2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末培优练习1： 期末选填题（一）

**基本信息** 聚焦期末选填高频难点，以新定义运算、几何规律、代数推理为核心，通过分层题型构建从具体应用到抽象推理的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义与新运算|6题|自定义运算规则辨析、新概念应用（如和谐多项式群）|从具体运算规则抽象到数学概念，培养符号意识与抽象能力| |几何背景与规律探究|4题|图形面积关系分析、杨辉三角系数规律|几何直观与数式规律结合，发展空间观念与推理意识| |方程与不等式代数推理|7题|含参数方程推理、幻方填数、取整函数性质|从方程求解到不等式逻辑推理，提升运算能力与应用意识|

期末培优练习1：期末选填题（一） 新定义与新运算 一、新运算 1. 定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论: ①;②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 2. 我们定义:若，则的值为（ ） A. 4 B. 16 C. 64 D. 256 3. 对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=axy＋by－2(其中a,b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如:，若，常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如:，若，（ ） ①； ②若取整数，则或或或 ③若对任意有理数都成立(这里和均有意义)，则. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 对定义一种新运算，规定:(其中均为非零常数).例如: (1) 若，则________； (2) 当时，对任意有理数，都成立，则满足的关系式是________. 二、新定义 5. 定义:若多项式满足(其中是常数，且，则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫作多项式的“和谐值”.已知为“和谐多项式群”，满足且为常数)，“和谐值”为，则的值为（ ） A. 6. 定义:关于的二元一次方程(其中是常数)叫作方程的“移变方程”.例如:的“移变方程”为.已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为________. 几何背景与规律探究 一、几何背景问题 1. 如图甲，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图乙、图丙的方式放置在同一个正方形中.若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A. 图形①与图形②的周长和 B. 图形④与图形⑥的周长和 C. 图形①与图形②的周长差 D. 图形④与图形⑥的周长差 2. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为.已知，且，则________. 二、规律探究问题 3. “杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，用“杨辉三角”可以解释(为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4行的4个数……小明经过仔细观察，还发现(为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律.给出下列结论: ①的计算结果中项的系数为－2025; ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为; ③当时，的计算结果为; ④当时，除以2025，余数为2023. 上述结论中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 阅读以下内容:，根据这一规律，计算:________. 方程(组)与不等式(组)的代数推理 一、方程(组)中的代数推理问题 1. 设是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若，则中为0的个数是（ ） A. 186 B. 187 C. 188 D. 189 2. 已知，要想求出的值(即与无关)，则与必须满足的数量关系是（ ） A. 3. 幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数填在正方形格子中，使每一横行、每一竖列和两条对角线上的3个数的和都相等.例如图①就是一个幻方. (1) 图②是一个未完成的幻方，则的结果为________； (2) 图③中的为________.(用含的式子表示) 二、不等式(组)中的代数推理问题 4. 对于任意有理数，通常用表示不超过的最大整数，如:，，，给出如下结论:①;②若，则的取值范围是;③当时，的值为1或2;④若且，则的取值范围为.其中正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知非负数满足条件，设的最大值是，最小值是，则的值为________. 6. 已知非负有理数满足，设，则的最大值与最小值的和为________. 7. 一个各个数位上的数均不为0的四位正整数，若千位上的数与个位上的数之和是百位上的数与十位上的数之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数，得到4个三位数，这4个三位数的和记为，则________；若“倍和数”千位上的数与个位上的数之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末培优练习1：期末选填题（一） 新定义与新运算 一、新运算 1. 定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论: ①;②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 答案：A 解析：①，结论①正确； ②，解得，结论②正确； ③，结论③正确； ④或或，结论④错误.综上，正确的结论有①②③.故选A. 2. 我们定义:若，则的值为（ ） A. 4 B. 16 C. 64 D. 256 答案：C 解析：因为，所以，所以.因为，所以..故选C. 3. 对x,y定义一种新运算T,规定:T(x,y)=axy＋by－2(其中a,b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如:，若，常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如:，若，（ ） ①； ②若取整数，则或或或 ③若对任意有理数都成立(这里和均有意义)，则. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 答案： 解析：①.，解方程组 ②由①可知.又取整数，有或或或故②正确； ③对任意有理数都成立，，故③正确.∴正确的有3个.故选D. 4. 对定义一种新运算，规定:(其中均为非零常数).例如: (1) 若，则________； (2) 当时，对任意有理数，都成立，则满足的关系式是________. 答案：(1) 9 解析：.. (2) 解析： 当时，对任意有理数都成立， 当时，对任意有理数都成立. 当时，对任意有理数都成立.. 二、新定义 5. 定义:若多项式满足(其中是常数，且，则称多项式为“和谐多项式群”，常数叫作多项式的“和谐值”.已知为“和谐多项式群”，满足且为常数)，“和谐值”为，则的值为（ ） A. 答案： 解析：当时，3)，故该情况不成立； 当时，，符合题意.故选D. 6. 定义:关于的二元一次方程(其中是常数)叫作方程的“移变方程”.例如:的“移变方程”为.已知常数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“移变方程”，则的取值范围为________. 答案：且 解析：根据“移变方程”的定义，知的“移变方程”为，又也是的“移变方程”，由②得，，代入①，得，(，解得.又是二元一次方程，则且且，又的取值范围为且. 几何背景与规律探究 一、几何背景问题 1. 如图甲，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图乙、图丙的方式放置在同一个正方形中.若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（ ） A. 图形①与图形②的周长和 B. 图形④与图形⑥的周长和 C. 图形①与图形②的周长差 D. 图形④与图形⑥的周长差 答案：.D 解析：设长方形较长的一边为，较短的一边为，正方形的边长为，图形②的面积，图形⑤的面积图形②与图形⑤的面积差.图形①的周长，图形②的周长图形①与图形②的周长和为，故选项A错误； 图形①与图形②的周长差为，故选项C错误； 图形④的周长，图形⑥的周长图形④与图形⑥的周长和为，故选项B错误； 图形④与图形⑥的周长差为，若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出图形④与图形⑥的周长差，故选项D正确.故选D. 2. 如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为.已知，且，则________. 答案：52 解析：四边形是正方形，，设，则4) 二、规律探究问题 3. “杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，用“杨辉三角”可以解释(为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4行的4个数……小明经过仔细观察，还发现(为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律.给出下列结论: ①的计算结果中项的系数为－2025; ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为; ③当时，的计算结果为; ④当时，除以2025，余数为2023. 上述结论中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 解析：①观察“杨辉三角”可知，各项系数对应“杨辉三角”中第行的数，该行共有个数，项的系数对应“杨辉三角”所在行的第1个数，项的系数对应第2个数，项的系数对应第个数，各项系数对应“杨辉三角”中第2026行的数，项的系数对应“杨辉三角”所在行的第2个数，即2025，由于中，项的系数为－2025，故①结论正确；②首先在“杨辉三角”中找规律，第3行系数的绝对值之和为，第4行系数的绝对值之和为，第5行系数的绝对值之和为第行系数的绝对值之和为所在的第2026行系数的绝对值之和为，故②结论正确；③在“杨辉三角”中找规律，当时，的计算结果为的计算结果为的计算结果为，因此的计算结果为的计算结果为，故③结论正确；④在“杨辉三角”中找规律，当时，计算除以2025，，余数为1，计算除以2025，，余数为2024，计算除以2025，，余数为1，因此得出规律，为偶数时，除以2025，余数为为奇数时，除以2025，余数为2024，除以2025余数为2024，故④结论错误.综上所述，①②③结论正确，共3个，故选C. 4. 阅读以下内容:，根据这一规律，计算:________. 答案：－1 解析：，则. 方程(组)与不等式(组)的代数推理 一、方程(组)中的代数推理问题 1. 设是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若，则中为0的个数是（ ） A. 186 B. 187 C. 188 D. 189 答案： 解析：，设有个个个0， 解得 ∴有953个1，884个－1，188个0.故选C. 2. 已知，要想求出的值(即与无关)，则与必须满足的数量关系是（ ） A. 答案：A 解析：①，②，②－①得，即①②得，－5，即，当0时，，即.故选A. 3. 幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数填在正方形格子中，使每一横行、每一竖列和两条对角线上的3个数的和都相等.例如图①就是一个幻方. (1) 图②是一个未完成的幻方，则的结果为________； (2) 图③中的为________.(用含的式子表示) 答案： (1) 12 解析：①每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等. 如图①，，，解得. (2) 解析：如图②，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等. . 又. 二、不等式(组)中的代数推理问题 4. 对于任意有理数，通常用表示不超过的最大整数，如:，，，给出如下结论:①;②若，则的取值范围是;③当时，的值为1或2;④若且，则的取值范围为.其中正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：. 解析：①因为表示不大于的最大整数，当时，，，故①不正确；②若，则的取值范围是，故②是正确的； ③当时，，当时，，当时，，综上③是正确的； ④，解得. ，解得的取值范围为，故④是错误的.故正确的是②③，共2个.故选B. 5. 已知非负数满足条件，设的最大值是，最小值是，则的值为________. 答案：26 解析：联立把看作常数，解得 . 解得当时，；当时，. 6. 已知非负有理数满足，设，则的最大值与最小值的和为________. 答案：－6 解析：设，则均为非负有理数，解得，即. 的最大值是－2，最小值是的最大值与最小值的和为－6. 7. 一个各个数位上的数均不为0的四位正整数，若千位上的数与个位上的数之和是百位上的数与十位上的数之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”，任意去掉一个数位上的数，得到4个三位数，这4个三位数的和记为，则________；若“倍和数”千位上的数与个位上的数之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”中的最大值与最小值的和为________. 答案：801 9357 解析：根据题意，；设千位上的数为，百位上的数为“倍和数”千位上的数与个位上的数之和为个位上的数为千位上的数与个位上的数之和是百位上的数与十位上的数之和的2倍，百位上的数与十位上的数之和为4，十位上的数为且为整数，能被7整除.且为整数，或5或，当时，且为整数，故，则；当时，且为整数，故或，即或4314，所有满足条件的“倍和数”的最大值与最小值的和为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $