专题01 相交线与平行线（暑假复习讲义）新八年级数学新教材浙教版

专题01 相交线与平行线 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 相交线中的角度计算 题型2 同位角、!内错角和同旁内角的识别 题型3 利用平行的性质求角度 题型4 平行线的判定与性质综合 题型5 拐点拐角模型 题型6 平行线中的动点综合 题型7 利用平移的性质求解 题型8 平移-作图 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.同位角、内错角、同旁内角 2.平行线的判定 3.平行线的性质 4.平行线间距离、拐点辅助线 5.图形的平移 1.三线八角识别：多直线交错的复杂图形，剔除多余干扰线段，精准区分 F（同位）、Z（内错）、U（同旁内）三类角，选择题高频。 2.平行线判定题型：根据角的等量 / 互补关系，推导两直线平行，填空、基础证明必考。 3.判定+性质综合证明（本章核心大题）：先由角证平行（判定），再由平行推角相等（性质），交替混用书写几何推理步骤，期末解答题主力。 4.拐角模型辅助线（重难点）：折线拐角类几何题，过拐点作已知线平行线，拆分角度，求解角度和差，压轴小题常考（猪蹄、铅笔、鹰嘴三大经典模型）。 5.平行线之间的距离应用：利用 “平行线间距离处处相等”，转换三角形底高求面积，结合等积变换出题。 6.平移考点应用：结合生活实例（推拉窗、传送带），考查平移后对应线段、角、点连线平行相等；不规则图形平移割补，求周长、面积，填空选择常考。 7.实际生活应用题：修路、管道铺设结合平行线、垂线段最短原理，融合生活情境出题，考查几何应用。 考情解码：本章是浙教版七下几何开篇，承接上册相交线内容，整个初中平面几何逻辑起点，是后续三角形、特殊四边形、全等几何的必备基础。 命题趋势：从单一概念辨认→复杂识图+逻辑证明+模型拓展+实际应用；平行判定与性质综合、拐点作辅助线是全章高频难点，常和三角形内角和跨章节综合命题，侧重规范书写几何步骤、培养逻辑推理。 知识点一 两条直线相交 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【易错提醒】 （1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； （2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 即时即练 1．跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是灌溉地，是河岸，沿开渠，可使铺设水管最短，其数学原理是_____． 知识点二 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 即时即练 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 2．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 知识点三 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【易错提醒】 （1）三线前提：两角必须共用一条截线，无公共截线，不属于三类角。 （2）只看位置：同位 / 内错角不一定相等、同旁内角不一定互补，仅平行才有数量关系 （3）顶点特点：三类角顶点不重合，共顶点是对顶角、邻补角 （4）识图误区：F/Z/U 变形图易认错，多线条题目先剔干扰线段。 （5）定理混用：无平行条件，不能直接用角相等 / 互补；同旁内角是互补，不是相等 即时即练 1．如图，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 3．如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 知识四 平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错警示】 （1） 条件乱用：没给出角相等 / 互补，直接判定平行；只有角的数量关系才能证平行。 （2）定理混淆。同位 / 内错角相等→平行；同旁内角互补→平行，易错写成同旁内角相等 （3）判定与性质搞反 判定：角→平行；性质：平行→角，切勿由平行反推证平行 （4）公理漏洞：平行公理限定直线外一点，直线上一点无法作已知线的平行线 （5）识图失误：错把无公共截线的角当作同位 / 内错角，误用判定 即时即练 1．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 3．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 知识点五 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 即时即练 1．如图，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（   ） A．35° B．30° C．25° D．20° 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 知识点六 平移 1.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 2. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 3.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【易错警示】 （1）两要素缺一：平移由方向 + 距离决定，只看方向不算平移 （2）大小形状不变：平移不改变图形边长、角度、面积，易错误以为大小变化 （3） 对应线段：对应线段平行或共线且相等，漏写共线丢分 （4） 对应点连线：各组对应点连线平行（或在同一直线）、长度 = 平移距离 （5）作图易错：定点平移出错，应先平移顶点，再顺次连线 （6）面积陷阱：平移割补求面积，易重复 / 遗漏拼接部分 即时即练 1．下列大学的校徽图案中可以看作由一个“基本图形”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将三角形沿的方向平移到三角形，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．10 D．12 3．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 题型1 相交线中的角度计算 例1．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练1-1】如图所示，直线与相交于点，． (1)若，求的度数 (2)若，求的度数． 【变式训练1-2】如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式训练1-3】已知交于点，，且平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，求的度数． 题型2 同位角﹑内错角和同旁内角的识别 例2.下列各图中的与，是同位角的是（    ） A．B．C．D． 【变式训练2-1】如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 【变式训练2-2】如图，与是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【变式训练2-3】如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型3 利用平行的性质求角度 例3.如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】如图，已知直线，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图1，高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，图2是其平面示意图，，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型4 平行线的判定与性质综合 例4.如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【变式训练4-1】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 【变式训练4-2】如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【变式训练4-3】如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 题型5 拐点拐角模型 例5.问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【变式训练5-1】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【变式训练5-2】思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 【变式训练5-3】已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 题型6 平行线中的动点综合 技巧总结 一.动点沿直线运动，固定两条平行线，分三类位置讨论： （1）动点在两条平行线内部； （2）动点在两条平行线上方外侧； （3）动点在两条平行线下方外侧。 二．通用辅助线做法 过动点作已知直线的平行线，拆分拐角，转化为同位角、内错角、同旁内角基础模型。 三、角度规律结论 (1)动点在两平行线之间:拐角=两侧两角之和(猪蹄模型); (2)动点在平行线外侧:拐角三两个内角之差。 四、定值探究解题步骤 设未知动角为x，结合平行线性质列式化简: ①化简不含字母x一角度为定值，大小不变;②)化简含字母 x→角度随动点位置变化。 例6.如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【变式训练6-1】七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【变式训练6-2】厦门市跨年会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【变式训练6-3】如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°． （1）求∠AEP的度数； （2）射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数； ②当EM∥PN时，直接写出t的值． 题型7利用平移的性质求解 例7.如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】如图，将两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长度，若=4，=5，，则阴影部分的面积为（   ） A．30 B．20 C．15 D．10 题型8 平移-作图 例8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．A、B、C三点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），顺次连接这三点，得到三角形，且三角形周长为a，把三角形沿方向向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)连接．若，求的度数； (3)直接写出四边形的周长． 【变式训练8-1】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 【变式训练8-2】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，并画出三角形； (2)将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形，并直接写出的坐标； (3)设点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的，求点的坐标． 1．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 6．如图所示， 与交于点E， 点F在直线上，， ，，下列四个结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.如图，在四边形中，在线段的延长线上，，，点、分别为四边形外部、内部的点，连接、、，交于点，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 9．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 10．如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是_________． 11．如图，四边形中，点在边的延长线上，连接交于点，，． (1)和平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 12．问题感知 （1）如图1，若，平分，求证：； 问题探索 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点F在射线上，点G在线段上，连接，若，求证：； 问题拓展 （3）在（2）的条件下，将点G移动到线段的延长线上，如图3，其他条件不变，连接，若，求的度数． 13．如图，在四边形中，．点E、F均在边上，，平分，如图2和图 3． (1)利用图1证明：． (2)利用图2求的度数． (3)猜想和的一个等量关系式，并给予证明． (4)当和的长度改变，其他条件不变时，如图3，是否存在？ 若存在请求出的度数；若不存在，请说明理由． 14．如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 相交线中的角度计算 题型2 同位角、!内错角和同旁内角的识别 题型3 利用平行的性质求角度 题型4 平行线的判定与性质综合 题型5 拐点拐角模型 题型6 平行线中的动点综合 题型7 利用平移的性质求解 题型8 平移-作图 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.同位角、内错角、同旁内角 2.平行线的判定 3.平行线的性质 4.平行线间距离、拐点辅助线 5.图形的平移 1.三线八角识别：多直线交错的复杂图形，剔除多余干扰线段，精准区分 F（同位）、Z（内错）、U（同旁内）三类角，选择题高频。 2.平行线判定题型：根据角的等量 / 互补关系，推导两直线平行，填空、基础证明必考。 3.判定+性质综合证明（本章核心大题）：先由角证平行（判定），再由平行推角相等（性质），交替混用书写几何推理步骤，期末解答题主力。 4.拐角模型辅助线（重难点）：折线拐角类几何题，过拐点作已知线平行线，拆分角度，求解角度和差，压轴小题常考（猪蹄、铅笔、鹰嘴三大经典模型）。 5.平行线之间的距离应用：利用 “平行线间距离处处相等”，转换三角形底高求面积，结合等积变换出题。 6.平移考点应用：结合生活实例（推拉窗、传送带），考查平移后对应线段、角、点连线平行相等；不规则图形平移割补，求周长、面积，填空选择常考。 7.实际生活应用题：修路、管道铺设结合平行线、垂线段最短原理，融合生活情境出题，考查几何应用。 考情解码：本章是浙教版七下几何开篇，承接上册相交线内容，整个初中平面几何逻辑起点，是后续三角形、特殊四边形、全等几何的必备基础。 命题趋势：从单一概念辨认→复杂识图+逻辑证明+模型拓展+实际应用；平行判定与性质综合、拐点作辅助线是全章高频难点，常和三角形内角和跨章节综合命题，侧重规范书写几何步骤、培养逻辑推理。 知识点一 两条直线相交 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【易错提醒】 （1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； （2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 即时即练 1．跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 2．如图，是灌溉地，是河岸，沿开渠，可使铺设水管最短，其数学原理是_____． 【答案】垂线段最短 【分析】根据垂线段的性质，即可求解． 【详解】由题意可知其运用的数学原理是：垂线段最短． 知识点二 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 即时即练 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 2．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 知识点三 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【易错提醒】 （1）三线前提：两角必须共用一条截线，无公共截线，不属于三类角。 （2）只看位置：同位 / 内错角不一定相等、同旁内角不一定互补，仅平行才有数量关系 （3）顶点特点：三类角顶点不重合，共顶点是对顶角、邻补角 （4）识图误区：F/Z/U 变形图易认错，多线条题目先剔干扰线段。 （5）定理混用：无平行条件，不能直接用角相等 / 互补；同旁内角是互补，不是相等 即时即练 1．如图，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可求解． 【详解】解：观察图形可知，与是同位角的是． 2.如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 3．如图所示，下列说法中正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法错误，不符合题意； B、与不是同位角，原说法错误，不符合题意； C、与是内错角，原说法正确，符合题意； D、与不是同旁内角，原说法错误，不符合题意； 故选C． 知识四 平行线的判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【易错警示】 （1） 条件乱用：没给出角相等 / 互补，直接判定平行；只有角的数量关系才能证平行。 （2）定理混淆。同位 / 内错角相等→平行；同旁内角互补→平行，易错写成同旁内角相等 （3）判定与性质搞反 判定：角→平行；性质：平行→角，切勿由平行反推证平行 （4）公理漏洞：平行公理限定直线外一点，直线上一点无法作已知线的平行线 （5）识图失误：错把无公共截线的角当作同位 / 内错角，误用判定 即时即练 1．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 2．如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当（　　）时，木条a与b平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据题意可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图， 木条转动时． 当时，． ∴当时，木条a与b平行． 故选：A． 3．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 知识点五 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 即时即练 1．如图，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据对顶角的性质即可求得的度数， 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴． 2．如图，，，，则的度数为（   ） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【分析】作，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：作，则， ∵， ∴， ∴， ∴. 3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的性质，由平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 知识点六 平移 1.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 2. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 3.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【易错警示】 （1）两要素缺一：平移由方向 + 距离决定，只看方向不算平移 （2）大小形状不变：平移不改变图形边长、角度、面积，易错误以为大小变化 （3） 对应线段：对应线段平行或共线且相等，漏写共线丢分 （4） 对应点连线：各组对应点连线平行（或在同一直线）、长度 = 平移距离 （5）作图易错：定点平移出错，应先平移顶点，再顺次连线 （6）面积陷阱：平移割补求面积，易重复 / 遗漏拼接部分 即时即练 1．下列大学的校徽图案中可以看作由一个“基本图形”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察各选项，只有C选项的校徽，可以看作由“基本图形”经过平移得到． 2．如图，将三角形沿的方向平移到三角形，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用平移的性质得到，，然后利用，，得到，从而得到的长． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形处．， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 题型1 相交线中的角度计算 例1．如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1-1】如图所示，直线与相交于点，． (1)若，求的度数 (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由垂直得到，然后由对顶角相等得到，然后求解即可； （2）首先由求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1-2】如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 【变式训练1-3】已知交于点，，且平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，求的度数． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角平分线的定义、对顶角相等以及角度的和差计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先根据垂直定义得，再由角平分线定义求，最后利用对顶角相等及平角定义求． （2）先结合（1）中的度数，根据求出，再结合求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）解：由（1）知． ∵，且， ∴， ， ． 又∵， ∴． 题型2 同位角﹑内错角和同旁内角的识别 例2.下列各图中的与，是同位角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据同位角位置相同即“同旁和同侧”，进行解答即可． 【详解】解：A．与不是同位角，不符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与是同位角，符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 【变式训练2-1】如图，直线a，b被直线所截，则下列说法中正确的是（   ）    A．与互余 B．与是同位角 C．与不是对顶角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】此题主要考查了对顶角、同旁内角和同位角．根据对顶角、同旁内角、同位角定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是同旁内角，不一定互余，故原题说法错误； B、与是同旁内角，故原题说法错误； C、与是对顶角，故原题说法错误； D、与是同位角，故原题说法正确； 故选：D． 【变式训练2-2】如图，与是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的定义，是需要识记的内容，比较简单． 【详解】由图可得：与在截线的同侧，在两条被截直线的同旁， ∴与是同位角 故选：B． 【变式训练2-3】如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键． 根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义， 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角． 同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 逐一判断即可． 【详解】①∠1和∠3互为对顶角，说法正确； ②∠4和∠8是同位角，说法正确； ③∠3和∠7是内错角，说法正确； ④∠4和∠7是同旁内角，说法正确； 结论一定正确的有①②③④共4个； 故选：A． 题型3 利用平行的性质求角度 例3.如图，直线，，．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和求出，再利用平行线的性质即可求得. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 【变式训练3-1】如图，已知直线，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，因为，得到的度数，进而得到的度数． 【详解】解：如图，设的邻补角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 【变式训练3-2】如图1，高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，图2是其平面示意图，，．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，过点作，可求得，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求出． 结合题意以及平行线的判定与性质填空即可． 【详解】解：如图2，过点作， ∴， ∵． ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 【变式训练3-3】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型4 平行线的判定与性质综合 例4.如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ， ， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）根据等量代换得出，确定，得出，再由等量代换得出，结合平行线的判定即可证明； （2）根据平行线的性质得出，确定，再由角平分线及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ∴， ． ， ， ， 解得． ， ． 平分， ． ， ． ． ， ． 【变式训练4-1】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分时，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，再结合已知条件，由同位角相等两直线平行证明即可； （2）先由平行求解出的度数，进而由角平分线可得的度数，结合平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且． ∴， ∴． （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练4-2】如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可得，进而得出结论； （2）先根据平行线的性质可得，进而求出，最后利用平行线的性质得出结论的值. 【详解】（1）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 【变式训练4-3】如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 题型5 拐点拐角模型 例5.问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点E作，可得，从而得到，，即可解答； （3）分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图1，过点E作， ， ， ，， ； （3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 如图3所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 综上所述，与α，β之间的数量关系为或． 【变式训练5-1】【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线的角平分线交于点． 探究（1）初步观察与推理 用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算 若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数． 探究（3）动点角度的分析 点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 【变式训练5-2】思考与探究：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证： 证明：如图1过点A作 ， （________________________） ，（____________________________） 即： 请在括号内填写所依据的理由． (2)类比应用：已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数． ②如图3，设，，请写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等 (2)①；②，见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解题关键. （1）根据题干信息的提示写出推理依据即可. （2）①如图2，过点P作，证明，进一步利用平行线的性质证明即可； ②如图3，过点P作，证明，进一步利用平行线的性质证明即可. 【详解】（1）解：证明：如图1，过点A作， ，， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， ， 即：. （2）解：①如图2，过点P作， ，， ， ，， ， ， ② 理由如下：如图3，过点P作， ，， ， ，， ， ， . 【变式训练5-3】已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____； (2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值； (3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，余角和补角等知识，解题的关键是充分利用平行线的性质进行求解； （1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）过点G作，利用平行线的传递性，则，再利用平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得到，即可得到之间的关系，即可求解； （3）由（1）得再根据平分，，再根据条件，分别用表示出根据补角得出两者之间的等量关系，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则． ∴ ∴． 同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分， ， 又， ， 的余角等于的补角， ， 即， ， ， ． 题型6 平行线中的动点综合 技巧总结 一.动点沿直线运动，固定两条平行线，分三类位置讨论： （1）动点在两条平行线内部； （2）动点在两条平行线上方外侧； （3）动点在两条平行线下方外侧。 二．通用辅助线做法 过动点作已知直线的平行线，拆分拐角，转化为同位角、内错角、同旁内角基础模型。 三、角度规律结论 (1)动点在两平行线之间:拐角=两侧两角之和(猪蹄模型); (2)动点在平行线外侧:拐角三两个内角之差。 四、定值探究解题步骤 设未知动角为x，结合平行线性质列式化简: ①化简不含字母x一角度为定值，大小不变;②)化简含字母 x→角度随动点位置变化。 例6.如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的值为10或20或25 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线及邻补角计算即可； （2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵平分， ∴， ∴； （2）过点G作，如图所示： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G， ∵， ∴， 由（1）得，； ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 综上可得：的值为10或20或25． 【变式训练6-1】七年级数学小组开展“三角尺中的数学”主题实践活动． 【动手操作】 （1）小勋同学发现通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，请问用一副三角板可以拼出的角吗？________．（填“能”或“不能”） 【问题探究】 （2）如图（1），把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，．如图（2），三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒． ①当________时，； ②在转动过程中，三角板一直在的内部，当为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，在三角板绕点旋转过程中，若三角板同时以每秒的速度绕点逆时针旋转，且，当时，请直接写出的值，为________． 【答案】（1）不能；（2）①秒或秒；②；（3）秒或秒 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）由三角板的特征可得，一副三角板中，两块三角板的角度分别为和，由均为的倍数，得到用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数，即可解答； （2）①根据时，，再分在上方和下方两种情况讨论即可；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：当三角板在三角板左侧时，当三角板在三角板右侧时，再结合平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）一副三角板中，两块三角板的角度分别为和， ∵均为的倍数， ∴用一副三角板可以拼出的角的度数都为的倍数， ∵不是整数倍， ∴用一副三角板不能拼出的角， 故答案为：不能； （2）①∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 当在上方时，如图（2）， 则，即， 解得； 当在下方时，如图（3）， 则，即， 解得； 综上，当秒或秒时，； 故答案为：秒或秒； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）如图（4），当三角板在三角板左侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 如图（5），当三角板在三角板右侧时， ∵，， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴； 综上，当时，的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 【变式训练6-2】厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 【变式训练6-3】如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°． （1）求∠AEP的度数； （2）射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动，若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当∠MEP＝15°时，求∠EPN的度数； ②当EM∥PN时，直接写出t的值． 【答案】（1）30°；（2）①30°或90°；②6秒或10秒 【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠PGE=90°，再根据外角的性质可计算得到结果； （2）①当∠MEP=15°时，分两种情况，Ⅰ当ME在AE和EP之间，Ⅱ当ME在EP和EB之间，由∠MEP=15°，计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠FPN，由已知∠FPE=120°可计算出∠EPN的度数；②根据题意可知，当EM∥PN时，分三种情况，Ⅰ射线PN由PF逆时针转动，EM∥PN，根据题意可知∠AEM=15t°，∠FPN=30t°，再平行线的性质可得∠AEM=∠AHP，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；Ⅱ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=15t°，ME∥PN，∠GHP=15t°，可计算射线PN的转动度数180°+90°-15t°，再根据PN转动可列等量关系，即可求出答案；Ⅲ射线PN垂直AB时，再顺时针向PF运动时，EM∥PN，根据题意可知，∠AEM=15t°，∠GPN=40（t-6）°，根据（1）中结论，∠PEG=30°，∠PGE=60，可计算出∠PEM与∠EPN代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论． 【详解】解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1， ∵PF⊥CD， ∴∠PFD=∠PGE=90°， ∵∠EPF=∠PGE+∠AEP， ∴∠AEP=∠EPF-∠PGE=120°-90°=30°； （2）①Ⅰ如图2， ∵∠AEP=30°，∠MEP=15°， ∴∠AEM=15°， ∴射线ME运动的时间t==1秒， ∴射线PN旋转的角度∠FPN=1×30°=30°， 又∵∠EPF=120°， ∴∠EPN=∠EPF-∠EPN=120°-30°=90°； Ⅱ如图3所示， ∵∠AEP=30°，∠MEP=15°， ∴∠AEM=45°， ∴射线ME运动的时间t==3秒， ∴射线PN旋转的角度∠FPN=3×30°=90° 又∵∠EPF=120°， ∴∠EPN=∠EPF-∠FPN=120°-90°=30； ∴∠EPN的度数为 90°或30°； ②Ⅰ当PN由PF运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H， 根据题意可知，经过t秒， ∠AEM=15t°，∠FPN=30t°， ∵EM∥PN， ∴∠AEM=∠AHP=15t°， 又∵∠FPN=∠EGP+∠AHP， ∴30t°=90°+15t°， 解得t=6（秒）； Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时，EM∥PN，PN与AB相交于点H， 根据题意可知，经过t秒， ∠AEM=15t°， ∵EM∥PN， ∴∠GHP=15t°，∠GPH=90°-15t°， ∴PN运动的度数可得，180°-∠GPH=30t°， 解得t=6（秒）； Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN， 根据题意可知，经过t秒， ∠AEM=15t°，∠GPN=30（t-6）°， ∵∠AEP=30°，∠EPG=60°， ∴∠PEM=15t°-30°，∠EPN=30（t-6）°-60°， 又∵EM∥PN， ∴∠PEM+∠EPN=180°， ∴15t°-30°+30（t-6 ）°-60°=180°， 解得t=10（秒）， 当t的值为6秒或10秒时，EM∥PN． 【点睛】本题主要考查平行线性质，一元一次方程的应用，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键． 【技巧总结】 题型7利用平移的性质求解 例7.如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 【变式训练7-1】如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴， ∴， 故选B． 【变式训练7-2】如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了平方米，进而即可求出答案． 【详解】解：利用平移可得，两条小路的总面积是： ． 故选：A． 【变式训练7-3】如图，将两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长度，若=4，=5，，则阴影部分的面积为（   ） A．30 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，熟记性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键．根据平移的性质可得，，求出，根据列式计算即可． 【详解】解∶由平移可得，， ∴， ∴ ， 故选：C． 题型8 平移-作图 例8．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．A、B、C三点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），顺次连接这三点，得到三角形，且三角形周长为a，把三角形沿方向向右平移个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形； (2)连接．若，求的度数； (3)直接写出四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形的周长为 【分析】（1）根据平移先作出点A、B、C的对应点，然后再顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合平行线的性质，求解即可； （3）根据平移可得，，再根据四边形周长求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：根据平移可得：，， ∴， ∵， ∴． （3）解：根据平移可得：，， 三角形周长为a， ∴， ∴四边形的周长为： ． 【变式训练8-1】在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．现将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若一次性平移到，试求出平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)线段扫过的面积为 【分析】本题主要考查作图——平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （）根据将先向下平移个单位长度，得到；再向右平移个单位长度，得到即可画图； （）根据长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图， ∴线段扫过的面积为 ． 【变式训练8-2】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，并画出三角形； (2)将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形，请画出平移后的三角形，并直接写出的坐标； (3)设点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点，，的坐标描点再连线即可. （2）根据平移的性质作图，即可得出答案. （3）利用割补法求出三角形的面积为，则三角形的面积为，设点的坐标为，则可列方程为，求出的值，即可得出答案. 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：如图，三角形即为所求； 由图可得，的坐标为； （3）解：三角形的面积为 ， ∵三角形的面积等于三角形面积的 ∴三角形的面积为 设点的坐标为, ， 解得或， ∴点的坐标为或． 1．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知可得，再利用垂直定义得，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，下列条件：①；②；③；④其中能判断直线的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故①符合题意； ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故④符合题意； 根据，都不能证明，故②③不符合题意； 3．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由题意可得，由两直线平行，内错角相等得出，由对顶角相等可得，即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 由对顶角相等可得：， ∴， 故选：A． 4．如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，求出和，即可求出答案． 本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】延长交于点， ,, ， ， , , ，， , , 故选：C． 5．如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．62米 B．82米 C．88米 D．102米 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故选：B． 6．如图所示， 与交于点E， 点F在直线上，， ，，下列四个结论： ； ； ； ． 其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，掌握角度的相关计算是解题的关键． 由已知条件可得出判断，过点D作，由平行线的性质可得出②，设，，则，，可判断③④． 【详解】， ， ①正确； 过点D作， ， ， ，， ， 即， ∵，， ∴， ②正确． 设，，则，， 由②知， 作， ，， ， ，无法判断是否为， ③错误； ， ④正确． 综上所述，正确答案为①②④共3个． 故选：C． 7.如图，在四边形中，在线段的延长线上，，，点、分别为四边形外部、内部的点，连接、、，交于点，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，根据平行线的判定和性质可判定①②③，根据对顶角相等可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵和是对顶角， ∴，故④正确， 故选：A 8．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． 9．如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行． 【答案】20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点， 当时，如图1， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图2， ， ， ， ， 解得， 综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行； 故答案为：20或80． 10．如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质、角平分线的定义，逐一分析每个结论． 【详解】解：∵， ∴，所以结论①正确． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴，所以结论②正确． ∵， ∴， ∵， ∴，所以结论③错误． ∵， ∴， ∴，所以结论④正确． 故答案为：①②④． 11．如图，四边形中，点在边的延长线上，连接交于点，，． (1)和平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角的概念，角平分线的性质，掌握好平行线的判定定理与性质是关键． （1）根据邻补角的概念可得，结合“内错角相等，两直线平行”的判定定理可证明； （2）由角平分线的性质可得，利用“两直线平行，内错角相等”的性质可求出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 12．问题感知 （1）如图1，若，平分，求证：； 问题探索 （2）如图2，直线，被直线所截，平分，，点F在射线上，点G在线段上，连接，若，求证：； 问题拓展 （3）在（2）的条件下，将点G移动到线段的延长线上，如图3，其他条件不变，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由角平分线的定义及平行线的性质即可得到，根据等角对等边证明即可； （2）根据角平分线的定义和等量代换得到，即可得到，再根据平行线的性质得到，根据等量代换得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论即可． （3）先求出的度数，然后根据平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，再根据角的和差解答即可． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ． ， ， ， ． ， ， ； （3）解：由（2）可知：， ， ，． 由（2）可知， ， ， ， ， ． 13．如图，在四边形中，．点E、F均在边上，，平分，如图2和图 3． (1)利用图1证明：． (2)利用图2求的度数． (3)猜想和的一个等量关系式，并给予证明． (4)当和的长度改变，其他条件不变时，如图3，是否存在？ 若存在请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 (4)存在，． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （3）平行线的性质得到，即可得出结论； （4）根据平行线的性质，结合，推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）存在； ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴． 14．如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $