专题09 统计与概率（6大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦统计与概率6大核心考点，精选全国多地区二模真题，情境融合科技（如航天工程）、文化（如非遗知识）、生活（如体育锻炼）实际，注重数据分析与概率应用能力分层考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|59题|统计量辨析（加权平均数、方差）、概率计算（树状图/列表法）、抽样调查判断|情境贴近“活力课间”“农产品种植”等现实问题，基础题占比60%| |解答题|20题|频数分布直方图分析、用样本估计总体、概率综合应用|大题结合图表（如温室草莓产量统计），考查数据解读与决策能力，适配中考二模难度|

专题09 统计与概率 6大考点概览 考点01 统计量辨析 考点02 简单概率计算 考点03 全面抽查和抽样抽查 考点04 用样本估计总体 考点05 频数分布直方图结合统计图大题 考点06 列表图或树状图求概率 统计量辨析 考点01 1．（2026·四川南充·二模）某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（    ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 2．（2026·河南周口·二模）现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南南阳·二模）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（     ） A．共抽取了48人的测试成绩 B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人 C．样本的中位数落在这一分数段内 D．样本中80分以上的人数占总体的 4．（2026·四川内江·二模）据统计，威远2025年8月1日至10日的最高气温如下（单位：℃）：37、37、38、39、39、34、34、34、33、31．对这组数据的分析，以下说法正确的是（     ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是 C．这组数据的极差是 D．这组数据的平均数是 5．（2026·广东清远·二模）某学校的绘画社团参加市青少年绘画比赛，7位评委给出的分数为88，91，92，93，93，95，90．这组数据的中位数、众数分别是（     ） A．90，93 B．92，93 C．92，90 D．93，90 6．（2026·湖南永州·二模）某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组参加全市中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（2026·江苏盐城·二模）已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（     ） A．2 B．4 C．5 D．9 8．（2026·贵州遵义·二模）今年五一期间，遵义高速交警在限速的某路段监测到6辆车的车速（单位：）分别为：117，102，106，120，117，113．若将这组数据中的113去掉，则下列统计量中不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 9．（2026·安徽阜阳·二模）为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为，由此可知___________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）． 10．（2026·广西贺州·二模）某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，小丽的口语表达成绩为分，写作能力成绩为分，则小丽的最终成绩为________分． 11．（2026·河南安阳·二模）某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 12．（2026·山西太原·二模）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 13．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 14．（2026·河南周口·二模）某校篮球队对4名队员进行定点投篮测试，每人投篮20次，统计如下表： 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 2.4 3.6 1.2 1.0 若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 简单概率计算 考点02 1．（2026·山东潍坊·二模）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，小亮和小莹同时经过该路口，恰好有一人直行，另一人左拐的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东滨州·二模）某市有60000名学生参加了初中学业水平考试，为了解这60000名学生的数学成绩，准备从中随机抽取2000名学生的数学成绩进行统计分析，那么考号为0900800的李晓明同学的数学成绩被抽中的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东德州·二模）实验室的试管架上放着3支无标签的试管，分别装有氢氧化钠溶液、稀盐酸和氢氧化钾溶液．已知酚酞溶液遇碱性溶液会变红，遇酸性溶液不变色，氢氧化钠和氢氧化钾溶液呈碱性，稀盐酸呈酸性．小明同学从这3支试管中随机挑选2支，分别滴入酚酞溶液，则两支试管中溶液同时变红的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南濮阳·二模）周末，小明一家4口去郊区野餐．如图是他们搭建的临时餐桌，他们坐在每个位置的可能性大小都是相同的．小明和爸爸坐在餐桌两侧的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·二模）某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有溶液、稀溶液、稀溶液和溶液．我们知道：溶液遇酚酞变红；稀溶液、稀溶液和溶液遇酚酞不变色．现随机选取其中1个试剂瓶中的溶液，用酚酞试纸（或酚酞试剂）进行检验，则混合后溶液呈现红色的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津宁河·二模）不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_______． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）连续掷一枚质地均匀的骰子（一种正方体形状玩具，各面分别标有数字1～6）两次，那么两次所得点数之和为5的概率为_____． 10．（2026·河南南阳·二模）少林武术，又称少林功夫．将正面画有少林功夫经典拳种——朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳的四张卡片背面朝上洗匀，且它们除正面外完全相同．从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片是同一拳种的概率是________． 11．（2026·重庆·二模）现有张分别标有数字，，的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，记下数字．然后放回，背面朝上洗匀后再随机抽出一张卡片，则前后两次抽出的卡片都是奇数的概率是________． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市位于美丽的松花江畔，是黑龙江省旅游的名片，这里有许多旅游景点：①中央大街步行街；②中华巴洛克景区；③冰雪大世界；④太阳岛公园．若小亮从这四个景点中随机选择两个进行主题宣传，则所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为________． 13．（2026·山东济南·二模）如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 14．（2026·湖南长沙·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 15．（2026·浙江温州·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，卡片上的数字之和为偶数的概率是______． 全面抽查和抽样抽查 考点03 1．（2026·重庆·二模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 B．调查一批笔芯的使用寿命 C．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 D．调查全校同学的家庭用电情况 2．（2026·广西柳州·二模）下列调查中，适合抽样调查的是（     ） A．了解某班同学期中考试的数学成绩 B．了解全市中小学生的身高情况 C．了解一张试卷的知识点分布情况 D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检 3．（2026·河南安阳·二模）下列调查中，适合采用全面调查的是（     ） A．调查某个班级学生的身高情况 B．调查某型号汽车的碰撞成绩 C．调查央视春节联欢晚会的收视率 D．调查全国九年级学生的视力情况 4．（2026·广西梧州·二模）下列调查中，适合抽样调查的是（     ） A．了解某批次灯泡的使用寿命 B．了解某班级学生的数学作业完成情况 C．了解某考场考生准考证的核对情况 D．了解某班级学生的视力情况 5．（2026·山西朔州·二模）以下调查中，最适合采用全面调查的是（   ） A．了解长江流域的水质污染情况 B．了解某战斗机所有关键零件的尺寸精度 C．测试某品牌手机的电池续航能力 D．了解全国中小学生每日的睡眠情况 6．（2026·重庆北碚·二模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 7．（2026·湖北恩施·二模）下列调查中，只适宜采用全面调查的是（     ） A．了解一批日光灯管的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况 C．调查长江流域的水质状况 D．检查运载火箭的各零部件 8．（2026·河南·二模）关于数据的收集，下列说法正确的有（   ） ①小刚调查全班同学最喜欢的体育活动应该用普查； ②神舟二十三号载人飞船发射前对零件的检查工作应该用抽样调查； ③了解一批笔芯的使用寿命，应该用抽样调查； ④小颖想要调查全市70岁以上老人的健康状况，她应该前往医院抽样调查老人一年生病的次数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·内蒙古通辽·二模）下列调查中，适合用普查的方式调查的是（    ） A．了解全国中小学课间15分钟的实施情况 B．了解全国小学放春假的情况 C．了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节目的评分 D．某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 10．（2026·重庆武隆·二模）下列说法中，正确的是（     ） A．调查全国中学生的身高情况采用全面调查 B．调查航天飞船零部件的安全性能采用抽样调查 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．平分弧的直径一定垂直于该弧所对的弦 用样本估计总体 考点04 1．（2026·浙江嘉兴·二模）某校有800名男生，为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并按“低体重”“正常”“超重”“肥胖”四个等级，整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 7 76 14 3 根据以上信息，下列说法合理的是（    ） A．样本容量800 B．众数21.2 C．中位数76 D．该校男生等级为“正常”的有608人 2．（2026·河南三门峡·二模）4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有名，估计该校名学生中该月阅读两本以上名著的有（   ） A．名 B．名 C．名 D．名 3．（2026·浙江金华·二模）某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 4．（2026·云南临沧·二模）2025年12月30日，国家卫生健康委等13部门公布《儿童青少年健康促进行动计划（年）》．为了解学生日常体育兴趣爱好，某校进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（其中A：跑步；B：篮球；C：羽毛球；D：网球）．若该校共有学生2000人，则该校喜欢篮球的学生大约有（     ） A．600人 B．300人 C．200人 D．60人 5．（2026·云南玉溪·二模）某中学为传承传统文化，优化社团活动安排，就“学生最喜爱的传统文化社团类型”进行抽样调查（每人限选一类），绘制出尚未完成的统计图（如图所示）．若该校共有学生人，估计喜爱“民乐社”的学生人数为（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 6．（2026·贵州遵义·二模）某校随机调查100名学生中喜爱的运动项目，其中有24人喜欢篮球，估计1000名学生中喜欢篮球约有（   ） A．24 B．240 C．480 D．760 7．（2026·四川成都·二模）某校在3月举办了“读经典·品书香”读书月活动．为了解全校800名学生的阅读情况，学校随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有30人在读书月阅读超过两本名著，根据这个调查结果，估计全校在读书月阅读超过两本名著的学生人数约为（    ） A．80人 B．120人 C．240人 D．300人 8．（2026·北京平谷·二模）为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 9．（2026·湖南长沙·二模）李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 10．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 频数分布直方图结合统计图大题 考点05 1．（2026·吉林长春·二模）根据《学校食品安全与营养健康管理规定》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了名学生进行满意程度评价．根据这名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表： 评价等级分数段 评价等级 分数（x分） 非常满意（A） 满意（B） 一般（C） 不满意（D） 非常不满意（E） C等级统计表 得分 70 72 75 76 78 频数 1 3 5 3 分析C等级统计表的数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 75 c 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)表中的_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数． 2．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 3．（2026·山东济南·二模）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； (2)本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； (3)若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 4．（2026·广东深圳·二模）【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； (3)作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； (4)已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 5．（2026·山东潍坊·二模）花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下： 【收集数据】 从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为粒、粒、粒、粒、粒共组．在花生栽培与育种中，果仁数为粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率丰产果数花生果总数． 【整理与描述】 根据数据绘制了如下不完整的统计图表： 新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表 品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率 新培育品种 本地主栽品种 75% 【分析数据】 (1)将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为粒时对应的扇形圆心角的度数； (2)求出，的值； (3)如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？ 6．（2026·山东济宁·二模）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 (1)表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； (4)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 7．（2026·四川成都·二模）2025年成都世界运动会是中国大陆首次承办的非奥项目国际综合性赛事，多种小众比赛项目走红，市民积极参与新兴潮流项目，形成健康的生活方式．某校七年级开设了课外社团选修课，有飞盘、啦啦操、定向越野、武术4个项目，小明想了解全年级同学选修课的选择情况，对每个班随机抽取部分学生选择的选修课项目进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人；在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为________； (2)该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； (3)为庆祝端午节，学校从“武术”选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名参加汇演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加汇演的概率． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 A组      B组      C组      D组      备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ； (2)B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 9．（2026·河北·二模）为了提高学生的物理知识水平，某校随机抽取了部分学生参加物理知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题． 学生获奖结果条形统计图 (1)求本次抽样测试的人数，并补全条形统计图； (2)若全校有2400名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？ (3)本次竞赛获前五名的同学，有两名女生，三名男生，要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．两名女生先抽，请用列表或画树状图的方法，求两名女生抽到的演讲顺序号恰好相邻的概率． 10．（2026·江苏无锡·二模）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． (3)现有甲、乙、丙三位学生被邀请参加“课外阅读分享”沙龙活动，他们将通过抽签来决定出场顺序． ①甲第一个出场的概率为 ； ②求甲比乙先出场的概率．（用画树状图或列表的方法） 列表图或树状图求概率 考点06 1．（2026·陕西咸阳·二模）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，制成如图所示的不透明的4张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀． (1)小沈从中随机抽取一张卡片正好是B卡片（共享服务）的概率是 ； (2)小沈最喜欢四张卡片中的A（共享出行）和D（共享知识），那么小沈从中随机抽取一张卡片，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是A（共享出行）和D（共享知识）的概率． 2．（2026·江苏南通·二模）近年来，青少年的视力健康越来越受重视，养成良好的用眼习惯是保护视力的关键．在学校组织的视力检查中，设置了三个检查组同时进行视力检查． (1)小明选择组检查的概率为__________； (2)求小明和小强在同一组检查视力的概率． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人类细胞． 素材：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇形区域内分别写上．斑马鱼、．水稻、．涡虫、．白鼠四个上过太空的生物． 素材：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称；小亮再转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习．（若指针指在分割线上，则重转） (1)小明选择的生物是．斑马鱼的概率为________； (2)已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 4．（2026·山东青岛·二模）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗．还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以从4张贴画中任意抽取2张作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 5．（2026·江苏扬州·二模）端午节前，我集团校举行“传经典颂端午”系列活动，将活动设计的项目制成卡片（除正面不同外，其余均相同），如图所示，现将这些卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上，若七年级代表从中随机抽取一张卡片，记下活动项目后放回，洗匀，然后九年级代表再随机抽取一张卡片，记下活动项目，抽中项目即为本年级活动项目． (1)若九年级代表在这4种活动中随机选择，则选中“包粽子”的概率是_________； (2)请用画树状图或列表的方法，求七年级代表和九年级代表随机选择选到同一种活动项目的概率． 6．（2026·江苏南京·二模）甲袋中有1个白球、1个红球，乙袋中有2个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． (1)求摸出的两个球颜色相同的概率； (2)若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球颜色相同的概率为____． 7．（2026·广西南宁·二模）广西“三月三”期间，某校举办“非遗文化体验”活动，设置了两款抽奖转盘：甲盘是方形壮锦纹样转盘，被分成4等份，分别标注了4种广西特色手工艺品（A：壮锦、B：铜鼓、C：绣球、D：坭兴陶）；乙盘是三角形花山岩画纹样转盘，被分成3等份，分别标注了3种三月三特色活动（P：对歌、Q：抛绣球、R：跳竹竿舞）．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 8．（2026·陕西渭南·二模）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．某班在航天主题班会上，班长制作了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成四等份，将A．嫦娥探月，B．天问探火，C．北斗组网，D．神舟飞天四个航天工程分别写在四个扇形中，每个小组的组长转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，则该小组就以该航天工程为主题进行讨论（若指针指在分界线上，则重新转动）． (1)该班甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月是________事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)请用列表或画树状图的方法，求该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天的概率．（不分先后顺序） 9．（2026·江苏无锡·二模）一只不透明的袋子中装有标号分别为，，，，的个球，这些球除标号外都相同． (1)从中任意摸出个球，摸到标号为偶数的概率是________； (2)从中任意摸出个球，记录标号后不放回，再从中任意摸出个球，记录标号，求两次摸到的球标号之和为的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 10．（2026·江苏徐州·二模）2026江苏省城市足球联赛徐州奥体中心主场赛事期间，现场共设有、、、四条安检通道，为应对3万余人的安检需求，这些通道在入场高峰会同时开放．若甲、乙两人在入场高峰随机选择一个通道进入体育场． (1)甲从通道进入体育场的概率为________； (2)求甲、乙两人从不同通道进入体育场的概率． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 6大考点概览 考点01 统计量辨析 考点02 简单概率计算 考点03 全面抽查和抽样抽查 考点04 用样本估计总体 考点05 频数分布直方图结合统计图大题 考点06 列表图或树状图求概率 统计量辨析 考点01 1．（2026·四川南充·二模）某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（    ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】B 【分析】根据给定权重比计算加权总评成绩，结合总评不低于85分的要求列不等式求解即可． 【详解】解：设小王期末成绩为x分，根据题意得： 解得： 小王期末成绩不低于86分． 2．（2026·河南周口·二模）现有一组从小到大排列且不重复的整数：，，，，， 若这组数据的中位数是，则这组数据的平均数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中位数的定义确定的取值，再计算这组数据的平均数． 【详解】解：若这组数据的中位数是，则， 该组整数从小到大排列且不重复，则， 故这组数据的平均数为． 3．（2026·河南南阳·二模）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（     ） A．共抽取了48人的测试成绩 B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人 C．样本的中位数落在这一分数段内 D．样本中80分以上的人数占总体的 【答案】D 【详解】解：选项A中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知本次随机抽查的学生人数为（人），所以共抽取了48人的测试成绩，说法正确，故选项A不符合题意； 选项B中，48人中90分以上的学生有6人，占，所以全校在90分以上的学生约有（人），说法正确，故选项B不符合题意； 选项C中，读图即可知48个样本的中位数是第24和25这两个数据的平均数，数据按从小到大排列，频数，，所以样本的中位数落在这一分数段内，说法正确，故选项C不符合题意； 选项D中，样本中80分以上的人数有人，占总体人数的，说法不正确，故选项D符合题意． 4．（2026·四川内江·二模）据统计，威远2025年8月1日至10日的最高气温如下（单位：℃）：37、37、38、39、39、34、34、34、33、31．对这组数据的分析，以下说法正确的是（     ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是 C．这组数据的极差是 D．这组数据的平均数是 【答案】A 【分析】根据众数、中位数、极差、平均数定义整理数据后，分别计算各统计量即可判断选项． 【详解】解：先将数据从小到大排序得，共10个数据， ∵出现次数最多，为次，∴众数是，A选项正确； ∵中位数是排序后第5个和第6个数据的平均数，∴中位数为，B选项错误； ∵极差最大值最小值，∴极差为，C选项错误； 计算得数据总和为，∴平均数为，D选项错误． 5．（2026·广东清远·二模）某学校的绘画社团参加市青少年绘画比赛，7位评委给出的分数为88，91，92，93，93，95，90．这组数据的中位数、众数分别是（     ） A．90，93 B．92，93 C．92，90 D．93，90 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据定义分别计算中位数和众数即可． 【详解】将原数据从小到大排序，得：，，，，，，， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数，即第个数， ∴中位数为， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数， 出现次，出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数、众数分别是，． 6．（2026·湖南永州·二模）某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组参加全市中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题需根据平均数和方差的意义解题，成绩好对应平均数更高，状态稳定对应方差更小，先筛选出平均数高的小组，再比较方差得到结果． 【详解】∵乙、丙的平均数为，高于甲、丁的平均数， ∴成绩较好的小组为乙和丙， 又∵乙的方差为，大于丙的方差，方差越小成绩越稳定， ∴丙成绩好且状态稳定，故应选择丙小组． 7．（2026·江苏盐城·二模）已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（     ） A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】找出数据中的最大值和最小值，计算二者的差即可得到结果． 【详解】解：∵本题给出的5个数据为171，173，175，180，176． ∴数据中最大值为，最小值为， ∴极差为 ． 8．（2026·贵州遵义·二模）今年五一期间，遵义高速交警在限速的某路段监测到6辆车的车速（单位：）分别为：117，102，106，120，117，113．若将这组数据中的113去掉，则下列统计量中不发生变化的是（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义，分别计算去掉113前后各统计量的值，对比得到不发生变化的统计量． 【详解】解：将原6个数据从小到大排序得：102，106，113，117，117，120， ∴这组数据的中位数是， 平均数是， 众数是117， 方差为： ； 去掉113后将剩余的数据从小到大排序得：102，106，117，117，120， ∴这组数据的中位数是， 平均数是， 众数是117， 方差为： ， ∴这组数据中的113去掉，不发生变化的是众数． 9．（2026·安徽阜阳·二模）为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为，由此可知___________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【分析】方差用于衡量数据的波动大小，当平均成绩相同时，方差越小，成绩波动越小，稳定性越好，只需比较三名运动员方差的大小即可得到结果； 【详解】解：三名运动员的方差分别为， 比较大小得， 可得甲的方差最小，因此甲运动员发挥更稳定； 10．（2026·广西贺州·二模）某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，小丽的口语表达成绩为分，写作能力成绩为分，则小丽的最终成绩为________分． 【答案】 【分析】根据题目给出的权重比，结合加权平均数公式计算最终成绩即可． 【详解】小丽的最终成绩为（分）． 11．（2026·河南安阳·二模）某次排球垫球项目训练中，甲、乙两名同学10次垫球的平均成绩均为35个，数据统计如图，则该项目成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义：方差越小，数据越稳定．观察折线统计图，比较甲、乙两名同学成绩的波动情况即可得出结论． 【详解】观察折线统计图可知，甲同学10次垫球成绩的折线起伏较小，乙同学10次垫球成绩的折线起伏较大， 根据方差的意义，数据的波动越小，方差越小，成绩越稳定， 因为甲同学成绩的波动小于乙同学成绩的波动， 所以该项目成绩比较稳定的是甲． 12．（2026·山西太原·二模）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 【答案】丙 【分析】根据平均数越高的成绩越好，方差越小发挥越稳定，故选择平均数高的且方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的平均数高， ∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的方差相比，丙同学的方差较小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，应该选择丙． 13．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 14．（2026·河南周口·二模）某校篮球队对4名队员进行定点投篮测试，每人投篮20次，统计如下表： 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 2.4 3.6 1.2 1.0 若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 【答案】丙 【分析】要选出命中数高且发挥稳定的队员，需先比较四名队员的平均命中数，选出平均命中数较高的队员，再比较平均命中数较高的队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 【详解】由统计表可知，四名队员的平均命中数为，，，， 可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁， 乙的方差为，丙的方差为，， 根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 因此丙满足命中数高且发挥稳定． 故答案为：丙． 简单概率计算 考点02 1．（2026·山东潍坊·二模）经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，小亮和小莹同时经过该路口，恰好有一人直行，另一人左拐的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可得： 小亮         小莹 左拐 直行 右拐 左拐 直行 右拐 ∴由表格可得：一共有种可能性，其中“恰好一人直行，另一人左拐”包含两种符合条件的情况：①小亮直行，小莹左拐；②小亮左拐，小莹直行， ∴符合条件的结果共2种， ∴所求概率为：． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先求出所有等可能的结果总数，再找出符合条件的结果数，根据概率公式即可计算出答案． 【详解】解：∵第一次摸球共有4种等可能结果，摸出后不放回，第二次摸球共有3种等可能结果， ∴由树状图可知，两次摸球的所有等可能结果总数为 ． ∵两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”，即两次摸出的球恰好是“辽”和“宁”，共有2种符合条件的结果， ∴根据概率公式可得所求概率为 ． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种， ∴到达点E的概率为． 4．（2026·山东滨州·二模）某市有60000名学生参加了初中学业水平考试，为了解这60000名学生的数学成绩，准备从中随机抽取2000名学生的数学成绩进行统计分析，那么考号为0900800的李晓明同学的数学成绩被抽中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在不重复抽样中，，总体中每个个体被抽到的概率都相等，等于样本容量与总体容量的比值，据此计算即可． 【详解】解：总共有名学生，需要抽取名学生的成绩，每个学生被抽中的概率相等， 李晓明同学被抽中的概率． 5．（2026·山东德州·二模）实验室的试管架上放着3支无标签的试管，分别装有氢氧化钠溶液、稀盐酸和氢氧化钾溶液．已知酚酞溶液遇碱性溶液会变红，遇酸性溶液不变色，氢氧化钠和氢氧化钾溶液呈碱性，稀盐酸呈酸性．小明同学从这3支试管中随机挑选2支，分别滴入酚酞溶液，则两支试管中溶液同时变红的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用枚举法列出所有随机挑选的等可能结果，再找出满足两支试管同时变红的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】我们将3支试管中的溶液分别标记为：（氢氧化钠，碱性），（氢氧化钾，碱性），（稀盐酸，酸性）， ∵从3支中随机挑选2支，所有等可能的结果为：，，，共3种， 其中满足两支同时变红（即均为碱性）的结果只有这1种， ∴根据概率公式可得，所求概率，故选B． 6．（2026·河南濮阳·二模）周末，小明一家4口去郊区野餐．如图是他们搭建的临时餐桌，他们坐在每个位置的可能性大小都是相同的．小明和爸爸坐在餐桌两侧的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记餐桌一侧的座位为A，B，另一侧的座位为C，D，画出树状图，求出所有等可能结果数及小明和爸爸坐在餐桌两侧的等可能结果数，即可根据概率的计算公式计算． 【详解】解：记餐桌一侧的座位为A，B，另一侧的座位为C，D， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能结果，其中小明和爸爸坐在餐桌两侧的等可能结果是，，，，，，，，共8种，所以小明和爸爸坐在餐桌两侧的概率是． 7．（2026·山东聊城·二模）某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有溶液、稀溶液、稀溶液和溶液．我们知道：溶液遇酚酞变红；稀溶液、稀溶液和溶液遇酚酞不变色．现随机选取其中1个试剂瓶中的溶液，用酚酞试纸（或酚酞试剂）进行检验，则混合后溶液呈现红色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能情况数以及满足条件的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵随机选取1个试剂瓶，共有4种等可能的结果， 其中只有溶液遇酚酞变红，满足混合后溶液变红的结果只有1种， ∴所求概率为． 8．（2026·天津宁河·二模）不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球、5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为_______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，总共有11种等可能的结果，取出的球是绿球的结果有5种，根据概率公式，可得取出绿球的概率为． 9．（2026·浙江嘉兴·二模）连续掷一枚质地均匀的骰子（一种正方体形状玩具，各面分别标有数字1～6）两次，那么两次所得点数之和为5的概率为_____． 【答案】 【分析】先求出连续投掷两次骰子所有等可能的结果总数，再找出两次点数之和为5的结果数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意，将两次抛掷骰子产生的情况列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表中数据可知，共有36个等可能结果出现，其中和为5的有4次， ∴． 10．（2026·河南南阳·二模）少林武术，又称少林功夫．将正面画有少林功夫经典拳种——朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳的四张卡片背面朝上洗匀，且它们除正面外完全相同．从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片是同一拳种的概率是________． 【答案】 【分析】先得到所有等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片是同一拳种的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：用、、、分别表示朝阳拳、梅花拳、黑虎拳、罗汉拳，列表如下： 由表格可知，一共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片是同一拳种的结果有种． 因此两次抽取的卡片是同一拳种的概率为． 11．（2026·重庆·二模）现有张分别标有数字，，的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，记下数字．然后放回，背面朝上洗匀后再随机抽出一张卡片，则前后两次抽出的卡片都是奇数的概率是________． 【答案】 【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出满足两次抽出卡片都是奇数的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 第一次        第二次 由列表可知，所有等可能的结果共有种，其中两次抽出的卡片都是奇数的结果有种， 根据概率公式得：． 12．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市位于美丽的松花江畔，是黑龙江省旅游的名片，这里有许多旅游景点：①中央大街步行街；②中华巴洛克景区；③冰雪大世界；④太阳岛公园．若小亮从这四个景点中随机选择两个进行主题宣传，则所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为________． 【答案】 【分析】先求出从4个景点中随机选择2个的所有等可能结果数，再找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将四个景点分别记为①中央大街步行街，②中华巴洛克景区，③冰雪大世界，④太阳岛公园． ① ② ③ ④ ① ①② ①③ ①④ ② ②① ②③ ②④ ③ ③① ③② ③④ ④ ④① ④② ④③ 从四个景点中随机选择两个，所有等可能结果共种． 其中所选两个景点恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的结果有种． ∴所选两个代表景点中恰好是“中央大街步行街”和“冰雪大世界”的概率为． 13．（2026·山东济南·二模）如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 【答案】/ 【分析】利用几何概型的概率公式，即所求概率等于阴影区域面积与大正方形面积的比值，先根据正方形的性质得出阴影部分的面积与大正方形面积的关系，再计算比值得到结果． 【详解】解：如图，大正方形的对角线相交于点O， ∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为． 14．（2026·湖南长沙·二模）年，长沙市中小学全面实施“活力课间15分钟”行动，鼓励学生走出教室参与体育锻炼．某校在课间开设了花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目．甲、乙两位同学各自从这三项中随机选择一项参加，且两人选择相互独立．则他们恰好都选择花样跳绳的概率是________． 【答案】 【分析】先用列表法得出甲、乙选择运动项目所有等可能的结果总数，再找出两人恰好都选择花样跳绳的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令花样跳绳、篮球投篮、乒乓球颠球三项趣味运动项目分别为A、B、C， A B C A B C 根据表格可得共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选择花样跳绳的结果只有种， 根据概率公式可得：． 15．（2026·浙江温州·二模）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，卡片上的数字之和为偶数的概率是______． 【答案】 【分析】先得到所有等可能性的结果数，再找到数字之和为偶数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： \乙甲 由表可知，一共有种等可能性的结果，其中卡片上数字之和为偶数的结果有种， 卡片上数字之和为偶数的概率是． 全面抽查和抽样抽查 考点03 1．（2026·重庆·二模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．调查某车间名职工对安全生产知识的了解情况 B．调查一批笔芯的使用寿命 C．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 D．调查全校同学的家庭用电情况 【答案】A 【详解】解：全面调查适合范围小，数量少，不具有破坏性的调查． 选项A：调查对象仅为名职工，数量少，范围小，适合采用全面调查； 选项B：调查笔芯使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查； 选项C：调查鞋底能承受的弯折次数，调查具有破坏性，不适合全面调查； 选项D：全校同学数量较多，调查工作量大，不适合全面调查． 2．（2026·广西柳州·二模）下列调查中，适合抽样调查的是（     ） A．了解某班同学期中考试的数学成绩 B．了解全市中小学生的身高情况 C．了解一张试卷的知识点分布情况 D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检 【答案】B 【分析】根据调查范围大小，调查的要求选择合适的调查方式，范围广，工作量大的调查适合抽样调查． 【详解】解：选项：调查范围仅为一个班，范围小，适合全面调查； 选项：仅调查一张试卷的知识点分布，工作量小，适合全面调查； 选项：飞机安检事关公共安全，必须全面检查，适合全面调查； 选项：调查全市中小学生身高，调查范围广，工作量大，难以完成全面调查，适合抽样调查． 3．（2026·河南安阳·二模）下列调查中，适合采用全面调查的是（     ） A．调查某个班级学生的身高情况 B．调查某型号汽车的碰撞成绩 C．调查央视春节联欢晚会的收视率 D．调查全国九年级学生的视力情况 【答案】A 【分析】根据全面调查的适用条件：范围小，易操作，无破坏性，判断各选项即可得出结果． 【详解】A.调查单个班级学生身高，范围小，易操作，适合全面调查； B.调查汽车碰撞成绩具有破坏性，不适合全面调查； C.调查春晚收视率范围大，工作量大，不适合全面调查； D.调查全国九年级学生视力范围大，工作量大，不适合全面调查． 故选：A． 4．（2026·广西梧州·二模）下列调查中，适合抽样调查的是（     ） A．了解某批次灯泡的使用寿命 B．了解某班级学生的数学作业完成情况 C．了解某考场考生准考证的核对情况 D．了解某班级学生的视力情况 【答案】A 【分析】当调查具有破坏性，或调查范围广、难以进行全面调查时，适合抽样调查，若调查范围小、对结果准确性要求高且不具有破坏性，适合全面调查（普查）． 【详解】解：∵了解某批次灯泡的使用寿命，调查过程会对灯泡造成破坏，无法对所有灯泡进行测试， ∴适合抽样调查， ∵选项B，C，D的调查范围均较小，可进行全面调查，结果准确性要求高， ∴适合普查． 5．（2026·山西朔州·二模）以下调查中，最适合采用全面调查的是（   ） A．了解长江流域的水质污染情况 B．了解某战斗机所有关键零件的尺寸精度 C．测试某品牌手机的电池续航能力 D．了解全国中小学生每日的睡眠情况 【答案】B 【分析】本题考查全面调查的适用条件，根据调查的范围、要求和性质，判断符合全面调查适用要求的选项即可． 【详解】全面调查适用于要求结果精确、调查不具有破坏性、调查对象可控的情况，当调查范围广、具有破坏性或调查对象数量过大时，适合抽样调查． ∵选项A调查长江流域水质，范围过大，无法逐一调查，适合抽样调查，不符合要求． ∵选项C测试手机电池续航，测试过程具有破坏性，且样本数量大，适合抽样调查，不符合要求． ∵选项D调查全国中小学生睡眠情况，调查对象数量多范围广，适合抽样调查，不符合要求． ∵选项B中战斗机关键零件的尺寸精度直接影响飞行安全，要求绝对精准，必须对所有关键零件逐一检查，因此适合全面调查． 6．（2026·重庆北碚·二模）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 【答案】D 【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查． 【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意； B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意； C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意； D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查． 7．（2026·湖北恩施·二模）下列调查中，只适宜采用全面调查的是（     ） A．了解一批日光灯管的使用寿命 B．了解全国九年级学生的视力状况 C．调查长江流域的水质状况 D．检查运载火箭的各零部件 【答案】D 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用场景，解题思路是根据调查是否具有破坏性，范围大小，是否对结果精度有极高要求来判断选择． 【详解】解：∵调查一批日光灯管的使用寿命具有破坏性，无法对所有灯管进行测试， ∴不适宜全面调查，A错误； ∵全国九年级学生人数多，调查范围过大， ∴不适宜全面调查，B错误； ∵长江流域水域范围广，无法对全流域水质逐一检查， ∴不适宜全面调查，C错误； ∵运载火箭各零部件的质量直接关系发射安全，必须保证每个零件都合格，对精度要求极高， ∴只适宜采用全面调查，D正确． 8．（2026·河南·二模）关于数据的收集，下列说法正确的有（   ） ①小刚调查全班同学最喜欢的体育活动应该用普查； ②神舟二十三号载人飞船发射前对零件的检查工作应该用抽样调查； ③了解一批笔芯的使用寿命，应该用抽样调查； ④小颖想要调查全市70岁以上老人的健康状况，她应该前往医院抽样调查老人一年生病的次数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①调查全班同学，总体数量少，需要准确结果，适合用普查，①说法正确； ②神舟飞船发射对零件安全性要求极高，所有零件都必须检查，必须用普查， 不能用抽样调查，②说法错误； ③测试笔芯使用寿命会破坏笔芯，且这批笔芯总体数量大，适合用抽样调查，③说法正确； ④仅在医院抽样，样本为就医老人，不具有全市70岁以上老人健康状况的代表性， 抽样方法错误，④说法错误； 综上，正确的说法共有2个． 9．（2026·内蒙古通辽·二模）下列调查中，适合用普查的方式调查的是（    ） A．了解全国中小学课间15分钟的实施情况 B．了解全国小学放春假的情况 C．了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节目的评分 D．某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 【答案】D 【分析】普查适合调查对象范围小、数量少、便于全面统计的调查，调查范围广、对象数量大的调查适合抽样调查，据此分析选项即可． 【详解】解：∵普查适用于范围小、易全面统计的调查，范围广、调查对象数量大的调查适合抽样调查． A选项调查对象为全国中小学，范围广，适合抽样调查； B选项调查对象为全国小学，范围广，适合抽样调查； C选项调查对象为某省全体市民，数量大、范围广，适合抽样调查； D选项调查对象仅为一个班级的学生，范围小、数量少，适合普查． 10．（2026·重庆武隆·二模）下列说法中，正确的是（     ） A．调查全国中学生的身高情况采用全面调查 B．调查航天飞船零部件的安全性能采用抽样调查 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．平分弧的直径一定垂直于该弧所对的弦 【答案】D 【分析】本题考查统计调查方式的选择，特殊四边形的判定以及圆的垂径定理推论，逐一判断选项即可得到正确答案． 【详解】对于选项A，因为调查全国中学生身高情况，总体数量大，难以开展全面调查，应选择抽样调查，故选项A错误； 对于选项B，因为航天飞船零部件的安全性能要求每个零件都合格，不能遗漏，必须采用全面调查，故选项B错误； 对于选项C，因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，故选项C错误； 对于选项D，根据垂径定理的推论，平分弧的直径一定垂直于该弧所对的弦，故选项D正确． 用样本估计总体 考点04 1．（2026·浙江嘉兴·二模）某校有800名男生，为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并按“低体重”“正常”“超重”“肥胖”四个等级，整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 7 76 14 3 根据以上信息，下列说法合理的是（    ） A．样本容量800 B．众数21.2 C．中位数76 D．该校男生等级为“正常”的有608人 【答案】D 【详解】解：∵ 随机抽取100名男生，∴样本容量为100，A错误； ∵表格仅给出分组人数，未给出具体数据，无法确定众数为21.2，∴B错误； ∵中位数是排序后中间位置的数值，不是分组人数，∴C错误； ∵样本中为“正常”的频率为， ∴估计总体中“正常”人数为，D正确． 2．（2026·河南三门峡·二模）4月23日是世界读书日．某校举办了“名著阅读月”活动，为了解学生的阅读情况，该校随机抽取了名学生进行调查，发现该月阅读两本以上名著的学生有名，估计该校名学生中该月阅读两本以上名著的有（   ） A．名 B．名 C．名 D．名 【答案】C 【分析】计算出样本中该月阅读两本以上名著的学生所占百分比，再乘以名学生，即可求解． 【详解】解：样本中该月阅读两本以上名著的学生所占百分比为：， 估计该校名学生中该月阅读两本以上名著的有（名）． 3．（2026·浙江金华·二模）某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 【答案】C 【分析】利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确，不符合题意； B选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确，不符合题意； C选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误，符合题意； D选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确，不符合题意． 4．（2026·云南临沧·二模）2025年12月30日，国家卫生健康委等13部门公布《儿童青少年健康促进行动计划（年）》．为了解学生日常体育兴趣爱好，某校进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（其中A：跑步；B：篮球；C：羽毛球；D：网球）．若该校共有学生2000人，则该校喜欢篮球的学生大约有（     ） A．600人 B．300人 C．200人 D．60人 【答案】A 【分析】先根据C类的人数和占比求出抽样调查的总人数，再计算B类（篮球）的人数，最后根据样本占比估算全校喜欢篮球的学生人数． 【详解】解：∵抽样调查中C类（羽毛球）有100人，占比为， ∴抽样总人数为：（人）， ∵抽样中A类有30人，C类有100人，D类有10人， ∴B类（篮球）的人数为：（人）， ∴B类在样本中的占比为：， ∴全校2000人中喜欢篮球的人数约为：（人）． 5．（2026·云南玉溪·二模）某中学为传承传统文化，优化社团活动安排，就“学生最喜爱的传统文化社团类型”进行抽样调查（每人限选一类），绘制出尚未完成的统计图（如图所示）．若该校共有学生人，估计喜爱“民乐社”的学生人数为（     ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】利用样本估计总体，即可得出答案． 【详解】解：喜爱“民乐社”的学生占比：， 则喜爱“民乐社”的学生人数为：（人）． 6．（2026·贵州遵义·二模）某校随机调查100名学生中喜爱的运动项目，其中有24人喜欢篮球，估计1000名学生中喜欢篮球约有（   ） A．24 B．240 C．480 D．760 【答案】B 【分析】用样本估计总体的统计知识，先求出样本中喜欢篮球的频率，再用总体人数乘该频率即可求解． 【详解】解：随机调查的100名学生中，喜欢篮球的人数为24人 样本中喜欢篮球的频率为， 估计1000名学生中喜欢篮球的人数为． 7．（2026·四川成都·二模）某校在3月举办了“读经典·品书香”读书月活动．为了解全校800名学生的阅读情况，学校随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有30人在读书月阅读超过两本名著，根据这个调查结果，估计全校在读书月阅读超过两本名著的学生人数约为（    ） A．80人 B．120人 C．240人 D．300人 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，先计算样本中阅读超过两本名著的频率，再用全校总人数乘该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：∵ 抽取的100名样本中，阅读超过两本名著的人数为30人， ∴ 样本中阅读超过两本名著的频率为 ， ∴ 估计全校800名学生中，阅读超过两本名著的人数为 ， 故选C． 8．（2026·北京平谷·二模）为深入推进健康中国行动，倡导全民健身与科学健身理念，进一步增强青少年体质健康水平，某校积极响应国家号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 若该校有名学生，请你根据以上信息估计该校最喜爱篮球运动的学生有__________人． 【答案】 【分析】本题考查的是统计知识的综合应用，灵活运用条形统计图与扇形统计图的信息是解题的关键．根据条形统计图与扇形统计图中足球项目的人数与占比，可先求出抽取的学生总数，再算出样本中篮球项目的人数与占比，进而用样本估计总体，求出全校最喜爱篮球运动的学生人数． 【详解】解：由条形图得抽取的学生中，最爱足球运动的学生有人，由扇形图得，抽取的学生中，最爱足球运动的学生占， 抽取的学生总数为人， 抽取的学生中最喜爱篮球运动的学生有人， 则在该校名学生中，最喜爱篮球运动的学生有人． 故答案为;． 9．（2026·湖南长沙·二模）李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 【答案】20000 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，解题思路为利用总体中标记鱼的比例与样本中标记鱼的比例相等，列方程求解池塘鱼的总数． 【详解】解：设该池塘里共有条鱼， 根据题意可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合实际意义． 10．（2026·北京房山·二模）某校九年级共有300名男生，为了解这些男生的肺活量分布情况，从中随机抽取了50名男生，测得他们的肺活量数据（单位：），并根据九年级男生体质健康标准整理如下： 等级 不及格 及格 良好 优秀 肺活量x 人数 2 8 16 24 根据以上信息，估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数是________． 【答案】240 【分析】先求出抽取的样本中肺活量等级为良好及以上的频率，再用九年级男生总人数乘该频率，即可估计出对应人数． 【详解】解：由题意可知，抽取的样本容量为50，样本中肺活量等级达到良好及以上的人数为（人）， ∴样本中良好及以上人数的频率为， 估计该校九年级300名男生中肺活量等级达到良好及以上的人数为：（人）． 频数分布直方图结合统计图大题 考点05 1．（2026·吉林长春·二模）根据《学校食品安全与营养健康管理规定》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了名学生进行满意程度评价．根据这名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表： 评价等级分数段 评价等级 分数（x分） 非常满意（A） 满意（B） 一般（C） 不满意（D） 非常不满意（E） C等级统计表 得分 70 72 75 76 78 频数 1 3 5 3 分析C等级统计表的数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 75 c 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)表中的_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数． 【答案】(1)3，76，76 (2)补全频数分布直方图如图，； (3)估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义结合题目中的图表求解即可； （2）分别算出B、C的频数，然后补全即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：∵等级C的平均数为， ∴ ， 解得， ∴等级为C的人数为（人），其中得分为分的人数最多， ∴众数，中位数为按从小到大（或从大到小）排列第名学生的成绩为分 ， 则中位数， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得等级为C的人数为人， ∴等级为的人数为（人）， 图略； （3）解：（人）， 答：估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 2．（2026·北京丰台·二模）某校开展了校园创新大赛，比赛分为知识竞答和实践成果两个板块，每个板块评分均采用100分制（分值为整数），每名选手的个人综合得分由知识竞答和实践成果两个板块的分数按照计算得到．七年级和八年级各选派了10名选手参加．下面给出了部分信息． a．七、八年级各10名选手的知识竞答和实践成果两个板块得分情况统计图： b．七、八年级各10名选手的个人综合得分频数分布直方图（数据分7组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)七年级知识竞答得分最高的选手，在本年级的实践成果得分中排名是第________名； (2)八年级选手中个人综合得分的最高分是________； (3)在两个年级各10名选手中，记七、八年级选手知识竞答得分的中位数分别是，，则________（填“”“”或“”），记七、八年级选手实践成果得分的方差分别是，，则________（填“”“”或“”）； (4)经计算所有选手的个人综合得分均不相同，在个人综合得分前十名的选手中，七年级人数________八年级人数（填“多于”“等于”或“少于”）． 【答案】(1)3 (2)88 (3)<，> (4)多于 【分析】（1）观察图即可得出结论； （2）分别根据知识竞答和实践成果所占的比例求出个人综合得分，比较得出答案； （3）根据中位数的定义解答，再根据方差的性质解答； （4）先判断得分超过80分的人数，再比较确定人数即可． 【详解】（1）解：观察图可知，七年级知识竞答得分最高的选手为图中最右边的点，其在实践成果得分中处于第三名； （2）解：八年级知识竞答最高得分是90分，实践成果得分是85分，所以其个人综合得分是（分）；八年级实践成果得分最高得分是90分，知识竞答得分是85分，所以其个人综合得分是（分）， 则八年级选手中个人综合得分的最高分是88分； （3）解：七年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，在80和85之间，可知在80和85之间；八年级知识竞答得分的中位数是第5,6个数的平均数，一个数是85，另一个超过85，可知大于85，所以；观察七年级和八年级的实践成果得分可知八年级实践成果的成绩比较集中，数据比较稳定，所以； （4）解：观察频数分布直方图可知七年级个人综合得分超过80分有6人，八年级超过80分的有5人，七年级第6名的成绩大约为（分），八年级第5名的成绩大约为（分），所以个人综合得分前十名的选手中七年级的人数多于八年级人数． 3．（2026·山东济南·二模）《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； (2)本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； (3)若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 【答案】(1)50，见解析 (2)78，108 (3)小敏能参加决赛，见解析 【分析】（1）用E组人数除以E组所占的百分比即可求得抽取学生数，再求出B等级人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可求得中位数，用D组所占的比例乘以即可求得D组扇形所对应圆心角的度数； （3）按照规则计算最后得分即可解答． 【详解】（1）解：此次活动共抽取学生数为：名； ∴B等级的人数为：名， 补全频数直方图如下， ． （2）解：∵抽取学生数为50人， ∴中位数为数据从小到大排列后的第25和26位数的平均数，即C等级最后两位数的平均数， ∴中位数为， ∴D组扇形所对应圆心角的度数是． （3）解：小敏最后得分：， 小敏能参加决赛． 4．（2026·广东深圳·二模）【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； (3)作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； (4)已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2.0，8.4 (2)1400 (3)推荐采用A温室的种植方案，理由见解析 (4)每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获得最大利润2400元 【分析】（1）由单株产量表和口感评分频数分布直方图即可求解； （2）由不低于1.8千克的占比即可求解； （3）比较单株产量或口感评分的平均数、方差或中位数即可； （4）设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元，根据题意列出不等式与一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：由单株产量表可得A温室的单株产量的众数；由口感评分频数分布直方图可得B温室的草莓口感评分从小到大排列第5个和第6个数据分别为8.3和8.5，则中位数． （2）解：（株）， ∴A温室单株产量不低于1.8千克的草莓约有1400株． （3）解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下： A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高； A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀．（选择一条回答即可） （4）解：设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最大值为（元），此时（盒）， ∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元． 5．（2026·山东潍坊·二模）花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下： 【收集数据】 从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为粒、粒、粒、粒、粒共组．在花生栽培与育种中，果仁数为粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率丰产果数花生果总数． 【整理与描述】 根据数据绘制了如下不完整的统计图表： 新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表 品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率 新培育品种 本地主栽品种 75% 【分析数据】 (1)将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为粒时对应的扇形圆心角的度数； (2)求出，的值； (3)如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？ 【答案】(1)图见解析，； (2)，； (3)理由见解析． 【分析】（）由粒的频数除以对应的所占百分比即可求出样本容量，通过即可求出粒的频数，再由粒的所占比乘以即可求出粒时对应的扇形圆心角的度数，然后补全频数直方图即可； （）根据中位数的定义即可求出，再利用即可求出的值； （）通过中位数、众数、方差、平均数相关定义即可求解． 【详解】（1）解：∵样本容量为， ∴粒的频数为，粒对应扇形圆心角的度数为：， ∴频数直方图补全如图， （2）解：∵样本容量为， ∴将这组数据由小到大排列后处于第和的数均为， ∴中位数，； （3）解：新培育品种与本地主栽品种的统计量相比，中位数、众数、方差均相同，但新培育品种的平均数和丰产果率均大于本地主栽品种，因此新培育品种优于本地主栽品种． 6．（2026·山东济宁·二模）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 (1)表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； (4)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)8.5， (2)图见解析， (3)甲 (4) 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； （2）解：补全频数直方图如图， ； （3）解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； （4）解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 7．（2026·四川成都·二模）2025年成都世界运动会是中国大陆首次承办的非奥项目国际综合性赛事，多种小众比赛项目走红，市民积极参与新兴潮流项目，形成健康的生活方式．某校七年级开设了课外社团选修课，有飞盘、啦啦操、定向越野、武术4个项目，小明想了解全年级同学选修课的选择情况，对每个班随机抽取部分学生选择的选修课项目进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人；在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为________； (2)该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； (3)为庆祝端午节，学校从“武术”选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名参加汇演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加汇演的概率． 【答案】(1)50， (2)180人 (3) 【分析】（1）用“啦啦操”的学生人数及占比可求总数，求出“定向越野”的人数，再用“定向越野”的人数除以总数乘以即可； （2）用总人数乘以“啦啦操”的学生占比即可； （3）列出表格，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：选择“啦啦操”的学生有10人，占， 本次调查的学生共有（人）； 选择“飞盘”的学生人数所占百分比为， 选择“飞盘”的学生共有（人）， 选择“定向越野”的学生共有（人）， 在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为． （2）解：（人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数有180人； （3）解：将这4名学生分别记作：男1、男2、男3、女，根据题意，列表如下： 第一次 第二次 男1 男2 男3 女 男1 − （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） − （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） − （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） − 由列表知，共有12种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况有6种， （恰好抽到2名男生参加汇演）． 8．（2026·辽宁铁岭·二模）为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 A组      B组      C组      D组      备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ； (2)B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】(1)50 (2)84，81 (3)估计本次竞赛的获奖人数为78人 【分析】（1）根据B组有15人，B组所占比例为，求出样本容量； （2）再根据平均数的定义和中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘以本次调查成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为． （2）解：B组15个成绩的平均数为分； 本次样本容量为50，A组人数为个， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是81，81， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为分． （3）解：人． 答：估计本次竞赛的获奖人数为78人． 9．（2026·河北·二模）为了提高学生的物理知识水平，某校随机抽取了部分学生参加物理知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题． 学生获奖结果条形统计图 (1)求本次抽样测试的人数，并补全条形统计图； (2)若全校有2400名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？ (3)本次竞赛获前五名的同学，有两名女生，三名男生，要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．两名女生先抽，请用列表或画树状图的方法，求两名女生抽到的演讲顺序号恰好相邻的概率． 【答案】(1)60人，补全图形见解析 (2)840人 (3) 【分析】（1）由题意知，学生总人数为人，则获得D级的人数为，计算求解，然后补图即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据题意画树状图，然后计算概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，学生总人数为（人）， 获得D级的人数为（人）， 补图如下： （2）解：由题意知，（人）， 估计该校能获得一、二等奖的学生共有840人； （3）解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两名女生抽到的演讲顺序相邻共有8种等可能的结果， ∴两名女生抽到的演讲顺序相邻的概率为． 10．（2026·江苏无锡·二模）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． (3)现有甲、乙、丙三位学生被邀请参加“课外阅读分享”沙龙活动，他们将通过抽签来决定出场顺序． ①甲第一个出场的概率为 ； ②求甲比乙先出场的概率．（用画树状图或列表的方法） 【答案】(1)见解析 (2)名． (3)①；② 【分析】（1）先根据组求出总人数，即可得到的值，求出组所占百分比即可得到圆心角的度数； （2）根据题意得到每周的课外阅读时间不小于6小时的人数为，用样本估计总体即可． （3）①根据概率公式进行解答即可；②画出树状图，找到符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：本次调查的总人数：（人）， ∴D组的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：（名）， 答：该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时有名． （3）解：①甲第一个出场的概率为； ②画出树状图如下： 共有6种等可能的情况数，其中甲比乙先出场的情况有3种，故甲比乙先出场的概率为． 列表图或树状图求概率 考点06 1．（2026·陕西咸阳·二模）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，制成如图所示的不透明的4张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀． (1)小沈从中随机抽取一张卡片正好是B卡片（共享服务）的概率是 ； (2)小沈最喜欢四张卡片中的A（共享出行）和D（共享知识），那么小沈从中随机抽取一张卡片，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是A（共享出行）和D（共享知识）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意列表或画树状图列出所有等可能的情况和满足要求的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有A（共享出行）、B（共享服务）、C（共享物品）、D（共享知识）共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片正好是B卡片（共享服务）的概率是． （2）解：画树状图如图： 共有12种等可能的情况，其中两张卡片恰好是A（共享出行）和D（共享知识）的有2种情况， ∴抽到的两张卡片恰好是A（共享出行）和D（共享知识）的概率为． 2．（2026·江苏南通·二模）近年来，青少年的视力健康越来越受重视，养成良好的用眼习惯是保护视力的关键．在学校组织的视力检查中，设置了三个检查组同时进行视力检查． (1)小明选择组检查的概率为__________； (2)求小明和小强在同一组检查视力的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人在同一组的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有3组，每个组被选择的概率相同， ∴小明选择 组检查的概率是； （2）解：画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中小明和小强在同一组检查视力的情况有3种， ． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人类细胞． 素材：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇形区域内分别写上．斑马鱼、．水稻、．涡虫、．白鼠四个上过太空的生物． 素材：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称；小亮再转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习．（若指针指在分割线上，则重转） (1)小明选择的生物是．斑马鱼的概率为________； (2)已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式解答即可； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 【详解】（1）解：小明转动一次转盘，共有种结果，其中是斑马鱼的结果只有种， ∴小明选择的生物是．斑马鱼的概率为， 故答案为：； （2）解：如图，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中小明和小亮选择的生物均为动物的结果有种， ∴小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 4．（2026·山东青岛·二模）2026年冬奥会在意大利举行，这是冬奥会诞生100周年后的第一届赛事．吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，核心口号是敢于梦想．除了蒂娜和米罗．还有六朵名为弗洛的雪花伙伴，作为重生与成长的象征．下面是本届冬奥会一些贴画：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以从4张贴画中任意抽取2张作为奖品，求恰好抽到贴画“②”和“③”的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到贴画“②”和“③”的结果数有2种， ∴恰好抽到贴画“②”和“③”的概率是． 5．（2026·江苏扬州·二模）端午节前，我集团校举行“传经典颂端午”系列活动，将活动设计的项目制成卡片（除正面不同外，其余均相同），如图所示，现将这些卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上，若七年级代表从中随机抽取一张卡片，记下活动项目后放回，洗匀，然后九年级代表再随机抽取一张卡片，记下活动项目，抽中项目即为本年级活动项目． (1)若九年级代表在这4种活动中随机选择，则选中“包粽子”的概率是_________； (2)请用画树状图或列表的方法，求七年级代表和九年级代表随机选择选到同一种活动项目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及七年级代表和九年级代表随机选择选到同一种活动项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，九年级代表从中随机抽取一张卡片，他抽到“包粽子”的概率为． （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中七年级代表和九年级代表随机选择选到同一种活动项目的结果有4种， ∴七年级代表和九年级代表随机选择选到同一种活动项目的概率为． 6．（2026·江苏南京·二模）甲袋中有1个白球、1个红球，乙袋中有2个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．从甲、乙两袋中各随机摸出一个球． (1)求摸出的两个球颜色相同的概率； (2)若将摸出的两个球相互交换，分别放入对方的袋子中，则此时再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球颜色相同的概率为____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有3种，再根据概率公式解答即可． （2）分三种情况：若将摸出的两个球为（白，红）的情况有2种，此时一共有种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况；若将摸出的两个球为颜色相同，此时一共有种中情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况；若将摸出的两个球为（红，白），将摸出的两个球相互交换后，此时一共有6种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的0种情况，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，列出表格如下： 白 红 红 （白，红） （红，红） 红 （白，红） （红，红） 白 （白，白） （红，白） 一共有6种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有3种， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为； （2）解：若将摸出的两个球为（白，红）的情况有2种，将摸出的两个球相互交换后，甲袋中有2个红球，乙袋中有1个红球、2个白球，再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，此时一共有种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况； 若将摸出的两个球为颜色相同的情况有3种，将摸出的两个球相互交换后，甲袋中有1个白球、1个红球，乙袋中有2个红球、1个白球，再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，此时一共有种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的种情况； 若将摸出的两个球为（红，白），将摸出的两个球相互交换后，甲袋中有2个白球，乙袋中有3个红球再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，此时一共有6种情况， 其中摸出的两个球颜色相同的0种情况； ∴再重新从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球颜色相同的概率为． 7．（2026·广西南宁·二模）广西“三月三”期间，某校举办“非遗文化体验”活动，设置了两款抽奖转盘：甲盘是方形壮锦纹样转盘，被分成4等份，分别标注了4种广西特色手工艺品（A：壮锦、B：铜鼓、C：绣球、D：坭兴陶）；乙盘是三角形花山岩画纹样转盘，被分成3等份，分别标注了3种三月三特色活动（P：对歌、Q：抛绣球、R：跳竹竿舞）．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 ； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求解概率． （1）利用简单概率公式直接计算即可； （2）利用树状图求解即可． 【详解】（1）解：指针落在A区域的概率为：； （2）树状图如下： 即总的情况有12种，甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况有2种， 即所求概率为：． 8．（2026·陕西渭南·二模）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎．某班在航天主题班会上，班长制作了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成四等份，将A．嫦娥探月，B．天问探火，C．北斗组网，D．神舟飞天四个航天工程分别写在四个扇形中，每个小组的组长转动一次转盘，当转盘停止时，指针指向哪个区域，则该小组就以该航天工程为主题进行讨论（若指针指在分界线上，则重新转动）． (1)该班甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月是________事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)请用列表或画树状图的方法，求该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天的概率．（不分先后顺序） 【答案】(1)随机 (2) 【分析】（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，求解即可，一定条件下，一定发生的事件叫必然事件，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，一定不发生的事件叫不可能事件； （2）根据题意，列出表格，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，甲小组讨论的主题是A．嫦娥探月，这件事可能发生也可能不发生，因此为随机事件； （2）解：由题意可列表如下： A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能的情况，该班的乙小组和丙小组讨论的主题是C．北斗组网和D．神舟飞天有种等可能的情况，因此概率． 9．（2026·江苏无锡·二模）一只不透明的袋子中装有标号分别为，，，，的个球，这些球除标号外都相同． (1)从中任意摸出个球，摸到标号为偶数的概率是________； (2)从中任意摸出个球，记录标号后不放回，再从中任意摸出个球，记录标号，求两次摸到的球标号之和为的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算符合条件的事件数与总事件数的比值即可； （2）用树状图列出所有不放回摸球的等可能情况，再找出和为的情况数，最后计算概率． 【详解】（1）解：从袋中任意摸出个球，共有种情况，其中摸到标号为偶数的情况数为， 故摸到标号为偶数的概率是． （2）解：画树状图如下： 可知共有种等可能的情况，其中标号之和为的情况数有种， 则两次摸到的球标号之和为的概率为． 10．（2026·江苏徐州·二模）2026江苏省城市足球联赛徐州奥体中心主场赛事期间，现场共设有、、、四条安检通道，为应对3万余人的安检需求，这些通道在入场高峰会同时开放．若甲、乙两人在入场高峰随机选择一个通道进入体育场． (1)甲从通道进入体育场的概率为________； (2)求甲、乙两人从不同通道进入体育场的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案； （2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，总共有四个安检通道，即四种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，而甲从通道进入体育场是四种可能结果中的一种结果， 则甲从通道进入体育场的概率为； （2）解：根据题意列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况，其中从不同通道进入体育场的情况有种情况， 则甲、乙两人从不同通道进入体育场的概率为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $