专题06 四边形（10大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦四边形十大核心考点，精选2026年江苏、河南等多省市二模真题，覆盖从多边形基础计算到函数与特殊四边形综合应用，梯度分布合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|多边形内角和、特殊四边形性质、折叠/动点/旋转综合|结合航天纪念章设计（云南大理题）、正多边形环形排列（江苏连云港题）等真实情境| |解答题|约15题|平行四边形证明、矩形面积最值、函数与四边形综合|动态问题占比高，如矩形折叠重叠面积（四川德阳题）、动点轨迹长度（广西贺州题），贴合中考命题趋势|

专题06 四边形 10大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形综合证明及计算 考点03矩形综合题型 考点04菱形综合题型 考点05正方形综合题型 考点06四边形折叠难题 考点07动点类综合 考点08旋转模型综合 考点09几何最值问题 考点10函数与特殊四边形的综合 多边形及其内角和 考点01 1．（2026·江苏无锡·二模）已知一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2026·江苏连云港·二模）将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2026·河北唐山·二模）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点…，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·二模）把边长相等的正六边形和正五边形的一边按如图的方式叠放在一起，则度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东佛山·二模）如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 7．（2026·浙江温州·二模）如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·北京大兴·二模）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（     ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 9．（2026·云南大理·二模）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·青海西宁·二模）正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 平行四边形综合证明及计算 考点02 1．（2026·河南南阳·二模）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在平行四边形中，，观察如图所示的尺规作图痕迹，则的度数为（）． A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 4．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积为（   ） A．12 B．14 C． D． 5．（2026·山东青岛·二模）如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 6．（2026·江苏无锡·二模）如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 7．（2026·山东济南·二模）如图，在中，点是的中点，点关于直线的对称点落在内，射线交于点，交射线于点，射线交边于点．若，，则的长__________． 8．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 9．（2026·四川内江·二模）如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 矩形综合题型 考点03 1．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（   ） A．连接， B．的最小值为 C． D．当时，四边形为矩形 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在矩形中，，，点O为边上一点，且，点E在边上．将矩形沿折叠，若线段恰好经过点D，则线段的长是________． 5．（2026·河南洛阳·二模）如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 6．（2026·广东深圳·二模）矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则________． 7．（2026·安徽芜湖·二模）如图，为矩形内的一点，且满足，若，则_______． 8．（2026·江苏无锡·二模）在中，，，为边的中点，点从出发沿着边，运动，直至到点时停止运动，将沿直线折叠，设动点的移动路程为． (1)如图1，若时，当点的对称点在下方，且到的距离为1时，求的值； (2)如图2，若时，点的对称点落在的内部（不含边界），直接写出的取值范围． 9．（2026·河南开封·二模）某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G． (1)【初步感知】线段与的数量关系为________． (2)【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由． (3)【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长． 10．（2026·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点． (1)如图①，若点是的中点时，过点作直线，交于，交于，根据题意补全图形，则线段与的数量关系为 ，四边形的面积与四边形面积关系为 ； (2)如图②，点是对角线上的四等分点，过点作直线，交射线于，交射线于，在图②中画出直线，使得面积最小，并求出面积最小值； (3)将线段绕点逆时针旋转得到，点在射线上，作线段的垂直平分线，当经过矩形一边的中点时，求的长． 菱形综合题型 考点04 1．（2026·山东聊城·二模）如图，点，是以为直径的半圆的三等分点，，，，三点共线，于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，四边形内接于，的半径为3，，连接，．若，，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·二模）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，若，则四边形的周长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2026·河南开封·二模）如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 6．（2026·河南安阳·二模）如图，在菱形中，，，以点为圆心，一定长度为半径画弧与，分别相切于点，，与，分别相交于点，，则阴影部分的面积为________． 7．（2026·吉林·二模）吉林市某中学数学作业：如图1，已知线段，线段．请利用无刻度的直尺和圆规，借助已知线段作面积为的平行四边形． 下面是小帆完成该作业题的过程： 作法：如图2． （1）画直线，在直线上取一点． （2）以点为圆心，截取线段的长为半径作弧，交直线于点． （3）分别以点和点为圆心，截取线段的长为半径作弧，两弧相交于，两点． （4）连接，，，．四边形即为所求． 老师在对小帆面批面改时，肯定其作法，并向其追问：“在你所作的图中，的正弦值是多少？”请写出该问题的正确答案，即________． 8．（2026·贵州六盘水·二模）在中，，是的平分线，点是射线上一点，以点为顶点作，分别与，交于点，（点不与点，重合）． (1)如图1，，，若点与和的交点重合，则线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图2，，，． ①当点与和的交点重合时，求的值； ②点为射线上一点，连接，，若四边形是菱形（如图3），，，求的长． 正方形综合题型 考点05 1．（2026·河北邯郸·二模）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，…依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为（     ） A．3 B．4 C．4或8 D．3或4或8 2．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·二模）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，A，B，C，D为格点，其中点 B，C，D在同一个圆上，则 的长度为______． 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，于点．若，则的长为__________． 5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且．点A关于直线对称的点F恰好在边上，连接、，分别交、于P、Q两点．若，，则线段的长为________． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，点是边长为4的正方形的对称中心，点、分别是边、上的动点，且，连接、、，点是的中点，连接、，当最大时，的面积为_________． 7．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H． (1)【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________； (2)【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系； (3)【深入研究】当点E为的中点时，求的值． 四边形折叠难题 考点06 1．（2026·河南郑州·二模）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·二模）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（2026·江苏徐州·二模）如图，将正方形沿折叠，使点A落在点处，且点到两端点B，C的距离相等，若，E为射线上一点，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·河南驻马店·二模）图1是一张菱形纸片，E，F分别是边，上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C．12 D． 6．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 7．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 8．（2026·河南周口·二模）如图，在矩形中，，．E为上的一个定点，．F为上的一个动点，将沿折叠得，折叠后点B的对应点为点G，当是以为底边的等腰三角形时，的长为______． 9．（2026·江苏徐州·二模）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 动点类综合 考点07 1．（2026·广西贺州·二模）如图，在矩形中，，，点为中点，点为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，则当点沿边从点运动到点时，点的运动路径长为________． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，四边形是菱形，，，，分别是，上的动点，且，连接，交于点，连接，过点作于点．则下列结论：①；②；③若，则；④若点，分别为，上的动点，连接，，，当线段最小时，的周长最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 4．（2026·河南周口·二模）如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 6．（2026·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，是边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则的最小值为________． 7．（2026·河南平顶山·二模）在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）矩形是边BC上一动点，是上三等分点，连接，，且，求线段的长度为__________． 9．（2026·四川成都·二模）如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接，．若，则的最小值为_____． 旋转模型综合 考点08 1．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，已知顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______． 2．（2026·江西景德镇·二模）矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 3．（2026·山东济南·二模）如图，正方形不动，正方形绕点逆时针旋转，旋转角，，连接，，，，，，在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，则线段的长为__________． 4．（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 5．（2026·山东德州·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 6．（2026·山东聊城·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 7．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 几何最值问题 考点09 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，，，点在上，，点是上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小长度为______． 2．（2026·江苏扬州·二模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 3．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别在边上，若，则长的最小值为_________． 4．（2026·山东济宁·二模）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 5．（2026·江苏徐州·二模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 6．（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________． 7．（2026·山东临沂·二模）如图，已知正方形，边长为，点是正方形内部一点，且，点是边上一动点，连接，．则的最小值为___． 8．（2026·河南周口·二模）如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 9．（2026·黑龙江双鸭山·二模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为______． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 函数与特殊四边形的综合 考点10 1．（2026·河南濮阳·二模）新定义：在平面直角坐标系中，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，我们称该矩形是“正矩形”．函数（）的图象如图所示，点，B是该图象上两点．若以为对角线的“正矩形”的面积为8，则点B的横坐标是（     ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 2．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在正方形中，，分别是上（不与端点重合）的动点，且满足，是中点，为上异于的一点，且满足，连接，下列说法错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的面积不变 D． 3．（2026·贵州遵义·二模）如图，在菱形中，，，点M从点A出发，以的速度沿运动，到点C后停止，同时，点N以同样的速度沿运动，到点C后停止，连接，，，设点M运动的时间为，的面积为y（），下列图象中，能反映y与x之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形 10大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形综合证明及计算 考点03矩形综合题型 考点04菱形综合题型 考点05正方形综合题型 考点06四边形折叠难题 考点07动点类综合 考点08旋转模型综合 考点09几何最值问题 考点10函数与特殊四边形的综合 多边形及其内角和 考点01 1．（2026·江苏无锡·二模）已知一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒等于，该多边形的每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为． 2．（2026·江苏连云港·二模）将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先求出正五边形的内角度数，再根据拼接处周角为求出围成圆环所需的正五边形总数，最后减去已有的数量即可． 【详解】解：正五边形的内角为． 则在圆环内侧形成的正边形的一个内角为． 设围成这一圆环共需要个正五边形， 该正边形的一个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴． 图中已排出4个正五边形，还需要个这样的正五边形． 3．（2026·河北唐山·二模）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正多边形的性质求得，，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得． 【详解】解：由正多边形的性质可知， ，，， ，， ． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点…，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得该多边形为正十二边形，然后根据等腰三角形的性质及正多边形内角和可进行求解． 【详解】解：由题意可知：该多边形的边数为， ∴该多边形为正十二边形， ∴，， ∴． 5．（2026·贵州遵义·二模）把边长相等的正六边形和正五边形的一边按如图的方式叠放在一起，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角度数的计算，根据正多边形的内角度数的公式，分别计算出每一个正多边形的内角度数即可求解． 【详解】解：∵正边形内角和公式为，每个内角的度数为， ∴正六边形（）每个内角：， 正五边形（）每个内角：， ∴． 6．（2026·广东佛山·二模）如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用周角定义求出正多边形内角，进而求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形， ∴每个内角度数， ∴每个外角度数， ∵多边形的外角和为， ∴边数为：， 故这种正多边形是正六边形． 7．（2026·浙江温州·二模）如图，是正五边形的一个外角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和是，即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角， 故选：B． 8．（2026·北京大兴·二模）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（     ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】D 【分析】利用多边形外角和定理，以及正多边形各外角相等的性质求解，直接计算边数即可得到结果． 【详解】∵任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等， ∴设该正多边形的边数为n， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 9．（2026·云南大理·二模）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 即正八边形徽章的内角和为． 10．（2026·青海西宁·二模）正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 【答案】C 【分析】根据正多边形中心角、内角、边心距、半径的定义并结合边长为2逐项判断即可． 【详解】解：A．∵ 正边形中心角和为，正六边形， ∴中心角为，故选项A正确； B．∵ 边形内角和为，正六边形， ∴ 内角和为，每个内角为，故选项B正确； C、D．∵ 正六边形的外接圆半径等于边长，已知边长为， ∴ 正六边形半径为，故选项D结论正确； ∵ 边心距是正六边形中心到边的距离，边长一半为，半径为，由勾股定理得：边心距， 故选项C错误，符合题意． 平行四边形综合证明及计算 考点02 1．（2026·河南南阳·二模）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在平行四边形中，，观察如图所示的尺规作图痕迹，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出的度数，由作图痕迹可知是的平分线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由作图痕迹可知：平分， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平行四边形中，，点E、F分别为的中点，连接交于点O，点M为的中点，点N为的中点，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】先推导出，证明出四边形是平行四边形，得到，继而推导出，得到四边形是平行四边形，则，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积为（   ） A．12 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ， ，，， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 5．（2026·山东青岛·二模）如图，中，E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（     ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】延长交的延长线于点M，证明，利用线段垂直平分线的性质得出，结合中点定义建立与的数量关系求解． 【详解】解：延长交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 6．（2026·江苏无锡·二模）如图，的对角线、交于点O，且，过点A作，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用直角三角形的性质，求出，， ，证明，得出，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，，， ，，，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 7．（2026·山东济南·二模）如图，在中，点是的中点，点关于直线的对称点落在内，射线交于点，交射线于点，射线交边于点．若，，则的长__________． 【答案】4 【分析】根据轴对称的性质可得，，，结合平行四边形的性质及中点定义推出，，进而证得，，可得，，再证明．利用建立方程求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， 点关于直线的对称点是， ， ，，， ∵， ∴， 点是的中点， ， ， ， ∴，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：， 故的长为4． 8．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 9．（2026·四川内江·二模）如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，结合对顶角相等，即可证明，得出，进而即可得证； （2）勾股定理求得，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， 为中点， ， 在和中 ， ， 即； （2）解：， ， ，， ， ， ． 矩形综合题型 考点03 1．（2026·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，是上一点，交于点F，交对角线于点，连接，，．若要求阴影部分的面积，则只需要知道（  ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，则，由等积变形可得，从而得到，由可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴只需要知道四边形的面积即可求出阴影部分的面积． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（   ） A．连接， B．的最小值为 C． D．当时，四边形为矩形 【答案】C 【分析】连接，证出四边形是菱形即可得A正确；连接，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形的面积公式计算可得B正确；连接，先证出四边形为平行四边形，再得出要使得，则需，由此即可得C错误；连接，先证出，则，再根据矩形的判定可得D正确． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，则说法A正确； 如图，连接， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值为，说法B正确； 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 假设， ∴平行四边形是矩形， ∴，但由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即不成立，说法C错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由上已得：四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形，则说法D正确． 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，，，，E为的中点，交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，证明四边形为菱形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，进而求出的长，求出的长，利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵交于点F，E为的中点， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 4．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在矩形中，，，点O为边上一点，且，点E在边上．将矩形沿折叠，若线段恰好经过点D，则线段的长是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，，，可知，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，则，，可知即D为中点，延长交于N，证明，得到，，设，则，根据等角对等边得到，求出，过点作于点，则四边形为矩形，可知，，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴ 在中， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴，即D为中点， 延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 解得：， 过点作于点， 则四边形为矩形 ∴， ∵， ∴ 在中，． 5．（2026·河南洛阳·二模）如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 【答案】或 【分析】分当点E在上时和当点E在的延长线上时两种情况求解，过点F作于点G，则，证明，由全等三角形的性质求出，，过点F作于点H，则四边形为矩形，最后由矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：当点E在上时， 过点F作于点G，则， ∵是正方形， ∴， 由旋转的性质得出，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点F作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 当点E在的延长线上时， 过点F作于点G，则， 同理可证得， ∴，， 过点F作与点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 综上：的长为或． 6．（2026·广东深圳·二模）矩形中，E是对角线上一点，且，F是上一点，若，连接，过点E作交的延长线于G，则________． 【答案】 【分析】先利用方程思想将设出来，利用勾股定理和平行线分线段成比例将线段用代数式表示出来，最后过点分别作线段的垂线，利用两角相等证和相似，用相似比和等量代换求出答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ， 即， ∵四边形是矩形， ∴，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴； ∵, ∴设，则在中，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， 则， 在和中, , ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 7．（2026·安徽芜湖·二模）如图，为矩形内的一点，且满足，若，则_______． 【答案】 【分析】过点O作于点F，交于点E，于点G，交于点H，可得四边形均为矩形，可设，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点F，交于点E，于点G，交于点H， ∵为矩形内的一点， ∴， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 8．（2026·江苏无锡·二模）在中，，，为边的中点，点从出发沿着边，运动，直至到点时停止运动，将沿直线折叠，设动点的移动路程为． (1)如图1，若时，当点的对称点在下方，且到的距离为1时，求的值； (2)如图2，若时，点的对称点落在的内部（不含边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用矩形性质与折叠性质，通过作双垂线构造矩形与直角三角形，用勾股定理列方程求解． （2）过点作垂线构造直角三角形，由勾股定理求出，再由折叠性质得．分点在上和点在上两种情况，找到点落在各边界上的临界位置，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：过点作于点，于点， 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ，． 到的距离为，， ， ． 由折叠性质知， 在中，，， ． ， ， ． 在上，， ． 在中，， ， ， ， ， ． （2）解：解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为中点，， ∴， ∴在中，， 由折叠性质得，． 当点在上时，，此时，， 当点落在上时， ∵，，点在上， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 当点落在上时，在直线上， ∵垂直平分， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时，点落在内部． 当点在上时，，此时，， 当点落在上时，在直线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 当点落在上时， ∵，，点在上， ∴， 当时，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， 即， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点落在内部． 综上，的取值范围为或． 9．（2026·河南开封·二模）某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G． (1)【初步感知】线段与的数量关系为________． (2)【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由． (3)【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明即可得结论； （2）连接，同上（1）可得，，再可证明四边形是矩形，可得，证明，即可得结论； （3）由题意可得四边形是正方形，可得，，分点在线段上时，在的延长线上且在边上时，点在的延长线上且在边延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段是线段旋转得到的， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， 如图，当点在线段上， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即； 如图，当点在的延长线上且在边上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 此时，与重合，不符合题意，舍去， ③如图，当点在的延长线上且在边延长线上时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由可得，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，即， 综上所述，的长为或． 10．（2026·贵州遵义·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点． (1)如图①，若点是的中点时，过点作直线，交于，交于，根据题意补全图形，则线段与的数量关系为 ，四边形的面积与四边形面积关系为 ； (2)如图②，点是对角线上的四等分点，过点作直线，交射线于，交射线于，在图②中画出直线，使得面积最小，并求出面积最小值； (3)将线段绕点逆时针旋转得到，点在射线上，作线段的垂直平分线，当经过矩形一边的中点时，求的长． 【答案】(1)相等，相等； (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意画出图形，证明，得出，，说明，，即可得出答案； （2）连接交于点，过点作，，根据点是对角线上的四分点，得出，说明点P为的中点，根据解析（1）可得，过点P的直线将矩形的面积平分，从而证明当、恰好经过、的中点时，的面积最小，求出结果即可； （3）分三种情况：当是的中点时，当点是的中点时，当点是的中点时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， 即四边形的面积与四边形面积相等； （2）解：连接交于点，过点作，，如图所示： 则四边形是矩形且， ∵点是对角线上的四等分点， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴点P为的中点， 根据解析（1）可得，过点P的直线将矩形的面积平分， ∴平分矩形， 如图1，当点E在点M的左侧时，， 如图2，当点F在点N的下方时，， ∴当或时，则的面积最小， ∵点是的四等分点， ∴当、恰好经过、的中点时，如图3所示，的面积最小， 此时， 即面积最小值为； （3）解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ①当是的中点时，设交于点H，连接，如图所示： 则， ∵，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵垂直平分， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； ②当点是的中点时，设交于点H，连接，如图所示： 则， ∵垂直平分， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； ③当点是的中点时，交于点H，连接，如图所示： ， ∵垂直平分， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ， ∴； 综上，或或． 菱形综合题型 考点04 1．（2026·山东聊城·二模）如图，点，是以为直径的半圆的三等分点，，，，三点共线，于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，可证四边形是菱形，根据菱形的性质可以求出、，由图形可知，再根据梯形的面积公式和等边三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 点，是以为直径的半圆的三等分点， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，先证明四边形是菱形，然后由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解． 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示： 由作图可知，平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，四边形内接于，的半径为3，，连接，．若，，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，根据菱形的性质，勾股定理，求出对角线的长度，可求出菱形的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，，设与的交点为点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为：， ∵， ∴阴影部分的面积为． 4．（2026·广东·二模）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，若，则四边形的周长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】证明四边形是菱形，根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形的周长为． 5．（2026·河南开封·二模）如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】A 【分析】根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线定理得出，结合已知可得出，则是菱形，根据菱形的面积可求出，进而求出，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为． 6．（2026·河南安阳·二模）如图，在菱形中，，，以点为圆心，一定长度为半径画弧与，分别相切于点，，与，分别相交于点，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，在 中利用锐角三角函数求出的长及的度数，根据 求解即可． 【详解】解：连接 弧与分别相切于点 四边形是菱形， ， ∴等边三角形 ∵， ∴， 在 中，， ， 扇形的半径为 ， 同理可得， 由对称性可得， ∴ ． 7．（2026·吉林·二模）吉林市某中学数学作业：如图1，已知线段，线段．请利用无刻度的直尺和圆规，借助已知线段作面积为的平行四边形． 下面是小帆完成该作业题的过程： 作法：如图2． （1）画直线，在直线上取一点． （2）以点为圆心，截取线段的长为半径作弧，交直线于点． （3）分别以点和点为圆心，截取线段的长为半径作弧，两弧相交于，两点． （4）连接，，，．四边形即为所求． 老师在对小帆面批面改时，肯定其作法，并向其追问：“在你所作的图中，的正弦值是多少？”请写出该问题的正确答案，即________． 【答案】 【分析】根据作图步骤可知四边形的四条边相等，判定其为菱形，利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，结合勾股定理求出对角线的一半长度，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由作法可知，，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，设与相交于点 ， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 8．（2026·贵州六盘水·二模）在中，，是的平分线，点是射线上一点，以点为顶点作，分别与，交于点，（点不与点，重合）． (1)如图1，，，若点与和的交点重合，则线段，，之间的数量关系为 ； (2)如图2，，，． ①当点与和的交点重合时，求的值； ②点为射线上一点，连接，，若四边形是菱形（如图3），，，求的长． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据题意可得，，，，证明，得到，即可得出答案； （2）①取的中点，连接，则，根据题意得到，，，证明是等边三角形，得到，证明，得到，可得答案； ②当点靠近点时，过点作于点，交于点，连接，设交于点，根据题意得到，，，，证明，得到，证明，得到 ，设 ，则 ， ， ，求出 ，，，再求出，得到，即可求解． 当点靠近点时，同理可得，，，，，，由即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，， ∴，，，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：①如图，取的中点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，，， 在中，， ∴ ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵，即， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ； ②当点靠近点时，过点作于点，交于点，连接，设交于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴，，，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵，即， ∴ ， ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点靠近点时，如图，过点作于点，交于点，连接， 设， 同理可得，，，，，， ， ，解得， ． 综上，． 正方形综合题型 考点05 1．（2026·河北邯郸·二模）如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，…依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，则的值为（     ） A．3 B．4 C．4或8 D．3或4或8 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知所得多边形的各边相等，结合图形分情况讨论正多边形的边数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，即所得多边形的各边相等，若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，分以下三种情况讨论： ①如图1，当点与点重合时，若为正三角形，则，此时满足题意； ②如图2，当点在边上，点在边上，且、、、分别为正方形各边的中点时，四边形为正方形，则，此时满足题意； ③如图3，当点、均在边上时，若多边形为正八边形，其内角为 ，， ，为等腰直角三角形 同理可得正方形四个角处均为等腰直角三角形，可构成正八边形，则，此时满足题意 综上所述，的值为或或． 2．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由相似三角形的判定得到，进而得到，过点分别作于点于点，进而得到，进而求出，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 过点分别作于点于点，如图所示： 平分， ， ， 四边形为正方形， ， ，， ， ，即， ， 在中，，，， 由勾股定理得． 3．（2026·广东·二模）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，A，B，C，D为格点，其中点 B，C，D在同一个圆上，则 的长度为______． 【答案】 【分析】利用网格特点确定圆心的位置，进而求出半径和圆心角的度数，即可解答． 【详解】解：连接，交于点， ∵， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，即点为圆心， ∵， ， 劣弧的长度． 4．（2026·贵州遵义·二模）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，于点．若，则的长为__________． 【答案】或 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，证明四边形是边长为的正方形，再证明，设，求出，，在中，由，解方程即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是边长为的正方形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得或，则或， ∴的长为或． 5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且．点A关于直线对称的点F恰好在边上，连接、，分别交、于P、Q两点．若，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】过点作、的垂线，垂足为、，根据折叠和角平分线的性质定理，得出四边形是正方形，则，根据三线合一的性质，得出，设，利用的正切值，求出，则，，，，，过点作，延长、、分别交与点、、，利用相似三角形对应边成比例的性质，推出，，则，再利用勾股定理，求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点作、的垂线，垂足为、， ， 四边形是矩形， 由折叠的性质可知，，， 平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ，, ， , 解得：， ，，，， ， 如图，过点作，延长、分别交与点、， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，点是边长为4的正方形的对称中心，点、分别是边、上的动点，且，连接、、，点是的中点，连接、，当最大时，的面积为_________． 【答案】4或8 【分析】如图1所示，过点O作于点M，于点N，连接，根据正方形的性质和已知条件可证明，则可得到，，；由三线合一定理可得，，证明四边形是正方形，得到；证明四点共圆，得到，则N、G、M三点共线，即点G在线段上运动；则可证明当点G与点M重合或点G与点N重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，过点O作于点M，于点N，连接， ∵点是边长为4的正方形的对称中心， ∴，，，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴N、G、M三点共线， ∴点G在线段上运动； 如图1所示，设交于点T，则，，， ∴， ∵（点G不与点T重合时）， ∴越大，越大， ∴当点G与点M重合或点G与点N重合时，有最大值； 如图2所示，当点G与点M重合时，； 如图3所示，当点G与点N重合时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当最大时，的面积为4或8． 7．（2026·贵州黔东南·二模）如图，在正方形中，点E是线段上的动点，连接，将绕点E顺时针方向旋转得到线段，交于点K，连接交于点H． (1)【问题解决】如图，______度，写出图中一对相似三角形：________； (2)【问题探究】连接，试探究线段与的数量关系； (3)【深入研究】当点E为的中点时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由旋转性质得，，则是等腰直角三角形，进而可得，由正方形的性质和余角定义可得到， ，又，利用相似三角形的判定可得答案； （2）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明，再结合勾股定理即可得出结论； （3）设，则，过点作延长线于点，过点作于点G，证明四边形是正方形得到，则，证明得到；再证明得到，则，进而可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质得，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，又， ∴； （2）解：如图，过点作延长线于点，则， 由旋转得，， ∴， ∵在正方形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点是的中点， ∴设，则， 过点作延长线于点，过点作于点G， 则， ∴四边形是矩形， 由（2）知，， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四边形折叠难题 考点06 1．（2026·河南郑州·二模）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得到，推出，然后结合折叠的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ 由折叠得， ∴ 由折叠得， ∴． 2．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 3．（2026·四川德阳·二模）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】先由折叠性质得到，，再由矩形性质得到，，结合全等三角形的判定与性质得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠性质可得，， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即， ， 则， 则重叠部分的面积为． 4．（2026·江苏徐州·二模）如图，将正方形沿折叠，使点A落在点处，且点到两端点B，C的距离相等，若，E为射线上一点，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折，垂直平分线的判定定理以及运用勾股定理求线段长度，综合性比较强，注意分情况讨论点的位置．①当点在正方形内部时，过点作于点G，延长交于点F．先证四边形为矩形，在中，求出的长，再设，，在中，由勾股定理得，，建立关于x的方程，解方程即可求出的长；②当点在正方形外部时，过点作于点F，延长交于点G．同理，设 ，在中，由勾股定理得，，建立关于x的方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：①当点在正方形内部时， 如图1，过点作于点G，延长交于点F． ∵正方形，， ∴， ∴四边形为矩形，即， 由折叠的性质可得，，， ∵点到两端点B，C的距离相等， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵正方形，， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得． 设，，； 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， 即； ②当点在正方形外部时， 如图2，过点作于点F，延长交于点G． ∴同理可得，是的垂直平分线，四边形为矩形， ，， 在中， 由勾股定理得． 同理，，，， ∴． 设，则，， 在中， ∵， 即，解得， ∴． ∴综上所述，的长为或． 5．（2026·河南驻马店·二模）图1是一张菱形纸片，E，F分别是边，上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形后，过点作的垂线，垂足为，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵的对应边恰好落在直线上， ∴到、的距离相等， ∴，点，是边，的中点， ∴四边形、是平行四边形，， ∴． 由折叠知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵，， ∴， ∴四边形的面积为：． 6．（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 7．（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 8．（2026·河南周口·二模）如图，在矩形中，，．E为上的一个定点，．F为上的一个动点，将沿折叠得，折叠后点B的对应点为点G，当是以为底边的等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】根据是以为底边的等腰三角形，得到点落在的中垂线上，作的中垂线，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴点落在的中垂线上， 作的中垂线，则四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， 当点在点下方时，如图，作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点上方时，则， ∴； 综上：或． 9．（2026·江苏徐州·二模）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 动点类综合 考点07 1．（2026·广西贺州·二模）如图，在矩形中，，，点为中点，点为边上的一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，则当点沿边从点运动到点时，点的运动路径长为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，从而判断点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆弧，当点运动到点时，利用锐角三角函数求出的度数，进而得到圆心角的度数，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，点为中点， ， 由折叠的性质可知，，， 点在以点为圆心，长为半径的圆弧上运动，当点与点重合时，点运动的路径为，如图所示， 在中，，， ， ， ， ， 点的运动路径长为． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 【答案】 【分析】考虑点和点重合以及点和点重合这两种特殊情况，分析得点的运动轨迹为一条线段，连接、交于点，则得点的运动轨迹为的中位线，结合菱形的性质和解直角三角形计算即可 ． 【详解】解：当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 因此点的运动轨迹为一条线段，如下图所示， 连接、交于点，如下图所示，则点的运动轨迹为的中位线， 四边形是菱形， ，、互相平分， ， 是等边三角形， ， ， ， 点运动轨迹的长为． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，四边形是菱形，，，，分别是，上的动点，且，连接，交于点，连接，过点作于点．则下列结论：①；②；③若，则；④若点，分别为，上的动点，连接，，，当线段最小时，的周长最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】首先证得均为等边三角形， ， 得，由外角的性质得， ①正确；如图1，过A作交于G，交于H，证得四点共圆，得是等边三角形，得，证得，得，进而得，②正确；由，得，再由 ， 得， 进而得，即，， 再得， 证得，从而得 ，③错误；当时，线段最小，由是等边三角形，得 ． 如图2，过C作于P，作A关于的对称点，连接交于K，当三点共线时，取最小值，即为的长，得垂直平分， 进而得， 证得， 在中，， 从而得周长的最小值为，④正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①正确； 如图1，过A作交于G，交于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，③错误； ∵要使线段最小， ∴当时，线段最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 如图2，过C作于P，作A关于的对称点，连接交于K， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长， ∵作A关于的对称点， ∴垂直平分， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴周长的最小值为，④正确； 综上，正确结论的序号为①②④ ． 4．（2026·河南周口·二模）如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点Q，连接，则，可得当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点Q，连接，则， ∴， ∴当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动，根据当点与点重合时最小求解即可. 【详解】解：∵与始终互余， ∴， 以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动， ∴， ∵在中，，又， ∴当点与点重合时最小为． 6．（2026·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，是边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，交于点，连接，则，由两点之间直线最短，可得，由四边形为菱形，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可得的长，即的最小值． 【详解】解：连接，，交于点，连接，如图， 点与点关于菱形的对角线对称， ． ． 即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长． 四边形为菱形， ，，． 是等边三角形． 是的中点， ． ． ， ． ． ， ． 的最小值为． 7．（2026·河南平顶山·二模）在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 【答案】或或6 【分析】是直角三角形，分三种情况画出图形，利用相似三角形的判定和性质分别进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 若是直角三角形，则有以下三种情况： ①如图，当时，， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图（2）当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③如图（3），当时，设，则．同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，CP的长是或或6． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）矩形是边BC上一动点，是上三等分点，连接，，且，求线段的长度为__________． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况：,，或,，设，则，在中，，在中，，在中，，最后根据分别判断求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵是DC上三等分点， ∴，则；或，则； 当，时，如图： 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴在中，，即， 整理得：， ， ∴方程无解， ∴，此种情况不存在， 当，时，如图： 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴在中，，即， 整理得：， 解得：， 当，即时，则， 在中，， 当，即时，则， 在中，， 综上，的长为或． 9．（2026·四川成都·二模）如图，在正方形中，是边的中点，是边上的一个动点，连接，．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】如图，作关于的对称点，连接，，则，可得当三点共线时，，此时最小，进一步求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，则，，， ∵在正方形中，是边的中点，， ∴，，， 当三点共线时， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴点A，D，Q在同一直线上， ∴， ∴． ∴的最小值为． 旋转模型综合 考点08 1．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，已知顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质求出点，根据题意容易判断点每旋转次为一循环，因此旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点旋转，写出对应的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点每旋转次为一循环， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为． 2．（2026·江西景德镇·二模）矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 【答案】2或或 【分析】根据矩形的性质得到是直角三角形，结合旋转的性质得到对应线段相等，分情况讨论中点的不同位置，利用勾股定理计算求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点， ∴当点的对应点为斜边的中点时，如图，则此时， ∴当点的对应点为直角边的中点时，此时， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 当点的对应点为边的中点时，记此时的对应点为，则，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去） 综上所述，或或． 3．（2026·山东济南·二模）如图，正方形不动，正方形绕点逆时针旋转，旋转角，，连接，，，，，，在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，则线段的长为__________． 【答案】/ 【分析】先证明，，可得三点共线，，进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴． 4．（2026·河南驻马店·二模）如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 【分析】先证明得出，解直角三角形得出，，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，，则四边形是正方形，从而得出，，此时最小；以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，，同理可得四边形是正方形，进而得出，，此时最大． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ①如图1，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，此时最小． 由勾股定理，得， ∴． ②如图2，以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，， 同理可得：四边形是正方形， ∴，，此时最大． 由勾股定理，得， ∴． 综上所述，的最小值为，最大值为． 5．（2026·山东德州·二模）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】由点是边的中点得，要求周长最小，实际是求最小，转化成“将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为6的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：∵，点是边的中点， ∴， 如图，过点作，交、于点、，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴． 6．（2026·山东聊城·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 【答案】 【分析】计算圆心E到直线的距离，再减去圆的半径，即可得到到的最小距离，代入三角形面积公式求解． 【详解】解：由旋转知，， ∴是在以圆心，长为半径的圆上运动． ∵矩形中，，，，是中点，是中点， ∴，． ∴，即圆半径​． ∵中，， ∴，其中h是到直线的距离． ∵圆心到直线的距离等于矩形的边长， ∴​， ∴． 7．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示： 则，， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形，， ∴，即， ∴， ∴，即点G在上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 几何最值问题 考点09 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，，，点在上，，点是上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小长度为______． 【答案】 【分析】在上截取，连接、，过点作于点，过点作于点．则是等边三角形，证明，求得，推出，点与点重合时的长度最小，据此求解即可． 【详解】解：在上截取，连接、，过点作于点，过点作于点． 在中，由可得， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点与点重合时的长度最小， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小长度为． 2．（2026·江苏扬州·二模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 【答案】 【分析】添加辅助线，构造四边形为正方形，再由勾股定理求解出的长度，再由面积的最小时，则该三角形的高最小，再由翻折可得点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，根据点三点共线时，最小，作辅助线构造等腰直角三角形，设，再表示出其他相关的边长，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴当点到的距离最小时，的面积最小． 过点作交的延长线于点，如图， 即当最小时，的面积最小． ∵是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 过点作于点，过点作于点，连接，如图， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即，整理可得， 解得（舍掉）， ∴， ∴当时，的面积最小． 3．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别在边上，若，则长的最小值为_________． 【答案】 【分析】作，和相交于点G，连接并延长交于点M，则四边形是平行四边形，，求出，可知是定角，当时，取得最小值，即取得最小值，证明求出即可求解． 【详解】解：作，和相交于点G，连接并延长交于点M， 则四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是定角， ∴点G在上运动， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即长的最小值为． 4．（2026·山东济宁·二模）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值为______． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点，连接交于点，连接，过点G作于点，由轴对称的性质可知，，，再利用矩形的性质，证明、，得到、，得出四边形的周长为，说明当最小时，四边形的周长最小，根据，两点之间线段最短，得出当点F与点重合时，最小，且的最小值为的长，然后利用勾股定理求出的长，即可得到四边形周长的最小值． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点，连接，过点G作于点，    由轴对称的性质可知，，， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证，， ， ∴四边形的周长为：， ∴当最小时，四边形的周长最小， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点F与点重合时，最小，且的最小值为的长， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，   ， ， ∴的最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 5．（2026·江苏徐州·二模）如图，在菱形中，点E为边上一点，将沿着翻折得到．点G为中点，连接，过点F作于点H．若，，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】过点D作，交于点P，取线段的中点K，连接，作，交于点，根据菱形的性质可得，然后根据折叠的性质可得，证明，可得，即可得当点H，F，K三点共线时，的最小值为线段的长度，再结合正切的定义，由勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：过点D作，交于点P，取线段的中点K，连接，作，交于点， 四边形是菱形，， ，， ， 根据折叠的性质得， ， ， ， ， 当点H，F，K三点共线时，取得最小值，即为线段的长度， ， 设，， 由勾股定理得 ， ， ， 即的最小值为8． 6．（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________． 【答案】 【分析】设，用分别表示出、的长度，再根据勾股定理写出的表达式，将目标式转化为关于的函数。待求式为： ．对根号内展开化简： 令（配方换元），代入整理后可得： ． 设，两边平方整理为关于的一元二次方程，由判别式得的最小值为，即可得到结论． 【详解】解：设， ∵矩形中，， ∴． 由勾股定理得： 又， ∴， ∴待求式为： ． 对根号内展开化简： ． 令， 代入整理后可得： ． 设（）， 则， 两边平方整理为关于的一元二次方程， ， ， ， ∵， ∴的最小值为． ∴， 且此时，在范围内，符合要求． 验证：代入， 得，， 和为， 结果正确． 7．（2026·山东临沂·二模）如图，已知正方形，边长为，点是正方形内部一点，且，点是边上一动点，连接，．则的最小值为___． 【答案】 【分析】由，根据圆周角定理，可知点在以为直径的圆上；先作点关于的对称点，则，因此．要使最小，即求的最小值，也就是定点到圆上动点的最短距离（最小值），再结合对称性性质求解． 【详解】解：，， 点在以为直径的上，圆心为中点，半径， 作点关于的对称点，连接，则， ， 当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的最小值， 圆外一点到圆上点的最短距离=该点到圆心距离半径， 作于点，连接， ， 又， 四边形是矩形， ，， 根据勾股定理，， ， 即的最小值为． 8．（2026·河南周口·二模）如图，矩形中，，点是边上的动点，点在边上，．连接，则的最小值为___． 【答案】 【分析】如图，延长，使，连接，，求解，证明，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接，， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最小， ∴， ∴的最小值为． 9．（2026·黑龙江双鸭山·二模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值，得出，延长至点，使得，连接、，则是等边三角形，再结合旋转的性质，证明，推出，则点在垂直于的射线上运动，作点关于的对称点，连接、、，与交于点，当、、三点共线时，有最小值为的长，证明，得到，即可得解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， ，，， 如图，延长至点，使得，连接、， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在垂直于的射线上运动， 作点关于的对称点，连接、、，与交于点， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ，， ， 又，， ， ， 即的最小值为． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，是边的中点，以为边在右侧作等边，为矩形内部一动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点，可证明和均为等边三角形，当四点依次共线时，取得最小值，即为，再结合矩形和等边三角形的性质，运用勾股定理，求出的值，再证明四边形、为矩形，运用性质求出的值，最后运用勾股定理即可求解出的值． 【详解】如图，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接、、，作于点，于点，交的延长线于点，延长交于点， ∴，，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当四点依次共线时，取得最小值，即为， ∵在矩形中， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，． 函数与特殊四边形的综合 考点10 1．（2026·河南濮阳·二模）新定义：在平面直角坐标系中，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，我们称该矩形是“正矩形”．函数（）的图象如图所示，点，B是该图象上两点．若以为对角线的“正矩形”的面积为8，则点B的横坐标是（     ） A．2 B．3 C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】设，由题意可知以为对角线的“正矩形”的各边都与坐标轴平行，可分别求出矩形的边长，再根据“正矩形”的面积为8列方程求解． 【详解】解：设， 根据矩形的四个角都是直角，若矩形的一组对边与一条坐标轴平行，那么该矩形的另一组边也应与另一条坐标轴平行， 四边形是“正矩形”， 轴，轴， ，， 以为对角线的“正矩形”的面积为8， ， 整理，得， 解得或， 点B的横坐标是3或． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在正方形中，，分别是上（不与端点重合）的动点，且满足，是中点，为上异于的一点，且满足，连接，下列说法错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的面积不变 D． 【答案】A 【分析】对于A，连接、，取的中点，连接、，容易证明，则，结合可得．容易判断、、、四点共圆，则，从而证明，则，等量代换可得，进一步可证明，则，因此．由可知，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可；对于B，过点作的平行线，交于点，交于点，设，容易证明四边形是矩形，结合可计算出，．由勾股定理可得，，利用二次函数的性质求出最小值即可；对于C，连接，容易计算出，利用中线的性质计算出即可；对于D，由A可得，，由勾股定理可得，结合二次函数与反比例函数的性质和的取值范围，求出的取值范围． 【详解】解：对于选项A：如图，连接、，取的中点，连接、， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点、、、都在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故A符合题意； 对于选项B：如图，过点作的平行线，交于点，交于点，设， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在中， , ∵， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值为，故B不符合题意； 对于选项C：如图，连接， ， ∵是中点， ∴为定值，故C不符合题意； 对于选项D：由A可知，， ∴， ∴随的增大而减小， 设，则， 在中，， ∵，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，故D不符合题意． 3．（2026·贵州遵义·二模）如图，在菱形中，，，点M从点A出发，以的速度沿运动，到点C后停止，同时，点N以同样的速度沿运动，到点C后停止，连接，，，设点M运动的时间为，的面积为y（），下列图象中，能反映y与x之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段计算：当点M在上运动时，即，即可计算出等边的面积即可判断A，C项；当点M在上运动时，即，为等腰三角形，过点M作，交的延长线于点G，连接、，二者交于点O，交于点H，利用，计算出，问题随之得解． 【详解】在菱形中，，， ∴，， 当点M在上运动时，即， ∵点M和点N的运动速度相同， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 当点M到达点D时（拐点处需要探究如何变化），， ∴， ∴前的面积图象为抛物线， ∵， ∴图象开口向上， ∴A，C错误； 当点M在上运动时，即，为等腰三角形， 如图，过点M作，交的延长线于点G，连接、，二者交于点O，交于点H， 在菱形中，，， ∴，，是等边三角形，， ∴，，， ∴，即， ∴，即， ∵点M和点N的运动速度相同， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即：， ∴此时面积的图象也是抛物线， ∵， ∴二次函数图象开口向下， ∴D项错误，B正确． 故选：B． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明和，将周长比转化为对应边之比；再利用得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则原式， ， ∴当时，二次函数取得最大值， 该比值的最大值为． 5．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）知，点A的坐标为， ∴ ∴． 设点M的坐标为，且， ∴， ∵的面积与菱形的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $