根，有立方根 公式误用 =a 直接去掉绝对值 严格使用=∣a∣，再根据 a 正负化简 无理数判断 认为带根号的都是无理数 .等开得尽方的数是有理数 符号错误 化简 出错 =−，立方根符号可直接外移 题型01.求一个数的平方根 1．若与是同类项，则的平方根为______． 2．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 题型02.求一个数的算术平方根 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 5．已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 6．已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型03.利用算术平方根的非负性解题 7．若实数，同时满足，，则________． 8．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 9．已知，求． 10．先化简，再求值：，其中． 题型04.估计算术平方根的取值范围 11．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 12．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 13．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 14．，那么（   ） A． B． C． D． 15．将、、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为_____． 16．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 题型06.算术平方根的实际应用 17．用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 18．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 19．解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 题型07.利用平方根解方程 20．若，则______． 21．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 22．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 题型08.已知一个数的平方根,求这个数 23．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________． 24．若与是正数n的两个平方根，则_______． 25．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 题型09.立方根双向计算 26．下列说法：①是4的算术平方根；②16的平方根是4；③的算术平方根是9；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 28．已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 29．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ， 所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， …，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现． 结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数； 反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算的立方根（仿照材料中的方法） (2)若,则=______. (3)已知，求的值． 题型10.与立方根有关的规律探索题 30．已知，则_______________． 31．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 32．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） a 1 1000 1000000 1 10 100 题型11.立方根的实际应用 33．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 34．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 35．【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 题型12.算术平方根和立方根的综合应用. 36．已知实数的立方根是4，则的平方根是__________． 37．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 38．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 题型13.无理数与无理数大小估算 39．下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 40．中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为，估计的值应该在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 41．若n为正整数，且满足，则______． 42．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 43．在学习二次根式后，某数学爱好小组探索的近似值的过程如下： ∵， ∴， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 题型14.无理数整数部分的有关计数 44．阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 45．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 46．已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的立方根． 题型15.实数的分类与性质 47．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 48．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 49．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是________． 50．把下列各数填在相应的横线里：3，0，10%，﹣1，﹣|﹣12|，﹣（﹣5），，，，0.101001000… 整数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 无理数集合：{_____________…}； 非负有理数集合{_____________…}． 题型16.实数与数轴 51．如图，在数轴上表示的点可能是点______． 52．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 53．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 54．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 题型17.实数的大小比较 55．比较大小：________（填“”“”“”）． 56．比较大小：______．______． 57．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 58．已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是(   ) A．， B．， C． D． 59．在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 题型18.实数的混合运算 60．计算 61．计算 (1) (2) 62．计算： (1)； (2)． 63．代入求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 题型19.程序设计与实数运算 64．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 65．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 66．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 题型20.新定义下的实数运算 67．对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 68．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 69．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 题型21.实数运算的实际应用 70．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为___． 71．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 72．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 题型22.与实数运算相关的规律题 73．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 74．设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 75．观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解算术平方根、平方根、立方根定义、符号与性质，区分三者异同，知晓开方与乘方互为逆运算。 2.能区分有理数、无理数，按要求对实数进行分类。 3.理解实数与数轴上的点一一对应，会求实数的相反数、绝对值。 4.掌握实数四则运算法则与运算律，明确开平方、开立方的取值要求。 1.熟练进行根式求值、实数化简与简单混合运算，提升运算准确率。 2.会用夹逼法估算无理数，灵活选用方法比较实数大小。 3.借助数轴运用数形结合思想，解决化简、取值类习题。 4.辨析易混概念，规避常见审题、计算错误。 1.基础小题：无理数判定、根式求值等选择填空题稳拿分。 2.中档大题：吃透算术平方根非负性、实数化简计算，规范书写解题步骤。 3.拔高小题：攻克无理数估算、数轴综合类考题。 4.整理错题，针对薄弱考点查漏补缺，减少重复丢分。 题型01.求一个数的平方根 题型02.求一个数的算术平方根 题型03.利用算术平方根的非负性解题 题型04.估计算术平方根的取值范围 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 题型06.算术平方根的实际应用 题型07.利用平方根解方程 题型08.已知一个数的平方根,求这个数 题型09.立方根双向计算 题型10.与立方根有关的规律探索题 题型11.立方根的实际应用 题型12.算术平方根和立方根的综合应用. 题型13.无理数与无理数大小估算 题型14.无理数整数部分的有关计数 题型15.实数的分类与性质 题型16.实数与数轴 题型17.实数的大小比较 题型18.实数的混合运算 题型19.程序设计与实数运算 题型20.新定义下的实数运算 题型21.实数运算的实际应用 题型22.与实数运算相关的规律题 知识点01:算术平方根、平方根 名称 定义 符号书写 被开方数要求 结果个数 算术平方根 一个非负数正的平方根 √a a≥0 只有 1 个，结果≥0 平方根 若 x²=a，x 叫 a 的平方根 ±√a a≥0 正数 2 个、0 一个、负数没有 1.重要性质 (1)√a ≥ 0（双重非负性，期末高频大题考点） (2)正数两个平方根互为相反数；0 的算术平方根、平方根都是 0；负数没有平方根。 2.开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点02:立方根 1.基本概念 若 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 项目 内容说明 被开方数范围 a可取任意实数（正数、0、负数） 根的个数 任意实数都有且只有 1 个立方根 符号规律 正数的立方根为正；0 的立方根为 0；负数的立方根为负 2.重要公式 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 4.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04.无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.常见类型： 开方开不尽的数：如、、等（注意：=2是有理数）。 含π的数：如π、2π、π-1等。 特定结构的无限不循环小数：如0.1010010001…（相邻两个 1 之间依次多 1 个 0）。 3.与有理数区别： 有理数：有限小数或无限循环小数，能化为分数。 无理数：无限不循环小数，不能化为分数。 知识点05.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点06.实数与数轴 一一对应：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。 知识点07.实数的性质（相反数、绝对值、倒数） 1.相反数： 实数a的相反数是-a。 2.绝对值： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 公式：|a|=a (a≥0)，|a|=-a (a<0)。 3.倒数： 若a≠0，实数a的倒数是（乘积为 1）。 知识点08:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点09:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点10:全章高频易错点汇总 易错类型 典型错误 正确做法 概念混淆 把平方根当成算术平方根，漏写 看清题干要求：求平方根带 ，求算术平方根只取正 取值判断 认为负数有平方根 牢记：负数没有平方根、算术平方根，有立方根 公式误用 =a 直接去掉绝对值 严格使用=∣a∣，再根据 a 正负化简 无理数判断 认为带根号的都是无理数 .等开得尽方的数是有理数 符号错误 化简 出错 =−，立方根符号可直接外移 题型01.求一个数的平方根 1．若与是同类项，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根，同类项，先根据同类项的定义求出、的值，再计算的值，然后根据平方根的定义计算即可．掌握平方根、同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 故答案为：． 2．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和绝对值的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ ，， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ ，， ∴ ， 故该选项说法正确，符合题意； D、∵ ， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 题型02.求一个数的算术平方根 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题根据正数平方根的性质解题，正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：正数的两个平方根互为相反数 整理得 解得 的算术平方根为． 5．已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 6．已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求；再根据算术平方根的定义求； （）代入的值计算代数式，再根据平方根的定义求结果的平方根． 【详解】（1）解：根据正数的两个平方根互为相反数，可得：， 化简得：， 解得：， 又因为的算术平方根是， 根据算术平方根的定义：若的算术平方根为，则， ∴； （2）解：将代入得：， 的平方根为，即的平方根是． 题型03.利用算术平方根的非负性解题 7．若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 【详解】解：， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得， 解得， ． 8．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】平方数与算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此求出和的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ， ∴. 9．已知，求． 【答案】9.5 【详解】解：， 又，，， ，，， 解得：，，， ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，非负性，去括号，合并同类项后，根据非负性求出的值，再代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴； ∴原式． 题型04.估计算术平方根的取值范围 11．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 12．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 13．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 题型05.与算术平方根有关的规律探索题 14．，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位，据此即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 15．将、、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为_____． 【答案】 【分析】先观察排列规律，得出第排有个数，且奇数排从左到右递增、偶数排从左到右递减；再计算前排的总个数，确定所在的排数，最后根据该排的排列方向确定其位置，进而求出的值． 【详解】解：由图可得第排有个数， ∴前排的数的总个数为：． ∵，， ∴前排共有个数，前排共有个数． ∵（即）， ∴在第排，即． 由图可得偶数排从左到右递减，第排的数从开始，依次为， ∴第排从左数第个数为． ∵， ∴， 解得． ∴． 16．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 题型06.算术平方根的实际应用 17．用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求得边长，根据，得出覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，进而求得被裁掉的部分面积之和． 【详解】解：∵地面的面积是， ∴其边长是．而， 覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，则需要的地砖的面积为． ∴被裁掉的部分面积之和是． 18．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 19．解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 【答案】(1)大正方形的边长为 (2)小正方形的边长为 (3)见解析 【分析】（1）首先得到大正方形的面积为2，然后求出边长即可； （2）首先得到中间正方形的面积为5，然后求出边长即可； （3）仿（2）的构造方法得到正方形的面积为10，进而得到边长，，，的长为． 【详解】（1）解：∵用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形 ∴大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积和 ∴大正方形的边长为； （2）解：根据题意得，中间正方形的面积为， ∴中间小正方形的边长为； （3）解：如图，，，，的长为； 仿（2）的构造方法，原网格图形面积为16个平方单位， ∴正方形的面积 ∴正方形的边长为， ∴，，，的长为． 题型07.利用平方根解方程 20．若，则______． 【答案】或10/10或 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，掌握平方与开方的关系成为解题的关键． 由可得，进而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或10． 故答案为或10． 21．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，利用平方根的定义，解方程即可，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴； （2）， ∴， ∴； （3）， ∴， ∴； （4）， ∴， ∴， ∴； （5）， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 22．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？可参考二次根式乘法法则，参考数据：， 【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米 (2)宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为米，则宽为米，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y米，则长为米，正方形花坛1的边长为米，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为米，则宽为米， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为米，则长为米，正方形花坛1的边长为米， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 题型08.已知一个数的平方根,求这个数 23．一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得 解得． 24．若与是正数n的两个平方根，则_______． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根的和为0，求出x的值，然后求出正数n的值解答即可． 【详解】解：∵与是正数n的两个平方根， ∴， 解得， ∴正数n为． 25．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 题型09.立方根双向计算 26．下列说法：①是4的算术平方根；②16的平方根是4；③的算术平方根是9；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：① 算术平方根为非负数，的算术平方根是，不是， ①错误； ② ，的平方根是，不是只有， ②错误； ③ ，的算术平方根是，不是， ③错误； ④ ，的算术平方根是， ④正确； ⑤ 正数的立方根是唯一正数，的立方根是，不是， ⑤错误； 综上，正确的说法只有个. 27．已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 28．已知和分别是一个正数的平方根，实数b的立方根是，则的值为________． 【答案】 【分析】由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，最后代入即可求解． 【详解】解：∵和分别是一个正数的平方根， ∴， ∴， ∵实数b的立方根是， ∴， ∴， 29．阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为 ， 所以是两位数； ②其次观察了立方数： ， …，猜想个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为，于是猜想、验证，得的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现． 结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数； 反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)计算的立方根（仿照材料中的方法） (2)若,则=______. (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）仿照材料中的方法解答即可； （2）根据两个立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，得到，运算即可； （3）根据立方根等于自己本身的数为和，列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是两位数； ∵个位上的数字是， ∴个位上的数字是， ∵接着将往前移动位小数点后约为，因为，所以的十位数字应为， ∴的立方根是； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ∵立方根等于自己本身的数为和， ∴；；； 解得：或或． 题型10.与立方根有关的规律探索题 30．已知，则_______________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即． 31．如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 32．观察如表，并解答下列问题． a 1 1000 1000000 ______ ______ 100 【规律总结】 （1）①请补全如表； ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位； 【规律应用】 （2）已知，，． ①______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数） 【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米． 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，； （2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可． 【详解】解：（1）①，， 补全表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 ②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位， 故答案为：1； （2）①， 故答案为：； ②正方体的体积为3000立方米， 正方体的棱长为：米 需要铁皮的面积为平方米 题型11.立方根的实际应用 33．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 34．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 35．【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 【答案】[知识储备]，，，，，；[应用]（）两，，，；（）． 【分析】本题考查了有理数乘方，立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键． [知识储备]根据有理数乘方即可求解； [应用]根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解． 【详解】解：[知识储备] ∵，，，，，； 补全表格如下： 整数 故答案为：，，，，，； [应用]（）步骤一：根据，，得到的立方根是两位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是，因此的立方根是； 故答案为：两，，，， （）因为，， 所以的立方根是两位数， 因为的个位上的数是，， 所以的立方根个位上的数是， 如果划去后面的三位数，得到数， 而，， 所以的立方根十位上的数是， 所以的立方根为． 题型12.算术平方根和立方根的综合应用. 36．已知实数的立方根是4，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的性质得到a=64，求出=8，由此得到答案． 【详解】解：∵a的立方根是4， ∴a=43=64， ∴， ∵8的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了由一个数的立方根求这个数，求一个数的平方根，熟练掌握立方根定义及平方根定义是解题的关键． 37．若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 38．已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 题型13.无理数与无理数大小估算 39．下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是分数，属于有理数，故不符合题意； 是无理数，符合题意， 是分数，属于有理数，故不符合题意； 0.021021021…是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 综上所述，无理数有，共  个． 40．中国古代建筑中蕴含着精妙的数学美学，许多经典楼阁的窗框比例接近黄金比．若某古建筑的窗高与窗宽的比值为，估计的值应该在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解：因为， 所以， 则， 所以． 41．若n为正整数，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是先计算出的平方，通过相邻正整数的平方逼近确定的范围，即可求出的值． 【详解】解：， 又，且，， ，即， ， 对比可得， 故答案为． 42．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 43．在学习二次根式后，某数学爱好小组探索的近似值的过程如下： ∵， ∴， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，设，画出示意图，得，当时，可忽略，可得，求得，即可求解； （2）设，正方形的面积为，当时，可忽略，可得，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图，如图所示， 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得， 解得， ∴． （2）解：设， 如图所示，    正方形的面积为， ∵， 当时，可忽略，则，即， ∴， ． 题型14.无理数整数部分的有关计数 44．阅读理解：若，则1为a的整数部分，a减去其整数部分1的差即为它的小数部分．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先求出，进而求出，，再代入求值即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， ． 45．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 46．已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的概念可求解a的值，再由的取值范围可求解b的值． （2）将与代入先求解的值，再由立方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得； ∵，，即， ∴的整数部分为3，即． （2）解：由（1）可知：，， 则，则． 题型15.实数的分类与性质 47．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． 48．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D．25 【答案】C 【详解】解：点A、B到原点距离相等，则两数互为相反数， 而 的相反数是， ∴点B表示的数是. 49．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根， ∴，，， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 50．把下列各数填在相应的横线里：3，0，10%，﹣1，﹣|﹣12|，﹣（﹣5），，，，0.101001000… 整数集合：{_____________…}； 分数集合：{_____________…}； 无理数集合：{_____________…}； 非负有理数集合{_____________…}． 【答案】 3，0，﹣|﹣12|，﹣（﹣5） 10%，﹣1，0.， ，0.101001000… 3，0，10%，﹣（﹣5），0.， 【分析】按照有理数的分类填写． 【详解】解：整数集合：（ 3，0，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）…）； 分数集合：（ 10%，﹣1，0.，）； 无理数集合：（ ，0.101001000…）； 非负有理数集合（ 3，0，10%，﹣（﹣5），0.，）． 故答案为：3，0，﹣|﹣12|，﹣（﹣5）；10%，﹣1，0.，；，0.101001000；3，0，10%，﹣（﹣5），0.，． 【点睛】本题考查了有理数的分类．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点． 题型16.实数与数轴 51．如图，在数轴上表示的点可能是点______． 【答案】 【分析】利用夹逼法估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，结合数轴上各点的位置即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 观察数轴可知，点P表示的数在2和3之间，点Q表示的数在3和4之间，点M表示的数在4和5之间，点N表示的数在5和6之间 ， ∴在数轴上表示的点可能是点M ． 52．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 【答案】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 53．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项． 【详解】解：根据数轴可知， ①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，， ∴，舍去； ②若原点的位置为B点或C点时，， 则或，， ∴，舍去； ③若原点的位置为D点时， 则 ， ∴，符合条件， ∴最有可能是原点的是D点， 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键． 54．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 题型17.实数的大小比较 55．比较大小：________（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，先估算的取值范围，推导分子的范围，即可比较两个数的大小． 【详解】解：两个分数分母均为，且均为正数，因此只需比较分子大小. ， ， ． 56．比较大小：______．______． 【答案】 【分析】通过比较和的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较和的大小，然后比较和的大小即可． 【详解】解：①，，， ∴． ， ∴， ∴． 57．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，逐一判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，，故此选项错误； B、由数轴可知，，∴，故此选项正确； C、由数轴可知，，∴，，，故此选项错误； D、由数轴可知，，∴，，∴，故此选项错误． 58．已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是(   ) A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴异号，同号，则A不正确 ∴异号， ∵， ∴，则，则B，C不正确 故选：D． 59．在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”把它们连接起来． 【答案】图见解析，． 【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴比较大小即可． 【详解】解：， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得：． 题型18.实数的混合运算 60．计算 【答案】 【分析】先算乘方、开方、化简绝对值，然后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 61．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 62．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 63．代入求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性求解参数即可． （2）利用非负性求出的值，再用裂项相消法计算分式求和即可． （3）根据算术平方根有意义的条件确定的范围，再去绝对值化简求解即可． 【详解】（1）解：，，且， ，，解得， 将代入，得， 解得，即． （2）解：， ， 原方程可化为，整理得， ，， ，，解得， 将，代入所求式子得： ． （3）解：由算术平方根有意义的条件得，即， ，可得， 原方程可化为， 移项得， 两边平方得， 整理得． 题型19.程序设计与实数运算 64．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 65．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 66．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 题型20.新定义下的实数运算 67．对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 【详解】解：， ，，，， ， ． 68．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 69．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据行列式的计算方法直接列式计算； （2）根据行列式的计算方法展开两个行列式，再写出数量关系； （3）根据行列式的计算方法展开，整理成一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴， 整理得， 解得． 题型21.实数运算的实际应用 70．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为___． 【答案】3.2 【分析】结合题意，根据乘方的性质，首先计算得该经济开发区的实际面积，在根据实数的性质计算，即可得到答案. 【详解】根据题意，该经济开发区的实际面积 ∵， ∴该经济开发区的实际面积． 故答案为：3.2. 【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算的性质，从而完成求解. 71．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 72．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 题型22.与实数运算相关的规律题 73．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 【答案】6 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，据此求解即可． 【详解】解：由分析可知，每组内按顺序形式为：第一个位置是，第二个位置是，第三个位置是， ∵， 第216个数是第72组的第3个数，形式为， 计算得． 74．设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键． 通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 故选：C． 75．观察下列等式，并回答下列问题： ①； ②； ③； ④； (1)请写出第⑤个等式：_______；计算_______． (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）． (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $