专题08 图形的变化（6大考点）（全国通用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 图形变化专题二模试题汇编，覆盖三视图还原、位似等6大考点，精选2026年多地二模真题，注重空间观念与动态变换应用，梯度设计适配中考复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|三视图还原几何体、位似坐标变换、轴对称最值|结合2026马年春晚标识考位似变换，三视图还原融入小正方体堆积问题| |解答|约15题|旋转模型动态探究、折叠操作综合、坐标变换作图|折叠问题设计矩形折叠后图形性质探究，旋转模型含动态最值与图形判定|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08图形的变化 ☆6大考点概览 考点01三视图还原几何体+体积/表面积计算 考点02位似 考点03旋转模型 考点04折叠问题 考点05轴对称最值问题 考点06坐标和变换综合 考点01 三视图还原几何体+体积/表面积计算 1.(2026浙江嘉兴二模)下图所示的三视图所对应的正三棱柱是（注：箭头方向为主视方向）() 2.(2026辽宁铁岭二模)如图是一个正三棱柱的三视图，这个三棱柱摆放方式正确的是() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026北京海淀·二模)图是某几何体的三视图，该几何体是() A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体 4. (2026安徽阜阳·二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是() 5. (2026江苏无锡二模)如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的俯视图的面积为() 正面 A.2 B.3 C.4 D.5 6.(2026江西鹰潭·二模)在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难， 可是仓库管理员要落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出 来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为() 2/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 主视图 左视图 俯视图 A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2026湖北二模)如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，每个正方体的棱长均为1©m,这个几何 体的俯视图的面积是() 正面 A.3cm2 B.4cm2 C.5cm2 D.6cm2 8.(2026黑龙江佳木斯二模)如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则 组成这个几何体的小正方体的个数最多有() 主视图 左视图 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 9.(2026黑龙江双鸭山：二模)一个由若干个相同的小正方体堆积成的几何体，它的主视图、左视图和俯 视图都是如图所示的“田”字形，则小正方体的个数最少是（) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 10.(2026四川绵阳·二模)如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为( ) 3/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 π A.8π B.4π C.3 D.22π 考点02 位似 1.(2026浙江嘉兴·二模)如下图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.已知OA=2, AD=3,若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为() A.6 B.9 C.10 D.25 2.(2026浙江宁波：二模)如图，在平面直角坐标系中，线段AB与线段AB是位似图形，位似中心为点 OA'_2 0. 已知点A(2,3),OA3·则点4的对应点4的坐标是() .B B B.(6,9) c.(4,9) D 3.(2026河北保定·二模)如图是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1.△ABC与△A'BC'是 对位似三角形，且点B和点B是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置() 4/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.有2个，一个在网格中，一个在网格外B.有且只有1个，在网格外 C.有2个，均在网格中 D.没有在网格中的 4.(2026辽宁大连二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB与△COD是位似图形，位似中心是 原点O,若CD=2AB,点B的坐标为(2，)，则对应点D的坐标为() VA B B.(4,2) c.(6,3) D.(84) 5.(2026河北张家口·二模)如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏 马组成，象征国人齐头并进、稳步登高.从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为() A.中心对称 B.位似 C.平移 D.旋转 6.(2026广东深圳二模)如图，在平面直角坐标系中， A(3,2)B(6,-2) 以原点0为位似中心画一个 三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B的坐标是() 5/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(3-) B.(12,-4) c.(3-或-3,1D.(2,4或-12,4 7.(2026四川成都：二模)如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若 0E_2 EA3,四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长为 8.(2026安徽阜阳二模)如图，在每个小正方形边长均为1的方格中，△ABC的顶点都在格点上. B (1)将△ABC向左平移2格，再向上平移4格，在图中画出平移后的△AB'C': (2)以点B为位似中心，将线段AC缩小到原来的2，在图中画出缩小后的线段DE: (3)图中能使 c=5a世的格点P的个数是—（不包括点）， 9.(2026安徽马鞍山：二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶 点和点O都是格点. 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (将△ABC AB,C 先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得 △ABC,请你画出 (2)以O为位似中心，作△A,B,C,使△4，BC,与△ABC的相似比为2. C CD (3)用无刻度直尺过点向 画垂线段 考点03 旋转模型 t△BCD BC=BD 1. (2026安微阜附二模)如图，在△1BC中，4B=25,4C=2,以BC为边作 点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为() 夕 D A.4 B.6 C.1+V2 D.2+2V2 2.(2026山东聊城二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分别为AB,AD的中点，将 △AEF绕点E顺时针旋转，使点A落在A处，点F落在F'处，连接CF′，DF,则在旋转过程中， △CFD面积的最小值为， F D B 3. (2026浙江台州二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是CD的中点.将矩形ABCD绕 7/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点 BC0,边BC与边4D交于点F,连结4B.当点F落在4B上时，1= AB 顺时针旋转得到矩形 B D D 4.(2026河南平顶山二模)如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,将AB绕点A旋转得到AE,连接 BE,DE,当∠ADE的度数最大时，BE的长为 D E 5.(2026河北沧州·二模)如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转40°得到矩形ABCD,则∠α= a 6.(2026山东聊城二模)【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=3,BE=6, ∠AEB=90° 8/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B 图1 (I)根据已知条件，求cos∠ABE的值. 【操作感知】 如图2，在数学兴趣小组的活动中，同学们将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转Q度(0≤α≤180)， 点B,E的对应点分别为点B',E'. D E B 图2 【问题解决】 (2)如图3，在旋转的过程中，如果点B落在了AC上，求CB的长. D E 图3 (3)如图4，在旋转的过程中，如果点B'与D重合，得到△ADE',延长BE交DE'于点F. 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D(B) C E'6 B 图4 ①试判断四边形AEFE的形状，并说明理由： ②连接CE,求CE的长. 【问题拓展】 (4)思考Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转一周的过程中，线段CE'(E'为E的对应点)长度是否存在最大 值和最小值？如果存在，请你求出最大值和最小值：若不存在，请说明理由 7.(2026四川成都·二模)数学活动课上，如图1，同学们将小三角形纸片DEF与大三角形纸片ABC中 的小三角形DBG重合放置，如图2，固定顶点D,然后将纸片DEF绕顶点D逆时针旋转，来探究图形旋 转的性质.已知△ABC和△DEF中， CA=CB=4,ED=EF=2,∠ACB=∠DEF=90° ,直线GE与直线BF 交于点H, A A E(G)B(F) G B E(G) B(F) 图1 图2 备用图 (1)如图2，当旋转角∠GDE小于90°时，∠GHB的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由；若不变，请 求出∠GHB的度数； (2)在纸片DEF绕点D旋转过程中，当HE=HF时，求△HEF的面积； (3)在纸片DEF绕点D旋转过程中，连接CH,当线段CH的长度最小时，求tan∠CBH的值. 8.(2026北京昌平·二模)如图，已知等边三角形ABC,将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<α<I20° )得到线段AD,连接CD,BD,作AE⊥CD于点E. 10/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D (1)求∠CDB的度数： (2)用等式表示线段AE,EC,DB的数量关系，并证明. 考点04 折叠问题 1. (2026湖南长沙二模)如图，在△ABC中，BC=10,分别沿DE,GF折叠，使点B与点A重合，点 C与点A重合，则△AEG的周长为() D A.7 B.8 C.9 D.10 2.(2026河北唐山二模)将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，则展开后得到的折痕AD是△ABC 的() B A.AB边上的高线 B.角平分线 C.AB边上的中线 D.BC边上的垂直平分线 3.(2026广西梧州·二模)如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D'处，点C 落在C处.若∠AED'=40°，则∠FED的度数为（) A E D 409 D B 11/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.40° B.50° C.60° D.70 4.(2026江苏扬州二模)如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB边上的点，将△BCD沿直线CD折叠， 使点B的对应点E恰好落在边AC上，若∠A=32°，则∠ADE的大小是() B A.38° B.40° C.42° D.44° 5.(2026广东深圳二模)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D,F分别是BC,AC边上一点， 将△ABD沿AD折叠得△AED,△CDF沿DF折叠得△EDF,若AB=2,则EF= E B。 6.(2026:广东深圳二模)如图，CD是△ABC的中线，CA=CD,将△BDC沿CD折叠得到△EDC,CE 与AB交于点F.若∠BDE=90°，则an∠E=一 E F B 7.(2O26重庆渝中·二模)如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠后，DE的对应边D'E交BC于点G,若 ∠1=68°，则∠2的度数为— G 8.(2026河北沧州二模)综合与实践 12/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题。 【发现】现有一张长为2.宽为1.8的矩形ABCD纸片.由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近.为了确定 AB与BC哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题， 如图2，淇淇的方法： 如图1，嘉嘉的方法： B B ①将矩形 纸片的顶点 ①将矩形 纸片沿 图2 ABCD 图1 ABCD A与C通过折叠重合，设折痕与矩形的边分 过点B的直线折叠，使点A的对应点A 别交于E,F两点，并且满足点E在点F的 落在BC边所在的直线上： 上方： ②最终发现点A在线段BC上 图3 图4 [探究] (I)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“AB”或“BC”); (2)在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕EF(保留作图痕迹，不写作法)，并说明AB与BC哪个是较长边： ②若连接AE、CF,直接写出四边形AECF的形状（不说理由）： [拓展]在四边形POM纸片中，PN∥QM,∠POM=90°，PO=4,QM=5,PN=8.按如下要求折叠 该四边形纸片 (3)如图3，将四边形PQMN纸片沿对角线QN折叠，请判断点M的对应点M'能否落在边PN上，说明理 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由： (④如图4，将四边形POMN纸片折叠，使折叠后点M的对应点M'始终落在边PW上，点的对应点为Q 4 折痕与边PO、MN分别交于G、H两点.当cos∠PGQ-行时，直接写出G0的长. 9.(2026河南·二模)【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深 刻而广泛的联系.数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动， 图1 图2 图3 (I)【操作发现】如图1，长为8，宽为6的矩形纸片ABCD,将其上下对折，使得边AD和边BC重合，展 开后得到折痕EF,EF称为“矩形ABCD的二等分线”，将矩形纸片的∠B折叠，折痕过点A,且∠B的 对应点G落在矩形ABCD的二等分线EF上，折痕交BC于点H,连接AG,GH,GC,则△GHHC的面积 为 (2)【迁移探究】如图2，长为8，宽为6的矩形纸片ABCD,点E、I、F、J分别是矩形纸片边AB和 DC的三等分点，沿线段EF、W折叠，得到折痕EF和W,EF和W称为“矩形ABCD的三等分线”， 将矩形纸片的∠B折叠，折痕过点A,且∠B的对应点G落在矩形的三等分线上，折痕交BC于点H,连 接AG,GH,GC,求aGHC的面积. (3)【拓展应用】如图3，四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD=120°，边AD和BC的三等分点分别 是E、I、F、J,沿线段EF、W折叠，得到折痕EF和W,EF和W称为“菱形ABCD的三等分线”， 连接对角线AC，AC与菱形ABCD的三等分线交于点G,折叠菱形的∠B,使得点B与点G重合，折痕 为KH,连接KG,GH,请直接写出△GHC的面积」 10.(2026广东深圳·二模)【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折 叠变化中的数学问题，其中AB=15,AD=20 D 图 图2 图3 14/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【特例探究】 (I)如图I:小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F,点D的对应 点是D',连接AC. ①根据轴对称性质： :对应点的连线被对称轴垂直且平分 ·.EF是一的垂直平分线 ②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (2)①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C'恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M, 点D的对应点为D',求线段AC的长. ②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD,折痕分别交AM、AB于P、Q,点C和点D的对应 点分别是C和D'.请你借助图3分析，当△AC'D'是等腰三角形时，直接写出折痕P№的长度 考点05 轴对称最值问题 (2026河南周口二模)如图，点A,B位于直线1同侧，点B关于直线1的对称点为B',AB=5V2, 点P在直线I上，则AP+PB的最小值为() B A.5 B.5v2 C.10 D.10v2 2.(2026辽宁铁岭·二模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,将△ABE沿 直线BE翻折，得到△FBE,连接DF,当DF的长最小时，DE的长为() 15/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2V2 B.2V2-2 C.4-22 D.2 3.(2026陕西渭南二模)如图，在△ABC中，AB=6,∠ABC=60°，∠C=15°，点M是AC上的动点 (可与端点重合)，点N是BC上的动点，连接BM、MN,当BM+MN最小时，BN的长为 A 4.(2026河北二模)如图，在平面直角坐标系xO,中，一次函数y=:+b与反比例函数y=(x>0)的 图象交于点 A(1,6)B(n,2) (1)求一次函数和反比例函数的解析式： ②将直线AB向下平移a个单位长度后与新、禁分别交于，“背点，当F一号4B时，求a的值： (3)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标 考点06 坐标与变换综合 1. (2026北京丰台二模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a(0°<a<90°)，将线段CA绕点 C逆时针旋转O°-a得到线段CD,CD交AB于点E,作射线AD与CB的延长线交于点F. 16/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求∠AFC的大小： (②点G是线段C中点，在线段GC上藏取SH=BF,连接H·补全图形，用等式表示线段DF与EH 的数量关系，并证明 2.(2026辽宁铁龄二模)己知在△ABC中，∠BAC=a,AB=AC=2,点D和点B在AC的同侧，且 AD=DC,∠ADC=∠BAC, D 图1 图2 图3 (1)请你在图1中尺规作图，作出点D的位置，并证明AC2=DC·BC: (2)如图2，当a=45° 时，求证： BC=2BD (3)如图3，当a=9O°时，延长DA到点E,使DE=AC,将DE绕点D顺时针旋转得到DF,连接AF,FC, 当4+FC最短时，求F的长. 3.(2026山东聊城二模)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D. (I)请用尺规作图在BC边上求作点M,使得MB=MD(不写作法，保留作图痕迹)； 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD (②)在(1)的条件下，若MB=3,AB=10,求AD的值. 4.(2026广东肇庆二模)综合与实践 【文化素材】几乎各省境内都遗存众多古塔，很多古塔的塔刹底座或内部藻井常饰有精美的正六边形几何 纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上.在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹 的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营 造智慧. 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O,即作出该圆的圆心O: ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R,所以在半径为R的圆上，依次画等于R的弦， 即可作出圆内接正六边形. 【知识迁移】 ()某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如下图，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用 无刻度直尺和圆规，在图中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图；（保留作图痕迹， 不写作法) (2)小明在学习了相关知识后，尝试在模具上涂色，如下图，若该正六边形的边长为4，求涂色部分的面积； (3)正六边形有轴对称的美，它能给予人们一种圆满、协调的美感.请在下图中利用尺规设计一个除正六边 形以外的多边形图案，使其具有轴对称的美，（保留作图痕迹，不写作法） 5.(2026安徽阜阳·二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△AOB的顶点均为 18/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 格点（网格线的交点）· (1)将AB边先向上平移2个单位，再向右平移6个单位，得到线段A'B,请画出线段A'B(其中A,B的对 应点分别为A,B): (2)将AB边绕点O逆时针旋转9O°得到线段A"B”,请画出线段A”B”(其中A,B的对应点分别为A”,B” ) B"C (3)设线段AB与线段A"B"相交于C点，则BB的值= 6.(2026安徽合肥·二模)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格 点上 ()将△ABC △ABC,请画出 AB,C 向上平移5个单位长度得 (2)如图，△ABC可绕某一点逆时针旋转a(0°<α≤180°)得到△4，B,C,请在图中画出旋转中心点O,且 a的度数为 7.(2026安徽滁州·二模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点和原点O都在单位长度为1的正方 形网格的格点上。 19/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()请画出△ABC △ABC 于’轴对称的图形 (2)以原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A,B,C,画出△A,B,C,并直接写出点B的对应 B 点的坐标. 8.(2026安徽池州二模)如图，在平面直角坐标系中，己知点 A(3,4)B(2,0) y米 (I)画出△AB AB,O 向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形 (②)画出4AB0 90° △A,B20 绕着O点顺时针旋转后所得的图形 (3)借助网格，利用无刻度直尺作出△ABO的角平分线OC, 9.(2026安徽宿州·二模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为 OA 1 格点（网格线的交点），O为AB边上一点，OB2: 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①将△1BC ABC1 向上平移2个单位，再向左平移5个单位，得到 AB,C,画出 (2)将△ABC绕点O旋转l8O°得到△DEF(其中点E为点C的对应点，点F为点B的对应点)，画出△DEF: (3)连接AE,则∠AEF+∠F的度数为 21/23 专题08 图形的变化 6大考点概览 考点01三视图还原几何体+体积/表面积计算 考点02位似 考点03旋转模型 考点04折叠问题 考点05轴对称最值问题 考点06坐标和变换综合 三视图还原几何体+体积/表面积计算 考点01 1．（2026·浙江嘉兴·二模）下图所示的三视图所对应的正三棱柱是（注：箭头方向为主视方向）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从三视图可知，主视图是长方形，左视图是正三角形，俯视图是中间有横线的长方形，故只有选项C符合题意． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图是一个正三棱柱的三视图，这个三棱柱摆放方式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三视图正确得出几何体即可． 【详解】解：∵俯视图是一个三角形， ∴该三棱柱是竖直摆放的，底面在水平面上， ∵从正面看能看到一条侧棱， ∴该侧棱位于几何体的前方， ∴这个三棱柱摆放方式正确的是选项． 3．（2026·北京海淀·二模）图是某几何体的三视图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体 【答案】C 【分析】根据主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状为三角形，即可判断． 【详解】解： 主视图和左视图都是长方形， 该几何体是柱体 俯视图是三角形， 该几何体是三棱柱． 4．（2026·安徽阜阳·二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图确定前面、底面和左侧面，进而确定几何体． 【详解】解：由三视图可得，前面是长方形，左侧面是长方形，底面是三角形， ∴该几何体是． 5．（2026·江苏无锡·二模）如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的俯视图的面积为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】俯视图是从上往下看得到的平面图形，确定俯视图中正方形的个数即可求出俯视图的面积． 【详解】解：从上往下看，该几何体的俯视图由3个小正方形组成 ∵每个小正方体的棱长为1 ∴每个小正方形的面积为 ∴俯视图的面积为． 6．（2026·江西鹰潭·二模）在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，第二层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两箱，中间一列最多可以搬走第一排或第二排的两箱，故最多可以取走4个货箱． 7．（2026·湖北·二模）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，每个正方体的棱长均为，这个几何体的俯视图的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图，根据正方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：从上面看这个几何体由四个正方形组成， ∴这个几何体的俯视图的面积是． 8．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】根据主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个小正方体；第二层最多有1个小正方体，即可求解． 【详解】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个小正方体；第二层最多有1个小正方体； 因此组成这个几何体的小正方体最多有个． 9．（2026·黑龙江双鸭山·二模）一个由若干个相同的小正方体堆积成的几何体，它的主视图、左视图和俯视图都是如图所示的“田”字形，则小正方体的个数最少是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【详解】解：综合三视图，这个几何体中，底层有4个小正方体，第二层至少有2个小正方体， ∴小正方体的个数最少是（个） 10．（2026·四川绵阳·二模）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据，则这个圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的主视图可得圆锥的底面直径和高，利用勾股定理求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式和底面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，高为， ∴圆锥的底面半径， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积，圆锥的底面积， ∴圆锥的表面积． 位似 考点02 1．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于4， ∴的面积为 ． 2．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，，且线段与线段是位似图形， ∴，即． 3．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出如图， 由图可得C选项符合题意． 4．（2026·辽宁大连·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 5．（2026·河北张家口·二模）如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（     ） A．中心对称 B．位似 C．平移 D．旋转 【答案】C 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移. 6．（2026·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据坐标平面内的图形关于原点同向或反向位似时点的坐标变化规律求解即可． 【详解】如果所画三角形与关于原点同向位似，则点的对应点的坐标是，即； 如果所画三角形与关于原点反向位似，则点的对应点的坐标是，即； 综上，点的对应点的坐标是或． 7．（2026·四川成都·二模）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的周长：四边形的周长，即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 8．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． (1)将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； (2)以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； (3)图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据位似图形的性质画出图形即可； （）过点画出的平行线，找出格点个数即可求解； 本题考查了平移作图，位似图形作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，点均符合题意， ∴点的个数是， 故答案为：． 9．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点O都是格点． (1)将先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请你画出． (2)以O为位似中心，作，使与的相似比为2． (3)用无刻度直尺过点向画垂线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至,使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，G，可得，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，则即为所求； （2）解：如图所示，则即为所求； （3）解：如图所示，取点E，连接，交于点D，则即为所求． 旋转模型 考点03 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的三边关系、二次根式的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．由于的长度是变化的，所以把绕顺时针旋转，进而使的长度和，建立联系，再利用构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ，，， ． ， 的最大值为． 2．（2026·山东聊城·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 【答案】 【分析】计算圆心E到直线的距离，再减去圆的半径，即可得到到的最小距离，代入三角形面积公式求解． 【详解】解：由旋转知，， ∴是在以圆心，长为半径的圆上运动． ∵矩形中，，，，是中点，是中点， ∴，． ∴，即圆半径​． ∵中，， ∴，其中h是到直线的距离． ∵圆心到直线的距离等于矩形的边长， ∴​， ∴． 3．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【答案】或 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 4．（2026·河南平顶山·二模）如图，在矩形中，，，将绕点A旋转得到，连接，，当的度数最大时，的长为___________． 【答案】或 【分析】当时，的度数最大，；分两种情况讨论：当点E在下方时，过点E作于点F，由可得，，故，故在中，；当点E在上方时，过点E作交的延长线于点G，由可得，，故，故在中； 【详解】解：∵， ∴点E在以点A为圆心，3为半径的圆上运动， 如图，当与相切于点E时，即时，的度数最大，此时； 如图，当点E在下方时，过点E作于点F， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点E在上方时，过点E作交的延长线于点G， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ，， ∴， ∴； 综上可知，的长为或． 5．（2026·河北沧州·二模）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，则__________°． 【答案】130 【分析】设交于，根据题意可得，，再由四边形内角和求出，进而得到即可． 【详解】解：设交于， 由题可知，， ， 在四边形中，， ， ． 6．（2026·山东聊城·二模）【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，． (1)根据已知条件，求的值． 【操作感知】 如图2，在数学兴趣小组的活动中，同学们将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（），点B，E的对应点分别为点，． 【问题解决】 (2)如图3，在旋转的过程中，如果点落在了上，求的长． (3)如图4，在旋转的过程中，如果点与D重合，得到，延长交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【问题拓展】 (4)思考绕点A逆时针方向旋转一周的过程中，线段（为E的对应点）长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请你求出最大值和最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①正方形，理由见解析；② (4)存在，， 【分析】（1）首先根据勾股定理解得的长度，然后根据余弦的定义求解即可； （2）首先计算该正方形的对角线的长度，由旋转的性质可得，然后由求解即可； （3）①首先证明四边形为矩形，再结合，即可证明四边形是正方形；②过点E作于G，证明，利用三角函数解得，的长度，在中，利用勾股定理求解即可； （4）首先根据题意确定点的轨迹为：以A为圆心、为半径的圆，然后计算线段长度的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理，可得， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴结合（1）可得，，， ∴该正方形的对角线， 由旋转的性质可得， ∴； （3）①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得， ∴，， ∵，且点与D重合， ∴， ∵，且， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； ②过点E作于G，如下图， 在中，，， ∵，，即， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴在中，； （4）根据题意，绕点A逆时针方向旋转一周， 则点的轨迹为：以A为圆心、为半径的圆，如下图， ∵正方形对角线， 根据圆外一点到圆周距离，可得 ， ． 7．（2026·四川成都·二模）数学活动课上，如图1，同学们将小三角形纸片与大三角形纸片中的小三角形重合放置，如图2，固定顶点，然后将纸片绕顶点逆时针旋转，来探究图形旋转的性质．已知和中，，直线与直线交于点． (1)如图2，当旋转角小于时，的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由；若不变，请求出的度数； (2)在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积； (3)在纸片绕点旋转过程中，连接，当线段的长度最小时，求的值． 【答案】(1)不变，，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的综合问题，涉及等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，综合性比较强，难度比较大，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，结合题意，作出合适的辅助线． （1）根据旋转的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得到，推出，即可求解； （2）作，设，通过勾股定理得到，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据确定出点的轨迹，从而得到当三点共线时，最小，再构造直角三角形，求得对应线段的长度，求解即可． 【详解】（1）解：不变，，理由如下： 由题意可得，，， 由旋转的性质可得，，，， ∴， 由三角形外角的性质可得，， ， ∴， ∴； （2）解：在中，，，， 作，如下图： 设，由题意可得，， 则， 由勾股定理可得，，解得， 则； （3）解：由（1）得，可以确定出点的轨迹是以为弦的圆弧上，且所对的圆心角为，如图， 点为的中点，，连接，可得为等腰直角三角形，即， 由勾股定理可得，， 则点在以为圆心，以为半径的圆上， 从而得到当三点共线时，最小，作，连接，如下图： 由题意可得，，， ∴，即， 解得，， ， 则． 8．（2026·北京昌平·二模）如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出； （2）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系． 【详解】（1）解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， 为等腰三角形，为等腰三角形， ， 为旋转角，， ， ， ， （2）解：如图，过点作交于， 由（1）得， ， ， ，， 在和中，， ， ． 由（1）得， 在中，， ， ，即， ， 即． 折叠问题 考点04 1．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】首先由折叠得到，，然后根据三角形周长公式求解． 【详解】解：由折叠得，，， ∴的周长为． 2．（2026·河北唐山·二模）将三角形纸片按如图所示的方式折叠，则展开后得到的折痕是的（   ） A．边上的高线 B．角平分线 C．边上的中线 D．边上的垂直平分线 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可得，点关于直线的对称点是，， 是的角平分线． 3．（2026·广西梧州·二模）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角可得，再由折叠可得． 【详解】∵， ∴， 由折叠可得． 4．（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，D是边上的点，将沿直线折叠，使点B的对应点E恰好落在边上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再由折叠性质得，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠性质得， ∵， ∴． 5．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 6．（2026·广东深圳·二模）如图，是的中线，，将沿折叠得到，与交于点．若，则______． 【答案】 【分析】作得到，由折叠的性质得到，利用全等三角形和相似三角形的性质可以得到为等腰直角三角形，从而计算相关的线段长度，根据相似三角形得到的比例式计算出的长，从而根据求出即可． 【详解】解：过作交的延长线于，的延长线交于， ∴， ∴,,, ∵是中线, ∴, ∵沿折叠得到， ∴， ∴，，，， ∴，，, ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（2026·重庆渝中·二模）如图，将长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据折叠性质，平行线的性质，长方形的性质，平角的定义求解即可； 【详解】解：长方形纸条沿折叠后，的对应边交于点G， ，， ， ，， 则的度数为． 8．（2026·河北沧州·二模）综合与实践 【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题． 【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．． [探究] (1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“”或“”）； (2)在图2中，结合淇淇的方法， ①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边； ②若连接、，直接写出四边形的形状（不说理由）； [拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片． (3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由； (4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边、分别交于、两点．当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①见解析，是较长边；②菱形 (3)点的对应点能落在边上，理由见解析 (4)或 【分析】（1）由图易知，进而可得； （2）①利用尺规作图，作的垂直平分线即可；②根据题意可得，，再证，进而得到即可得到四边形为菱形； （3）过点作，证得即可求解； （4）分两种情况：当在左侧时，设与相交于点，，再证，得到，解出，再根据即可求解；当在右侧时，延长相交于点，设与相交于点，，可证，则，即，解出即可． 【详解】（1）解：由翻折可知，又， ； （2）解：①折痕如图所示： 连接，由折叠的性质可得， ，即， 在中，， ， 是较长边； ②设与相交于点， 同理由折叠的性质可知，且， 又， ， ， ， ， 四边形为菱形； （3）解：点的对应点能落在边上． 理由：过点作， 可得四边形为矩形， ， ， 在中， ， ， ， 又， ， ， 点的对应点能落在边上； （4）解：当在左侧时，设与相交于点， 由翻折可知，，，不妨设， ，解得：， ， 又， ， ，即，解得， ，解得， ； 当在右侧时，延长相交于点，设与相交于点， 由翻折可知， 设，则， ，解得:， ， 又，， ， ，即，解得:， ； 综上，的长为或． 9．（2026·河南·二模）【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． (2)【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． (3)【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用折叠性质得，在中用勾股定理算出，再通过“一线三垂直”证明，用相似比求出，进而得到，最后以为底、为高，用三角形面积公式计算结果； （2）分两种情况讨论点的位置：①在上方三等分线上；②在下方三等分线上．每种情况均先利用勾股定理算出水平距离，再通过“一线三垂直”证三角形相似，求出，进而得到，最后以为底、到底边的垂直距离为高，计算面积； （3）先利用菱形性质判定为等边三角形，再分两种情况讨论点作为三等分点的位置：①靠近，②靠近，每种情况均通过折叠性质证，列方程求出，再用三角函数求出到底边的高，最后用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：如图1，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵， ∴， ，点是的中点， ， 根据题意可知，， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ， ，，解得， ， ， 又， 的面积为． （2）解：①如图2，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的面积为． ②如图3，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得， ， ， 又， 的面积为， 综上所述，的面积为或． （3）解：在菱形中，，设为，则， ， , ∴为等边三角形， ∴， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 如图4，∵点E是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， 则，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ， 如图5， ∵点I是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，，， ， ，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ． 10．（2026·广东深圳·二模）【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中，． 【特例探究】 (1)如图1：小坪对矩形进行折叠，使得和重合，折痕分别交和于、，点的对应点是，连接． ①根据轴对称性质： 对应点的连线被对称轴垂直且平分 是的垂直平分线 ②请探究和的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 (2)①如图2：小山沿着过点的直线折叠，使得点的对应点恰好在的延长线上，折痕交于，点的对应点为，求线段的长． ②小深沿着与图中平行的直线折叠矩形，折痕分别交、于、，点和点的对应点分别是和．请你借助图分析，当是等腰三角形时，直接写出折痕的长度． 【答案】(1)① ；②相等，见解析 (2)①；②，， 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质即可求解； ②证明，即可求解． （2）①根据折叠可得，，且，分别解，，得出，即可求解． ②根据折叠可得，垂直平分，，分三种情况讨论，，，分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据轴对称性质： 对应点的连线被对称轴垂直且平分 是的垂直平分线 ②∵四边形是矩形 ， 沿折叠后与重合， ∴，；；， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵沿折叠后落在的延长线处 ∴ ，，且， ∵四边形是矩形， ， 又在中，，由勾股定理可知， ； ； 在中，； ； ， 解：②折痕的长度为，，； 折叠过程中，延长、相交于，则四边形为矩形， 根据折叠可得，垂直平分，， ，，，四点共线，， 情形一：当时，在中，；， ∵ 由①可得：， ∴ 情形二：时，过点作交于点， ∴， 由①可得 ∴， ∴； 则 ∴ 情形三：，则 ∴ 综上所述，当是等腰三角形时，折痕的长度为，，． 轴对称最值问题 考点05 1．（2026·河南周口·二模）如图，点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，．点P在直线l上，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，则，当三点共线时，最小． 【详解】解：点A，B位于直线l同侧，点B关于直线l的对称点为，可得， ∴， 当三点共线时，最小，为， ∵， ∴的最小值为． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由翻折的性质可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，的长最小，求出，设此时，利用勾股定理列方程，即可解得答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点、、三点共线时，的长最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 此时， 设此时，则， 在中，， 即， 解得． 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，，点是上的动点（可与端点重合），点是上的动点，连接，当最小时，的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键为利用轴对称的性质将转化为一条线段． 作点关于的对称点，由于点到直线的距离垂线段最短，则过作交于，此时的值最小，且，重合，利用含30°的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 由于，则， 过作交于，交于，连接， 此时的值最小． 过点作，连接，， ∵点，点关于的对称， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，，三点共线， 由于过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，则与重合，即与重合，与重合， ∵在中，，， ∴， ∴． 4．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点的坐标为； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∴， ∴， 将，代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， ∴，． 如图（1），过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得：或． （3）解：如图（2），作点A关于y轴的对称点G，连接交y轴于点P，此时，的周长最小． ∵点， ∴． 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点P的坐标为． 坐标与变换综合 考点06 1．（2026·北京丰台·二模）如图，在中，，（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，交于点，作射线与的延长线交于点． (1)求的大小； (2)点是线段中点，在线段上截取，连接．补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①补全图形 数量关系：， 证明：作点关于的对称点，连接，，． 垂直平分． ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， 根据勾股定理，， ， ，点为的中点， 设，，则． ，， ． ，， ， ． ， ． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，由旋转可得，，，进而求出，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）作点关于的对称点，连接，，，根据对称得到，，则，，推出，证明得到，根据勾股定理得到，根据题意可设，，则，，求出，根据直角三角形的斜边中线定理得，即可得证． 【详解】（1）解：，， ． 由旋转可得，，， ，， ； （2）略 2．（2026·辽宁铁岭·二模）已知在中，，点D和点B在的同侧，且，． (1)请你在图1中尺规作图，作出点D的位置，并证明； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当时，延长DA到点E，使，将绕点D顺时针旋转得到，连接，当最短时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线与的延长线的交点即为点，然后证明即可； （2）过点A作，交于点F，在射线上截取，连接，导角证明，然后得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可； （3）过点D作，且，连接，证明，则，故，当点C，F，G共线时，最短，即最短，然后证明，则，然后结合勾股定理以及完全平方公式证明，最后证明四边形是正方形，则，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点D 即为所求.       证明：∵， ∴ ∴        ； （2）证明：如图2，过点A作，交于点F，在射线上截取，连接 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴    又∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ； （3）解：过点D作，且，连接，如图3 ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 当点C，F，G共线时，最短，即最短 ∴ ∴ ∴在四边形中， ∵， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形. 又∵， ∴ 四边形是正方形. ∴ ∵， ∴的长为． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，在中，的平分线交于点． (1)请用尺规作图在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的值． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点即为所求的点； （2）由可得，，，结合角平分线的定义可得，则，从而得到，则，因此． 【详解】（1）解：点如图所示： 由垂直平分线的性质可得，； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·广东肇庆·二模）综合与实践 【文化素材】几乎各省境内都遗存众多古塔，很多古塔的塔刹底座或内部藻井常饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即作出该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次画等于R的弦，即可作出圆内接正六边形． 【知识迁移】 (1)某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如下图，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图；（保留作图痕迹，不写作法） (2)小明在学习了相关知识后，尝试在模具上涂色，如下图，若该正六边形的边长为4，求涂色部分的面积； (3)正六边形有轴对称的美，它能给予人们一种圆满、协调的美感．请在下图中利用尺规设计一个除正六边形以外的多边形图案，使其具有轴对称的美．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】（1）先确定圆心，作出圆，再以半径为弦长作正六边形即可； （2）用圆的面积减正六边形面积即可； （3）根据题意，作出符合题意得图形即可． 【详解】（1）解:如图，正六边形即为所求作的图形；           （2）如图，连接，过点O作OG⊥BC于点G． ∵多边形是正六边形， ． ， 是等边三角形， ， ∴六个弓形的面积； （3）如图，三角形即为所求作的图形．（答案不唯一，合理即可）                5．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将边先向上平移2个单位，再向右平移6个单位，得到线段，请画出线段（其中，的对应点分别为，）； (2)将边绕点逆时针旋转得到线段，请画出线段（其中，的对应点分别为，）； (3)设线段与线段相交于点，则的值______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的定义进行画图即可； （2）根据旋转的定义画图即可； （3）以点建立平面直角坐标系，即可得到，求出，分别求出和的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示为所作， （2）解：如图所示为所作， （3）解：以点建立平面直角坐标系， 即可得到， 设直线的解析式为， 即，解得， 故， 设直线的解析式为， 即，解得， 故， 联立， 解得， ， 根据网格， ． 6．（2026·安徽合肥·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上． (1)将向上平移5个单位长度得到，请画出； (2)如图，可绕某一点逆时针旋转（）得到，请在图中画出旋转中心点，且的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据网格的特点作的垂直平分线的交点即为，旋转角，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，旋转角，即的度数为 7．（2026·安徽滁州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)请画出关于轴对称的图形； (2)以原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出，并直接写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）先确定三个顶点的坐标，因为关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，所以可据此求出A、B、C对应点的坐标，描点后顺次连接得到． （2）因为原点为旋转中心逆时针旋转的点的坐标变换规则为变为，所以代入B点坐标可得到的坐标，同理求出的坐标，描点后顺次连接得到． 【详解】（1）解：由网格可得 ，，． 画关于轴对称的 关于轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数． 据此得到对应点：，，，顺次连接三个点，即可得到所求． （2）解：点绕原点逆时针旋转后，对应点坐标规律为． 据此得到的对应点坐标为； 同理得到、， 顺次连接三个点即可得到所求． 点的坐标为 ． 即为所求图形，．   8．（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，向左平移3个单位后所得的图形； (2)画出绕着O点顺时针旋转后所得的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用平移的性质作出图形即可； （2）利用旋转的性质作出图形即可； （3）利用网格的特点作出等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可得到的角平分线． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）解：如图，即为所求． 9．（2026·安徽宿州·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），O为边上一点，． (1)将先向上平移2个单位，再向左平移5个单位，得到，画出； (2)将绕点O旋转得到（其中点E为点C的对应点，点F为点B的对应点），画出； (3)连接，则的度数为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据图形平移的性质作图即可； （2）根据图形旋转的性质作图即可； （3）根据网格与勾股定理得到是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， （2）解：如图所示，即为所求图形； （3）解：根据图示，，，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴的度数为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $