专题03 圆与扇形（5常考4易错5压轴63题）（期末复习专项训练）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦圆与扇形核心考点，以常考基础、易错陷阱、压轴综合三维度系统编排，覆盖上海期末高频题型，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考|5题型/半径互求、弧长计算等|基础公式应用与固定模型（外方内圆等）|从概念（半径、圆心角）到公式推导（弧长、面积），再到实际场景（跑道、图纸比例）| |易错|4题型/半圆周长陷阱、扇形周长辨析等|概念混淆与计算误区|针对周长与弧长、半径变化对周长面积影响等易错点，强化概念本质理解| |压轴|5题型/羊吃草问题、图形旋转扫过路程等|动态几何与综合应用|结合动点、旋转等动态过程，考查空间想象与模型构建能力，衔接中考命题趋势|

专题03 圆与扇形（5常考4易错5压轴） 题型1 半径、直径、周长互求（常考） 题型8 扇形周长≠扇形弧长（易错） 题型2 弧长基础计算（圆心角↔弧长互算）（常考） 题型9 阴影面积（易错） 题型3 扇形基础面积计算（常考） 题型10 羊吃草（拴绳问题，上海期末必考压轴） 题型4圆环基础（小路、环形跑道）（常考） 题型11 图形翻滚/旋转扫过路程（压轴） 题型5 外方内圆 / 外圆内方（固定模型）（常考） 题型12 动点路径长短对比（压轴） 题型6 半圆周长陷阱（易错） 题型13 实际应用题（压轴） 题型7 半径倍数变化（周长线性、面积平方）（易错） 题型14 斐波那契螺旋（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 半径、直径、周长互求（常考）（共6小题） 1．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个圆的直径是厘米，它的半径是( )厘米，周长是( )厘米（取）． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）在一张长为，宽为的纸上剪一个最大的圆，则这个圆的周长是___________． 3．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）一个钟的分针走了20分钟，分针的针尖走了cm，则分针的长度是___________cm． 4．（24-25六年级上·上海·期末）体育课上，同学们围成一个圆圈做游戏，老师站在中心点上，已知这个圆圈的周长是米，则每个同学与老师的距离大约是_____米． 5．（24-25六年级下·上海松江·期末）为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要_____厘米的绳子．（接头处忽略不计） 6．（22-23六年级上·上海青浦·期末）在比例尺为的零件图纸上，一个圆形部件在图纸上的直径为40厘米，则该部件的实际半径是______厘米，实际周长是______厘米． 题型2 弧长基础计算（圆心角↔弧长互算）（常考）（共6小题） 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个扇形的半径是厘米，圆心角是，它的弧长是( )厘米（取）． 8．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为_________． 9．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一段弧所在的圆的半径为2厘米，弧所对的圆心角为，那么这段弧的长为__________厘米． 10．（23-24六年级上·上海崇明·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是______度． 11．（24-25六年级下·上海普陀·期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为_____． 12．（23-24六年级上·上海金山·期末）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是______°． 题型3 扇形基础面积计算（常考）（共4小题） 13．（23-24六年级上·上海静安·期末）已知扇形的半径是5厘米，如果弧长是厘米，这个扇形的面积是______平方厘米． 15．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于12，那么这个扇形的面积等于_______． 15．（22-23六年级上·上海宝山·期末）如图，将边长为6的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为________． 16．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如果一个扇形的周长是该扇形的弧长的倍，那么称这个扇形为“倍半扇形”．已知某个“倍半扇形”的半径为，则该扇形的面积为_____． 题型4圆环基础（小路、环形跑道）（常考）（共5小题） 17．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于_________平方米．（结果保留） 18．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 19．（22-23六年级上·上海松江·期末）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是______. 20．（23-24六年级上·上海·期末）已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于______平方米．（取） 21．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是_________．（取3.14） 题型5 外方内圆 / 外圆内方（固定模型）（常考）（共3小题） 22．（23-24六年级上·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25六年级下·上海·阶段检测）如图所示的矩形长是宽的两倍，阴影部分周长相等的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 题型6 半圆周长陷阱（易错）（共2小题） 25．（23-24六年级上·上海·期末）在一个由半圆和一条直径组成的半圆面图形中，如果直径长为10厘米，那么这个图形的周长为______厘米．（取） 26．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）把半径分别为3厘米、2厘米的两个半圆放成下图的位置，试求阴影部分的周长是______厘米（取3.14） 题型7 半径倍数变化（周长线性、面积平方）（易错）（共3小题） 27．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）若扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径是原来的，则扇形弧长为原来的（   ） A． B． C．3倍 D．1倍 28．（25-26六年级下·上海·期中）将一个圆的半径改变为原来的，则圆的周长会变为原来的（    ） A．不变 B． C． D． 29．（25-26六年级下·上海普陀·期中）若一个扇形的圆心角扩大为原来的倍，要使这个扇形的面积不变，则该扇形的半径需（    ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 题型8 扇形周长≠扇形弧长（易错）（共4小题） 30．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是______．（π取3.14，结果保留两位小数） 31．（23-24六年级上·上海金山·期末）已知扇形的面积为，半径为3，则该扇形的周长为_____．（结果保留）． 32．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径是3厘米，那么扇形的周长是______厘米．（取） 33．（24-25六年级下·上海崇明·期末）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是___________． 题型9 阴影面积（易错）（共5小题） 34．（25-26六年级下·上海崇明·期中）如图，正方形的边长为2厘米，则阴影部分的面积是_____平方厘米． （π取） 35．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，扇形的半径厘米，，分别以、的中点、为圆心，、为直径作半圆，则圆中阴影部分的面积为_____平方厘米（取）． 36．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积．（取3.14） 37．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在三角形中，，将三角形绕着点顺时针旋转（即）得到三角形．求阴影部分的周长和面积．（π取） 38．（25-26六年级下·上海·期中）按要求解答下列各题：取3.14 (1)求下图阴影部分的周长； (2)求下图阴影部分的面积． 题型10 羊吃草（拴绳问题，上海期末必考压轴）（共4小题） 39．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，草原上有一个长方形的建筑物，长是2米，宽是1米，一只羊被拴在这个长方形建筑物的长边中点上，已知拴羊的绳子长为3米，这只羊能吃到草的总面积是___________平方米．（结果保留） 40．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 41．（25-26六年级下·上海·期中）如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为6米，宽为5米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．当绳子的长度为8米时，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留） 42．（24-25六年级下·上海长宁·期末）在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处．小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为（结果保留） (1)如图1，若，求此时S的值； (2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域．使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，求此时S的值． 题型11 图形翻滚/旋转扫过路程（压轴）（共8小题） 43．（24-25六年级下·上海·期中）如图，在一个长方形内有一个等边三角形，已知等边三角形的每个角为，长方形的宽与等边三角形的边长之比为，长方形的长是宽的1.5倍，等边三角形的边长为1厘米．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为_______厘米．（π取3.14，结果精确到0.01厘米） 44．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把一把三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，将三角尺沿着直线l作顺时针方向的滚动．当三角尺的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．从初始位置开始至少经过______个周期，点A走过的路程就会超过10． 45．（25-26六年级下·上海静安·期中）长为，宽为的长方形与边长为的正三角形如图放置．让正三角形沿着长方形的外周，顺时针方向无滑动滚动一圈，回到初始位置，则顶点经过的路程长为______．（结果保留．注意：正三角形的面积看作，且顶点不一定返回到原来的位置） 46．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于）、三角形沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为_____厘米．（取） 47．（24-25六年级下·上海宝山·期中）圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为2厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，那么圆心经过的距离为___________厘米． (2)如图2，将一个半径为2厘米的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动一周后圆心所经过的路径长为________厘米． (3)如图3，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆在长方形外侧从点经过点无滑动滚动到点，求圆滚过区域的面积． 48．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 49．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）定义：分别以等边三角形（等边三角形的三边都相等，三个内角都是）的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“莱洛三角形”． (1)如图1，若等边的“莱洛三角形”的周长为，求这个等边的周长（取3.14）； (2)如图2，在第（1）题的条件下，在上有一个直径为的圆保持不动，圆紧贴的外侧边滚动一周，求圆心经过的路径长（结果保留）； (3)如图3，在第（1）题的条件下，“莱洛三角形”上有一个半径为的圆．“莱洛三角形”保持不动，圆紧贴“莱洛三角形”的外侧滚动一周，画出图形并求圆所扫过区域的面积（结果保留）． 50．（24-25六年级下·上海·期中）圆的滚动问题探索（本大题结果保留）： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为____cm 如图2，将圆固定，让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，则圆心经过的距离为_______cm． (2)如图3，已知等边三角形的边长为，将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，圆滚过的区域面积为______cm²． (3)如图4，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点，圆滚过的区域面积为_______． (4)如果小明用根长度的木条做一个正边形（条边相等，个内角相等的图形）的框架，再用半径为的圆沿着这个架子的外围滚一圈，圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成．现标记这个正边形的内角大小为，请用含的代数式表示：______，圆滚过的区域面积是_____． 题型12 动点路径长短对比（压轴）（共2小题） 51．（25-26六年级下·上海闵行·期中）钟面上的数学 【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角（时针用表示，分针用表示），时针长度为，分针长度为．一般地，钟面角（）的时针和分针绕点O一直沿着顺时针方向旋转． 由此可知： (1)时针每分钟转动________，分针每分钟转动________；八点时，时针和分针形成的钟面角为________． (2)【深入探究】 如果钟面显示时间为，那么在之前，经过了多少分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多？ (3)【实际应用】 为了研究钟面角，小明观察教室墙上的钟面．但由于电池电量较低，教室里的时钟的时针和分针比正常的钟走得要慢（但仍保持匀速转动）．小明发现第一节课的上课时间应该为，但上课铃响时，钟面显示时间为；第一节课的下课铃响时，钟面显示时间为．（已知一节课实际时长为40分钟） 求该慢钟的转动速度与正常钟的速度之比． (4)从慢钟显示时间为开始，经过一段时间后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，求实际经过的时间（结果精确到0.1分钟）． 52．（25-26六年级下·上海·期中）如图，直线上有A、B、O三点，点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多，若以点O为圆心、以点B与点O的距离为半径作圆心角为的扇形，其面积记为．（答案保留） (1)求的值； (2)若有一个动点P以每秒2米的速度从A出发向右匀速运动，则当点P运动多少秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为； (3)在（2）的条件下，连接、，将三角形的面积记为，求与不重合部分的面积． 题型13 实际应用题（压轴）（共8小题） 53．（24-25六年级下·上海普陀·阶段检测）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米．    (1)如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了______圈；（取3.14） (2)如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（取3.14） (3)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留） 54．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 55．（24-25六年级下·上海闵行·期中）上海大悦城摩天轮是国内首个屋顶悬臂式摩天轮，拥有俯瞰黄浦江、苏州河的超赞视野，是著名的旅游打卡地．如图1，摩天轮的主体是圆形，其周长为126米．（取3） (1)求摩天轮的半径是多少米？ (2)摩天轮的主体圆周外设置了若干个不同主题的载人轿厢，每个轿厢与主体圆周相连，距离是4米，如图2所示，当摩天轮缓缓转动，所有轿厢也随着转动，形成了更大的圆的轮廓．已知每隔5米安装一个轿厢，求大悦城摩天轮上共有多少个轿厢？ (3)在（2）的条件下，大悦城摩天轮在开放时间内不间断匀速转动（每天转动的总圈数固定不变），转动一圈所需时长为20分钟．在某天的某一时刻，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比为，经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了．每个轿舱最多可乘坐6名乘客，每人乘坐摩天轮的票价为60元．这一天大悦城摩天轮的门票收入最高能达到多少元？ 56．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图（1）是某车模中车的底盘结构，图（2）是模拟发动机齿轮组的部件，整个部件由若干个齿轮组成，三个齿轮的齿间距相同．其中齿轮的齿数是8，它与马达共轴，即马达转动一周，齿轮以相同方向转动一周；齿轮与齿轮啮合，它的齿数是24；齿轮的齿数是32，它与齿轮啮合且与车后轮共轴，即齿轮转动一周，车后轮以相同方向转动一周；齿轮、主要联动前后轮，使得前轮与后轮同时有动力．    (1)当马达顺时针旋转时，齿轮的旋转方向是_____①______，齿轮的旋转方向是_____②______；车轮与马达的旋转方向_____③_____．（①②填“顺时针”或“逆时针”，③填“一致”或“不一致”） (2)齿轮与齿轮的转速比为______④_____，车轮比马达的转速______⑤_____．（⑤填“快”或“慢”） (3)马达转速为12000转/分钟，后车轮直径为30毫米，求车模的行驶速度理论值．（单位：米/秒） 57．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 58．（23-24六年级上·上海金山·期末）阅读材料：在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词．“容积率”（ ），是指规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示．比如一块规划建设用地面积为平方米，其中底层总面积为平方米，除底层之外其余楼层的总面积为平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是．居住小区的“容积率”一般不超过，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面积也越大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区内居住的舒适度． (1)（单选题）下列关于“容积率”的表述，错误的为（   ） A．当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大； B．当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大； C．房产开发商希望容积率越大越好，这样可出售的面积也越大，收益也越大； D．住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好． (2)某建筑规划建设用地平方米，该建筑的底层总面积为平方米．如果该建筑共层，至层每层的建筑面积均为平方米，则该建筑的容积率为多少? (3)①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形与正方形的边长均为60米，为米，求该建筑的底层面积．（取） ②若该养老社区规划建设用地面积为平方米，容积率为，计划建造层，且至层面积相同．为让老人居住舒适，平均每个床位需要平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位? 59．（25-26六年级下·上海虹口·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是________米．（取） (2)如果按照方案B修，修的花坛的周长是________米．（取） (3)按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取） 60．（25-26六年级下·上海·期中）请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮，前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进，变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，后轮直径厘米． (1)计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿________． 若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)小明想在上坡时调到最省力的齿轮组合，应选择前齿轮齿数为________，后齿轮齿数为________；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动________圈． 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明每分钟蹬多少圈？ 题型14 斐波那契螺旋（压轴）（共3小题） 61．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知正方形的边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，然后以B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以D为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以A为圆心，长为半径画弧，…，如此继续下去，画出第n道弧时，这道弧的弧长之和为________．（保留） 62．（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是______________平方厘米（结果保留） 63．（25-26六年级下·上海·期中）如图，在正方形格点图中，每个小正方形边长为1，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按，，循环，当时，弧的长为___________． 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， $专题03 圆与扇形（5常考4易错5压轴） 题型1 半径、直径、周长互求（常考） 题型8 扇形周长≠扇形弧长（易错） 题型2 弧长基础计算（圆心角↔弧长互算）（常考） 题型9 阴影面积（易错） 题型3 扇形基础面积计算（常考） 题型10 羊吃草（拴绳问题，上海期末必考压轴） 题型4圆环基础（小路、环形跑道）（常考） 题型11 图形翻滚/旋转扫过路程（压轴） 题型5 外方内圆 / 外圆内方（固定模型）（常考） 题型12 动点路径长短对比（压轴） 题型6 半圆周长陷阱（易错） 题型13 实际应用题（压轴） 题型7 半径倍数变化（周长线性、面积平方）（易错） 题型14 斐波那契螺旋（压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 半径、直径、周长互求（常考）（共6小题） 1．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个圆的直径是厘米，它的半径是( )厘米，周长是( )厘米（取）． 【答案】 【详解】解：已知圆的直径为厘米， 则半径（厘米），周长（厘米）． 故答案为：，． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）在一张长为，宽为的纸上剪一个最大的圆，则这个圆的周长是___________． 【答案】25.12 【详解】解：， 所以，这个圆的周长是， 故答案为：25.12． 3．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）一个钟的分针走了20分钟，分针的针尖走了cm，则分针的长度是___________cm． 【答案】12 【详解】解：∵一个钟的分针走了20分钟，分针的针尖走了cm， ∴一个钟的分针走了60分钟，分针的针尖走了cm， 即钟的周长为cm， ∴ cm 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海·期末）体育课上，同学们围成一个圆圈做游戏，老师站在中心点上，已知这个圆圈的周长是米，则每个同学与老师的距离大约是_____米． 【答案】3 【详解】解：， ， （米）； 故答案为：3． 5．（24-25六年级下·上海松江·期末）为了方便销售，售货员把易拉罐饮料捆成如图所示的形状（如图），如果每个易拉罐底面半径5厘米，那么捆一圈至少需要_____厘米的绳子．（接头处忽略不计） 【答案】 【详解】解： （厘米）． 答：捆一圈至少需要 厘米的绳子． 故答案为：． 6．（22-23六年级上·上海青浦·期末）在比例尺为的零件图纸上，一个圆形部件在图纸上的直径为40厘米，则该部件的实际半径是______厘米，实际周长是______厘米． 【答案】 2 【详解】解：设该部件的实际半径是r厘米，根据题意得： ， 解得：， 即该部件的实际半径是2厘米， ∴实际周长是厘米． 故答案为：2； 题型2 弧长基础计算（圆心角↔弧长互算）（常考）（共6小题） 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个扇形的半径是厘米，圆心角是，它的弧长是( )厘米（取）． 【答案】 【详解】解：根据题意得，弧长（厘米）． 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知一条弧所对的圆心角是，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为_________． 【答案】 【详解】解：由题意，可知：这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为； 故答案为：． 9．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一段弧所在的圆的半径为2厘米，弧所对的圆心角为，那么这段弧的长为__________厘米． 【答案】3.14 【详解】解：由题意，这段弧的长为（厘米）， 故答案为：3.14． 10．（23-24六年级上·上海崇明·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是______度． 【答案】 【详解】解：圆周长即为圆的周长，此时的圆周角为， ∵一个扇形的弧长等于它所在圆周长的， ∴“最美扇形”的圆心角为， 故答案为：． 11．（24-25六年级下·上海普陀·期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为_____． 【答案】 【详解】解：∵把一个圆剪成两个扇形，其中较小扇形的圆心角为120度， ∴较大扇形圆心角为， ∵弧长公式为（为圆心角度数）， ∴较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为， 故答案为：． 12．（23-24六年级上·上海金山·期末）如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是______°． 【答案】216 【详解】解：因为一条弧的长度是它所在圆的周长的， 所以这条弧所对的圆心角是周角的，即：； 故答案为：216． 题型3 扇形基础面积计算（常考）（共4小题） 13．（23-24六年级上·上海静安·期末）已知扇形的半径是5厘米，如果弧长是厘米，这个扇形的面积是______平方厘米． 【答案】 【详解】根据扇形的面积公式，得 （平方厘米）． 故答案为：． 15．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于12，那么这个扇形的面积等于_______． 【答案】 【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于， ∴半径r为，弧长l为， 这个扇形的面积为：． 答案为：． 15．（22-23六年级上·上海宝山·期末）如图，将边长为6的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为________． 【答案】36 【详解】 解：正方形的边长为6， ， ． 故答案为：36． 16．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如果一个扇形的周长是该扇形的弧长的倍，那么称这个扇形为“倍半扇形”．已知某个“倍半扇形”的半径为，则该扇形的面积为_____． 【答案】 【详解】解：设该“倍半扇形”的弧长为，半径为，圆心角为， 则半径，扇形周长为， 根据题意可得， 即， 将代入，得， 得圆的周长为， 所以可得该弧长所占圆的周长比为， 所以该弧长所在的扇形面积就为所在圆的面积的倍， 故扇形面积为． 题型4圆环基础（小路、环形跑道）（常考）（共5小题） 17．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于_________平方米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：（平方米）； 故答案为：． 18．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由题意得 五环图案的面积 ． 故答案为：． 19．（22-23六年级上·上海松江·期末）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是______. 【答案】 【详解】解：， 即这个圆环的面积是． 故答案为：28.26． 20．（23-24六年级上·上海·期末）已知一个圆形喷水池的半径是3米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于______平方米．（取） 【答案】 【详解】解：（平方米）， 故答案为：． 21．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是_________．（取3.14） 【答案】 【详解】解：设大圆半径为，小圆的半径为， 因为阴影部分的面积是， 所以，即， 所以圆环的面积是， 故答案为：． 题型5 外方内圆 / 外圆内方（固定模型）（常考）（共3小题） 22．（23-24六年级上·上海松江·期末）中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： ． 故选：A． 23．（24-25六年级下·上海·阶段检测）如图所示的矩形长是宽的两倍，阴影部分周长相等的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：设长方形的长为, 宽为, 则四个图形阴影部分的周长分别为： 所以四个图形阴影部分的周长相等， 故选：D. 24．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成， 四个圆心角为90度、半径为4的扇形可看作一个半径为4的圆形， ∴阴影部分周长：， 故选：C． 题型6 半圆周长陷阱（易错）（共2小题） 25．（23-24六年级上·上海·期末）在一个由半圆和一条直径组成的半圆面图形中，如果直径长为10厘米，那么这个图形的周长为______厘米．（取） 【答案】 【详解】解：∵半圆的直径为厘米， ∴半圆的半径为厘米， ∴半圆的弧长为：（厘米）， 即弧长为：（厘米）， ∴图形的周长为：（厘米）， 故答案为：． 26．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）把半径分别为3厘米、2厘米的两个半圆放成下图的位置，试求阴影部分的周长是______厘米（取3.14） 【答案】19.7 【详解】解：两个半圆中曲线的长度和为： （厘米）， 两条线段的长度和为：（厘米）， 阴影部分的周长为：（厘米）， 故答案为：19.7． 题型7 半径倍数变化（周长线性、面积平方）（易错）（共3小题） 27．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）若扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径是原来的，则扇形弧长为原来的（   ） A． B． C．3倍 D．1倍 【答案】D 【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为， 则原扇形弧长 ， 变化后圆心角为，半径为， ∴变化后扇形弧长 ， ∴变化后的扇形弧长为原来的1倍． 28．（25-26六年级下·上海·期中）将一个圆的半径改变为原来的，则圆的周长会变为原来的（    ） A．不变 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设原来圆的半径为， ∵圆的周长公式为 ， ∴原圆周长 ， 半径改变后新半径为， ∴新圆周长 ， ∴圆的周长变为原来的 29．（25-26六年级下·上海普陀·期中）若一个扇形的圆心角扩大为原来的倍，要使这个扇形的面积不变，则该扇形的半径需（    ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：设原扇形的圆心角为，半径为，则原扇形面积为， 设变化后扇形半径为，由题意得变化后圆心角为，面积仍为， ∵面积不变， ∴， 即， ∵扇形半径为正数， ∴，即半径需缩小为原来的． 题型8 扇形周长≠扇形弧长（易错）（共4小题） 30．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是______．（π取3.14，结果保留两位小数） 【答案】 【详解】解：∵扇形的圆心角是，半径是， ∴扇形的周长是． 31．（23-24六年级上·上海金山·期末）已知扇形的面积为，半径为3，则该扇形的周长为_____．（结果保留）． 【答案】 【详解】解：设扇形的弧长为，由扇形的面积公式， 代入已知条件，， 得， 即，解得， 扇形的周长包括弧长和两条半径，故周长为， 故答案为： 32．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径是3厘米，那么扇形的周长是______厘米．（取） 【答案】 【详解】解：已知扇形的圆心角，半径厘米， 根据扇形弧长公式，可得弧长为：（厘米）， ∴扇形的周长为弧长加上两条半径的长度，即：（厘米）． 故答案为：． 33．（24-25六年级下·上海崇明·期末）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是___________． 【答案】 【详解】解：， ． 故答案为：． 题型9 阴影面积（易错）（共5小题） 34．（25-26六年级下·上海崇明·期中）如图，正方形的边长为2厘米，则阴影部分的面积是_____平方厘米． （π取） 【答案】 【详解】解：阴影部分的面积为： （平方厘米）． 35．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，扇形的半径厘米，，分别以、的中点、为圆心，、为直径作半圆，则圆中阴影部分的面积为_____平方厘米（取）． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接交半圆于点E，连接， 则平方厘米． 36．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积（）. 37．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在三角形中，，将三角形绕着点顺时针旋转（即）得到三角形．求阴影部分的周长和面积．（π取） 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分面积为 【详解】解：的长为：， 阴影部分的周长为：； 阴影部分的面积为： ． 38．（25-26六年级下·上海·期中）按要求解答下列各题：取3.14 (1)求下图阴影部分的周长； (2)求下图阴影部分的面积． 【详解】（1）解：大半圆的直径： 阴影部分的周长： （2）解：圆的半径： 阴影部分的面积： 题型10 羊吃草（拴绳问题，上海期末必考压轴）（共4小题） 39．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，草原上有一个长方形的建筑物，长是2米，宽是1米，一只羊被拴在这个长方形建筑物的长边中点上，已知拴羊的绳子长为3米，这只羊能吃到草的总面积是___________平方米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：小羊在如图所示的图形中吃草， 由图可知：这只羊能吃到草的总面积是（平方米）． 40．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【详解】解： （平方米）． 答：小狗活动的范围有平方米． 41．（25-26六年级下·上海·期中）如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为6米，宽为5米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．当绳子的长度为8米时，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留） 【详解】解：． 所以这只羊现在能吃草的区域的最大面积是． 42．（24-25六年级下·上海长宁·期末）在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处．小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为（结果保留） (1)如图1，若，求此时S的值； (2)如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域．使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，求此时S的值． 【详解】（1）拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示： 由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、8为半径的圆的，以C为圆心、5为半径的圆的和以A为圆心、3为半径的圆的的面积和， ； （2）如图， 由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、8为半径的圆的，以为圆心、5为半径、圆心角为的扇形，以为圆心、3为半径的圆的的面积和， ，则， ． 题型11 图形翻滚/旋转扫过路程（压轴）（共8小题） 43．（24-25六年级下·上海·期中）如图，在一个长方形内有一个等边三角形，已知等边三角形的每个角为，长方形的宽与等边三角形的边长之比为，长方形的长是宽的1.5倍，等边三角形的边长为1厘米．将三角形沿长方形的边在长方形内部旋转：先绕点A顺时针旋转，使点C落在长方形的边上，再绕点C顺时针旋转，使点B落在长方形的边上，最后绕点B顺时针旋转，使点A落在长方形的边上，整个过程中点C经过的路程为_______厘米．（π取3.14，结果精确到0.01厘米） 【答案】2.62 【详解】解：∵长方形的宽与等边三角形的边长之比为，长方形的长是宽的1.5倍，等边三角形的边长为1厘米， ∴长方形的宽为2厘米，长为3厘米， 如图，第1次翻转得，第2次翻转得，第3次翻转得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴翻转三次后顶点C经过的路程为（厘米）， ∴翻转三次后顶点C经过的路程为2.62厘米． 44．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把一把三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，将三角尺沿着直线l作顺时针方向的滚动．当三角尺的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．从初始位置开始至少经过______个周期，点A走过的路程就会超过10． 【答案】22 【详解】解：∵三角尺的一边紧贴在直线l上，，，， ∴点A走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长， ∴三角尺旋转一个周期，点A走过的路程为， ∵，， ∴， ∴至少经过22个周期． 45．（25-26六年级下·上海静安·期中）长为，宽为的长方形与边长为的正三角形如图放置．让正三角形沿着长方形的外周，顺时针方向无滑动滚动一圈，回到初始位置，则顶点经过的路程长为______．（结果保留．注意：正三角形的面积看作，且顶点不一定返回到原来的位置） 【答案】 【详解】解：由题意可知，正三角形边长为，面积为 ．设正三角形的高为，则，解得 ．运动过程如下： 正三角形在长方形上边向右滚动，绕右下角顶点旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形右上角顶点顺时针旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形右下角顶点旋转，此时点为旋转中心，路程； 正三角形在长方形下边向左滚动，绕左下角方向的前一个顶点旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形左下角顶点顺时针旋转，此时点运动半径为正三角形的高，路程； 正三角形绕长方形左上角顶点顺时针旋转，使边贴合上边，旋转角度为，此时点运动半径为，路程； ∴顶点经过的总路程为： ． 46．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于）、三角形沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为_____厘米．（取） 【答案】 【详解】解：由题意得：如图，等边三角形在正方形的一条边上滚动三次， 其中，点经过的路程有两部分：一部分是以等边三角形的边长为半径、圆心角等于的圆弧的长； 另一部分是以等边三角形的边长为半径、圆心角等于的圆弧的长． 则当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为（厘米）． 47．（24-25六年级下·上海宝山·期中）圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为2厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，那么圆心经过的距离为___________厘米． (2)如图2，将一个半径为2厘米的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动一周后圆心所经过的路径长为________厘米． (3)如图3，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆在长方形外侧从点经过点无滑动滚动到点，求圆滚过区域的面积． 【详解】（1）解：根据题意，得厘米． 故答案为：． （2）根据题意，得厘米． 故答案为：． （3）解：∵长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且， ∴ ∴圆滚过区域的面积为：宽为， ． 48．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【详解】（1）解：（厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （2）解：（厘米）， （厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （3）解：如图所示，圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以圆O滚过区域的面积为平方厘米。 49．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）定义：分别以等边三角形（等边三角形的三边都相等，三个内角都是）的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“莱洛三角形”． (1)如图1，若等边的“莱洛三角形”的周长为，求这个等边的周长（取3.14）； (2)如图2，在第（1）题的条件下，在上有一个直径为的圆保持不动，圆紧贴的外侧边滚动一周，求圆心经过的路径长（结果保留）； (3)如图3，在第（1）题的条件下，“莱洛三角形”上有一个半径为的圆．“莱洛三角形”保持不动，圆紧贴“莱洛三角形”的外侧滚动一周，画出图形并求圆所扫过区域的面积（结果保留）． 【详解】（1）解：步骤1：设等边三角形的边长为r， “莱洛三角形”的周长由三段相同的圆弧组成，每段圆弧半径为r，圆心角为． 步骤2：每段弧长为， 步骤3：总周长， 步骤4：边长，周长为； 答：这个等边三角形的周长是60厘米． （2）解：步骤1：圆心D的路径是原三角形的“等距线”（距离为圆半径），由三条线段和三个圆弧组成． 步骤2：计算线段部分长度．每条线段长， 步骤3：计算圆弧部分长度．每个圆弧半径，圆心角，合在一起是一个圆的周长， 步骤4：总路径长． 答：圆心D经过的路径长为． （3）解：如图所示，是由三个圆环的部分（合在一起刚好是半个圆环，大半径R是25，小半径r是20）以及三个扇形（每个扇形的圆心角都是，半径为5）构成； 扫过的区域的面积． 50．（24-25六年级下·上海·期中）圆的滚动问题探索（本大题结果保留）： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为____cm 如图2，将圆固定，让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，则圆心经过的距离为_______cm． (2)如图3，已知等边三角形的边长为，将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，圆滚过的区域面积为______cm²． (3)如图4，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点，圆滚过的区域面积为_______． (4)如果小明用根长度的木条做一个正边形（条边相等，个内角相等的图形）的框架，再用半径为的圆沿着这个架子的外围滚一圈，圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成．现标记这个正边形的内角大小为，请用含的代数式表示：______，圆滚过的区域面积是_____． 【详解】（1）解：半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为：（厘米） 让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，（厘米），则圆心经过的距离为：（厘米） （2）解： 如图： 将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米； （3）长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且， 解：如图，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点， ，， ，， （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米 （4）由图可知：， 旋转一周后，返回到起点，故旋转 圆滚过的区域面积是 题型12 动点路径长短对比（压轴）（共2小题） 51．（25-26六年级下·上海闵行·期中）钟面上的数学 【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角（时针用表示，分针用表示），时针长度为，分针长度为．一般地，钟面角（）的时针和分针绕点O一直沿着顺时针方向旋转． 由此可知： (1)时针每分钟转动________，分针每分钟转动________；八点时，时针和分针形成的钟面角为________． (2)【深入探究】 如果钟面显示时间为，那么在之前，经过了多少分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多？ (3)【实际应用】 为了研究钟面角，小明观察教室墙上的钟面．但由于电池电量较低，教室里的时钟的时针和分针比正常的钟走得要慢（但仍保持匀速转动）．小明发现第一节课的上课时间应该为，但上课铃响时，钟面显示时间为；第一节课的下课铃响时，钟面显示时间为．（已知一节课实际时长为40分钟） 求该慢钟的转动速度与正常钟的速度之比． (4)从慢钟显示时间为开始，经过一段时间后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，求实际经过的时间（结果精确到0.1分钟）． 【详解】（1）解：时针每小时转动的角度是，分针每小时转动的角度为， 时针每分钟转动，分针每分钟转动； 八点时，时针与分针间隔4个大格， 此时钟面角为； （2）解：设经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多， 则， 解得， 答：经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多； （3）解：慢钟在实际时间40分钟内，走了（分钟）， 则慢钟速度为正常的，故慢钟的转动速度与正常钟的速度之比为； （4）解：设慢钟经过分钟后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大， 则， 解得 由（3）知慢钟速度为正常的， 则（分钟）， 答：实际经过的时间为分钟． 52．（25-26六年级下·上海·期中）如图，直线上有A、B、O三点，点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多，若以点O为圆心、以点B与点O的距离为半径作圆心角为的扇形，其面积记为．（答案保留） (1)求的值； (2)若有一个动点P以每秒2米的速度从A出发向右匀速运动，则当点P运动多少秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为； (3)在（2）的条件下，连接、，将三角形的面积记为，求与不重合部分的面积． 【详解】（1）解：点A与点O的距离为8米，比点B与点O的距离多， （米）， （平方米）； （2）解：设运动的时间为秒，则米， 当点在点左侧时，不存在点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为； 当点在点左侧，在点右侧时， （米），（米）， 点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为， ， 解得； 当点在点右侧时，   （米），（米）， 点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为， ， 解得； 综上，秒或秒时，点P到点B的距离与点P到点O的距离的比为； （3）解：当秒时，（米），如图， （平方米）， 与不重合部分的面积为平方米； 当秒时，米，如图， （米）， 与不重合部分的面积为（平方米）； 综上，与不重合部分的面积为平方米或平方米． 题型13 实际应用题（压轴）（共8小题） 53．（24-25六年级下·上海普陀·阶段检测）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米．    (1)如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了______圈；（取3.14） (2)如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（取3.14） (3)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， 故答案为：100； （2）解：前后轮滚动圈数比 前轮滚动500圈，后轮滚动200圈． 米． 答：这辆拖拉机向前行驶了米； （3）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 54．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2），， ， ， 故答案为：，． 55．（24-25六年级下·上海闵行·期中）上海大悦城摩天轮是国内首个屋顶悬臂式摩天轮，拥有俯瞰黄浦江、苏州河的超赞视野，是著名的旅游打卡地．如图1，摩天轮的主体是圆形，其周长为126米．（取3） (1)求摩天轮的半径是多少米？ (2)摩天轮的主体圆周外设置了若干个不同主题的载人轿厢，每个轿厢与主体圆周相连，距离是4米，如图2所示，当摩天轮缓缓转动，所有轿厢也随着转动，形成了更大的圆的轮廓．已知每隔5米安装一个轿厢，求大悦城摩天轮上共有多少个轿厢？ (3)在（2）的条件下，大悦城摩天轮在开放时间内不间断匀速转动（每天转动的总圈数固定不变），转动一圈所需时长为20分钟．在某天的某一时刻，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比为，经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了．每个轿舱最多可乘坐6名乘客，每人乘坐摩天轮的票价为60元．这一天大悦城摩天轮的门票收入最高能达到多少元？ 【详解】（1）解：∵摩天轮的主体是圆形，其周长为126米，取3， ∴摩天轮的半径是米， 故摩天轮的半径是米； （2）解：轿厢形成的圆的半径为米， 周长为（米）， ∵每隔5米安装一个轿厢， ∴大悦城摩天轮上轿厢的个数为（个）， 即大悦城摩天轮上共有个轿厢； （3）解：设总圈数为，初始时刻已经转了圈，未转圈，则， ∵转动一圈所需时长为20分钟， ∴经过小时后，转动的圈数为圈， ∵经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了． ∴， 解得：， 检验，当时，且符合题意， ∴， ∴总载客量为（人）， ∴总收入为：（元）． 56．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图（1）是某车模中车的底盘结构，图（2）是模拟发动机齿轮组的部件，整个部件由若干个齿轮组成，三个齿轮的齿间距相同．其中齿轮的齿数是8，它与马达共轴，即马达转动一周，齿轮以相同方向转动一周；齿轮与齿轮啮合，它的齿数是24；齿轮的齿数是32，它与齿轮啮合且与车后轮共轴，即齿轮转动一周，车后轮以相同方向转动一周；齿轮、主要联动前后轮，使得前轮与后轮同时有动力．    (1)当马达顺时针旋转时，齿轮的旋转方向是_____①______，齿轮的旋转方向是_____②______；车轮与马达的旋转方向_____③_____．（①②填“顺时针”或“逆时针”，③填“一致”或“不一致”） (2)齿轮与齿轮的转速比为______④_____，车轮比马达的转速______⑤_____．（⑤填“快”或“慢”） (3)马达转速为12000转/分钟，后车轮直径为30毫米，求车模的行驶速度理论值．（单位：米/秒） 【详解】（1）解：因为齿轮与马达共轴，当马达顺时针旋转时，齿轮的旋转方向是顺时针，齿轮与齿轮啮合，故齿轮B的旋转方向是逆时针，齿轮与齿轮啮合且与车后轮共轴，故齿轮的旋转方向是顺时针，车轮的旋转方向是顺时针，与马达的旋转方向一致； 故答案为：①顺时针，②顺时针，③一致 （2）齿轮与齿轮的转速比为，因为马达与齿轮同轴，它们转速一致，齿轮与车后轮共轴，齿轮与车后轮转速一致，故车轮比马达的转速慢， （3）解：因为马达转速为12000转/分钟， 即齿轮转速为12000转/分钟， C转速为（转/分钟） 车轮的周长为：（毫米） 此时的理论速度：（米/秒） 57．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）问题背景：某综合实践小组在学习了“圆与扇形”后，开展了“运动场的有关计算”实践活动，某学校的运动场有若干条跑道（如右图），每条跑道均由两个长度相等的直道和两个半径相等的半圆弯道组成，最内侧跑道（第一道）总长为400米，其弯道半径r为30米．跑步比赛中，运动员在各自跑道上按逆时针方向进行比赛． (1)如图1，求最内侧跑道的直道（或）长是多少米？（π取3.14） (2)如图2，如果每条跑道的宽度d为1.25米，在进行400米赛跑时，比赛终点如图所示，求第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前多少米？（π取3.14） (3)如图3，如果每条跑道的宽度d为米，在某次400米跑步比赛中，小华和小海分列第一道（最内道）和第三道．当小华跑了180米时，小海在小华身后12米处，此时小海跑了______米，为了追上小华，小海开始加速．假设小华匀速跑且速度不变，小海加速前和加速后均为匀速跑且加速所用时间忽略不计，如果小海要在比赛中追上小华，那么他至少要加速______．（结果精确到） 【详解】（1）解：米， 答：最内侧跑道的直道长是米； （2）解：应该超前米， 答：第二跑道的起点M应该比第一跑道的起点A超前米； （3）解：小海跑的路程为米， 加速后小海的速度是小华的，加速前小海的速度是小华的， 即提速后比提速前的速度增加， 故答案为：，． 58．（23-24六年级上·上海金山·期末）阅读材料：在房屋建造的过程中，我们常会见到“容积率”这个名词．“容积率”（ ），是指规划建设用地地面上的建筑物总面积与规划建设用地面积之比，其结果一般用整数或小数表示．比如一块规划建设用地面积为平方米，其中底层总面积为平方米，除底层之外其余楼层的总面积为平方米，那么这块规划建设用地的“容积率”就是．居住小区的“容积率”一般不超过，因为规划建设用地的“容积率”越大，就意味着地面上建筑物的总面积也越大，那么居住的人口也相对越多，会降低居民在小区内居住的舒适度． (1)（单选题）下列关于“容积率”的表述，错误的为（   ） A．当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大； B．当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越大； C．房产开发商希望容积率越大越好，这样可出售的面积也越大，收益也越大； D．住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好． (2)某建筑规划建设用地平方米，该建筑的底层总面积为平方米．如果该建筑共层，至层每层的建筑面积均为平方米，则该建筑的容积率为多少? (3)①某综合养老社区平面设计方案如图所示，阴影部分的面积为该建筑的底层面积，其中正方形与正方形的边长均为60米，为米，求该建筑的底层面积．（取） ②若该养老社区规划建设用地面积为平方米，容积率为，计划建造层，且至层面积相同．为让老人居住舒适，平均每个床位需要平方米的空间，且底层不安排床位，那么该养老社区总共可以安排多少个床位? 【详解】（1）解： A．当规划建设用地面积确定时，地面上的建筑物总面积越大，容积率也越大，正确，选项不合题意； B．当地面上的建筑物总面积确定时，规划建设用地面积越大，容积率也越小，故错误，选项符合题意； C．房产开发商希望容积率越大越好，可出售的面积也越大，收益也越多，故正确，选项不合题意； D．住户希望容积率越小越好，这样绿化、公共设施相对较多，小区环境就好，故正确，选项不合题意； 故答案为：B； （2）解：建筑的容积率为； （3）①如图， 扇形的面积=(平方米) ∴ (平方米) ② (平方米)， (个)， 答：该养老社区总共可以安排个床位． 59．（25-26六年级下·上海虹口·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是________米．（取） (2)如果按照方案B修，修的花坛的周长是________米．（取） (3)按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取） 【详解】（1）解：（米）； （2）解：（米）； （3）解：设甲原来每小时完成米，则乙每小时完成米，根据题意得， ， 解得， ∴（元） 答：甲可以得到元钱． 60．（25-26六年级下·上海·期中）请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮，前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进，变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，后轮直径厘米． (1)计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿________． 若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)小明想在上坡时调到最省力的齿轮组合，应选择前齿轮齿数为________，后齿轮齿数为________；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动________圈． 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明每分钟蹬多少圈？ 【详解】（1）解：前齿轮齿后齿轮齿， 故答案为：； ∵传动比为， ∴前齿轮齿数后齿轮齿数， 当前齿轮齿数为齿时，，不符合题意； 当前齿轮齿数为齿时，，后齿轮齿数存在，符合题意； 验证：， ∴符合条件的齿轮组合是前齿轮齿数为，后齿轮齿数为； （2）解：因为传动比越小越省力，传动比前齿轮齿数后齿轮齿数， 所以选最小前齿轮、最大后齿轮：即前齿轮齿，后齿轮齿，蹬圈脚踏，前齿轮转圈，后轮转动圈数（圈）， 故答案为：，，； 要行驶距离最大，需选最大传动比，即前齿轮齿，后齿轮齿， ∴最大传动比为， ∵后轮直径，后轮周长， 小时共蹬脚踏：（圈），后轮总转数：（圈）， 总路程：， 答：自行车每小时行驶的最大距离是； （3）解：， 设小明每分钟蹬圈，则一小时后轮总转数为， 根据题意得：， 解得：， 答：小明每分钟蹬圈． 题型14 斐波那契螺旋（压轴）（共3小题） 61．（24-25六年级下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知正方形的边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，然后以B为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以D为圆心，长为半径画弧，交的延长线于，再以A为圆心，长为半径画弧，…，如此继续下去，画出第n道弧时，这道弧的弧长之和为________．（保留） 【答案】 【详解】解：由题意可知，第1道弧半径，圆心角为，则弧长为； 第2道弧半径，圆心角为，则弧长为； 第3道弧半径，圆心角为，则弧长为；…… 依次类推，第道弧半径，圆心角为，则弧长为； 则这道弧的弧长之和为 ， 故答案为：． 62．（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是______________平方厘米（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长是1厘米， ∴， 由题意，得：， ∴阴影部分面积之和为： （平方厘米）； 故答案为：． 63．（25-26六年级下·上海·期中）如图，在正方形格点图中，每个小正方形边长为1，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按，，循环，当时，弧的长为___________． 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， 【答案】 【详解】解：由题意，每段弧的圆心角均为， 已知，四边形为正方形， 第1段弧：圆心为，半径， 第2段弧：圆心为，半径， 第3段弧：圆心为，半径， 第4段弧：圆心为，半径， 由此可得第段弧的半径为： 弧长公式为： 其中，故第段弧长： 弧为第2024段弧，代入，得：． 故答案为：． $