精品解析：江苏南京市联合体2025－2026学年度第二学期九年级数学阶段练习卷

2025~2026学年度第二学期阶段练习卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自已的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查顶点式二次函数的性质，根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接读出给定抛物线的顶点坐标． 【详解】∵， ∴ 顶点坐标为 故选 D． 2. 如图，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 10 C. 9 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】运用平行线分线段成比例定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3. 气象部门统计了某市2014年到2023年每年12月的最低气温如下（单位：）： 12月的最低气温 次数 1 3 2 1 1 1 1 在这十年中，12月最低气温的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数的定义等知识点，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 根据众数、中位数的定义求解即可． 【详解】解：这十年中，12月最低气温的出现次数最多，故众数为； 将数据从大往小排列，处于第五、六的数据为：、，则中位数为：． 故选C． 4. 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数为， 故选：C. 5. 如图，为的重心，经过点，，分别交，于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接并延长交于点，根据重心的性质得出，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点， ∵为的重心 ， ∴为的中线，且， ∴，  ∵， ∴， ∴． 6. 二次函数的图像过点，，若，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将两点坐标代入二次函数得到，结合得到关于的不等式，根据确定的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数的图像过点，， ∴， ∵ ∴ 整理得 ∴ 方程的两根为和 ∵ ∴，即 ∴的解集为 结合，可知只有满足条件，均不满足条件． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 即． 8. 计算的结果是____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 9. 方程的两个根为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再代入式子计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根为，其中，，. ∴，， ∴． 10. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 11. 一个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为9，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出底面圆的周长，然后根据扇形的面积公式：即可求出该圆锥的侧面积． 【详解】解：底面圆的周长为，即圆锥的侧面展开后的弧长为， ∵母线长为9， ∴圆锥的侧面展开后的半径为9， ∴圆锥的侧面积 故答案为： 【点睛】此题考查的是求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式：是解决此题的关键． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的基本性质，将方程变为，然后根据平方的非负性即可求出b的取值范围． 【详解】解：∵ ∴ ∵，关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】此题考查的是一元二次方程根的情况，掌握平方的非负性是解决此题的关键． 13. 如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB． 【详解】解：连接OA ∵圆的直径为5，油的最大深度 ∴OA=OC= ∴OD=CD－OC= ∵ 根据勾股定理可得：AD= ∴AB=2AD=4m 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键． 14. 如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 15. 如图，在中，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，将分割为两个直角三角形，利用锐角三角函数表示出线段和，结合的长度建立方程求出的长，进而求出的长． 【详解】解：过点作于点．设． 在中，，， 是等腰直角三角形， ． 在中，，， ． ， ． 解得． ． 在中，． 16. 已知中，，，当的取值范围是____时，能画出两个三角形． 【答案】 【解析】 【分析】过点作边上的高，求出高的长度，结合圆与直线的位置关系，判断使三角形存在两个解时的取值范围． 【详解】过点作于点， 在中，，， ． 要使得可以画出两个，即以点为圆心，长为半径画圆，该圆与直线有两个不同交点，且交点在点的右侧， 可得， 即当时，能画出两个三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可． 【详解】解： ． 【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2）， 【解析】 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再去括号，移项，合并同类项解得，最后验根，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴去分母得， 则 ∴ 整理得 解得， 经检验：当时，， 故原方程无解． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，． 19. 如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证△ADF≌△CEF． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF． 【详解】解：证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∴. ∵是的中点， ∴. ∴. ∵, ∴. ∴. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． 20. 甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： （1）若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； （2）求甲运动员成绩的方差； （3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）< （2）1 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； 【小问2详解】 解：， ∴甲运动员成绩的方差为1； 【小问3详解】 解：乙运动员10次射击训练成绩的方差， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 21. 如图，三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币． （1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是__________； （2）同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据其中一个杯子里有一枚硬币，共3个杯子，可直接得出随机翻开一个杯子，出现硬币的概率； （2）根据题意画出树形图，求出所有情况和出现硬币的情况，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有6种情况，其中出现硬币的情况数有4种，则出现硬币的概率是：． 22. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 【答案】（1）80 （2）3700 【解析】 【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3． （2）盈利＝总售价−总进价． 【小问1详解】 解：设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x＋4）元 则：×3＝． 解得：x＝80． 经检验：x＝80是原方程的根． 答：第一批购进书包的单价是80元． 【小问2详解】 ×（120−80）＋×（120−84）＝3700（元）． 答：商店共盈利3700元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23. 如图，为了测量建筑物的高度，在处树立标杆，标杆的高是．在上选取观测点，从测得标杆和建筑物的顶部的仰角分别为，从测得的仰角分别为．求建筑物的高度（精确到）． （参考数据：）． 【答案】建筑物的高度约为． 【解析】 【分析】在中，得出的长，在中，得出的长，进而得出的长，同理得出的长，列出方程再求解，即可得出建筑物的高度． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵ ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 解得， 答：建筑物的高度约为． 24. 如图，点为线段外一点，请用无刻度直尺和圆规过作一条直线，使得点与点到直线的距离为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】或 【解析】 【分析】情形一：1.以B为端点作任意射线；2.用圆规在上顺次截取；3. 过点和点作直线，则直线就是满足条件的直线； 情形二：1.延长，截取，2. 过点和点作直线，则直线就是满足条件的直线． 【详解】理由：情形一：过点分别作，，如图， 则， 又， ∴， ∴， 由作图得：， ∴， 故点与点到直线的距离为． 情形二：过点分别作，，如图， 则， 又， ∴， ∴， 由作图得：， ∴， 故，点与点到直线的距离为． 25. 如图，在中，为直径，为的弦，的角平分线与相交于点，过点作． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求与的距离． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵的角平分线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，根据得到，进而证得结论； （2）设，则，分别在直角三角形、直角三角形中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图，设交于点E， ∵圆的直径， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， 即与的距离是． 26. 已知二次函数（为常数）． （1）若该函数图象与轴只有一个公共点，求的值； （2）将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象． ①则新函数的表达式为__________，并证明新函数图象始终经过一个定点； ②已知点、，若新函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①； 证明：， 令含项的系数为，即， 解得，， 当时，，该点与的取值无关， 新函数图象始终经过定点； ②的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，再令，即可求解； （2）①根据翻折后的抛物线的解析式的顶点不变，开口相反，可得新函数的表达式；令含项的系数为，即当时，，即可证明过定点；②先得出线段所在直线的解析式，再联立得出方程，根据新函数图象与线段只有一个公共点，分情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 当时，即， 解得，， 即函数图象与轴只有一个公共点时，的值为． 【小问2详解】 解：①， 顶点坐标为， 将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象的顶点坐标不变，开口相反， 新函数的表达式为； 证明略； ②设线段所在直线的解析式为， 将，分别代入解析式得，， 解得，， 线段所在直线的解析式为，（）， 根据题意联立得， ， 整理得，， ， 解得，，， 当时，即，此时只有一个交点，满足题意； 新函数图象与线段（）只有一个公共点，即交点为， 或， 解得，或； 综上，的取值范围为或或． 27. 生活中有圆弧形的遮阳棚，如图1，遮阳棚的长度为，墙高，窗户，墙顶离窗顶的距离，所在圆的半径为，弦与地面平行，晴天太阳光与地面所夹的锐角为． （1）求弦的长度， （2）如图1，当太阳位于遮阳棚东面，且时， ①遮阳棚在阳光照射下的影子_____完全遮住窗户（填“能”或“不能”）； ②如图2，将加长到点，其中、、三点共圆，的长度为m，判断此时遮阳棚能否完全遮住窗户，并说明理由； （3）如图2，当太阳位于遮阳棚西面，设②中遮阳棚的影子外端点为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①不能； ②此时遮阳棚能完全遮住窗户，理由如下： 如图，连接，，延长交于，设点在阳光照射下的影子为点， ∵的长度为m，， ∴， 解得：，即， ∵。 ∴， ∵， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴此时遮阳棚能完全遮住窗户． （3） 【解析】 【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角度数为，根据垂径定理，利用三角函数求出，即可得出答案； （2）①设点在阳光照射下的影子为点，根据，求出、的长，比较即可得出答案； ②连接，，延长交于，设点在阳光照射下的影子为点，利用弧长公式求出，得出四边形是矩形，，，进而求出的长，与比较即可得出答案； （3）分别求出及时，的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，设所在圆的圆心为连接，过点作于， ∵的长度为，所在圆的半径为， ∴， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，设点在阳光照射下的影子为点， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴遮阳棚在阳光照射下的影子不能完全遮住窗户． ②略 【小问3详解】 解：当时，， ∴， 如图，当时，设与的夹角为的光线与相切于，连接，延长交于，过点作于， ∵，， ∴，， ∵与相切于， ∴， ∴， ∵， ∴四边形、都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期阶段练习卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自已的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，，则的长是（ ） A. 4 B. 10 C. 9 D. 15 3. 气象部门统计了某市2014年到2023年每年12月的最低气温如下（单位：）： 12月的最低气温 次数 1 3 2 1 1 1 1 在这十年中，12月最低气温的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在中，以为直径的半圆分别与交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的重心，经过点，，分别交，于点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图像过点，，若，则的值可能为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 方程的解为__________． 8. 计算的结果是____________． 9. 方程的两个根为，则_________． 10. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 11. 一个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为9，则该圆锥的侧面积为__________． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 13. 如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________． 14. 如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 15. 如图，在中，，，，则__________． 16. 已知中，，，当的取值范围是____时，能画出两个三角形． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证△ADF≌△CEF． 20. 甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： （1）若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； （2）求甲运动员成绩的方差； （3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 21. 如图，三个完全一样的不透明杯子依次排成一排，倒扣在水平桌面上，其中一个杯子里有一枚硬币． （1）随机翻开一个杯子，出现硬币的概率是__________； （2）同时随机翻开两个杯子，求出现硬币的概率． 22. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 23. 如图，为了测量建筑物的高度，在处树立标杆，标杆的高是．在上选取观测点，从测得标杆和建筑物的顶部的仰角分别为，从测得的仰角分别为．求建筑物的高度（精确到）． （参考数据：）． 24. 如图，点为线段外一点，请用无刻度直尺和圆规过作一条直线，使得点与点到直线的距离为．（保留作图痕迹，不写作法） 25. 如图，在中，为直径，为的弦，的角平分线与相交于点，过点作． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求与的距离． 26. 已知二次函数（为常数）． （1）若该函数图象与轴只有一个公共点，求的值； （2）将该函数图象沿过其顶点且平行于轴的直线翻折，得到新函数图象． ①则新函数的表达式为__________，并证明新函数图象始终经过一个定点； ②已知点、，若新函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 27. 生活中有圆弧形的遮阳棚，如图1，遮阳棚的长度为，墙高，窗户，墙顶离窗顶的距离，所在圆的半径为，弦与地面平行，晴天太阳光与地面所夹的锐角为． （1）求弦的长度， （2）如图1，当太阳位于遮阳棚东面，且时， ①遮阳棚在阳光照射下的影子_____完全遮住窗户（填“能”或“不能”）； ②如图2，将加长到点，其中、、三点共圆，的长度为m，判断此时遮阳棚能否完全遮住窗户，并说明理由； （3）如图2，当太阳位于遮阳棚西面，设②中遮阳棚的影子外端点为，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $