2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末巩固练习 专题4：新定义及阅读理解

**基本信息** 聚焦新定义与阅读理解两大模块，通过代数几何跨领域题型，培养抽象能力与推理意识，构建从概念理解到应用拓展的逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义-代数|4题（和谐多项式等）|给定新概念，需判断、推导数量关系|从定义抽象到性质应用，如多项式运算与不等式解集的逻辑推导| |新定义-几何|2题（似黄金三角形等）|结合图形定义，考查角度计算与证明|从图形特征提炼定义，通过三角形、四边形性质实现模型转化| |阅读理解-代数|1题（复数运算）|提供运算规则，迁移解决新问题|从材料中提取运算法则，类比整式运算构建解题模型| |阅读理解-几何|3题（折纸等）|给定操作方法，探究角的数量关系|通过操作情境抽象几何原理，运用角平分线、平行线性质推理|

期末巩固练习 专题4：新定义及阅读理解 新定义问题 一、代数中的新定义问题 1. 定义：多项式，如果满足，为常数时，则称多项式，为一组和谐多项式.其中是该组和谐多项式的和谐果. 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果. (1) 判断多项式是否为一组和谐多项式?若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由. (2) 多项式是常数)是一组和谐多项式，求之间的数量关系. (3) 多项式是常数)是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果的值. 2. 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”.如，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”.关系，是的“子式”. (1) 若关于的不等式，则与存在“雅含”关系，________的“子式”(填“是”或“是)； (2) 已知关于的不等式，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围； (3) 已知，且为整数，关于的不等式，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由. 3. 定义：关于的二元一次方程中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为. (1) 方程的“亲密方程”为________； (2) 已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3) 已知整数，满足条件，并且是关于的二元一次方程的“亲密方程”，求的值. 4. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”. (1) 判断方程是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2) 若关于的方程不是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3) 若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组仅有3个整数解.试求的取值范围. 二、几何中的新定义问题 5. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”. (1) 一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为________； (2) 如图①，在中，，，点为线段上一点(点不与点、点重合).若是“似黄金三角形”，求的度数； (3) 如图②，在中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且.若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数. 6. 定义：有一组对角互补的四边形叫作对补四边形. (1) 已知四边形是对补四边形. ①若，则________。 ②如图①，，的平分线分别与相交于点，且，求证：. (2) 如图②，在四边形中，对角线，交于点，且平分平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗?请说明理由. (3) 已知四边形是对补四边形，其三个顶点如图③所示，连接.若平分平分，且直线交于点(与点不重合)，请直接写出与之间的数量关系. 阅读理解类问题 一、代数中的阅读理解类问题 1. 我们规定：，这个数叫作虚数单位，形如的数就叫作复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部.请阅读以下材料，解决问题. 复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似. 例如：； 又如：； 再如：.根据材料回答： (1) 填空：________，________； (2) 的运算符合完全平方公式，求的值； (3) 已知，求()的值. 2. 根据以下素材，探索完成任务. 二、几何中的阅读理解类问题 3. 阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线. (1) 如图①，若，则________. (2) 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处. ①如图②，当点在上时，求的大小； ②如图③，当点在的内部时，若，求的度数. 4. 在几何问题中，当求几个角之间的等量关系时，可以设未知数，通过“设而不解”的方法，以它们为中间量，结合三角形的性质和已知条件，构建所求角之间的等量关系；当需要求出某个角的具体度数时，我们可以通过设未知数的方式，根据问题中的等量关系列方程，并将方程进行求解，最后得到所求角的度数. 已知点在射线上，点，为射线上的两个动点，满足平分. (1) 如图①，当点在点左侧时，我们可以设，作交于点，请你运用含有和的代数式表示； (2) 如图②，当点在点右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明和之间的等量关系并说明理由； (3) 如图③，当点在点左侧时，点为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，请你运用所学的方法，直接写出的度数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末巩固练习 专题4：新定义及阅读理解 新定义问题 一、代数中的新定义问题 1. 定义：多项式，如果满足，为常数时，则称多项式，为一组和谐多项式.其中是该组和谐多项式的和谐果. 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果. (1) 判断多项式是否为一组和谐多项式?若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由. (2) 多项式是常数)是一组和谐多项式，求之间的数量关系. (3) 多项式是常数)是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果的值. 答案： (1) 多项式是一组和谐多项式.45). (2) . 多项式是一组和谐多项式，. (3) 解析：多项式是一组和谐多项式，，解得. 2. 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，若的解都是的解，则称与存在“雅含”关系，且不等式称为不等式的“子式”.如，满足的解都是的解，所以与存在“雅含”.关系，是的“子式”. (1) 若关于的不等式，则与存在“雅含”关系，________的“子式”(填“是”或“是)； (2) 已知关于的不等式，若与存在“雅含”关系，且是的“子式”，求的取值范围； (3) 已知，且为整数，关于的不等式，请分析是否存在，使得与存在“雅含”关系，且是的“子式”，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由. 答案： (1) 是 解析：不等式的解集为与存在“雅含”关系，是的“子式”. (2) 不等式的解集为，不等式的解集为，且是的“子式”，，解得. (3) 的值为0或1.解析：由得解得. 为整数，的值为－1，0，1，2. 不等式，整理得； 不等式的解集为. 当时，不等式的解集是全体实数，与存在“雅含”关系，且是的“子式”； 当时，，不等式的解集为，不能满足与存在“雅含”关系； 当时，或0，不等式的解集为或. 与存在“雅含”关系，且是的“子式”，. 综上，的值为0或1. 3. 定义：关于的二元一次方程中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为. (1) 方程的“亲密方程”为________； (2) 已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“亲密方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3) 已知整数，满足条件，并且是关于的二元一次方程的“亲密方程”，求的值. 答案： (1) 解析：由题意得，方程的“亲密方程”为. (2) 由题意得解得方程组的解为.方程组的解是方程的一个解， (3) 是关于的二元一次方程的“亲密方程”，解得. 4. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”. (1) 判断方程是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2) 若关于的方程不是不等式组的“相依方程”，求的取值范围； (3) 若关于的方程是关于的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组仅有3个整数解.试求的取值范围. 答案： (1) 由方程解得，由不等式组解得方程是不等式组的“相依方程”. (2) 由不等式组解得，由方程解得关于的方程不是不等式组的“相依方程”，或，..或. (3) 由方程解得，由不等式组解得.不等式组仅有3个整数解，令整数的值为，则有，故且的方程是关于的不等式组的“相依方程”，，解得的取值范围是. 二、几何中的新定义问题 5. 定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”.例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”. (1) 一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为________； (2) 如图①，在中，，，点为线段上一点(点不与点、点重合).若是“似黄金三角形”，求的度数； (3) 如图②，在中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且.若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数. 答案： (1) 62° 解析：设“黄金角”的度数为，则另一个内角的度数为，则这个“黄金角”的度数为. (2) ，1.为“似黄金三角形”，若为“黄金角”，则最小，不可能为“黄金角”.若为“黄金角”，则或.当时，.当时，.综上，的度数为或. (3) 的度数为或. 解析：平分，、，设，为“似黄金三角形”，当时，，解得是“似黄金三角形”，当为“黄金角”，时，；当为“黄金角”，时，；当为“黄金角”时，则或或.当时，，这种情况下，不可能为“似黄金三角形”.综上，的度数为或. 6. 定义：有一组对角互补的四边形叫作对补四边形. (1) 已知四边形是对补四边形. ①若，则________。 ②如图①，，的平分线分别与相交于点，且，求证：. (2) 如图②，在四边形中，对角线，交于点，且平分平分，与交于点，且于点，则四边形是对补四边形吗?请说明理由. (3) 已知四边形是对补四边形，其三个顶点如图③所示，连接.若平分平分，且直线交于点(与点不重合)，请直接写出与之间的数量关系. 答案： (1) ①115 解析：由题可知，对补四边形中两组对角均互补四边形是对补四边形，. ②如图①，，又四边形是对补四边形，分别平分.在Rt中，. (2) 四边形是对补四边形.理由：如图②，是的外角，.又.在Rt中，.又分别平分四边形是对补四边形. (3) 或或. 解析：①，如图③所示.四边形是对补四边形，.分别为和的平分线，.四边形内角和为在四边形中，，即，即. ②，如图④所示四边形是对补四边形，分别为和的平分线，在中，，在中，，即. ③，如图⑤所示. ∵四边形是对补四边形，分别为和的平分线，.在中，，在中，，即. 综上所述，与之间的数量关系为或或. 阅读理解类问题 一、代数中的阅读理解类问题 1. 我们规定：，这个数叫作虚数单位，形如的数就叫作复数，叫这个复数的实部，叫这个复数的虚部.请阅读以下材料，解决问题. 复数的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似. 例如：； 又如：； 再如：.根据材料回答： (1) 填空：________，________； (2) 的运算符合完全平方公式，求的值； (3) 已知，求()的值. 答案： (1) 1 0 解析：， (2) . (3) －5，即.又，故4个一组为一个循环.. 2. 根据以下素材，探索完成任务. 答案： (1) 设A场馆和B场馆门票的价格分别为元/张、元/张， 购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元， 购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元， 依题意得解得 答：A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张. (2) 设购买A场馆门票张，则购买B场馆门票张，购买C场馆门票张.想去A场馆的人数不少于3人，想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，，解得，依题意得，解得是整数，取3或有两种购买方案. 方案一：购买A场馆门票3张，则购买B场馆门票6张，购买C场馆门票(张)； 方案二：购买A场馆门票4张，则购买B场馆门票8张，购买C场馆门票(张). (3) 选方案一，理由如下：方案一：660(元)， 方案二：(元)，仅从经费的使用情况来考虑，选择方案一更好. 二、几何中的阅读理解类问题 3. 阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线. (1) 如图①，若，则________. (2) 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处. ①如图②，当点在上时，求的大小； ②如图③，当点在的内部时，若，求的度数. 答案： (1) 29° 解析：由折叠可知.. (2) ①由折叠可知.由折叠知，点落在上，，即. ②由折叠可知.，即. 4. 在几何问题中，当求几个角之间的等量关系时，可以设未知数，通过“设而不解”的方法，以它们为中间量，结合三角形的性质和已知条件，构建所求角之间的等量关系；当需要求出某个角的具体度数时，我们可以通过设未知数的方式，根据问题中的等量关系列方程，并将方程进行求解，最后得到所求角的度数. 已知点在射线上，点，为射线上的两个动点，满足平分. (1) 如图①，当点在点左侧时，我们可以设，作交于点，请你运用含有和的代数式表示； (2) 如图②，当点在点右侧时，请你运用“设而不解”的方法来证明和之间的等量关系并说明理由； (3) 如图③，当点在点左侧时，点为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，请你运用所学的方法，直接写出的度数. 答案： (1) 如图①，，，，，. (2) .理由如下：如图②，过点作交于点，由①得，. (3) 的度数是. 解析：设，则，则平分，.. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $