专题10 锐角三角函数（7大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦锐角三角函数7大核心考点，汇编2026年多地区二模真题，涵盖定义、性质、解直角三角形及实际应用，注重基础巩固与综合能力梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|20+|锐角三角函数定义（网格问题）、特殊角值（尺规作图）|结合电视尺寸等生活情境，匹配中考二模命题趋势| |填空|10+|性质与关系（矩形旋转）、解直角三角形（菱形计算）|融入几何图形变换，考查空间观念| |解答|15+|实际应用（测量旗杆/跨江大桥）、函数综合（抛物线与三角函数）|跨知识整合圆、四边形等，突出数学建模与逻辑推理|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10锐角三角函数 ☆7大考点概览 考点01锐角三角函数的定义 考点02特殊角的三角函数值 考点03锐角三角函数的性质与关系 考点04解直角三角形 考点05解直角三角形的实际应用 考点06几何图形中的三角函数综合 考点07函数与三角函数值 考点01 锐角三角函数的定义 1. (2026广西南宁·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=17,则siB的值为() 7 15 A.8 B.17 c.8 D.7 【答案】D 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=17, ∴sinB=AC、8 AB 17 2.(2026云南普洱二模)在△ABC中，若∠C=90°，AB=C,BC=a,AC=b,则下列式子正确的是 () A.sinA=a b B.sin4= c C.COs4= a D.tand=a 【答案】D 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义，即可求解， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：如图， b 0 B 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=c,BC=a,AC=b, sinA=a tand=a C, b 则只有选项D符合题意， 3.(2026云南丽江·二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下列等式 中成立的是() 4 B A.sinA= c B.tanA= C.tanB=b D.COsB=b c 【答案】C 【详解】解：sinA= C,A选项错误，不符合题意： tan A=4 方，B选项错误，不符合题意： b tan B= a,C选项正确，符合题意； cosB=a ,D选项错误，不符合题意· 4.(2026山东菏泽二模)如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、B、C均在格点上， 连接AB、BC,则sinB的值是() 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 2V5 c. 3 A.5 B.5 D.2 【答案】A 【分析】如图所示，连接AC,证明∠BAC=90°，再进一步求解即可. 【详解】解：如图所示，连接AC, 根据网格得到， AB=V22+22=2W2,BC=V1?+32=V10,AC=V1+12=V2 .BC2=AB2+AC2, .∠BAC=90° :咖B=C=25 BC10 5. 5.(2026广东深圳二模)如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则snA的值是() A.1 B 5 √2 c.5 D.2 【答案】D 【分析】结合网格特征，得出∠AEF=90,AE=EF=4,故△AEF是等腰直角三角形，即∠A=45°，即可 求出sinA的值， 【详解】解：如图所示： 3/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 依题意，∠AEF=90°，AE=EF=4 ∴.△AEF是等腰直角三角形， .∠A=45°， sin 4=sin45 2. 6.(2026广东深圳二模)电视的尺寸常指屏幕对角线的长度.如图，可以把一个55英寸电视屏幕抽象成 1 矩形ABCD,其中AC=55英寸.若sin∠CAB= 2,则电视屏幕宽度BC的长度为() D B 女 A,2英寸 B.110英寸 C.55英寸 D.110英寸 【答案】A 【分析】根据正弦的定义求解即可 【详解】解：∠B=90°，AC=55,sin∠CAB= 2 BC 1 .AC2' 即：c40- 2· 7.(2026云南昆明·二模)在△ABC中，AB=6,BC=8,AC=10,则C0sA的值为() 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 A.5 c. D.3 【答案】A 【分析】先根据勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，且∠B=90°，然后根据余弦的定义求解即可， 【详解】解：，AB=6,BC=8,AC=10,且62+82=102 .'AB2+BC2=AC2, :△ABC是直角三角形，且∠B=90°， .'cosA= AB 63 AC105 8.(2026云南昆明二模)如图，在△ABC中，若LB=90°，BC=4,AC=5,则cosC=() 4 3 A.5 B. D.4 【答案】A 【详解】解：：在△ABC中，若∠B=90°，BC=4,AC=5, CosC= BC 4 AC 5. 9.(2026云南临沧·二模)如图，在 1△48C中，2C=90°，若8C=3.4B=35,则o4=() 5/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.2 B. C.5 D. 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求得AC=6,再根据余弦的定义求解即可. 【详解】解： Rt△MBC中，∠C=90°，BC=3,MB=35 ·4C=VAB-BC2=V35-32=6, :osA=4C-6=25 AB355. l0.(2026安徽宿州二模)如图，三张全等的等边三角形纸片ABE,BCF,CDG依次排列在同一条直线 I上，分别连接CE,DE,记∠ACE=&,∠ADE=B,则an(a+B)的值为《) E G B 6 A.5 c. 【答案】B 【分析】设等边三角形边长为a,通过等腰三角形性质求出α=30°，利用三角形内角和及角度加减得出 ∠BED=60°-B ∠HDE=a+B ，构造直角三角形证明 ，最后通过三角函数定义求解即可. 【详解】解：设等边三角形ABE,BCF,CDG的边长为a, :△ABE是等边三角形， AB=BE=a,∠ABE=∠AEB=60°， :点A,B,C在直线上， 6/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠EBC=180°-60°=120°， .BC=a, :BE=BC, ∴.△EBC是等腰三角形， ∠BCE=∠BBc=5080-120)=30,即a=30 在△ADE中，∠DAE=60°，∠ADE=B, ∴.∠AED=180°-60°-B=120°-B ∴.∠BED=∠AED-∠AEB=(120°-B)-60°=60°-B 过点D作DH⊥EB交EB的延长线于点H, H 在RteEHD中，∠HED=∠BED=6O°-B, .∠HDE=90°-∠HED=90°-(60°-B)=30°+B=a+B ∠ABE=60°， ∴.∠EBD=120°， .∠DBH=60°， 在RtDBH中，BD=BC+CD=2a, DH=BD-sn60°=2a×5-5aBH=BD-cos60°=2a 2 "p=a ∴.EH=EB+BH=a+a=2a, 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠HDE= EH_2a_25 在RtEHD中， DH 3a 3 am(a+)=2 3 考点02 特殊角的三角函数值 (2026天津二模)3tan30°+2cos45°的值等于() A.v② B.⑤ C.5+v2 D 3V3+V2 【答案】C 【分析】先由特殊角的三角函数值，再由二次根式运算法则计算即可， 【详解】解：3tan30°+2cos45° 3x3 2x 3 2 =5+V2 √2sin30°-sin45 2.(2026天津滨海新区二模) 的值等于() A.V② B.0 C.1 D V2 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值，代入求解即可， V2sin30°-sim45°=2×}5-0 【详解】解： 22 3 (2026天津东丽二模)3tan30°+2cos45°的值等于() A.V3+2 B V2 C.5+V2 D.3W3+V2 【答案】C 3x3 详解)解：原式33 2 =V3+√2 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026黑龙江哈尔滨·二模)如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知sn∠AOM的值为 () M √2 5 A.2 B.2 C.2 D.3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，特殊角的三角函数值， 根据作图得到∠AOM=45°，即可得到sin∠AOM的值. 【详解】解：由题意知，∠AOB=90°，且根据作图可得OM平分∠AOB, ∠A0M=45°， sin∠40M=sin45°= 2. 5.(2026天津红桥·二模)2cos30°+tan60°的值等于() A.1 B.2 C.1+V5 D.23 【答案】D 【分析】代入特殊角的三角函数值计算即可， 2cos30°+im60°=2x5+5=5+5=25 【详解】解： 2 (2026安徽六安·二模)计算： +4sin30°= 6. 2 【答案】0 【分析】原式先计算2 =-2 4sin30°=4x=2 2 ,再进行加减运算即可 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 -1 +4sin30° 【详解】解：2 =-2+4×2 =-2+2 =0 4c0s30°+ 2026° -V12= 7.(2026山东菏泽·二模)计算： 2025 【答案】1 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂的运算和二次根式的化简计算即可， 【详解】解：原式=4× 3+1-2=23+1-23=1. 2 1 -(←sin30)y2= 8.(2026安徽阜阳·二模)计算： 4 【答案】0 【详解】解： (o旷-}0 9. (2026山东青岛二模)计算： 2sin60°-V3 【9} 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再化简二次根式，合并同类二次根式即可得到结果. V525 =2× 【详解】原式23 =5-25 3 5 3 10/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026安徽宿州二模)计算： 2-sin30°--2= 【答案】 -2 【分析】分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再根据有理数的加减法运算法则计算最 终结果。 2-sin30°--2 【详解】解： 1_1-2 22 =0-2 =-2 考点03 锐角三角函数的性质与关系 1. (2026浙江台州二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是CD的中点.将矩形ABCD绕 点E顺时针旋转行到矩形4BCD,边8C与边4D交于点F,连结A8.当点厂落在4 上时，AF= A D 【答案】 2-V22+V2 或 ,EB,EF,B4,设F=x,根据矩形性质和旋转性质可 DE=EC=EC=1 【分析】连接 DF=CF=4-x B F=x ,利用勾股定理表示出BF和 结合，RB F 共线及 EA=EB ,进而得出 推导 EF⊥AB ，利用角度转换运算可得∠ABF=∠EFD 再根据三角函数建立方程求解即可， 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EA,EB,EF,EA 【详解】解：连接 ，如图： A B D 四边形 是矩形， ,是 的中点， ABCD AB=2 BC=4 E CD ∴.CD=AB=2,AD=BC=4,∠D=∠C=90°，DE=CE=1, EC=EC=1∠C=∠C=90° 由旋转的性质可得， .CD=2B,C=4AB,=2 在RtAEDF RtECF 和 中， EF=EF DE=EC, ∴RtAEDF≌RtAEC,F(HL) ..DF=CF 设AF=x,则DF=AD-AF=4-x, ..CF=4-x F BC 点在边上 ..BF=BC-CF=4-(4-x)=x 在RtABF中，BF=VAB2+AF=4+ 在Ra4BF中，4F=V4B+BF=V4+F 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BF=AF “点F落在 B 上 F是4B 的中点， 在RtADE中，AE=VAD2+DF2=VT6+1=V7 在RtABCE中，BE=VBC+CE-V6+i=VI7 由旋转性质可知 EA =AE=17 .EA =EB :F是 4B 的中点， ∴EF⊥A ,即∠EFB=900 :点F在AD上， ∴.∠AFB+∠EFD=180°-∠EFB=90°， ∠BAD=90°， .∠AFB+∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠EFD, ∴tan∠ABF=tan∠EFD, AF ED 即ABDF, .x1 24-x x2-4x+2=0 解得5=2+V5.,=2-V5 2.(2026广东江门二模)如图1，C,D是以AB为直径的O0上的两动点，分别位于AB两侧，连接AC、 BD、AD,且∠CAB=2∠DAB.连结CD交AB于E. 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C C E B B D 图1 图2 (I)求证：AC=AE: (2)若DE=1,AD=2,求AC的长： (3)如图2，若直径AB为定值，当△ABC的面积最大时，求△CBD的面积与△BED的面积比. 【答案】(1)见解析 ②C36 5 S△CBD=9V2+1 (SBED 【分析】(1)设∠DAB=a,利用直径性质得到∠ADB=90°，推导得到∠ABD=90°-a,利用同弧对应 的圆周角相等，得到∠ACD=∠ABD,通过三角形内角和计算出∠AEC的度数，证明两个底角相等，最终 用等角对等边得到AC=AE: (2)利用三角形内角和得到三个内角的三角函数关系，结合正弦定理和同角三角函数平方和为1，解出 sina和cosa的数值，利用相似三角形的比例性质，代入已知边长求出AE的长度，结合第一问的结论直接 得到AC的长度； (3)先确定△ABC面积最大的条件：C为上半圆中点，△ABC为等腰直角三角形，得到对应角度值，利用 圆周角和弧的度数对应关系，得到各段弧的圆心角，再利用同高三角形面积比等于底边长之比的性质，最 终计算出两个三角形的面积比值 【详解】(1)证明：如图，连接BC, B D 设∠BAD=a,则∠BCD=∠BAD=&, 14/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CAB=2∠BAD=2a, AB为直径， ∠ADB=∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠ACB-∠BCD=90°-Q, ∴∠AEC=180°-∠CAB-∠ACE=180°-2C-(90°-a)=90°-a ∴.∠ACE=∠AEC, ..AC=AE: (2)解：过点D作DG垂直于AB,垂足为G,如图， C E\ :∠ACE=∠AEC∠C=∠B∴.∠B=∠CEA ∠CEA=∠DEB,∴.∠B=∠DEB,·DB=DE=l, ∴△BED为等腰三角形， DG垂直于AB,BG=E BD=1,AD=2, 在RtAADB中，AB=VAD+BD=V22+P=V5 .∠DGB=∠ADB=90°，∠B=∠B, .∴.△ADB一△DGB, AD BD-4B-5-5 1=5 即DG BG BD1 ，··BG 5,即BE=28G=2 ·BG= 5 ·AE=AB-BE=5-25_3S 55 ..AC=AE=3 5: 15/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 haB (3)解：设点C到线段1B的距离为， .COzhAB, “要使得△AC CO=hAB 的面积最大，就是当 此时，△ACB为等腰直角三角形，且CO⊥AB, 连接DO,过点D作DF⊥AB,如图， C E B .∠CAB=2∠DAB∴.∠COB=2∠BOD :∠C0B=90°，则∠B0D=45°， V ∴△OFD为等腰直角三角形，∴.DF= 2 -OD. OD=OC,∴.DF= V OC. 2 SACEB= xBE×CO 2 C0C0=2. S△BED 1xBE×DF DF 20C 2 SCBD=92+1. SABED 2026四川南充二模)如图，直线y=+b与双曲线y=(>0)在第一象限交于点44，m),与 轴的负半轴交于点B,且OA=OB. B 0 (1)求直线AB的解析式： ②四若*轴上-点C(7, ,直线AB上一点P,满足∠OCP=∠OAB,求点P的坐标. 16/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【密案+ 3 ②P0,2) 【分析】(1)先根据双曲线解析式求出点A的坐标，再计算OA,得出OB,进而确定点B的坐标，根据 点A和点B的坐标利用待定系数法求直线AB的解析式： (2)过点O作OM⊥AB交AB于点M,过点A作AD⊥x轴交于点D,根据点A和点B的坐标求出线段 AB,由△AOB的面积根据等面积法求出OM的长，根据勾股定理计算AM,从而得出tn∠OAB的值，设 P(x,y) 根据an∠OCP=an∠OAB列式子，计算即可得点P的坐标. 【详解】（解：将4m)代入y-2(x>0) 得m= 23, 4 .A(4,3) .0A=V42+32=5 ..OA=OB=5 点B在x轴的负半轴， ∴B(-5,0) 将443引B(-5,0)代入=x+b, [4k+b=3 得-5k+b=0, 解得 5 b= 3 1,5 :直线AB的解析式为V=3x+3: 42026上海青浦二获)已知△MBC中，4C=BC=5,4B=25,点D是射线CB上一点，港接4D 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 圆O经过A、B、D三点. 0 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上时， ①记圆O交AC于点F,求证：AF=BD; ②设CD=m,用m表示圆O的半径： (2)如图2，在线段AD的右侧，以AD为底边作等腰△EAD,且始终满足∠EAD=∠BAC,若以C为圆心， CE为半径的圆C与圆O有公共点，请直接写出线段CD的取值范围. V5m2-30m+125 【答案】(1)①见详解；② 4 25 ②0<CD≤3或CD≥ 3 【分析】(1)①根据同弧所对的圆周角相等即可求解： ②由外接圆的圆心是中垂线的交点可知O在中垂线上，进而可知tam∠BCH= 2,根据正切值可得 0G=5+m ,进而根据勾股定理即可求解： (2)证明△ABC一△ADE和△ABD~△ACE,得出对应边的关系，设CD=m,然后分两种情况进行讨论， 表示出相关线段的长度，以及求出两个圆的半径以及圆心距，利用圆心和圆心距的关系列出方程求解. 【详解】(1)①证明：连接BF,DF, 在△ABC中，AC=BC=5, ∴.∠BAC=∠ABC, 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :在圆O中，DF=DF, 根据圆周角定理可知，∠DBF=∠DAF, ∴，∠BAD=∠ABF, .AF BD: ②解：圆O是△ABD的外接圆， 所以O是三边中垂线的交点， 如图，取AB的中点H,连接CH,OH,取BD的中点G,连接OG, A H .CH⊥AB,OG⊥BC,OH⊥AB 点O在线段CH上， ..AC=BC=5 AB=25 M号=5， CH=BC2-BH =25 :tan∠Bch= BH 5 1 CH252, .CD=m, .BD=5-m, .GD=BG=5-m 2 ∴CG=CD+GD=5+m 2 tan∠BCH=OG-1 CG 2, 19/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0G=5+m.1-5+m 22 4 OB=BG2+0G V5m2-30m+125 则圆O的半径为： (2)解：①如图所示，当点D在BC线段上时， (H) B D :△ABC中，AC=BC=5, ∴.∠BAC=∠ABC, ,△EAD是以AD为底边的等腰三角形， ∴.∠EAD=∠EDA, ,∠EAD=∠BAC, ·∠ABC=∠EDA, ∴.△ABC-△ADE, AB AD 25 AC-AE5, .∠EAD=∠BAC, .∠BAD=∠CAE, ∴△ABD~△ACE, .∠ABD=∠ACE, ∴.点E的运动轨迹为直线CE, AB BD 25 .AC CE 5, 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设CD=m,(0<m<5) 六由(1)可知0G=5+m 4，BD=5-m sim∠BCH=BH-=5_OG BC 5 OC, :0c=55+m cE=5(5-m 4, 2 B=0D=V5m-30m+125-r 由(1)可知 圆C的半径 R=CE=55-m) 2， 当两个圆外切时，d=OC=r+R, V5m2-30m+125,V5(5-m)√5(5+m) 即 4 2 4 解得m=3或m=0: 当两个圆内切时， 点C在圆O外， ∴.R>r, ..d=OC=R-r, V5(5-m）V5m2-30m+125_V5(5+m） 即2 4 解得m=3或m=0; .0<m≤3： ②如图所示，当点D在CB延长线上时，(m>5)】 21/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A C B E :n-m-50-n9Sm-cG-0-C8-a55-5 2 2, oG三CG=5+ 4 由勾股定理得 0-oc+o-56则 OB=0D=V0G2+BG2=V5m2-30m+125 4 V5m2-30m+125 ⊙0的半径= 4 ，0C的半径R=5 岁m-).d55+网】 4 当两个圆外切时，d=r+R, V5m2-30m+125V5(m-5)_5(5+m) 即 4 2 4, 25 解得m= 3: 当两个圆内切时， ,点C在圆O外， .R>r, ..d=R-r, V5(m-5）_5m2-30m+125_V5(5+m） 即2 4 解得m25 3 22/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25 5(5+m）_105 经检验，当m V5(m-5)_5m2-30m+125-0 3时， 2 4 4 3, 方程等号两边代数式的值不相等， 25 此时，m=3(舍去)， 即此时，当两个圆内切的情况不存在； 25 .m23: 25 综上，0<m≤3或m 即0<CD53我CD≥2 3· 5.(2026山西阳泉·二模)综合与探究 问题情境： 在边长为4的正方形ABCD中，P是射线BD上一点（不与点B,D重合），过点P作射线PN交射线AD 于点N,过点P作PM⊥PN,交射线BA于点M. A(N) D 图1 图2 备用图 初步探究： PM (I)如图1，Q是边4B的中点，QP⊥BD于点p:当射线PN经过点4时，求PN的值.。 深入探究： PB PM (②)如图2，若P是对角线BD上任意一点，求证：PD=PN 拓展探究： (3)若∠BMP=60°，当P为对角线BD的三等分点时，请直接写出线段PN的长. 【答案】(I)3 (2)见解析 23/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16V585 (3)9或9 PM PH 【分析】(1)过点p作PH⊥AB于点H'AMPH∽APAH:PN可转化为AH,再结合正方形、等腰直 角三角形的性质和已知条件Q是边AB的中点，即可得出比值： PB PM' (2)在AB边上取一点M',连接PM,使得PM'=PM由aPBM'aPDN证得PD=PN,从而得到 PB_PM PD PN PB_1PB=2,从 (③)P为对角线BD的三等分点，分两种情况：PD2和PD in60°=V3 2入手，即可得出结果 【详解】(1)解：如解图1，过点P作PH⊥AB于点H,则∠MHP=∠AHP=90° A(N) 解图1 O是边AB的中点，46=480=AB=2 2 ,四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， :.△ABD≌CBD(SAS), 24P=∠CD-Aac=45, ,QP⊥BD :.△BPO是等腰直角三角形， 1 :.PH=BH=BO=1. 2 .AH=3, PM⊥PN,.∠MPH+∠APH=90°， 24/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠MAP+∠APH=90°，∠MPH=∠MAP, ∴.△MPH△PAH, PMPM PH 1 PN AP AH 3 (2)证明：如解图2，在AB边上取一点M',连接PM',使得PM'=PM, N D M 解图2 则∠PMM=∠PMM, ∴.∠AMP=∠BMP ,四边形ABCD为正方形，PM⊥PN, ∴.∠A=∠MPN=90° ∴.∠AMP+∠ANP=180° 又∠DWP+∠ANP=180°， ∴.∠DNP=∠AMP .∠DNP=∠BMP. 由(1)，知∠ABP-45°，∠ADB=45° .△PBM'∽aPDN PB PM' ·PDPN, PB PM PD PN' (3)分以下两种情况讨论： PB 1 当PD-2时， 25/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 D E 解图3 如解图3，过点P作PE⊥AB于点E. 由(1)，得∠ABD=45° AB=AD=4, BD=4V2 BP=4 3. :∠PEB=90°，∠EBP=45°， PE=BE ∴.∠BMP=60° PE =sin60°= 的 ∴.PM 2,即PM=83 9 由(2)可知， PB_PM PDPN· 83 PM_91 PN PN2 PN=16V3 9. PB=2时， 当PD 26/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D P 解图4 如解图4，过点P作PF⊥AB于点F, 则△BFP是等腰直角三角形，BF=PF=名AB=8 3 3 PF =sin60°= ,PM=165 .PM 2, 9, 由(2)可知， PB PM 2 PDPN1· 163 PM=9=2 PN PN 1 得PW=83 9… 16√585 综上所述，线段PN的长为9或9. 6.(2026湖南二模)如图，OO是四边形ABCD的外接圆，其中AD=BC=CD,连接AC交BD于点E, 延长BA至点F,使AF=AD,连接FD. O● (1)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)若⊙O的半径为10，ED·AC=80,点P是△ABD的内心，求OP2的值； 27/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若tan∠F=m,ED·AC=4n2(m,n为常数且都大于0)，用含m,n的式子表示CE和AB. 【答案】(1)见解析 (2)0P2=180-649V5 (3)CE=nm+1.AB=6n-2nm2 m2+1 【分析】(1)先根据在同一个圆中，弦相等，对应的角相等，得到∠BAC=∠ACD,从而得出BF∥CD 由平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出结果： (2)根据已知条件证△ECD∽aDCA,从而得到CD=EC·AC求出CD的代数式，再利用RtAOMC和 RtADMC OM.CM 有公共边，结合勾股定理求出 的值，利用角平分线的性质及等量代换，得到 ∠CPD=∠PDC,同一个三角形中，等角对等边得CP=CD,最后利用勾股定理求解： (3)由(2)知AD=CD=2n,利用已知的三角函数，求出AM,AC的表达式，又结合ED·AC=4n2, 求出EC,ED,AE的表达式，接着利用AB∥CD和相似三角形的判定和性质求得最终答案. 【详解】(1)证明：，BC=AD, .BC=AD .∠BAC=∠ACD. .BF∥CD, 又CD=AD=AF, .四边形ACDF为平行四边形. (2)解：BC=CD, .BC=CD ∴，∠BAC=∠CAD,即AC是∠BAD的角平分线， ∴点P在AC上， 如图所示，在AC上取△ABD的内心P,连接OC,OP,PD,连接OD交AC于点M. 28/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D AD=CD .AD=CD ∴.OD AC ∠OMC=∠CMD=90°，AM=CM 垂直平分，即 .BC=AD=CD, .BC=AD=CD ∴.∠EDC=∠CAD=∠ECD,∠BAC=∠ABD .EC=ED,AE=BE, .∠ECD=∠DCA,∠EDC=∠CAD ∴.△ECD△DCA. CD EC ACCD,即CD'=EC,AC EC=ED. CD=ED·AC=80,解得CD=4W5 在RtAOMC和RtACMD中， .OC2-OM2=MC2=CD2-MD2, .100-0M2=80-10-0M2, ∴.OM=6,CM=8, :OD是AC的垂直平分线 .∴.∠ADP=∠PDE .'∠CPD=∠PAD+∠ADP,∠PDC=∠EDC+∠PDE,∠PAD=∠EDC, .∴.∠CPD=∠PDC, 29/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ∴CP=CD=45, ∴.Rt△OPM 在 中，0P=62+49/5-82=180-645」 (3)由(2)得△ECD∽△DCA, .∴.CD2=EC·AC=ED·AC=4n2, .∴.AD=CD=2n, 由(I)知，AF=CD=AD. ∴.∠F=∠ADF, .BC=CD. .BC=CD .∠BAC=∠CAD. '∠BAD=∠F+∠ADF,∠BAD=∠BAC+∠CAD ∴.∠F=∠CAD. :DM=tan∠CAD=tan∠F=m, AM DM=mAM,在Rt△ADM中，AD=√AM+DM=Vm+1AM cos∠CAD=AM、1 AD m2+1 .AM=- 2n 2nvm2+1 m2+1m2+1, AC=2AM=4nm1.AD=Ym+1.2nm1-2n. m2+1 m2+1 .EC·AC=4n2, 30/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EC=ED=4n=4nnm+1 =n√m2+1 D AC 4nm2+1 m2+1 m+1 AE=BE=AC-EC=4nm+1-nVm+1. m2+1 由(1)知，AB∥CD. ∴△ABEACDE, AB BE CD ED' AD=CD. AB BE 得品 即ADED .AB=AD.BE ED 4nm2+1 -nm2+1 1 ..AB=2n m+1 n√m2+1 =8n-2m=8n-2nm2-2n=6n-2nm m2+1 m+1 m2+1 7.(2026河北石家庄二模)如图，点0是瓜 所在圆的圆心，AT是⊙0的切线，点4为切点，P是直 线1T上的一点（不含点A),连接P0,点B在上，连接PB,∠PO1=∠POB,作BCIP0,交A0 的延长线于点C. 31/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：OB⊥PB (2)判断点C与⊙0的位置关系，并加以证明. (3)作CD平分∠OCB,交OB于点D.若PA>OA,m°<∠BCD<n°，请直接写出m的最大值，n的最小值. 【答案】(1)见解析 (2)点C在⊙0上，见解析 (3)m的最大值为22.5，n的最小值为45 【分析】()根据圆的切线、全等三角形的判定及性质，即可得证： (2)根据平行线的性质、等角对等边、点与圆的位置关系，进行解答即可： (3)根据正切的定义以及角平分线的定义，进行解答即可. OA=OB ∠POA=∠POB 【详解】(1)证明：在 和中， POA'△POB PO=PO ∴△POA≌△POB(SAS) .∠PAO=∠PBO. ,AT是⊙O的切线， .∠PA0=90°， .∠PBO=90°，即OB⊥PB (2)解：点C在⊙0上，证明如下： .BC I PO ∴.∠POA=∠BCO,∠POB=∠CBO .∠POA=∠POB ·.∠BCO=∠CBO ∴.OC=OB ,OB是⊙0的半径， 32/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点C在⊙0上. (3)解：设∠POA=a, 在Rt△POA中，PA>OA, tana=P4>1. OA .45°<au<90°， 22.50<a<450 2 由(2)可知，∠POA=∠BC0=a&, 又：CD平分∠OCB ∠BCD=)∠BC0=2, 1 1 2 ∴.22.5°<∠BCD<45°， ∴m的最大值为22.5，n的最小值为45. 考点04 解直角三角形 1. (2026北京丰台·二模)如图，正方形ABCD的边长为2，将边AB,BC,CD,DA分别绕点 A,B,C,D 顺时针旋转20°<a<180e、 ，得到B,BC,CD,D,连接B,BC,CD,D4 给出下面四个结论：() 4 ①对于任意a都有CB⊥AB': ②对于任意a四边形AB'CD'为正方形： ③四边形AB'C'D'的面积随a的增大而增大； ④当0=90 时，四边形BCD的周长为8√5 33/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上述结论中，所有正确结论的序号是()· A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】B 【分析】利用旋转角相等以及三角形内角和，证明C"B上AB,判断①： 证明四边形AB'C'D四边相等、内角为90°，判定为正方形，判断②： 分析四边形面积随旋转角的变化规律，判断③： 当α=90°时，用勾股定理求边长，计算周长，判断④. 【详解】解：已知正方形ABCD边长为2，AB=BC=CD=DA=2,四条边分别绕顶 点顺时针旋转， AB'=AB=2,BC'=BC=2,CD'=CD=2,DA'=DA=2: 旋转角：∠BAB'=∠CBC'=∠DCD'=∠ADA-=a, 设AB'与BC交于点M,AB与DA'交于点N, ∠ABM=180°-∠ABC-∠CBC'=180°-90°-a=90°-a 又∠BAB'=a, 则∠BAB'+∠ABM=90° 内角和推导得∠BMA=90°，即CB⊥AB',故结论①正确： 设AB与BC'交于点M,AB与DA交于点N,连接BB,AA',CC,由①知CB⊥AB,A'D⊥AB, ∠BAB'=∠ADA=A,AB=AD, .AD.sina AB.sina.AD.cosa AB.cosa ∴.BM=AN,AM=DN 由旋转：AB'=AB=BC'=BC=CD'=CD=DA=DA=2, 旋转角：∠BAB'=∠CBC'=∠DCD'=∠ADA'=a, △ABB'≌△BCC'(SAS)△ABB'≌△DAA'(SAS) ∴.AB'=BC=DA', 34/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB'+AN BC'+BM AB'-AM DA'-DN, 即B'N=C'M,B'M=AN, 又∠A'NB'=∠C"MB'=90°， ∴△ANB'≌△B'MC'(SAS) ∴.A'B'=B'C',∠MCB'=∠NB'A, 同理可证，AD'=CD'=B'C',则四边形AB'CD'为菱形， 又∠MC'B'+∠MB'C'=90° ∴.∠NB'A+∠MB'C'=90°. 则∠AB'C=90°，即CB'⊥AB, 则四边形AB'CD'为正方形，②正确： 由②知，四边形A'B'CD'面积=正方形ABCD面积+4个全等三角形（△ADN)的面积+4个全等三角形( △ANB)的面积， BM=AN 2sina AM DN 2cosa A'N =2-2cosa NB'=2+2sina, SD.DN.sina-x2x2cosa.sina=2cosa.sina 1 2 2 5.mw-N.N8-x(2-2cosa)*(2+2sina)-2+2sina-2coa-2cosa.sina 则四边形4BC'D面积-2x2+4x2cosu:sima+4x2+2sina-2c0sa-2cosa,sina）=12+8sina-8cos4 当a=90°以及a=180°时，8sina-8cosa=8,则这两种情况下四边形AB'CD面积相等，因此面积不是 随“增大一直增大，故结论③错误： 当a=90°时，BM=AW=2sina=2,AM=DN=2 cosa=0,A'N=2-2cosa=2,NB'=2+2sina=4, 35/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据勾股定理4B=VAW+B产=V2+4=V4+16=V20=25 又四边形AB'CD'是正方形， 故周长4x4B=4×25=8V5 故结论④正确， 综上，正确的结论为①②④， 2.(2026内蒙古通辽：二模)小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四 边形“直立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含60°角的菱形（图2），则该四边形从正方形变 成菱形后描述正确的是() 向左推 图1 图2 A.内角和增加180° B.周长变大 C.面积不变 D.两条对角线的和变小 【答案】D 【分析】设1根木棒的长度为a,如图①，连接AC,BD,再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角 线的长，再逐一判断即可 【详解】解：设1根木棒的长度为a,如图①，连接AC,BD, D 0 向左推 B C 图① 图② ∴正方形ABCD的内角和为360°，周长为4a, ',AC=BD=2a 面积为 ∴.AC+BD=2N2a B,CD的内角和为360，周长为4a, 360° 如图②，菱形 连接4C与8P交于点0， 36/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABCD ∠B,AD=60° ,四边形 是菱形， △ABD 是等边三角形， AC BD 是菱形 ABCD 和 的对角线， ∴.BD,AC 与 互相垂直且平分， 在Rt△A1B,0中，AB=a,∠B40=号∠B4D=30 2 a0-48=号A0=am30=5 -a ”, .AC:=2A,O=V3a BD=2BO=a AC+BD-ata Souen-AC 2 2 ABCD ABCD ∴菱形 的面积小于正方形的面积， :22a>3a+a ABCD ABCD ∴菱形 对角线的和小于正方形 对角线的和， 3.(2026山东青岛二模)如图，抛物线=-x+2-1与为=ax-4+3交于第四象限点40，-4， 过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B,C两点，且D,E分别为顶点.则下列结论的正确是 () 37/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 A.AB<AC B.当>1时， >2 C.△ACE是等边三角形 D.△ABD是等腰直角三角形 【答案】D 【分折】由抛物线的表达式可知，两个抛物线的对称轴分别为直线=-2和直线4，又1-)，则点 7 D,B水平距离为6，且B=4C=6,则A错误；易求得a=9,令y=,解得x=1,:=16,结合图 象可知，当<x<16时，片<乃，则B错误：由已知得，4C=6,点E到1C的距离 3-（4)-7,则 △4CE不是等边三角形，则C错误：由点D(-2-).4,),点D到B的距离为3，AB=6,易得 △ABD为等腰直角三角形，则D正确。 【详解】解：由抛物线表达式可知，抛物线=-(+2)-1的对称轴为直线x三-2， 1 抛物线=a(x-4)}'+3 的对称轴为直线x=4。 A(1,-4) 过点 作x轴平行线分别交两条抛物线于B、C两点， 根据抛物线的对称性可得AB=AC. 点D、E分别为两抛物线顶点，点D、E水平距离为 4-（-2)=6 所以AB=AC=6,故AB<AC错误，A选项错误： 因为抛物线片=-3(x+2°-1与乃=(x-4}+3交于点4L,-4), 将点A坐标代入=a(x-4+3可得4=a1-4+3, 7 解得a=- 9… 令=g,即+2-1=x-4+3, 解方程可得=】戈=16 38/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结合图象可知，当Kx<16时，片图象低于”图象，即' <2 所以当>1时， 乃>”错误，B选项错误： 由已知AC=6,点E的纵坐标为3，点A的纵坐标为4， 所以点E到4C的距离为 -(-4)=7 因为等边三角形三边相等且高与边的关系特殊， 所以△ACE不是等边三角形，C选项错误： D(-2,-1)A(1,-4)B(-5,-4) 已知点 点D到AB(AB平行于x轴)的距离为1-(4)=3，AB=6,AD=V1+2}+(-4+1=32 BD=V(-5+2)2+(4+1)}=32 ∴BD=AD, &tan∠BAD=；=1,tan∠ABD= 3 31, ∴.∠BAD=∠ABD=45°， ∠ADB=90°， 则△ABD是等腰直角三角形，D选项正确」 4（2026河南商丘二模)如图，1是平面直角坐标系中'轴上的一点，40=25， 以10为底构造等腰 △ABO,且∠AB0=120°，将△ABO沿着射线OB方向平移，每次平移的距离都等于线段OB的长，则第 2026次平移结爽时，点9的对应点B的坐标为（) 39/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 2027√3,2028 B.(2026W5,2027) (2026,2026√3 D.(2027,2027W5 【答案】D 【分析】作BC⊥A0于点C,利用等腰三角形“三线合一”的性质可得OC=)40=V5】 2 ∠CBO=号∠ABO=60°，再解RIOCR求出点B坐标，找出平移后点B坐标的变化规律，利用规律求解 【详解】解：如图，作BC⊥AO于点C, B B x:∠AB0=120°AB=OBBC⊥A0AO=2N3 0C=40=x2N5=5,∠C80=∠AB0=60, 2 2 BC=OC 3 tan60°3， .B(3) 由图观察可知，第1次平移相当于点向上平移1个单位，向右平移V3个单位，第2次平移相当于点向上平 2V3 移2个单位，向右平移个单位，… 以此类推，第次平移后点的对应点坐标为 B(1+n,3+3n) .第2026次平移结束时，点B的对应点B2026的坐标为 1+2026,5+2026w5.m(2027,20275) 5.(2026黑龙江大庆·二模)如图，直线MNI‖PO,直线AB分别与MNPO相交于点A、B,MN与PO 40/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 之间的距离为8，sin∠MAB=4 :小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长为半径 作弧交AB于点C,交BO于点D:②分别以C、D为圆心，以大于2CD的长为半径作弧，两弧在∠AB吧 内交于点E:③作射线BE交MN于点F.那么AF的长是() M A F N KE /B D A.6 B.6.4 C.8 D.10 【答案】D 【分析】根据基本作图可知BF是∠ABO的平分线，利用角平分线和平行线的性质推导出∠ABF=∠AFB, 4 从而得出AB=AF,通过作高构造直角三角形，结合正弦值sn∠M1B=5和高BH=8求出AB,从而求解 出AF的长， 【详解】解：由题意知BF是∠ABO的平分线， .∠ABF=∠QBF MWNI‖PQ .∠AFB=∠QBF ∴∠ABF=∠AFB, :AB=AF, 过点B作BH⊥MN于H,则BH=8, M4头 C 术E /B D 4 BH .sin∠MAB= 5 AB' 41/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=10 .AF=10 6.(2026吉林长春·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE LAB,交AB 的延长线于点E,连接EO并延长，交AD于点F,EF与BC相交于点G,若∠ABC=120°，则下列结论： ①∠CAB=30°；② an∠BoG= 2；③CE:EF=2:3,④S△08G:S四边形Aor=1:7.其中正确的是 0 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数的运算、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质， 利用菱形的性质得到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边都相等，即可得到∠CAB=∠ACB,通过三 角形全等的判定条件得到aCBO2aCBE,即可求得an∠BOG=tan30°= ③ 3，再利用三角函数的运算，可 得出CE:EF=2:3 RtADOF≌RtABOG 根据 ,可求得 四边形ABOF=SBD-S,DF0=S.ABD-S.0BG 即可求解 【详解】解：菱形ABCD,∠ABC=120° :.AB=BC, ∠C1B=∠AC8x80-120)=30 故①正确： :菱形ABCD,CE LAB ∴.∠COB=90°，∠CEB=∠COB=90°， :∠ABC=120°，菱形ABCD ∴.∠CB0=60°，∠CBE=180°-∠ABC=60°， .∠CBO=∠CBE, 在△CBO和△CBE中， 42/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CBO=∠CBE ∠COB=∠CEB BC=BC ∴ACBO≌ACBE(AAS) ..OB=OE, .∠BOG=∠BEG, :∠OBE=∠COB+∠CBE=60°+60°=120°， 六∠B0G=∠BEG=2×(180-∠0BE)=30°， tan∠B0G=tan30e= 3, 故②错误： :∠B0G=30°，∠OBG=60°， .∠OGB=180°-∠BOG-∠OBG=90°， :菱形ABCD」 AD∥BC,AO=CO, .∠AFO=∠OGB=90°， 在△AFO和△CG0中， ∠AOF=∠COG ∠AFO=∠CGO AO=CO ∴.△AFO≌△CGO(AAS) ∴.OG=OF,AF=CG 设BG=x,由②知 an∠BOG=BG-V5 OG 3 OG 3,OG=3x, 43/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ∴.tan∠GC0=tan30°= OG3 CG 3 V3x CG 3,CG=3x, ∴.BC=BG+CG=x+3x=4x, 由②∠OCB=∠ECB=30°， CE3 .cos∠ECB=cos30°= BC2, CE_ 4x2, ..CE =23x :菱形ABCD,∠ABC=120° ,∠DAB=180°-∠ABC=60°， :AF=CG=3x,∠AFO=90° :tan∠FAE=tan60°=EF=V5】 AF F=5, 3 ..EF =33x CE:EF=23x:3/3x=2:3 故③正确： 在Rt△DOF和Rt△BOG中， DO=BO OF=OG ∴.RtADOF≌Rt△BOG(HL) 44/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.m0G=OG.BG-xx 1 2 2, -Sac-25.owe2xBCxOG4x.x4 由菱形的性质可知S。ABD 2 SorS.40-.o.-S.47 22, .S,OBG:S四边形AB0r= 5,73x=1:7 22 故④正确： 综上：①③④正确， 7.(2026江苏南通二模)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4,AC=6,若AD为△ABC的角平分 线，则AD的长为 B 【路1长6 【分析】先作高BG，利用60°三角函数求△ABC面积，再由角平分线性质得DE=DF,分割两小三角形面 积求和，算出垂距DE,最后在Rt△ADE中，用30°正弦求AD. 【详解】解：过点D分别作DE L AC于点E,DF⊥AB于点F,过点B作BG LAC于点G,如图： D ∠BAC=60, sin∠BAC=B B,AB=4·AC=6, 45/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 BG3 .42, BG=2V3 解得： S6-AC,BG=5×23-63, 2 2 :AD为△ABC的角平分线， ∴DE=D :S△ABD AB-DE-DE=2DF.SACDE-6DE-3DE 2 2 22 ∴.S△ABC=S△ABD+SAADC=5DE, 5DE =6V3 即 DE=613 解得： 5 :sin∠DAC=DE AD ,∠DAC=∠BAC=30, 2 6N31 .5AD2, AD=125 解得： 5. 8.(2026辽宁阜新·二模)在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=a,点D在射线BC上，连接AD,将线 段AD绕点A逆时针旋转2得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB,交直线BC于点 F E A B C(D) 8 图1 图2 备用图 (I)如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: 46/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，点D,F都在BC延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明： (3)若点D与点B重合，AB=5,AC=3,请在备用图中依据题意补全图形，并求出此时线段EF的长度： (4)若a=60°，AC=3,点D在射线BC上运动时，连接CE，,直接写出线段CE的最小值. 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，∠BAC=a=45°， .∠BAC=∠ABC=45°， :点D与点C重合，线段AD绕点A逆时针旋转2=2×45°=90°得到线段AE, .AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°， ∠EAB=∠ABC, .BC∥AE, EF∥AB, ∴，四边形ABFE是平行四边形， ..BF AE, :.BF=AC: (②)DF=2BC,证明如下： 如图，在CD上取点G,使得CG=CB,连接BE, F G E ∠ACB=90° .∠ACG=∠ACB=90°， .AC=AC,CG=CB. :△1CG2aACB(SAS) .AG=AB,∠GAC=∠BAC=,∠AGC=∠ABC=90°-u, ∴.∠GAB=∠GAC+∠BAC=2C, ,线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE, .∠DAE=2a,AD=AE, :,∠DAE-∠GAE=∠GAB-∠GAE,即∠DAG=∠EAB 47/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 △DAG≌△EAB(SAS) :DG=EB,∠4GD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-(90°-a)=90+a ∠FBE=∠ABE-∠ABC=90°+a-(90°-a)=2a .EF∥AB .∠BFE=∠ABC=90°-a, ∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=180°-2a-(90°-a)=90°-a ∴.∠BFE=∠BEF, .BF =BE, ..DG=BF, :AG=AB,AC⊥BC, GC-BC-BG .DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC: (3)补全图形如图， A F B(D) EF=12.8 备用图 44.5 【分析】(I)由已知可得∠BAC=∠ABC=45°，然后由旋转的性质可得AE=AD=AC, ∠EAB=90°-∠BAC=45°，进而得到BC∥AE,结合EF∥AB,可得四边形ABFE是平行四边形，最后由 平行四边形的性质即可证得结论： (②在CD上取点G,使得CG=CB,连接E,易证△MCG21CB(SAS),得到4G=A ∠GC-ZB4C-8,∠A0C-∠1BC--,搭后山旋转的长质证待D4GeE8(SAS).特到 48/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DG=EB,∠AGD=∠ABE=90°+a,进而求得∠FBE=2a,结合EF/AB,推出∠BFE=∠BEF=90°-a, 得到BF=BE:最后由等腰三角形的性质可知GC=BC=BG,结合线段的和差关系即可得到结论， (3)连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,由已知可得∠ABC=90°-a,BC=4,结合旋转的性质，先 证明△1CB21MB(AS）,符得到8M,再根据等腰三角形的性质可符BE,然后结合EBF∥B,正得 △ABE∽△BFE,最后根据相似三角形的性质即可解答： (4)连接DE交AB于P,连接BE,先证明△APE∽△DPB,再证明△APD∽△EPB,则 ∠ADP=∠EBP=3O°，故当CE⊥BE时，CE最小，再解直角三角形求解即可. 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：如图，连接BE,过点A作AM⊥BE于点M, M B(D) :∠ACB=90°，∠BAC=a,AB=5,AC=3, :∠ABC=90°-a.BC=VAB2-AC=V52-32=4 ,点D与点B重合，线段AD绕点A逆时针旋转2得到线段AE, :.∠BAE=2C,AB=AE=5, 、.∠AEB=∠ABE=(180°-2a)=90°-a, ,AM⊥BE, ∴∠AMB=90r,∠MAB=∠MHE=3<BAE=a,BM=EM=BE. .∠ACB=∠AMB=90°，∠BAC=∠BAM=a, AB=AB, :△ACB≌△AMB(AAS) 49/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、.BC=BM=4, .BE=2BM=8. :EF∥AB ∴.∠BEF=∠ABE=90°-a,∠BFE=∠ABC=90°-a, .∠BEF=∠AEB=90°-&，∠BFE=∠ABE=90°-&， ,△ABE∽△BFE, AE BE 5 8 BE=EF,即8EF, .EF=12.8 (4)解：连接DE交AB于P,连接BE, E B 由旋转可得，AD=AE,∠DAE=2×60°=120° ∠ADE=∠ABD=180°-∠DAE=30 2 ∠ACB=90°，∠BAC=60° ∴.∠ABC=90°-∠BAC=30° ∴.∠AED=∠ABC ∠APE=∠DPB .△APE∽△DPB, .AP PE ·DPPB AP DP ·PEPB .'∠APD=∠EPB ∴.△APD∽△EPB .∠ADP=∠EBP=30°， :当CE⊥BE时，CE最小， 50/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F B 此时∠EBC=∠ABC+∠EBP=6O° AC=3, Rt△ABC 在 BC=ACtan∠BAC=3V3 CE=BCxsin LCBE=3x5=45 ∴.在Rt△CBE中， 9.(2026浙江嘉兴二模)如图，在△ABC中，AE⊥AB交BC于点E,D为BE的中点，连结AD, AD=4,AE=2EC=2 D E ()作AH⊥BC,垂足为H,求AH的长； (2)求tan∠EAC的值. 5 【答案】(1)2 √5 (2)9 【分析】(1)根据直角三角形的性质得到BE,用勾股定理求出AB,根据三角形面积求出AH的长： (2)过点E作EF⊥AE,交AC于F,求出EF,AE,根据正切的定义即可求出答案. 【详解】(I)解：如图，作AH⊥BC,垂足为H, B D ,AE⊥AB交BC于点E, 51/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .∠BAE=90°， “D为BE的中点，AD=4, :BE=2AD=8. 又，在直角三角形△ABE中，AE=2, .AB=VBE2-AE2=V⑧2-22=2√15 又：AH⊥BE, E:AH-B:E 4H=4B.4E_215×25 BE 82: (2)解：过点E作EF⊥AE,交AC于F, ∠BAE=90° 又EF⊥AE, ∴.EF∥AB, .△CFE∽aCAB, EF EC AB BC 又BE=8,EC=1, ..BC=BE+EC=9 又”AB=2W5 ..EF=EC.AB_1x2v15 215 BC 9 9. 在直角三角形AEF中，an∠EAC=tam∠EAF-EF AE EF=2115 9,AE=2, 2W15 ∴.tan∠EAC= EF AE 29 52/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2026江苏南通二模)如图，AB为⊙0的直径，点C为⊙0上一点，AD与过点C的切线互相垂直， 垂足为D,DE与AB的延长线交于点E. D (I)求证：AC平分∠DAB: OA 1 (②若OE2,0C=4,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明：DE与⊙O相切，切点为C, ∴OC⊥DE AD⊥DE, .∠OCE=∠ADE=90 .CC∥AD, .∴.∠OCA=∠CAD .0A=OC, .∠OCA=∠OAC, .∠CAD=∠OAC, ∴.AC平分∠DAB. aw5-9r 【分析】(1)由切线的性质结合已知条件，可证明OC∥AD,根据平行线的性质，解得∠OCA=∠CAD, 再由等边对等角，可证∠OCA=∠OAC,进而解得此题： OA 1 (2)先根据OE2及OA与OC的等量关系，利用锐角三角函数的定义在RtOCE求出∠COE度数与CE 的长度，最后代入S影=S.ocE-S形co即可求解，扇形面积公式：S360r. 【详解】(1)略 a800a=0c 53/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0c1 0E-2 在RtAOCE中， sinLE=Oc、1 OE 2 .∠E=30° ∠C0E=60°，CE=0C=4 =4V5 tan∠Ev3 3 S.0cE=4x45x=8V5. 2 60° S扇形0cB 360° 48 , 例形=8V5-8 考点05 解直角三角形的实际应用 1. (2026江苏南通·二模)如图，在某次表演中，机器人需要从A处移动到北偏东45°的C处，机器人先 向正东方向移动30m到达B处，再向北偏东30°方向移动到C处，则C处到AB的距离CD长为() 30 459 -- B A.305 B.60 C.15V5+15 D.15V3+45 【答案】D BD=x 【分析】设CD=x米，分别求出AD=CD=x米， 5,根据AB=AD-BD=30列方程求解即可. 【详解】解：设CD=x米， 在Rt△ACD中，∠CAD=45°， .∠ACD=∠CAD=45°， .AD=CD=x米， 54/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△BCD中，∠CBD=90°-30°=60°， :ian60°= BD,即V3=x BD BD=x 5, :AB=AD-BD=30米， t =30 3 解得： x=15V3+45 所以，C处到B的距离CD长为5√5+45)米 2.(2026山东德州二模)为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等 固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用.如图，斜坡BC上有 一棵树EF,已知树高EF=7.3米，斜坡BC的坡度为4，小明在距离B点2米远的D处测得树顶点F的仰 角为53°，树EF,斜坡BC的剖面，点D在同一平面上，树EF与地面AD垂直，则树根部E到坡脚B的 距离BE为() (参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈133) R B D A.10米 B.12米 C.13.5米 D.11米 【答案】A 【分析】延长FE交AD于点H则FH⊥AD:己知斜坡BC的坡度为4则求出EH即可得出BH再用勾股定 理即可即可求出BE:求EH可设EH长为x米再通过三角函数列式计算即可. 55/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：如图所示，延长FE交AD于点H,则FE⊥AD,EH⊥AD: F E B D 设EH长为x米， 由斜坡BC的坡度为4可得， 4 EH 3 B= -x HB4,得 3, 4 HD=HB+BD=(3x+2)(米)， FH=FE+EH=(7.3+x)(米)， 在△FHD中， tan53= H=1.33 H 7.3+x=1.33 x=6, 则HB=8(米)， 在直角△EHB中， BE=VHE2+HB2=V6+8=10(米). 3.(2026江苏无锡二模)如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当 阳光与地面成45°时，第二次是当阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？ () 56/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 123-12 B 12V5+12 C.12 D.12-4V5 【答案】A 【分析】如图，由题意可得∠ACB=459,∠ADB=30°，∠ABD=90°，AB=12米，解直角三角形求出 BC=12米， BD=12√5 米，由BD-BC即可解答。 【详解】解：如图， B C D 由题意可得∠ACB=45°，∠ADB=30,∠ABD=90°，AB=12米， 在R△ABC中，an∠ACB= BC =tan45°=1， .BC=12米， 在Rt△ABD中， tan∠ADB=AB BD tan300= 3 :BD=12V5 米， :BD-8C=(25-12）米，即第二次观察到的影子比第次的长25-12）米 4.(2026浙江温州二模)汽车智能随动大灯能实时根据路况转动.如图，一汽车转弯时，车灯照明的中 心线OA会主动转至OB,转动的角度∠AOB=a,若OA的长为m,则AB的长为() 57/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B m A.mtand B.tand C.msina D. cosa 【答案】A 【详解】解：在RtAOAB中，∠OAB=90°，∠AOB=a,OA=m, ,tan∠AOB=tana= ABAB OA m' .'AB mtana 5.(2026江苏盐城二模)如图，要测量旗杆AB的高度，在旗杆前平地上C处，用测角仪测得旗杆顶端 B的仰角∠BDG=37°，沿CA方向走到E处，测得旗杆顶端B的仰角∠BFG=45°，且量得CE长为5m, 测角仪的高度为l.6m,点C、E、A在同一直线上，延长DF交AB于点G,则旗杆AB的高度约为 _m.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) B G D A 【答案】16.6 【分析】设BG=xm,在RtABGF中利用∠BFG=45°得出FG=BG=x,在Rt△BGD中利用 BG tan∠BDG= GD列方程求解即可 【详解】解：依题意得：∠A=∠AEF=∠AGF=90°， ∴四边形ACDG是矩形，同理，四边形AEFG是矩形， ..AG=EF CD=1.6m,DF =CE=5m 设BG=m,则GD=GF+FD=x+5m, 58/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtABGF中，tan∠BFG=B G,∠BFG=45, ·FG=BG tan45 =xm ~在Rt△BGD中，tan∠BDG=B GD∠BDG=37°： ≈0.75 x+5 解得x=15 经检验，x=15是原方程的解且符合题意 则旗杆AB的高度约为AG+BG=1.6+15=16.6米， 6,(2026浙江温州：二模)如图，跨江大桥的主塔顶端为点A,塔底正下方江面处为点B,江面上的点C 处有一艘过往船只.测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角Q为30°，则B,C之间的距 离为 米. 250W5 【答案】 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质求出∠C的度数，在Rt△ABC中利用锐角三角函数定义求解即可. 【详解】解：由题意可知，主塔AB垂直于江面BC, ∴AB⊥BC,即∠ABC=90° :从点A观测点C的俯角0=30°，且水平线与江面平行， .∠C=a=30°， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=500米，∠C=30°， BC .'.cosC= AC ∴.BC=AC.cosC =500×c0s30° 500x3 2 =250W5 59/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026陕西咸阳·二模)小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度AB, 他俩在小明家的阳台点C处，测得大楼顶部点B的仰角为50°，大楼底部点A的俯角为45°，然后他俩来到 小华家，在阳台点D处，测得大楼顶部点B的仰角为60°.己知小明与小华家所在楼层高度差为10米， 求大楼的高度AB.(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，V5≈1.7) D 【答案】44米 【分析】设河宽（水平距离）为未知数，分别在两个直角三角形中，利用仰角、俯角的三角函数表示对应 高度，再根据楼层高度差建立方程求解，最终求出大楼总高度AB, 【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DE⊥AB于点E, 则四边形CFED为矩形， .CF=DE,EF=CD=l0米， 在Rt4CF中，∠2=45，tan45=AS=1, 设AF=CF=x米， 在RtBCF中，∠1=50°，tan500=B CF ∴.BF=CF·tan50°≈1.2x, ∴.BE=BF+EF=1.2x+10, 在RtBDE中，∠3=60°，tan60=BE DE=CF=x. DE ∴.BE=DE.tan60°≈1.7x, 由此列方程： 1.2x+10=1.7x, 解得：x=20, .∴.AB=AF+BF=x+1.2x=2.2x=2.2×20=44(米). 60/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -月F A 8.(2026辽宁阜新·二模)图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全 图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中OA为支架，AB为桌面的宽，调节椅背OP不会改变OA与AB的 位置，AB与地面保持平行且∠OAB=127° 图1 图2 图3 (1)如图2，当椅背垂直于地面时，求∠AOP的度数： (②)图3是一圆柱体水杯放置于小桌板AB上时的左视图，杯子到桌面边缘距离AE=3cm,支架OA=45cm, 背0p向后调节30°至OP处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度FF是多少？(sin37° 5, c0s37°≈4 tan37°3 ,5≈1：7，计算结果保留整数.) 【答案】(1)37° (2)最大高度EF是15cm 【分析】(1)过点A作AD⊥OP交OP与点D,则∠AD0=90°，由邻补角的定义得出 ∠D40=180°-∠0AB=53°，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案. (2)过点O作OD∥AB,过点A作AT⊥OD于点T,过点E作ES⊥OD于点S,则 LBAT=∠AT0=∠AES=∠EST=90°，得出四边形ATSE是矩形，由矩形的性质得出AT=ES,AE=TS, 通过解Rt△AOT和RtAOFS,分别求出FS和ES,然后相减即可得出答案， 【详解】(I)解：过点A作AD⊥OP交OP与点D, 61/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P Dh. A B 则∠AD0=90° ∠0AB=127°， .∠DA0=180°-∠OAB=53°， .0=90°-∠DA0=37°： (2)解：过点O作OD∥AB,过点A作AT⊥OD于点T,过点E作ES⊥OD于点S, B 则∠BAT=∠ATO=∠AES=∠EST=90°，∠FEA=90°， ∴.四边形ATSE是矩形，F、E、S共线， ∴，AT=ES,TS=AE=3cm, :∠0AB=127°， .∠OAT=∠OAB-∠BAT=37°， ∴.Rt△AOT中， AT=0A:cos∠0AT=45xcos37°≈45×4=36cm,0T=0Asin∠0AT=45×sin37°≈45 3=27(cm）, .'ES AT=36cm. .0S=0T+TS=27+3=30(cm), ∠POF=30°， .∠FOS=90°-∠POP'=60°， ∴在RtAOFS中， FS=OS.tan∠FoS=OS.tan60°=30W3cm 62/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EF=FS-ES=(305-36)*15cm 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度EF是15cm, 9.(2026重庆·二模)为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了A、B、C、D、E五个服务点，分 别是社区服务中心A,健身广场B,便民菜站C,快递驿站D和儿童游乐区E.如图，D在A的正东方向， B在A的东北方向100米处，B在C的正西方向，A在C的南偏西60°方向，E在A的南偏东15°方向，且 在D的西南方向.（参考数据： V2≈1.414V6≈2.449 60 45g (1)求健身广场B和便民菜站C之间的距离（结果保留根号）； (②)某日，小聪从社区服务中心A出发，沿A→C路线去便民菜站C买菜；同时，小明从儿童游乐区E出发 沿E→D路线去快递驿站D取快递.已知小明的速度是小聪的2倍，当小明到A的距离恰好是小聪到A的 距离的3倍时，求小聪到C的距离（结果保留一位小数）· 【答案14506-50W2)米 (2)112.4米 【分析】(1)过点A作AK⊥BC,交CB的延长线于点K,利用45锐角三角函数值解直角三角形求出 KB长，利用6O°锐角三角函数值解直角三角形求出KC长，根据KC-KB=BC求出结果： (2)根据速度关系，设AM=x,则EN=2x,AN=3x,过点A作A犯1ED于点2，利用45°、60°锐角 三角函数值解直角三角形求出A犯、QN、AN的长，根据勾股定理列方程求出x的值，进而求出结果。 【详解】(I)解：过点A作AK⊥BC,交CB的延长线于点K, 由题意得：∠KAB=45°，∠ACD=60°，AB=100: 63/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 在Rt△4BK中，os∠BAK= AB,sin∠BAk BK AB' :K=AB:c0s∠BAK=10xc0s45°=100× =50W2 2 BK=4B-sn∠BAK=100xsin45°=10×Y5 =50V2 ,∠K=∠KCD=∠CDA=90°， “四边形KCDA为矩形， .AD=KC,CD=AK=502, 在R△4CD中，an∠ACD=4 CD :.D=CD:tan∠4CD=50W2xtam60°=50N2xV5=50N6 :KC=AD=506 BC=KC-KB=506-50/2 IC K 609 459 M 答：健身广场B和便民菜站C之间的距离为（50N6-50√2)米 (2)解：设小聪走到M点，小明走到N点，连接AN, ,小明的速度是小聪的2倍， ∴.设AM=x,则EN=2x,AN=3x, 过点A作A01ED于点Q, 64/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在R△ADQ中，∠ADE=90-45=45,sn∠ADE= AD' :40=D.sm∠ADE=506xsim45°=50W6x5-505 2 .∠DAE=90°-15°=75°，∠ADE=45°， .∠AED=180°-75°-45°=60°， 在Rt△ABQ中，sin∠AED=4 tan∠AED=4g AE' EO' AQ50W3505 =100 -sin∠4ED sin60° 3 2 0= A0 50W3_50W3 =50 tan∠4ED tan60°√3 ..ON=EN-EO=2x-50 Rt△ANQ 在 中，由勾股定理得： 40+ON=AN2 即(503+(2x-50=(3x, 解得：=20W6-20,5=-206-20 (含)· :1M=20V6-20 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD+CD=AC2, :AC=AD2+CD=50W6+(50W2=1002, MC=4C-AM=1005-(206-20)=10N5-206+20≈12.46咪)， 答：小聪到C的距离为112.4米. 65/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60 10.(2026安徽阜阳二模)如图，己知水平地面AM上方有一个水平平台BN,平台上有一个竖直的信号 塔CD.在A处测得塔顶C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°.斜坡AB的坡度i=13, AB=20W10mCD⊥BN (点BCD 同一竖直平面内) i=1:3 A30 M (I)求平台BN的高度： (②求信号塔CD的高度（精确到m).(参考数据： V2≈1.415≈1.73、 【答案】(1)20m (2)22m 【分析】(1)过点B作BE⊥AM于点E,∠AEB=90°，由斜坡AB的坡度i=1:3,得出AE=3BE,再由 勾股定理计算即可得出结果： (2)延长CD交AM于点F,证明四边形BDFE为矩形，得出DF=BE=2O,BD=EF,设CD=x,则 CF=x+20,解直角三角形得出AF=20W5+V5x,从而得出 F=BD=3 3,由(1)可得 AE=3BE=60,再结合AF=AE+EF,计算即可得出结果. 【详解】(1)解过点B作BE⊥AM于点E,如图所示： 66/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 i=1:3 B60 DN A30 M 则∠AEB=90°， BE 1 斜坡4B的坡度i=13,则AE3, .AE =3BE, 在Rt△ABE中， AB=20W10 由勾股定理可得 AE2+BE2=AB2 则(6BE+BE2=(201o, 解得BE=20, 答：平台BN的高度为20m: (2)解：延长CD交AM于点F,如图所示： i=1:3 A30° M F :CD⊥BN,BN∥AM CF⊥AM, ∴.四边形BDFE为矩形， :DF BE =20,BD=EF 设CD=x,则CF=CD+DF=x+20, CF 在R△ACF中，∠CAF=30°，则AF=a -+20=20W5+3x, tan∠CAF tan30° BD=_ CD -x tan∠CBD tan6(0°3， EF-BD= 3, 由(1)可得AE=3BE=3×20=60, AF AE+EF, 67/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :(203+v5x)=60+ 3x,解得x=305-30, :CD=30W5-30≈22 答：信号塔的高度（即CD的长）约为22m, 考点06 几何图形中的三角函数综合 1.(2026江苏宿迁二模)如图，AB是⊙0的直径，点C是O0上异于A、B的点，连接AC、BC,点 D在BA的延长线上且∠ABC=∠ACD,点E在DC的延长线上，且BE⊥DC. (1)求证：CD为⊙O的切线； ②2知DE=8,sm∠D 5,求a4CD的面积. 【答案】(1)证明：连接OC, ,AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° .∠ACO+∠BCO=90°， ..OC=OB, .∠ABC=∠BCO ∴.∠ACO+∠ABC=90° :∠ABC=∠ACD. .∠ACO+∠ACD=90°， ∴.∠0CD=90°， 68/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .CD是⊙O的切线。 .15 (24 【分析】(1)连接OC,证明∠OCD=∠ACB=90°即可得证： (2)过点A作AG⊥DC于点G,连接OC,根据勾股定理，三角函数的应用，三角形的相似，结合 △ACD的面积为： DC·AG求解即可， 【详解】(1)略 3 (2)解：：DE=8, sin∠D= 5,BE⊥DC BE 3 BD5 设BE=3k,BD=5k DE=BD2-BE2=4k .4k=8, 解得k=2, .BE=6BD=10 连接OC, :CD是⊙O的切线。 .OC⊥DE sin∠D=Oc3 OD 5 0C3 10-0B5 69/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 0C=3 .10-0C5” 解得0C=15 4, :OB=15 AD=10-15 4， 25 4 2 :OC⊥DE,BE⊥DC, BE∥OC, ∴.△DCO∽aDEB. DC DO ·DEDB 5 DC=4 8-10 解得DC=5, 过点A作AG⊥DC于点G, 则AG=ADsin D= 53_3 252: 4C0面积为：号0C4G= 315 x5×24 2.(2026广东深圳二模)如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称， 射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H. 70/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 图1 图2 A D 图3 备用图 (1)如图2，已知∠ABC=90°，点F恰好落在对角线AC上时， ①∠G= ②若AD=4,则AE·AG= (2)试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由： 3 3)如图3，己知cos∠ABC=),若点F恰好落在菱形4BCD的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请 EH 直接写出此时HG的值. 【答案】(1)①45°：②16 四<G=古48C,理由见解析 o好 255 【分析】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识，解题的关键 是利用轴对称和菱形的性质构造全等或相似三角形，建立线段与角的关系求解 (1)①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得∠G=45°： ②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得AE·AG=AD (2)通过轴对称和菱形的性质，证明△ABE≌△AFE,结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导 1∠ABC LG= 71/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EH (3)分点F落在CD边和BC边所在直线上两种情况，利用三角函数、相似三角形性质，分别求出HG的 值。 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， .四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45° :点F与点B关于AE对称， AB=AF,∠BAE=∠FAE, .AF AD, .∠AFD=∠ADF, :点F在AC上，∠BAC=∠DAC=45°， ∠BAE=∠CAE=22.5° .∠DAF=90°-2×22.5°=45°， ·∠AFD=180°-45o =67.5° 2 ∠AFD=∠G+∠FAG,∠FAG=22.5°」 ∴.∠G=67.5°-22.5°=45° ②连接DG,由①知∠G=45°，∠ADB=45°， .∠ADB=∠G 又∠DAE=∠GAD. .∴，△ADEC∽△AGD :D、AE ”AGAD· AE·AG=AD AD=4, ∴.AE·AG=42=16 (a解：猜想：∠G-ABC 证明四边形ABCD是菱形， 72/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·AB=AD,AD∥BC,∠ABD=∠ADB=)∠ABC 点F与点B关于AE对称， AB=AF,∠BAE=∠FAE, :AF AD, ∴.∠AFD=∠ADF 设∠BAE=∠FAE=a&,则∠BAF=2a, .∠DAF=∠BAD-2a=180°-∠ABC-2a. ∠ADF-180-∠D4E_180P-080°，∠48C-20）=∠ABC+a. 2 2 在△DAF中，∠AFD=∠G+∠FAG,且∠DFA=∠ADF, :∠ABC+a=∠G+a, 2 整理得：∠G=)∠ABC (3)解：分三种情况如下： EH 1 情况1：点F落在直线BC上（对应HG=4), 3 H 3C 四边形 是菱形，设 6 3 G ABCD AB=AD=5 COS∠ABC= 5 由轴对称性质，AB=AF=5, 在△ABF中，作AH⊥BC于H,则BH=AB·COS∠ABC=3,AH=4, ..BF=2BH=6,CF=BF-BC=1, AD‖BC, .ADES△HBE,△ADGAHFG, 73/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD AE AD AG 由相似比可得： BHEH·HFHG· EH 1 结合BF=BC+CF=5+CF，FC=1,解得HG4: EH_25 情况2：点F落在直线CD上（对应HG96) 5 3 E B 5 G 由轴对称性质，设AB=AF=AD=5, 作AP⊥CD于P,则DP=AD·Cos∠ADC=3,AP=4, ..DF =2DP=6,CF=DF-CD=1, 4BIICD 、∠G=LBAH=LFAG, .FG=FA=5, .ADI BC, ∴.△ADE∽△HBE,△DAGP△CHG」 CH =GH_GC_5+16 AE AD AD AG GD 5+6 11'EH BH CH=64D=30 11 11 ·BH=BC-CH=5-=, AE511 EH25=5, 11 :EH= _AH 1 74/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GH 6 又AG11' .GH_6 AH 5 GH-GH 166 96 EH 25 解得HG96: 情况3：点F落在直线AB上 F 3 A O 5 E B M G 由轴对称性质，设AB=AF=5,AE⊥BF,F在BA延长线上，AF=5, 5525 BH=- 结合菱形边长 AD-5可得p在4点上方：AF=5 cos ZABC3 3 F A 5 延长BH交FG于M, ..ADI BC, ∴.△ADF∽△BMF,△ADE△HBE,△HMG∽△ADG, 0程20w6 .BM=2AD=10.HM=BM-BH= 3 5 AE AD 5 3 GH 31.EH BH25-3. 3 1 :.EH=5 AH,GH=AH 8 2 EH 5 解得HG4' 75/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EH 1 255 综上，HG的值为4、96或4： 3.2026广西玉林二模)如图，已知4B是O0的直径，点E,F是在O0上，AF=BE,AE,F交 于点C,OO的切线AD与BF的延长线交于点D E (I)求证：∠CAD=∠CDA: (2)若⊙0的半径为N5,∠CAD=60°，求CD的长. 【答案】(1)见解析 2√15 (2)3 【分析】(1)根据切线的性质，圆的性质，余角的性质，证明即可： (2)证明△CAD是等边三角形，AD=AB:tan∠2.求解即可. 【详解】证明：：在O0中，F=BE .∠1=∠2 :AD是⊙O的切线， D B ∠DAB=90°， 故∠1+∠CAD=90°， 又在RtADAB中，∠CDA+∠2=90°， 76/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CAD=∠CDA (2)解：由题意和(1)知∠CAD=∠CDA=60°， ∴.△CAD是等边三角形， .CD=AD 在RtaD1B中，AB=2W5.∠2=90-∠CDA=30° D=4B-tan∠2-2V5.tam30=25×5_2i西 33 即CDs2G 3. 4.(2026山西阳泉·二模)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=60°，D为AC的中点，E为 AB上一点，连接BD,CE交于点F,若AE=2,则线段BF的长度为 B F D 8√7 【答案】5 【分析】过点D作DG∥AB交CE于点G,过点B作BH⊥AC交AC于点H,由DG∥AB可得△BEF∽aDGF, BF BE 得到DFDG,再用三角函数解Rt△4BH求出相关线段长度，最后在Rt公BDH中，由勾股定理得 BD=√BH'+DF=27代入即可. 【详解】解：如图①，过点D作DG∥AB交CE于点G,过点B作BH⊥AC交AC于点H, 77/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E G FV 是 的中点， HD C 图① D AC ∴.DG是△ACE的中位线， 1 DG=24E=1, :AB=6, .BE=4, BE=4, DG .DG∥AB .△BEFDGF, BF-BE-4. DF DG :.BF=4BD 5 :∠BAC=60°，AB=6, 在Rt△ABH中，4H=4B-cos60°=3，BH=AB-si血60°=-33 D为AC的中点，AC=8, .AD=4, .DH=1, 在RtA BDH中，由勾股定理得BD=VBH+DH=2√厅， ∴BF-4BD-8V7 5 5. 5,(2026费州遵义二模)如图，在矩形1BCD中，MB=6,BC=65 3,点P为对角线BD上一点. 78/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P B B 图① 图② (备用图) (I)如图①，若点P是BD的中点时，过点P作直线EF,交AD于E,交BC于F,根据题意补全图形，则 线段AE与CF的数量关系为，四边形AEFB的面积与四边形CFED面积关系为_； (2)如图②，点P是对角线BD上的四等分点，过点P作直线EF,交射线DA于E,交射线DC于F,在图 ②中画出直线EF,使得△DEF面积最小，并求出ADEF面积最小值； (3)将线段BP绕点P逆时针旋转得到PQ,点Q在射线BC上，作线段PQ的垂直平分线MN,当MN经过矩 形ABCD一边的中点时，求BP的长， 【答案】(1)相等，相等： E B B 95 图3 2 3915 3)BP 2或2或2 【分析】(1)根据题意画出图形，证明 DEP≌aBFP(A1S),得出AE=CF,S.en=S.a,说明 S四边形HEFB=S,ABDS四边形CFED=S。BC ”,即可得出答案： (2)连接AC交BD于点O,过点O作ON∥AD,OM∥CD,根据点P是对角线BD上的四分点，得出 79/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OP=DP,说明点P为OD的中点，根据解析(I)可得，过点P的直线将矩形OMDN的面积平分，从而 证明当E、F恰好经过D、BC 的中点时， SF的面积最小，求出结果即可： (3)分三种情况：当M是AD的中点时，当点N是BC的中点时，当点M是DC的中点时，分别画出图 形，进行求解即可。 【详解】(I)解：，四边形ABCD为矩形， .AD∥BC, .∠EDP=∠FBP,∠DEP=∠BFP, :P为BD的中点， .'BP=DP, △DEP≌ABFP(AAS) .AE=CF S.DEP=S.wR S四边形AEFB=S四边形ABPE+SBFP=S四边形HBPE+S,DEP=S。ABD S四边形CFED=SBCD 同理可得： SAABD=S△BCD S四边形ABFB=S四边形CFED 即四边形AEFB的面积与四边形CFED面积相等： (2)解：连接AC交BD于点O,过点O作ON∥AD,OM∥CD,如图所示： B 1 1 则四边形OMDN是矩形且S凭OuaN=4Se形cm-4× ×6×6V3=9W3 :点P是对角线BD上的四等分点， 80/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 DP-BD. ·矩形ABCD中OD=,BD, 2 :.OP-18D-1BD-18D 4 4 ..OP=DP, 点P为OD的中点， 根据解析(I)可得，过点P的直线将矩形OMDN的面积平分， ∴.EF平分矩形OMDN, 如图1，当点E在点M的左侧时，S△DEF= 1 如图2，当点F在点V的下方时，SADEF=2 ONDN+Saw, 当5aaw=0 S.=0 或 SADEF 时，则 的面积最小， :点P是BD的四等分点， :当E、F恰好经过D、BC的中点时，如图3所示 SADF的面积最小， 9W3 此时5 ADEF2SaD= 2， 9v3 即ADEF面积最小值为2； M\E 图1 图2 图3 (3)解：连接AC,交BD于点O,如图所示： 81/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、O B :四边形ABCD为矩形， .'AC=BD,AD=BC=63,AB=CD=6,OA=OC=OB=OD. ∠ABC=∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°， 4C=BD=VAB2+AD =12 :am∠4BD-0-65-5 ∠ABD=60°， 同理可得：∠DAC=30°， .∠DBC=90°-60°=30°， ..OB=OC. ∴.∠OCB=∠DBC=30°， ..BP=PO. .∠BQP=∠DBC=30° :.∠BPQ=180°-30°-30°=120°，∠BQP=∠BC0, .PO∥AC: ①当M是AD的中点时，设MN交BC于点H,连接PN,如图所示： D B/N 82/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DM=AM=33 :PO∥AC,MN垂直平分PO, .MN⊥AC, .∠AHM=90°， .∠MAH=30°， 4H=AM-cos303x 22, ..CH=AC-AH=15 ， cN=cH÷eos30r=155-55 22 .BN BC-CN=6V3-53=3 :MN垂直平分P, .PN=ON, .∠NPQ=∠BQP=30° .∠BPN=120°-30°=90°， BP=BN,cos30°=V5x5_3 22 ②当点N是BC的中点时，设MN交BC于点H,连接PV,如图所示： M/D N O 则BW=CN=BC=35 83/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 MN垂直平分P№， ..PN =ON, .∠WPQ=∠BQP-30° .∠BPN=120°-30°=90°， BP=BN-cos30-3x 22: ③当点M是DC的中点时，MN交PO于点H,连接PV,如图所示： CM-DM-CD-3 :MN垂直平分P№， .PN=QN,∠NHQ=90° .∠NPO=∠BOP=30°， ÷∠BPN=120°-30°=90°， ∠NHQ=90°，∠BQP=30°， .∠CNM=90°-30°=60°， .CN=CM 3 tan603 .BN BC-CN =63-3=53 BP-BN.cos30-5x315 22； 84/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上。a即-设t5 6.(2026河北唐山二模)如图1、图2和图3，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,与BC交于点 D,AB=AC=8.P是⊙O上的动点，且在直径AB的上方. ● 图1 图2 图3 (I)如图1，连接PD,PB. ①∠BPD= 度； ②求阴影部分的面积： (②如图2，连接D0并延长，交0O于点G,F是OB的中点.点P在劣 BG上（不与端点重合）运动的 过程中，当an∠OPF=时，求点F到Op的距离： (3)如图3，连接PA,PB,以PB为斜边作等腰直角三角形BHP(点H在⊙O外)，连接AH,请直接写 出AH长度的最大值。 【答案】(1)①45：②4π-8 aj 8)210+2V5 【分析】(1)①连接AD,根据题意得出∠C=∠ABC=45°，∠ADB=90°，再由三角形内角和定理及圆 周角定理即可求解；②由①得：∠DAB=∠ABD=45°，AD=BD,连接OD,得出∠BOD=90°，结合图 形得出Sm能=S扇形BOD-S△OBD即可求解； 2根据题意得出OF号0B=2,过点P作FSLOP于点8，设FS=x,则PS=2x,OS=4-2x 合图形，利用勾股定理求解得出结果，然后确定距离即可： 85/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)连接CP,OP,OC,利用等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质得出△CBP~△ABH, =2,结合图形，利用勾服定理确定OC=√0+AC=4W5,再由三角形三边关系即可得出结果。 AH 【详解】(I)解：①连接AD,如图所示： :Rt△ABC,AB=AC=8 ∠C=∠ABC=45° 直径AB, .∠ADB=90°， ∴.∠DAB=45°， .∠BPD=∠DAB=45°： ②由①得：∠DAB=∠ABD=45°， .AD=BD, 连接OD, .∠B0D=90°， .AB=AC=8, ..OD=OB=4, ∴.S阴形=S扇形BOD-SAOBD 90×元×4-1×4×4=4π-8： 360 2 (2)F是OB的中点， :OF=0B=2, 过点F作FS⊥OP于点S, 86/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△PSF中，tan∠OPF=FS=1 PS 2' G D B 设FS=x,则PS=2x, ∴.0S=4-2x, OF2=0S2+FS2 在Rt△OFS中， ,即22=(4-2x2+x2, 整理得5x2-16x+12=0, 6 解得=2，为=、 5 .在Rt△OFS中，OF>FS, x=2舍去， 6 ∴.点F到OP的距离为5； (3)连接CP,OP,OC, 87/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ● :△ABC和△BHP都是等腰直角三角形， :BC=V2AB,BP=V2BH,∠ABC=∠PBH=45 ∴，∠ABC+∠PBA=∠PBH+∠PBA即∠CBP=∠ABH, BC BP :AB BH =2 .△CBP一△ABH, AH-CP P2即→ :.AH 2 在RtaA0C中，0C=VA02+AC=4V5 .CP≤0C+OP=4V5+4, ·.AH≤2RV10+2R/2, .AH W10+2√2 长度的最大值为 考点07 函数与三角函数值 1. (2026山东德州二模)已知抛物线'=ar++c(a6,c为常数，a>0,.b<0)的顶点为R,与 轴交于点C,O为坐标原点 (1)当a=2,b=-4,c=-3时，则该抛物线顶点P的坐标为 (2)若2a+b=0. ①M是抛物线上第一象限内一点，设M(2m）,∠M0P=90°，且OM=OP,求c的值： 3,0) ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为 点D在抛物线的对称轴上，当2DC+DP的最小值为+V5时， 88/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求a的值. 【答案】a-5) (2)①1；②1 【分析】(1)将a=2,b=4,c=-3代入，把抛物线化为顶点式即可： (②)①过M点作MNL轴于点N过P点作PELx输于点B,先证AMON≌，OPE(AAS) 进而得到 P(（1,-2),M(2,1) 再代入抛物线求解： ②过点P作直线PG与直线x=1成30°角，与抛物线的交点为G,交y轴于点H,过点D作D0⊥PG,垂 足为Q,连接CD.由DC+DP=DC+DQ2Cg.可知当C,D,Q三点共线，且C01pG 2 DC+2DP取得最小值，即2DC+DP取得最小值，过点P作直线PG与直线x=1成30角，过点C作 CF∥PG交x轴于R,解直角三角形得到F点坐标为3a,0,可求出直线CF的解析式为y=V5x-3a,再 求出直线PG的解折式为'=V5r-4a-V5 然后根据CH=OA-OC进行求解， 【详解】(d)解：：'=ar+br+c.a=2b=-4c=-3 y=2x2-4r-3=2x-}-5 六该抛物线顶点P的坐标为亿-5) (2)解：①如图1，过M点作MN⊥x轴于点N,过P点作PE⊥x轴于点E 89/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 .2a+b=0, b=-2a, y=ax-2axte ∴抛物线的对称轴为直线x=1, .MN⊥ON,PE⊥ON, ∴.∠MNO=∠OEP=90°」 .∠OMN+∠MON=90°，∠MON+EOP=90° ∴.∠OMN=∠POE, 在△MON和△OPE中， ∠OMN=∠POE ∠MNO=∠OEP OM=OP △MON≌aOPE(AAS) ∴.MN=OE,ON=PE, M2m） .MN =OE =m,ON PE=2. m,-2) P点坐标为 ,P为抛物线的顶点， P点坐标为P-2) .m=1, 90/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M(2,1) ∴.M点坐标为 将P,-2）,M(2代入=r-2a+c,得： a-2a+c=-2 4a-4a+c=1, a=3 解得：c=1, .c的值为1： 2DC+DP=2 DC+IDP ② ”2 :当DC+2DP取得最小值时，2DC+DP的值最小. 由①知b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=1, 3,0) ,抛物线与x轴的一个交点坐标为 -1,0) ∴.抛物线与x轴的另一个交点坐标为 “抛物线的解析式为'=a(+1x23)=ar2-2ar-3a 0,-3a) .C点坐标为 顶点P坐标为 1,-4a) a>0, .-3a<0,-4a<0,0C=3a, 如图2，过点P作直线PG与直线x=1成30°角，与抛物线的交点为G,交y轴于点H,过点D作 DQ⊥PG CD ，垂足为Q,连接. 91/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 图2 在Rt△PDg中，DQ=PD-sin30°=号PD. :DC+)DP=DC+D0≥Cg, ∴当C,D,O三点共线，且cQ1PG时，DC+2DP取得最小值，即2DC+DP取得最小值， 在Rt△CHQ中，∠CHQ=∠DPQ=30°， :CH=2C0=2x 1+3) 2 =1+√ 5,即OH-0c=1+5, 过点C作CF∥PG交x轴于F, .∠OCF=30°， 在Rt△OCF中， tan∠ocF=O53OF 0C,即33a, oF=v5a,即F点坐标为(N5a,0)】 设直线CF的解析式为y=a-3a :0=v3ak-3a f=v 直线C 的解析式为y=V5x-3a .PG∥CF, 设直线PG的解析式为'=V5r+m 92/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把P0,4a) 代入得： -4a=v5+m 解得：m=4a-V3 直线PG的解析式为”=5x-4a-5 0H=4a+√5 ,CH=0H-0C=4a+V5-3a=a+5 .1+5=a+V3 ∴.a=1 (2026江苏无锡二模)己知二次函数'=-+的图像与轴交于点 (3,0) 与y轴交于点 (0,3) 2. (1)求该二次函数表达式： (2)过二次函数位于第一象限内的图像上一动点P作直线PE⊥x轴于点E,交直线AB于点F.取线段AB上 一点O使得cos∠QPE=4 ,当点P运动到何处时，PQ的长最大？求出此时点P的坐标及P长的最大值. 【答案】(1)y=-(x-1)2+4 p132 40 ②)当气3'9)时，P长最大，最大值为9。 【分析】(1)运用待定系数法求解即可： (②)运用待定系数法求出直线B的解析式。设P儿mm+2m+),分当Q在直线PE左侧，当Q在直线 PE右侧两种情况讨论求解即可， 93/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=a(x-1)2+k A(3,0) B(0,3) 【详解】(1)解：·二次函数 的图像与x轴交于点 ,与y轴交于点 4a+k=0 ∴.把A(3,0),B(0,3)代入y=a(x-1)2+k得：a+k=3, a=-1 解得b=4, y=-(x-1)2+4 ∴.二次函数表达式 (2)解：设直线AB的解析式为y=px+b, 3p+b=0 把A(3,0),B0,3)代入y=px+b,得b=3, p=-1 解得：b=3, ∴直线AB:y=-x+3 设P(m,-m2+2m+3) ①当O在直线PE左侧，过Q作QH1PE,垂足为H :直线PE⊥x轴于点E,交直线AB于点F. .F(m,-m+3), .PF=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m. :cos∠QPE=4 , 94/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PH4 P05, 设PH=4h,PQ=-51, ..OH=PO-PH =31 tan∠QPE=3 4 sin∠QPF=3 :A(3,0).B0,3) .0A=OB=3, ∴.∠OBA=∠OAB=45°， 、∠HF0=∠H0F=45, ..HO=HF .Pu- 又PF=-m2+3m, :PH=(m+3m）. :cos∠QPE=4 5 PQ-3PH-3Pr=- 5 3245 4 m-2)+28, 7 因为点Q在线段AB上，点Q在点F的上方，点P在第一象限图像上， PH=yp-yo 4 .cos∠QPE= 5 .ye=y-PH=y-5P ,-4P0,且o=-0+3 95/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :sin∠QPE=3 P四m-). %60, :(m2+2m+3)(。+3)-等m-)。 。m2 3m, 0≤xg≤m 0≤m22 m≤m<3 3sm<3 2 3 45 p315 因此，当m-2时，P9的长最大为28，点气24) ②当Q在直线PE右侧，过Q作QH1PE,垂足为点H, 同理可得： 因为点Q在线段AB上，点Q在点F的下方，点P在第一象限图像上， PH=yp-yo cos∠⑨PE= y%=yp-PH=n写P0,且0=-g+3, 4 96/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ro, :sin∠QPE=3 :P0-m. PO 又yp-e=5 (m+2m+3)小-(+3)-g。m.， :。=-3m2+10m .0<m<xo≤3 0<m兮， 40 p132 因此，当m3时，P的长最大为9，点气3'9) p132 40 综上所述，当气(3'9时，P长最大，最大值为9. 3.(2026四川南充二模)如图，直线y=+b与抛物线=m+r-3交于4(6.0），C(-4,5), 与y轴 交于B.抛物线上的点D,使四边形OBCD是梯形 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)求梯形OBCD的面积： (3)直线OD与抛物线另一交点为P,点E在线段DP上，点F在第四象限抛物线上，若以A,E,F为顶点 的三角形与△AOB相似，试求点F的坐标 97/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答案】y4x 9+3V13 (2)2 ⑨4-到或2+而别》 【分析】(1)利用待定系数法即可求解二次函数解析式： (2)先求出直线AC的解析式，从而得出点B的坐标，根据梯形的性质可知BC∥OD,求出直线OD的解 析式，联立抛物线解析式求出点D的坐标，过点O作OH⊥AB交AB于点H,根据梯形的面积公式分别求 出关键线段的长度，从而得出结果； (3)分情况进行讨论：①当点F为直角顶点时，△BOA∽△AFE;②当点F为直角顶点时，△BOA∽△EFA, ③当点E为直角顶点时，△BOA∽△FEA;④当点E为直角顶点时，△BOA∽△AEF,设 )F)05n<6) 利用相似三角形的夹角的正切值相等， 通过一线三垂直模型得出相关线段的表达式，从而求出每种情况下的不同结果. 【详解】(1)解：抛物线y=mr+r-3 A(6,0)C(-4,5) 过点 [36m+6n-3=0 将两点坐标代入解析式：16m-4n-3=5, 6m+n=10 2 整理得： 4m-n=2②， 由①+②，得：10m= , 解得：风=子 将m=4代入①：6x+n 2 解得：n=-1, 六抛物线的解析式为：y=4-x-3. 98/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：设直线AC的解析式为y=c+b, 6k+b=0 将A(6,0)、C(4,5)代入，得-4+b=5, 1 解得k=一 2’b=3￥ 1 ∴直线4C的解析式为y=-)x+3, 2 anB(0,3) 令x=0,得y=3,即9 :四边形OBCD是梯形，且BC∥OD, .'.Kac =kop = 2￥ 直线OD过原点， 1 ·直线OD的解析式为y=一2x 2 1 y=- 2+ 联立直线 与抛物线解析式 OD x=1-13为2=1+V13 解得： 取轴左侧的百D,x=1-13,代入’2，得三V3、/ 2, 过点O作OH⊥AB交AB于点H, OA=6,OB=3,∠AOB=90°， 99/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 1 :S.0a=2×01x0B=9,AB=NOf+OB=3N5, 1 由oB= ×4B×1○=、5 6V5 即梯形OBCD的高为5， 《4可6可0可西可-压 2 1V5(3+3659+313 =2 2 5 2 9+313 ∴梯形OBCD的面积为2· (3)解：由(2)知，直线0D与抛物线另一交点为( m） ,点E为线段DP的动点，点F为抛物线在第四象限上的动点， 要使点A,E,F构成的直角三角形与RtABOA相似，分情况讨论： ①当点F为直角顶点时，△BOA∽△AFE, AF⊥EF, 在RtABOA中，OB=3,OA=6, tan∠BAO=OB-1 OA2 :tan∠BAO=tan∠AEF=l 2 AO EF =2, 即BOAF 如图，过点E作EG⊥FG,过点F作FA⊥AK, 100/23动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10锐角三角函数 ☆7大考点概览 考点01锐角三角函数的定义 考点02特殊角的三角函数值 考点03锐角三角函数的性质与关系 考点04解直角三角形 考点05解直角三角形的实际应用 考点06几何图形种的三角函数综合 考点07函数与三角函数值 考点01 锐角三角函数的定义 1.(2026广西南宁.二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=17,则sinB的值为() B C A. 8 B. 17 C.8 5 D.8 17 2.(2026云南普洱二模)在ABC中，若∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b,则下列式子正确的是() A.sinA=a D.tand= b B.sind= c C.Cos4=B a b 3.(2026云南丽江·二模)在R1aABC中，∠C=90°，LA,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下列等式中 成立的是() a b A.sin A= B.tanA= C.tanB=b D.cosB= c c 4.(2026山东菏泽·二模)如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、B、C均在格点上， 连接AB、BC,则sinB的值是() 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B. 25 5 c. D.3 2 5.(2026广东深圳二模)如图，己知A、B、C、D四个点均在格点上，则sA的值是() B A.1 B. C.3 D.2 5 2 6.(2026广东深圳·二模)电视的尺寸常指屏幕对角线的长度.如图，可以把一个55英寸电视屏幕抽象成矩 形ABCD,其中AC=55英寸.若sin∠CAB= 2,则电视屏幕宽度BC的长度为() D A. 英寸 B.110英寸 2 c.2英时 55 D.品英时 110 7.(2026云南昆明·二模)在ABC中，AB=6,BC=8,AC=10,则c0sA的值为() B 3 A. 5 B. e 8.(2026云南昆明二模)如图，在ABC中，若∠B=90°，BC=4,AC=5,则c0sC=() A B C A.5 B c 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026云南临沧二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3,AB=3√5，则cosA=() B A.2 B. C.5 D.25 5 10.(2026安微宿州二模)如图，三张全等的等边三角形纸片ABE,BCF,CDG依次排列在同一条直线1 上，分别连接CE,DE,记∠ACE=a,∠ADE=B,则tana+B)的值为() E D 6 A. 5 C. D. 考点02 特殊角的三角函数值 1.(2026天津.二模)3tan30°+2cos45°的值等于() A.√2 B.5 C.3+2 D.3V5+√2 2.(2026天津滨海新区·二模)√2sin30°-sin45°的值等于() A. B.0 C.1 D.2 3.(2026天津东丽二模)3tan30°+2cos45°的值等于() A.√5+2 B.√2 C.5+2 D.35+V2 4.(2026黑龙江哈尔滨二模)如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹，可知sn∠AOM的值为(). B M A A. B.② e D. 3 3 5.(2026天津红桥二模)2cos30°+tan60°的值等于() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1 B.2 C.1+5 D.2W5 6.(2026安徽六安二模)计算： 2 +4sin30°=· 7.(2026山东菏泽二模)计算：4cos30°+ 2026 12= 2025 8.(2026安微阜阳二模)计算： 1 (-sim30)2= 9.(2026山东青岛二模)计算：2sin60°-5 10.(2026安徽宿州二模)计算：2-1-sin30°--2= 考点3 锐角三角函数的性质与关系 1.(2026浙江台州二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是CD的中点.将矩形ABCD绕点 E顺时针旋转得到矩形AB,C,D,边B,C与边AD交于点F,连结AB,当点F落在A,B上时，AF= 4 B 2.(2026广东江门二模)如图1，C,D是以AB为直径的O0上的两动点，分别位于AB两侧，连接AC、 BD、AD,且∠CAB=2∠DAB.连结CD交AB于E. C E E B 图1 图2 (I)求证：AC=AE; (2)若DE=1,AD=2,求AC的长： 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，若直径AB为定值，当ABC的面积最大时，求△CBD的面积与△BED的面积比. 3.(2026四川南充二模)如图，直线y=+b与双曲线y=12(x>0)在第一象限交于点A4,m,与轴 的负半轴交于点B,且OA=OB. B (I)求直线AB的解析式： (2)若x轴上一点C(7,0),直线AB上一点P,满足LOCP=∠0AB,求点P的坐标. 4.(2026上海青浦二模)已知ABC中，AC=BC=5,AB=2V5,点D是射线CB上一点，连接AD, 圆O经过A、B、D三点. D B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点D在线段BC上时， ①记圆O交AC于点F,求证：AF=BD; ②设CD=m,用m表示圆O的半径； (②)如图2，在线段AD的右侧，以AD为底边作等腰。EAD,且始终满足∠EAD=∠BAC,若以C为圆心， CE为半径的圆C与圆O有公共点，请直接写出线段CD的取值范围. 5.(2026山西阳泉·二模)综合与探究 问题情境： 在边长为4的正方形ABCD中，P是射线BD上一点（不与点B,D重合），过点P作射线PN交射线AD于 点N,过点P作PM⊥PN,交射线BA于点M. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(N) D A D A D M B 图1 图2 备用图 初步探究： ()如图1，Q是边AB的中点，QP⊥BD于点P,当射线PN经过点A时，求PY 的值. 深入探究： (②)如图2，若P是对角线BD上任意一点，求证：器=器 拓展探究： (3)若∠BMP=60°，当P为对角线BD的三等分点时，请直接写出线段PN的长. 6.(2026湖南·二模)如图，OO是四边形ABCD的外接圆，其中AD=BC=CD,连接AC交BD于点E, 延长BA至点F,使AF=AD,连接FD. O● B D (I)求证：四边形ACDF是平行四边形； (2)若O0的半径为10，ED·AC=80,点P是△ABD的内心，求OP2的值； (3)若tan∠F=m,ED·AC=4n2(m,n为常数且都大于0)，用含m,n的式子表示CE和AB. 7.(2026河北石家庄·二模)如图，点O是MN所在圆的圆心，AT是O0的切线，点A为切点，P是直线 AT上的一点（不含点A),连接PO,点B在MN上，连接PB,∠POA=∠POB,作BC‖PO,交A0的延 长线于点C. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 T (I)求证：OB⊥PB. (2)判断点C与00的位置关系，并加以证明. (3)作CD平分∠OCB,交OB于点D.若PA>OA,m°<∠BCD<n°，请直接写出m的最大值，n的最小值. 考点04 解直角三角形 1.(2026北京丰台，二模)如图，正方形ABCD的边长为2，将边AB,BC,CD,DA分别绕点A,B,C,D顺 时针旋转a(0°<a<I80°)，得到AB',BC',CD',DA',连接A'B',B'C',CD,D'A.给出下面四个 结论：() A B ①对于任意都有CB⊥AB'; ②对于任意四边形A'B'CD'为正方形； ③四边形A'B'C'D'的面积随的增大而增大； ④当a=90°时，四边形A'B'CD'的周长为8√5. 上述结论中，所有正确结论的序号是(). A.①②③ B.①②④ C.(①③④ D.②③④ 2.(2026内蒙古通辽二模)小亮将4根长度相等的木棒依次首尾相连，钉成了一个四边形，他先将该四边 形“直立”为正方形（图1），再将其向左“推倒”为含60°角的菱形（图2），则该四边形从正方形变成菱形后描 述正确的是() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 向左推 图1 图2 A.内角和增加180° B.周长变大 C.面积不变 D.两条对角线的和变小 3.(2026山东青岛二模)如图，抛物线%=x+2-1与为=a叫x-4+3交于第四象限点4，-4利，过 点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B,C两点，且D,E分别为顶点.则下列结论的正确是() A.AB<AC B.当x>1时，y>y2 C.△ACE是等边三角形 D.△ABD是等腰直角三角形 4.(2026河南商丘二模)如图，A是平面直角坐标系中y轴上的一点，A0=2√5，以A0为底构造等腰 △AB0,且∠AB0=120°，将△AB0沿着射线OB方向平移，每次平移的距离都等于线段OB的长，则第2026 次平移结束时，点B的对应点B226的坐标为() A.2027V5,2028 B.2026V3,2027 C.2026,2026√5 D.2027,2027V3 5.(2026黑龙江大庆·二模)如图，直线MN I PO,直线AB分别与MN、PQ相交于点A、B,MN与PQ之 间的距离为8，s血∠M1B=手，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长为半径作 弧交AB于点C,交BQ于点D;②分别以C、D为圆心，以大于；CD的长为半径作弧，两弧在∠ABO内交 于点E;③作射线BE交MN于点F.那么AF的长是() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A M B A.6 B.6.4 C.8 D.10 6.(2026吉林长春·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE⊥AB,交AB的 延长线于点E,连接EO并延长，交AD于点F,EF与BC相交于点G,若∠ABC=I20°，则下列结论：① Cih三30：②am2B0G③CEEF=23:④S05S5mF17.其中正确的 D B 7.(2026江苏南通·二模)如图，在ABC中，∠BAC=60°，AB=4,AC=6,若AD为ABC的角平分线， 则AD的长为 8.(2026辽宁阜新二模)在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=a,点D在射线BC上，连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转2a得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB,交直线BC于点F. E D C(D) B 图1 图2 备用图 (I)如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC; (②)如图2，点D,F都在BC延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明： (3)若点D与点B重合，AB=5,AC=3,请在备用图中依据题意补全图形，并求出此时线段EF的长度； (4)若a=60°，AC=3,点D在射线BC上运动时，连接CE,直接写出线段CE的最小值. 9.(2026浙江嘉兴二模)如图，在ABC中，AE⊥AB交BC于点E,D为BE的中点，连结AD,AD=4, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE =2EC=2. B D E (I)作AH⊥BC,垂足为H,求AH的长； (2)求tanZEAC的值. 10.(2026江苏南通二模)如图，AB为O0的直径，点C为O0上一点，AD与过点C的切线互相垂直， 垂足为D,DE与AB的延长线交于点E, B (I)求证：AC平分∠DAB; ②若0)0C三4，求图中阴影部分的面积 OE 考点05 解直角三角形的实际应用 1.(2026江苏南通·二模)如图，在某次表演中，机器人需要从A处移动到北偏东45°的C处，机器人先向 正东方向移动30m到达B处，再向北偏东30°方向移动到C处，则C处到AB的距离CD长为() 30 45 A.30W3 B.60 C.15V3+15 D.15V3+45 2.(2026山东德州·二模)为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固 土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用.如图，斜坡BC上有一棵 3 树EF,己知树高EF=7.3米，斜坡BC的坡度为三，小明在距离B点2米远的D处测得树顶点F的仰角为 4 53°，树EF,斜坡BC的剖面，点D在同一平面上，树EF与地面AD垂直，则树根部E到坡脚B的距离 BE为() 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) A B D A.10米 B.12米 C.13.5米 D.11米 3.(2026江苏无锡·二模)如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳 光与地面成45°时，第二次是当阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？() A.125-12B.12√5+12 C.12 D.12-4V5 4.(2026浙江温州·二模)汽车智能随动大灯能实时根据路况转动.如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心 线OA会主动转至OB,转动的角度∠AOB=a,若OA的长为m,则AB的长为() B A.mtana B.m C.msina D.m tano cosa 5.(2026江苏盐城二模)如图，要测量旗杆AB的高度，在旗杆前平地上C处，用测角仪测得旗杆顶端B的 仰角LBDG=37°，沿CA方向走到E处，测得旗杆顶端B的仰角∠BFG=45°，且量得CE长为5m,测角仪 的高度为l.6m,点C、E、A在同一直线上，延长DF交AB于点G,则旗杆AB的高度约为 m. (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D A E 6.(2026浙江温州·二模)如图，跨江大桥的主塔顶端为点A,塔底正下方江面处为点B,江面上的点C处 有一艘过往船只.测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为30°，则B,C之间的距 离为 米。 B 7.(2026陕西咸阳·二模)小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度AB,他 俩在小明家的阳台点C处，测得大楼顶部点B的仰角为50°，大楼底部点A的俯角为45°，然后他俩来到小 华家，在阳台点D处，测得大楼顶部点B的仰角为60°.已知小明与小华家所在楼层高度差为10米，求大 楼的高度AB.(参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，√3≈1.7) B D 3 8.(2026辽宁阜新·二模)图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全.图 2是小桌板展开后的侧面示意图，其中OA为支架，AB为桌面的宽，调节椅背OP不会改变OA与AB的位 置，AB与地面保持平行且∠0AB=127°. P 图1 图2 图3 (1)如图2，当椅背垂直于地面时，求∠A0P的度数： 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)图3是一圆柱体水杯放置于小桌板AB上时的左视图，杯子到桌面边缘距离AE=3cm,支架OA=45cm, 当椅背OP向后调节30°至oP处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度EF是多少？（sin37° 51 cas37≈号an37P}517,计算结果保留整数) 9.(2026重庆·二模)为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了A、B、C、D、E五个服务点，分别是 社区服务中心A,健身广场B,便民菜站C,快递驿站D和儿童游乐区E,如图，D在A的正东方向，B在 A的东北方向100米处，B在C的正西方向，A在C的南偏西60°方向，E在A的南偏东15°方向，且在D的 西南方向.（参考数据：√2≈1.414，√6≈2.449) 60 459 D 5 45 (1①)求健身广场B和便民菜站C之间的距离（结果保留根号）； (②)某日，小聪从社区服务中心A出发，沿A→C路线去便民菜站C买菜；同时，小明从儿童游乐区E出发 沿E→D路线去快递驿站D取快递.己知小明的速度是小聪的2倍，当小明到A的距离恰好是小聪到A的 距离的3倍时，求小聪到C的距离（结果保留一位小数） 10.(2026安徽阜阳·二模)如图，已知水平地面AM上方有一个水平平台BN,平台上有一个竖直的信号塔 CD,在A处测得塔顶C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°.斜坡AB的坡度i=1:3,AB=20√10m, CD⊥BN.(点A、B、C、D在同一竖直平面内) i=1:3 B/60DN A30° (I)求平台BN的高度： (2)求信号塔CD的高度（精确到1m).(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73） 考点06 几何图形中的三角函数综合 1.(2026江苏宿迁二模)如图，AB是O0的直径，点C是⊙0上异于A、B的点，连接AC、BC,点D 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在BA的延长线上且∠ABC=∠ACD,点E在DC的延长线上，且BE⊥DC· B (1)求证：CD为O0的切线： Q已知DE=8,smD-号求4Cn的面积 2.(2026广东深圳二模)如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称， 射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H, D 图1 图2 B B 图3 备用图 (1)如图2，已知LABC=90°，点F恰好落在对角线AC上时， ①∠G= ； ②若AD=4,则AE·AG= (2)试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由； 知cOs∠ABC若点F恰好落在菱形ABCD的某条边所在的直线上（不与 接写出此时 肥雀 3.(2026广西玉林二模)如图，己知AB是O0的直径，点E,F是在O0上，AF=BE,AE,BF交于 点C,OO的切线AD与BF的延长线交于点D. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B (I)求证：∠CAD=∠CDA: (2)若O0的半径为√5，∠CAD=60°，求CD的长. 4.(2026山西阳泉二模)如图，在ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=60°，D为AC的中点，E为AB上 一点，连接BD,CE交于点F,若AE=2,则线段BF的长度为· B E D 5.(2026贵州遵义二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=6√3，点P为对角线BD上一点. A B 图① 图② (备用图) (I)如图①，若点P是BD的中点时，过点P作直线EF,交AD于E,交BC于F,根据题意补全图形，则线 段AE与CF的数量关系为_，四边形AEFB的面积与四边形CFED面积关系为_； (2)如图②，点P是对角线BD上的四等分点，过点P作直线EF,交射线DA于E,交射线DC于F,在图② 中画出直线EF,使得△DEF面积最小，并求出aDEF面积最小值； (3)将线段BP绕点P逆时针旋转得到PQ,点Q在射线BC上，作线段PQ的垂直平分线MN,当MN经过矩 形ABCD一边的中点时，求BP的长. 6.(2026河北唐山二模)如图1、图2和图3，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙0，与BC交于点D, AB=AC=8.P是⊙O上的动点，且在直径AB的上方， 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 图1 图2 图3 (1)如图1，连接PD,PB. ①∠BPD= 度； ②求阴影部分的面积； (2)如图2，连接D0并延长，交⊙O于点G,F是OB的中点.点P在劣弧BG上（不与端点重合）运动的过 程中，当tan∠OPF=一时，求点F到OP的距离； (3)如图3，连接PA,PB,以PB为斜边作等腰直角三角形BHP(点H在⊙O外)，连接AH,请直接写出 AH长度的最大值. 考点07 函数与三角函数值 1.(2026山东德州二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0,b<0)的顶点为P,与y 轴交于点C,O为坐标原点 (1)当a=2,b=-4,c=-3时，则该抛物线顶点P的坐标为 (2)若2a+b=0. ①M是抛物线上第一象限内一点，设M(2,m),∠M0P=90°，且OM=OP,求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为3,0)，点D在抛物线的对称轴上，当2DC+DP的最小值为1+√3时， 求a的值， 2.(2026江苏无锡二模)己知二次函数y=a(x-1)2+k的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,3). 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求该二次函数表达式： (2)过二次函数位于第一象限内的图像上一动点P作直线PE⊥x轴于点E,交直线AB于点F.取线段AB上 一点Q使得os∠QPE-手当点P运动到何处时，PD的长最大？求出此时点P的坐标及P长的最大值。 3.(2026四川南充二模)如图，直线y=x+b与抛物线y=mx2+nx-3交于A(6,0),C(-4,5),与y轴交 于B.抛物线上的点D,使四边形OBCD是梯形. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)求梯形OBCD的面积； (3)直线OD与抛物线另一交点为P,点E在线段DP上，点F在第四象限抛物线上，若以A,E,F为顶点 的三角形与AOB相似，试求点F的坐标， 4.(2026重庆二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于4-6,0)，B两点， 4 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=-2. B M 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线AC上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点P作PD‖x轴交抛物线于点D,过点P作 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE⊥AC交线段AC于点E,点M,N为抛物线对称轴上的动点（点M在点N的下方），且MN=2,连接 PM,BN.当PD+25PE取得最大值时，求点P的坐标及PM-BN的最大值： C②中PD+2W5PE取得最大值的条件下，将揽物线y=4+bx+c沿射线4C方向平移，平 新抛物线y经过点(-4,1，点P为点P的对应点，点F为新抛物线y上的一动点，若 ∠FBA=∠OP'P-∠CBA,请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出求解点F的横坐标的其中一种 情况的过程 5.(2026四川内江二模)如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A-1,0，B(4,0),交y轴于点 C,直线BM:y=-2x+8与抛物线交于点M. A 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)以BM为腰，在BM右侧作等腰Rt△BMN,∠MBN=90°，求点N的坐标； (3)抛物线上是否存在点P,使∠POB=∠CA0,若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由 6.(2026天津·二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a<0)的顶点为P,与x轴交于A,B 两点，（点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴与x轴的交点为D. (1)若A-1,0,b=2,c=3, ①求抛物线的解析式及顶点P的坐标； ②M为抛物线对称轴上一点，且在第四象限，E为抛物线上的点，且在第三象限，当MA=ME, ∠AME=90°时，求点M的坐标； (2)若A(-m,0),B(3m,0(m为常数，m>0),∠PAB=60°，N为直线x=-m上的动点，且在x轴上方，过 N作NF⊥PA,与对称轴交于点F,当PN+NF+FB的最小值为43时，求m的值. 2/23