专题05 三角形（7大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形七大核心考点，精选全国多地区2026年二模真题，通过生活情境（如人字梯稳定性、跳远测量）和跨学科案例（机器人表演、圆形鱼池设计）实现知识应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|含与三角形有关的线段、角等全部7大考点|第1题结合生活实例考查数学原理，如利用三角形稳定性解释人字梯拉杆设计| |填空|约10题|覆盖全等、等腰、直角三角形及勾股定理|第7题以三角形内部动点为背景，综合考查全等与最值问题| |解答|约8题|相似三角形、动态几何及新定义问题|第13题定义“等积线”，通过特例感知-探索发现-拓展应用梯度设计，考查创新思维与综合论证能力|

专题05 三角形 7大考点概览 考点01与三角形有关的线段 考点02与三角形有关的角 考点03全等三角形 考点04等腰三角形 考点05直角三角形 考点06勾股定理及逆定理 考点07相似三角形 与三角形有关的线段 考点01 1．（2026·广东深圳·二模）数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（    ）． A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，于点，是斜边的中线，若，，则的面积为（     ） A．10 B．16 C．18 D．20 4．（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在中，，，，为的中线．分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交边于点G，交边于点H，连接，交于点I，连接并延长交边于点J，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 6．（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 7．（2026·广东广州·二模）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的值为________，的最小值为________． 8．（2026·甘肃白银·二模）如图，的对角线相交于点O，，点E，F分别为的中点，连接，若，，则的面积是________． 9．（2026·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为________． 10．（2026·江苏无锡·二模）如图，已知． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 11．（2026·陕西渭南·二模）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 12．（2026·浙江台州·二模）如图1，已知内接于，直径，垂足为．点为上一动点，连接分别交，于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若为的直径， ①求证：； ②若，，求的长； (3)如图3，若，，直接写出的最大值． 13．（2026·江西南昌·二模）定义：若过四边形的一个顶点的直线把四边形面积平分，则称这条直线为“等积线”，等积线截四边形所得线段的长称为“等积线长”． 【特例感知】 (1)如图1，在矩形中，，，则矩形的等积线长为______； (2)如图2，在四边形中，，点为的中点，且，若，，求四边形的等积线的长． 【探索发现】 (3)如图3，在四边形中，为的中点，交于，连接．求证：为四边形的等积线． 【拓展应用】 (4)如图4，在四边形中，对角线，相交于点，若，，，，直接写出四边形等积线的长． 与三角形有关的角 考点02 1．（2026·河南南阳·二模）如图，，点A在直线上，点B在直线上．若，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南濮阳·二模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北唐山·二模）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州安顺·二模）如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交于点，连接．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 5．（2026·山东青岛·二模）如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·北京平谷·二模）如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为(     ) A． B． C． D． 7．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形时，则的度数为__________． 9．（2026·浙江舟山·二模）在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 10．（2026·浙江宁波·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 11．（2026·陕西铜川·二模）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 12．（2026·陕西西安·二模）如图，为的直径，点、在异侧的上，，连接、、．若，则的度数为________． 13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：在等腰三角形中，若有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形为“二倍角等腰三角形”． (1)问题1：如图1，在中，平分，，求证：为二倍角等腰三角形； 问题2：如图2，在中，，在边上，在延长线上，且，交于点F，若，求证：为二倍角等腰三角形． 在问题1和问题2中选一个进行证明： (2)已知为二倍角等腰三角形，，，以为边向外作二倍角等腰三角形，请直接写出的度数． 14．（2026·河北唐山·二模）如图，，交于点F，，点C在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 15．（2026·江西景德镇·二模）今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． (1)若忽视机器人手臂，，，求的度数； (2)如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 全等三角形 考点03 1．（2026·海南儋州·二模）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 2．（2026·山东聊城·二模）如图，已知，分别为正方形的边，上的点，且，，分别交对角线于点，，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2026·四川南充·二模）如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比例函数关系；③的面积与两个正方形的大小均相关；④与两个正方形边长之比有关．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·山东济南·二模）如图，在中，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；③作射线交于点；④分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点；⑤作直线，分别交、于点、．依据以上作图，若，，则的面积是（     ） A． B．16 C．28 D．32 6．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，，．点是线段上一个动点．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的最小值是（     ） A．2 B． C． D． 8．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·河南洛阳·二模）如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 12．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 13．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，，将分成面积相等的四部分，若，则的长为______． 14．（2026·江苏苏州·二模）已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 15．（2026·四川绵阳·二模）如图1，点、，且满足，点是上一点，且点的横坐标是，，，交轴于． (1)求点的坐标； (2)分别求出点和点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，求的度数． 等腰三角形 考点04 1．（2026·北京房山·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，，分别以A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于M，N，直线与交于点D，连接，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 4．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·二模）如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（   ） A． B． C． D．平分 6．（2026·四川绵阳·二模）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 7．（2026·贵州六盘水·二模）如图是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该“莱洛三角形”的周长为，则这个等边三角形的边长（单位：）是（     ） A． B．10 C．20 D．30 8．（2026·山东滨州·二模）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，为半径作弧交射线于另一点；⑤分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；⑥作射线交延长线于点．若，，则________． 9．（2026·河南商丘·二模）如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____． 10．（2026·青海西宁·二模）如图，过的顶点作，，垂足为，若平分，，，则________． 直角三角形 考点05 1．（2026·山东德州·二模）如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（     ） A．4 B．2 C． D． 2．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·天津·二模）在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·天津·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，若，则的长为（     ） A． B． C．1 D． 6．（2026·山东青岛·二模）如图，在中，，O是上一点．以点O为圆心，为半径的与相切于点D，点E为的中点，连接，．若，，则半径长为（     ） A．3 B．3.25 C．3.5 D．3.75 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，M为的中点，于D，连接．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，，，为斜边的中点，且，点，分别在和上，且，则线段的最小值为_____． 9．（2026·山东济南·二模）如图，在中，，，，点为平面内一点，，连接、，点为内一点，连接、、则的最小值为________． 10．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，．若点E是内一动点，且，，，连接，分别取，的中点M，N，连接，则线段长度的最小值为______． 11．（2026·江苏连云港·二模）【问题情境】 (1)如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 (2)在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 (3)如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 (4)如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 12．（2026·河南南阳·二模）如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，连接．过点作，交延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 13．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)尺规作图：①在上找一点D，使是等边三角形，②过D作，交于点E． （不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则的值为 ．（若需画图，请用备用图） 14．（2026·河南驻马店·二模）如图，在中，，点为射线上一点，且．过点作射线，请用无刻度直尺和圆规作图，并解答问题． (1)在的上方作，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，在（1）的基础上求线段的长． 15．（2026·广东清远·二模）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 勾股定理及逆定理 考点06 1．（2026·河南南阳·二模）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·二模）如图，正方形中，为边上一点，连接、交于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江台州·二模）如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图象上 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（   ） A． B． C．4 D． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，为边的中点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连结．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点在该函数图象上 D．的最大值为52 8．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，点是边上的定点，点从点出发，依次沿的路线匀速运动，回到点时停止．设点运动的路程为，为，则关于的函数图象如图2所示，其中，分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（     ） A． B．点的纵坐标为144 C． D．点在该函数图象上 9．（2026·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，点O是直线上一点，将绕点O旋转得到（点A，B，C分别与点，，对应），连接，．若以点B，C，，为顶点的四边形的最小内角是时，的长是________． 10．（2026·四川成都·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 相似三角形 考点07 1．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 2．（2026·重庆·二模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 5．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 7．（2026·河北唐山·二模）如图，已知菱形，对角线与相交于点，，，菱形内部有一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，则的最大值（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 9．（2026·四川成都·二模）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长是______． 10．（2026·广西南宁·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，若，则的长为______． 11．（2026·江苏南京·二模）如图，将矩形纸片折叠，使点A落在的中点E处，若，，则折痕的长为_________． 12．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别在边上，若，则长的最小值为_________． 13．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 14．（2026·山东济南·二模）在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 (1)如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 (2)如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； (3)如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 15．（2026·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，求的长． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 7大考点概览 考点01与三角形有关的线段 考点02与三角形有关的角 考点03全等三角形 考点04等腰三角形 考点05直角三角形 考点06勾股定理及逆定理 考点07相似三角形 与三角形有关的线段 考点01 1．（2026·广东深圳·二模）数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（    ）． A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 【答案】C 【分析】根据圆周角定理、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中编号为1的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； D．图（4）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，于点，是斜边的中线，若，，则的面积为（     ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，是斜边的中线， ∴， ∵于点D， ∴的面积． 4．（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 5．（2026·辽宁丹东·二模）如图，在中，，，，为的中线．分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交边于点G，交边于点H，连接，交于点I，连接并延长交边于点J，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形重心的性质.，首先根据垂直平分线的性质得出为中点且，利用相似三角形求出的长；然后根据中线和重心的性质得出为中点，求出的长；最后计算的长即可． 【详解】解：在中，，，， ， 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线， 垂直平分， 为的中点， ， ， ， ∵在中，， ， ， ∵ 为的中线， 为的中点 ， 为的中点 ， 为的中线， 与交于点 ， 点为的重心 ， 连接并延长交边于点 ， 为的中线， 为的中点， ， ． 6．（2026·安徽合肥·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，，可得，可得，根据题意可得，可得，代入的面积，即可得的长． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点，点在反比例函数的图象上，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点向下平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴． 7．（2026·广东广州·二模）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的值为________，的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识点． 首先根据比例关系得到，在上取点，使，连接，通过证明得到对应线段成比例，继而得到，继而得到当点在上时，取得最小值． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即当点在上时，取得最小值． 8．（2026·甘肃白银·二模）如图，的对角线相交于点O，，点E，F分别为的中点，连接，若，，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由中点的性质可得，，在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 9．（2026·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为________． 【答案】 【分析】利用三角形中线将面积进行转化，先求出的面积，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，将的面积转化为与反比例函数k值直接相关的的面积，从而求出k的值． 【详解】解：∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点A作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵， ∴． 10．（2026·江苏无锡·二模）如图，已知． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的垂线，在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则点到的距离为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】(1)解：如图，直线，点即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，作线段的垂直平分线．垂足为，交直线于点，点即为所求； （2）连接，设直线交于点，利用面积法求出，设，构建方程求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）如图，直线，点即为所求； （2）解：连接，设直线交于点． ， 面积＝，， ， ， ， 垂直平分线段， ＝， 设，则有， 解得， ， ， 点到距离为． 11．（2026·陕西渭南·二模）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)木桥长度的最大值为米． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，构造出辅助线，找到线段之间的关系． （1）根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立，即可求解； （2）由题意可得，是的中位线，，由为的中点可得，再根据，即可求证； （3）连接，取的中点，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可得，从而确定当点在的延长线上时，最大，最大为，取的中点，连接，则是的中位线，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立， 则，即长度的最大值为； （2）解：∵、分别是、的中点，点是的中点 ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，连接，取的中点，连接，如图： 由题意可得，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵的半径为米， ∴米， ∴米，米， ∵ ∴当点在的延长线上时，最大，最大为， 取的中点，连接，则是的中位线， ∴，米， 在中，米，米， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵米，点是的中点，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴最大为米 答：木桥长度的最大值为米． 12．（2026·浙江台州·二模）如图1，已知内接于，直径，垂足为．点为上一动点，连接分别交，于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若为的直径， ①求证：； ②若，，求的长； (3)如图3，若，，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）根据垂径定理得，由同圆等弧等角可证； （2）①设，由同角的圆周角相等，及平行线的性质可得，则；②连接，先证，根据直角边是斜边的一半，得出，可得，则为等边三角形，可得的长； （3）作于J，连接，，，作于I．可先求，由三角形面积可得，根据，得出当最大时、最大．即当O、J、F三点共线时，．此时最小．最大．也最大．求得．根据勾股定理求得．进而得．．根据，即可求解． 【详解】（1）解∶是的直径，， ． ． （2）解：①设，则， ， ． ． ， ． ． ． ． ②连接， 是的直径， ． ， ． ，， ． ． ． 为等边三角形， ． （3）解：作于J，连接，，，作于I．如图∶ 是直径， ，， ，． ， ． ，即， ． 中， ， ． ． 当最大时、最大． ， 当O、J、F三点共线时，． 此时最小．最大．也最大． ． ，即． ． 在中，． ． ． ，即． ． 13．（2026·江西南昌·二模）定义：若过四边形的一个顶点的直线把四边形面积平分，则称这条直线为“等积线”，等积线截四边形所得线段的长称为“等积线长”． 【特例感知】 (1)如图1，在矩形中，，，则矩形的等积线长为______； (2)如图2，在四边形中，，点为的中点，且，若，，求四边形的等积线的长． 【探索发现】 (3)如图3，在四边形中，为的中点，交于，连接．求证：为四边形的等积线． 【拓展应用】 (4)如图4，在四边形中，对角线，相交于点，若，，，，直接写出四边形等积线的长． 【答案】(1)5 (2)3 (3)见解析 (4) 【分析】（1）先确定矩形的等积线就是矩形的对角线，再根据勾股定理求解即可； （2）延长交的延长线于点F，先证明，则，，故，由题意得，平分四边形的面积，即平分的面积，则，然后结合直角三角形斜边中线的性质求解即可； （3）过点作交的延长线于点，连接交于点，先进行面积转换得到，然后根据平行线分线段成比例定理得到，则平分的面积，即可求证； （4）先证明，求出，取的中点，连接，求出，过点作交的延长线于点，连接交于点，同理可得，则平分的面积，可证明，则，故，过点作于点，再解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴是矩形的一条等积线， 由矩形的对角线相等可得也是， ∵ ∴ ∴矩形的等积线长为； （2）解：延长交的延长线于点F， ∵ ∴ ∵点为的中点 ∴， ∴ ∴， ∴ 由题意得，平分四边形的面积，即平分的面积， ∴ ∵， ∴； （3）证明：过点作交的延长线于点，连接交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴平分的面积， ∴平分四边形的面积 ∴为四边形的等积线； （4）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得（舍负） 取的中点，连接 ∴ ∴ ∴ 过点作交的延长线于点，连接交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为四边形的等积线 ∴平分的面积， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作于点 ∵ ∴ ∴， ∴． 与三角形有关的角 考点02 1．（2026·河南南阳·二模）如图，，点A在直线上，点B在直线上．若，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质得，利用平行线的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·河南濮阳·二模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 3．（2026·河北唐山·二模）如图，正五边形和正六边形有一条公共边，对角线的延长线交边于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正多边形的性质求得，，，再根据等腰三角形的性质和周角定义求得， ，进而平角定义求得． 【详解】解：由正多边形的性质可知， ，，， ，， ． 4．（2026·贵州安顺·二模）如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交于点，连接．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由含30度直角三角形的性质得出． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（2026·山东青岛·二模）如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 6．（2026·北京平谷·二模）如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图，再由三角形外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∵， ∴． 7．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而得到的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形时，则的度数为__________． 【答案】或 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形的情况，结合等腰三角形性质和三角形外角性质，排除不符合题意的情况，即可计算得到的度数． 【详解】解：在中，，， 由三角形内角和定理得： ， 如图： 点在线段上，分三种情况讨论： ① 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得， ； ② 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理得： ， ； ③ 当时，为等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得 ， 根据三角形外角的性质，， 可得 ，不符合角度定义，舍去． 综上，的度数为或． 9．（2026·浙江舟山·二模）在中，，为中点，连接，作交于点．平分，交于点，若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边中线定理可得，进而推出，结合垂直定义和角平分线性质推导出，作构造等腰直角三角形和直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，为中点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 过点D作于点G， ， 点为中点， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ． 10．（2026·浙江宁波·二模）如图，将两个全等的直角三角形纸片（，）按如图方式摆放，使得点与点重合，点落在边上，连接，若，则______． 【答案】/156度 【分析】由题意得，，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·陕西铜川·二模）如图，将绕点旋转至的位置，点在边上．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴． 12．（2026·陕西西安·二模）如图，为的直径，点、在异侧的上，，连接、、．若，则的度数为________． 【答案】70 【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴. 13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：在等腰三角形中，若有一个内角是另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形为“二倍角等腰三角形”． (1)问题1：如图1，在中，平分，，求证：为二倍角等腰三角形； 问题2：如图2，在中，，在边上，在延长线上，且，交于点F，若，求证：为二倍角等腰三角形． 在问题1和问题2中选一个进行证明： (2)已知为二倍角等腰三角形，，，以为边向外作二倍角等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明：选择问题1：∵平分， ∴，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为二倍角等腰三角形. 选择问题2：如图，过作交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为二倍角等腰三角形． (2)为或或或. 【分析】（1）选择问题1：证明即可；选择问题2：证明； （2）先求解，，再分情况讨论即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，为二倍角等腰三角形，，， ∴， ∵， ∴，， ∵以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， ∴，而， ∴，， ∴； 如图， 以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 如图，以为边向外作二倍角等腰三角形，且，， 同理可得：， ∴， 综上：为或或或. 14．（2026·河北唐山·二模）如图，，交于点F，，点C在线段上，且，． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）由得，再根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，，；由三角形外角性质得，可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·江西景德镇·二模）今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． (1)若忽视机器人手臂，，，求的度数； (2)如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 全等三角形 考点03 1．（2026·海南儋州·二模）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，②正确； ③与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，且， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． ∴①②③⑤是正确的． 2．（2026·山东聊城·二模）如图，已知，分别为正方形的边，上的点，且，，分别交对角线于点，，连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，，，结合三角形内角和定理即可判断①正确；证明点、、、四点共圆，即可判断②正确；利用已知条件，无法证明，即可判断③错误；延长至点，使得，证明，得出，，再证明，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴点、、、四点共圆， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴， 利用已知条件，无法证明，故③错误； 如图，延长至点，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个． 3．（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由题可知，设交于，可证，得到，则是的垂直平分线，进而得到，再根据边的关系计算周长即可． 【详解】解：由题可知，设交于， ， 是的角平分线， ，又， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，，， , 则的周长． 4．（2026·四川南充·二模）如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比例函数关系；③的面积与两个正方形的大小均相关；④与两个正方形边长之比有关．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①正确添加辅助线，由正方形的性质，可证得四边形是矩形，得到相等的角和边，再由三角形的全等证得； ②构造直角三角形，由勾股定理表示出与，即可得证； ③由四边形是矩形和正方形的性质，可以表示出与边上的高，即可得到的面积； ④正确添加辅助线，构造平行四边形，由两直线平行，得到相等角，可证得． 【详解】解：①设正方形与的边长分别为、， 如图，连接，，交于点，过点作交的延长线于点， 因为四边形、是正方形， 所以，， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 在与中， ， 所以， 所以， 结论①正确； ②如图，延长、交于点， 则四边形是矩形， 在中，， 在中，， ， 结论②正确； ③由结论①的证明可知，，， ，， ， 结论③错误； ④如图，在上截取，连接， 所以， 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 所以，即， 所以是等腰直角三角形，， 四边形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 结论④错误． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在中，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；③作射线交于点；④分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点；⑤作直线，分别交、于点、．依据以上作图，若，，则的面积是（     ） A． B．16 C．28 D．32 【答案】B 【分析】连接，设与交于点O，由作法得：平分，垂直平分，证明，可得，，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点O， 由作法得：平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积是． 6．（2026·天津·二模）如图，在中，为的中点．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交②中的弧于点，点与点在直线同侧；④连接，并延长交于点，连接，下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题中作图，结合三角形全等的判定与性质得到，逐项验证各个选项即可得到答案． 【详解】解：由题中的作图可知，， ， ，则， A、题中无法确定，不一定成立； B、由于，而题中无法确定，则不一定成立； C、由等腰三角形三线合一性质得到，而题中无法确定，则不一定成立； D、由于、，则一定成立． 7．（2026·江苏苏州·二模）如图，在中，，．点是线段上一个动点．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的最小值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，设，得，根据二次函数的最值求解即可； 【详解】解：∵，，线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 根据勾股定理，得 ， 当时，有最小值，且最小值为4， 故的最小值为； 8．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 9．（2026·重庆·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 10．（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 11．（2026·河南洛阳·二模）如图，正方形边长为4，是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，线段的长为_____． 【答案】或 【分析】分当点E在上时和当点E在的延长线上时两种情况求解，过点F作于点G，则，证明，由全等三角形的性质求出，，过点F作于点H，则四边形为矩形，最后由矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：当点E在上时， 过点F作于点G，则， ∵是正方形， ∴， 由旋转的性质得出，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点F作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 当点E在的延长线上时， 过点F作于点G，则， 同理可证得， ∴，， 过点F作与点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 综上：的长为或． 12．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得到为等腰直角三角形，进而得到，，通过证明，得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 13．（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，点，，，分别在边，，，上，，将分成面积相等的四部分，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，由平行四边形的性质可知，过平行四边形的对称中心的直线平分该四边形的面积，可得，根据，，可知，，所以可得，根据平行四边形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，过点分别作的平行线交于点，作交的延长线于点，在中，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 则，将分成了面积相等的四部分，且，也过的对称中心点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ， 过点分别作的平行线交于点，作交的延长线于点， 则四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， 在中，， ． 14．（2026·江苏苏州·二模）已知：如图，，，、相交于点，过点作，交于． (1)请说明； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，，，，故； （2）由（1）得，故，故，故，又，故，，故，从而平分． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明：由（1）得， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 平分． 15．（2026·四川绵阳·二模）如图1，点、，且满足，点是上一点，且点的横坐标是，，，交轴于． (1)求点的坐标； (2)分别求出点和点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，求的度数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先解方程得，求直线解析式，代入横坐标得的坐标； （2）通过证明三角形全等，进而求出点的坐标，再用待定系数法求直线解析式，得的坐标； （3）通过两次证明全等三角形转化角度，进而证明目标角等于等腰直角三角形的角． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点、的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴当，， ∴点的坐标为． （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵点，点，点， ∴，，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴点， 设的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作，且，过点作于，连接， 由（1）可知，可得，，， ∵点的坐标为，点坐标为， ∴，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴，， ∴， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 等腰三角形 考点04 1．（2026·北京房山·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点H，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】解∶如图，过点A作于点H， ，， ． ． 以点为圆心，长为半径画弧交于点， ． ． ． ． ． 2．（2026·北京大兴·二模）如图，在中，，，分别以A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于M，N，直线与交于点D，连接，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据作图方法判断出是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，， ∵，， ∴， 由作图可知，，， ∴点M，N都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵四边形是边长为4的正方形， ，． 是等边三角形，， ， 在中，， ． 4．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的外接圆，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数； 【详解】解：， ， ， ， ． 5．（2026·广东深圳·二模）如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】由作图可得垂直平分，平分，由此即可判断AB选项正确；求出，，由此即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴，，故AB选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故D选项错误，符合题意． 6．（2026·四川绵阳·二模）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 7．（2026·贵州六盘水·二模）如图是某款发动机的内部结构图，中间“转子”的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该“莱洛三角形”的周长为，则这个等边三角形的边长（单位：）是（     ） A． B．10 C．20 D．30 【答案】B 【分析】根据“莱洛三角形”的周长由三段相等的圆弧组成，并根据弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个等边三角形的边长为，则圆弧的半径也为 ， 该三角形是等边三角形， 圆弧所对的圆心角为， 一段圆弧的长为， “莱洛三角形”的周长为，且由三段相等的圆弧组成， ，解得， 即这个等边三角形的边长是 ． 8．（2026·山东滨州·二模）如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点；④以点为圆心，为半径作弧交射线于另一点；⑤分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；⑥作射线交延长线于点．若，，则________． 【答案】 【分析】首先根据作图步骤得出平分，，利用平行四边形的性质和角平分线推导出，再通过延长交的延长线于点，构造全等三角形和相似三角形，求出的长，进而求得的长． 【详解】解：由作图步骤①②③可知，平分， ． 四边形是平行四边形， ，，． ， ， ． 由作图步骤④⑤⑥可知，，即． 如图，延长交的延长线于点． 在和 中， ， ，． ，即， ， ， ， ． 9．（2026·河南商丘·二模）如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____． 【答案】 【分析】连接，过作于，设与相交于，证明是等边三角形，得出，则可求，，，证明四边形是矩形，得出，最后根据求解即可. 【详解】解：连接，过作于，设与相交于， ∵菱形，， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ . 10．（2026·青海西宁·二模）如图，过的顶点作，，垂足为，若平分，，，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义推出，从而得到，设，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵， ． 平分， ， ， ． 设，则， ． 在中，，由勾股定理得， 即， 解得， ． 直角三角形 考点05 1．（2026·山东德州·二模）如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 2．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：在中，，，点为的中点， ． 4．（2026·天津·二模）在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先根据题意确定点的运动时间及位置分段点； 对于①，当时，判断点在上，利用三角形三边关系比较与的大小，进而与比较； 对于②，当时，点在上，点在上，利用平行线间距离处处相等求出的高，列出面积关于的函数关系式，利用一次函数性质求最大值； 对于③，分和两种情况，分别列出面积方程求解，判断解的个数． 【详解】解：由题意得，点到达点的时间为，到达点的时间为； 点到达点的时间为， 运动时间为． 对于①，当时，点在上， 此时，． 在中，， ，故①错误． 对于②，当时，点在上，点在上， 四边形是平行四边形， ， 点到的距离等于点到的距离． 如图，过点作于点， 在中，，， ， 的高为， ， ， ，随的增大而减小． 当时，最大，最大值为，故②正确． 对于③，当时，点在上，点在上，， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 令，整理得， 解得， ， （舍去）， 此时有一个解． 当时，点在上，点在上， 由（2）知，令，解得， ， 此时有一个解． 综上，有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确的结论有②③，共2个． 5．（2026·天津·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，若，则的长为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由旋转性质得出相关角度及线段长度，在中求出，进而由对顶角相等得出，在中，由含直角三角形性质求出，进而得出，在中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ，且，， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ， 在中，，，则， ． 6．（2026·山东青岛·二模）如图，在中，，O是上一点．以点O为圆心，为半径的与相切于点D，点E为的中点，连接，．若，，则半径长为（     ） A．3 B．3.25 C．3.5 D．3.75 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵点E为的中点，，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即半径长为． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，M为的中点，于D，连接．已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，，，为斜边的中点，且，点，分别在和上，且，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，由直角三角形的性质可得，则．分两类讨论，当点在线段上时，以、为边构造平行四边形，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，则，，，因此．由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，，则，由直角三角形的性质可得．根据垂线段最短可得，当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为；当点在线段上时，同样的方法可以计算出的最小值为，比较后得出答案． 【详解】解：①当点在线段上时，如图，连接，以、为边构造平行四边形，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为； ②当点在线段上时，如图，连接，以、为边构造平行四边形，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴当点与点重合时，取得最小值，即的最小值为； 综上所述，的最小值为． 9．（2026·山东济南·二模）如图，在中，，，，点为平面内一点，，连接、，点为内一点，连接、、则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转到，连接，过点作交延长线于点，连接，易证均为等边三角形，推出，当五点共线时，有最小值，为定值，可得有最小值，最小值为，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接，过点作交延长线于点，连接， 则，， ∴均为等边三角形， ∴， ∴， 当五点共线时，有最小值， ∵为定值， ∴有最小值，即有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，．若点E是内一动点，且，，，连接，分别取，的中点M，N，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形性质、直角三角形圆周角性质、三角形中位线定理，涉及知识点：直径所对圆周角为直角、三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半、勾股定理．解题方法是确定点E的轨迹（以为直径的圆），利用中位线将转化为的一半，通过构造直角三角形求的最小值；解题关键是找到的轨迹圆心，计算圆心到的距离，易错点是忽略E的轨迹范围．解题思路：先确定E在以为直径的圆上，求圆心到的距离，得最小值，再由中位线得最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵的中点为， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点是内一动点，且， ∴点的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为，连接， ∴当三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 11．（2026·江苏连云港·二模）【问题情境】 (1)如图1，在中，点，分别在边，上，且，过点，分别作，的平行线，并交于点，连接，求证：为等腰三角形； 【情境探究】 (2)在（1）的条件下，若已知，，则的最小为________； 【迁移应用】 (3)如图2，是一块边长为20米的正六边形草地，现要在草地上修建两条步道和，其中点，分别在，上，且．求两条步道总长度的最小值； 【拓展延伸】 (4)如图3，中，，，点，分别在边，上，且．连接，过点作交于点，连接，，求四边形的面积最小值．（用含和的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)米 (4) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）由（1）知四边形是平行四边形，为等腰三角形；求出，当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用直角三角形的性质即可解答； （3）分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作，证明为等腰三角形，求出米，米，，同理（1）得为等腰三角形，则，求出，同理（1）得，四边形是平行四边形，当时，有最小值，则有最小值，解直角三角形即可求解； （4）如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接，同理（1）得为等腰三角形，，证明四边形是平行四边形，得到四边形的面积为，当点重合时，有最小值，最小值为的长，此时，证四边形是矩形，可得有最小值，最小值为的长，再根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点作交延长线于点， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形； ∴， ∴， 当两点重合时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，在中，， ∴，即的最小为； （3）解：分别过点，作的平行线交于点，过点作于点，连接，过点作， ∵正六边形中，，米， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）； 同理，得米，， 同理（1）得为等腰三角形，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）得，四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值，则有最小值， 此时，， ∴（米）， ∴的最小值为米， 即两条步道总长度的最小值为米； （4）解：如图，过点作于点，分别过点，作的平行线交于点，连接， 同理（1）得为等腰三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形的面积为， 当点重合时，有最小值，最小值为的长， 此时，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 此时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形的最小面积为． 12．（2026·河南南阳·二模）如图，是的直径，点在线段的延长线上，直线与相切于点，连接．过点作，交延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 直线与圆相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）连接，可求得，利用同位角相等，两直线平行可得，从而根据平行线的性质求得，即可求证平分； （2）根据，即可求得，利用得出，则，从而求证到则有，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，，． (1)尺规作图：①在上找一点D，使是等边三角形，②过D作，交于点E． （不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则的值为 ．（若需画图，请用备用图） 【答案】(1)如下图，和即为所求， (2) 【分析】（1）利用，以为圆心、长为半径画弧，交于点，连接得到等边；以点D为圆心，为半径作弧，交于点F，再以点A和点F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，连接射线，交于，即可完成作图； （2）由等边及、，得为等腰直角三角形，，通过角度运算得到、，过作延长线，设，借助直角三角形边角关系推出，结合等腰直角三角形斜边公式，化简得． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ，，， ∵，， 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 过点作，交的延长线于点， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，，， 在中，设， 则， ，且，， ∴ 解得， 在等腰中，， 在等腰中，， ． 14．（2026·河南驻马店·二模）如图，在中，，点为射线上一点，且．过点作射线，请用无刻度直尺和圆规作图，并解答问题． (1)在的上方作，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，在（1）的基础上求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用尺规作图的方法，作即可； （2）连接，利用勾股定理求出，利用直角三角形两锐角互余及平角的定义得出，利用，可证明，根据相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 15．（2026·广东清远·二模）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 【答案】(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；真 (2)选择想法一：如图， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 选择想法二：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择想法三：如图， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）将原命题改写为“如果……，那么……”的形式，再调换条件和结论，即为逆命题，并判断真假即可； （2）结合（1）可知，需要证明的命题为，“在中，，若，求证：”．对于想法一，由直角三角形的性质容易证明是等边三角形，从而得到；对于想法二，利用垂直平分线的性质可得，，，，容易证明，从而得到，则；对于想法三，由轴对称的性质容易证明是等边三角形，从而得到． 【详解】（1）解：原命题可改写为：“在直角三角形中，如果有一个角为，那么其所对的直角边等于斜边的一半”， ∴逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是”，这是一个真命题； （2）略 勾股定理及逆定理 考点06 1．（2026·河南南阳·二模）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用矩形的性质和相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， ∴在中， ， ， ， ， ． 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，先证明四边形是菱形，然后由勾股定理求出，再由菱形的性质即可求解． 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示： 由作图可知，平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 4．（2026·重庆·二模）如图，正方形中，为边上一点，连接、交于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，，设，则，推出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，，推出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，由，推出，可求出，证明可得，即可求解． 【详解】解：设、交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， ，，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故选：D． 5．（2026·浙江台州·二模）如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】由图象最低点可知当为中点时面积最小，据此求出的边长及的值；由图象最高点为分段点，分析可知此时点与点重合，据此求出和的值；当时，，点在上，点在上， 作于， 再求出，然后说明，求出，最后求出，验证即可． 【详解】解：当为中点时，，此时最短 ， 的中垂线，， ∴且与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形，面积最小， 对应图象最低点 ， 解得． 为等腰直角三角形，为中点， ，， ，故B错； 由图象可知为分段点，此时点从边运动到边，即与重合， 垂直平分，在上， ， ，故A错误； 此时在上，与重合，四边形即四边形， ，， ， ． ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，故C正确； 当时，，点在上，点在上， 过作于，则，， 则 ， 根据题意可知，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以点不在该函数图象上． 则D不正确． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由图2的函数图象可求、、、，作，于点，连接交于点，则，可由等面积法求出，再由勾股定理求出的长，从而得出点与点重合，即可得出结果． 【详解】解：由图2可得：，， ∴， ∴， ∵当，即点运动到点，， ∴， 如图，作，于点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图1，在中，，为边的中点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连结．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点在该函数图象上 D．的最大值为52 【答案】C 【分析】由图象可知：当时，，则有，此时点E与点A重合，即，当时，，此时点E与点C重合，则点E运动的总路程为，然后可得，进而可分当点E在上时，即，当点E在上时，即，分别得出其函数解析式，最后问题可求解． 【详解】解：由图象可知：当时，，则有，此时点E与点A重合，即，故A正确； 当时，，此时点E与点C重合，则点E运动的总路程为， ∵为边的中点， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 当点E在上时，即，由题意得，过点D作于点H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，即， 当点E在上时，即，则有， ∴在中，由勾股定理得：， 即，此时无最大值， 综上可知：的最大值为52，故D正确； 把代入得：， ∴点在该函数图象上，故C错误． 8．（2026·浙江温州·二模）如图1，在中，点是边上的定点，点从点出发，依次沿的路线匀速运动，回到点时停止．设点运动的路程为，为，则关于的函数图象如图2所示，其中，分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（     ） A． B．点的纵坐标为144 C． D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据图2最高点得出长，根据点横坐标得出长进而求出及点纵坐标；结合图2终点横坐标及选项D验证长，利用勾股定理逆定理推导长，从而判断选项． 【详解】解：由图2可知，的最大值为400，此时运动到点， ∴，解得，故A选项正确； 由图2可知，点为段的最低点，此时，过点D作， ∵点横坐标为36， ∴， 在中，， ∴点纵坐标为，故B选项正确； 在图1中，作点B关于的对称点F， 则，， 根据图2可知运动到点B和点F时，相等， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 由图2可知运动到点时， ∴， ∴， 选项C中，故C选项错误； 在中，， 若选项D正确，即点在函数图象上， 此时在段，， 则从点运动了， ∴， 又，∴， ∴，符合题意； 综上，D选项正确，C选项错误． 9．（2026·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，点O是直线上一点，将绕点O旋转得到（点A，B，C分别与点，，对应），连接，．若以点B，C，，为顶点的四边形的最小内角是时，的长是________． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理求出，然后分两种情况讨论： 当点O在上，且时，过点作于点D，于点E，根据面积法求出的长，即可求得答案； 当点O在的延长线上，且时，设，过点作，交的延长线于点H，根据相似三角形的判定与性质求出的长，即可求得答案． 【详解】解：，，， ， 当点O在上，且时，如图， 过点作于点D，于点E， ， ， ， ， ， ， ， 绕点O旋转得到， ， ； 当点O在的延长线上，且时，如图， 设， 过点作，交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ； 综上所述，或． 10．（2026·四川成都·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 相似三角形 考点07 1．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 【答案】C 【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴与相似，相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为． 2．（2026·重庆·二模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 3．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用矩形的性质和相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， ∴在中， ， ， ， ， ． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意判定与相似，再利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，对照选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴故A项成立． 5．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明和，将周长比转化为对应边之比；再利用得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则原式， ， ∴当时，二次函数取得最大值， 该比值的最大值为． 6．（2026·浙江舟山·二模）如图，在菱形中，为对角线，过点作，交于点，若，，则菱形的边长为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求出的长，再证明，利用相似比求出的长即可． 【详解】解：过点作于点． 四边形是菱形， ． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ． 即菱形的边长为． 7．（2026·河北唐山·二模）如图，已知菱形，对角线与相交于点，，，菱形内部有一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，则的最大值（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形性质求出长，构造辅助点使得为等腰直角三角形，通过证明得出为定值，从而确定点的轨迹，利用点与圆的位置关系求最大值即可. 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 在中，， 将点绕点顺时针旋转得到点，连接， ，， 是等腰直角三角形，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形，，， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， ， 三点共线， ∴， 当在延长线上时，取得最大值 . 8．（2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，故选项C符合题意； 无法得出的面积、的面积、的面积与的面积相等，故A、B、D不符合题意． 9．（2026·四川成都·二模）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵, ∴ 解得： 10．（2026·广西南宁·二模）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿着翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识． 在中，利用，即可求出，再证明，即可求解． 【详解】解：根据翻折有：，， 即：， 在矩形中，有，，， ∴， ∵在中，， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·江苏南京·二模）如图，将矩形纸片折叠，使点A落在的中点E处，若，，则折痕的长为_________． 【答案】 【分析】根据翻折的性质，在中，利用勾股定理求出、，再证明，，由对应线段成比例，求解、，在中，利用勾股定理即可求解的长． 【详解】解：过点作与点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， 由翻折的性质有，，，， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，． 12．（2026·江苏扬州·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别在边上，若，则长的最小值为_________． 【答案】 【分析】作，和相交于点G，连接并延长交于点M，则四边形是平行四边形，，求出，可知是定角，当时，取得最小值，即取得最小值，证明求出即可求解． 【详解】解：作，和相交于点G，连接并延长交于点M， 则四边形是平行四边形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是定角， ∴点G在上运动， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即长的最小值为． 13．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，根据平行线的性质以及平行线分线段成比例，得到，，进而得到，，点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动，作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接，得到当最大时，与相切于点，证明，进行求解即可. 【详解】解：作，交于点， 则，， ∴，， ∴点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动， 作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接， 则， ∴， 当最大时，则与相切于点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 14．（2026·山东济南·二模）在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 (1)如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 (2)如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； (3)如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）观察图形可知，和可以分别放在和中，然后结合已知条件证明这两个三角形相似即可得出与的数量关系； （2）首先在第（1）问的基础上，利用对应角相等证明，然后在中，结合已知条件用勾股定理列方程即可求解； （3）由于的底边为定值，因此需确定边上的高的最大值，也就是要确定点P的运动轨迹，然后结合已知条件，通过构造与相似的三角形来确定点P的运动轨迹，进而求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵如图，在中，，， ． ， ， ． ， ， ， ， ，即； （2）解：如图，由（1）得，， ． 又， ． ，，A、E、D三点共线， ． ∵在中，，， 由勾股定理得， ∴在中，， ， ； （3）解：如图，过点作交于点， ． ， ， ． ， ， ． ， ∴点在以为直径的圆周上运动（一段圆弧），记圆心为，半径， 当时，取最大值． ， ， 所以此时． 15．（2026·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求证：； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及等量代换可得到，推出，进而利用平行线的性质证明切线即可； （2）由，得到，，证明，，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，即点是的中点，可求出，进而求出，即可得证； （3）证明得到，即，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； （3）， ， ， ， ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $