20.1 勾股定理及其应 用提升训练（二） 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理的判定与应用，通过基础到实际问题的层级设计，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|选择1-2,7|直角三角形判定与性质|从概念辨析到逆定理应用，构建判定逻辑| |几何应用|选择3-6,9-12,13-14|图形面积与边长计算|结合中点、网格等几何元素，强化定理计算功能| |实际建模|选择8,15-16|航海/路径等实际问题|从数学情境到现实场景，培养模型意识与应用能力|

初二数学下学期阶段测试（人教版新课标） 勾股定理及其应用提升训练（二） （分值100分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，，，分别是，，的中点，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 4.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 点到直线的距离是 5.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是(    ) A. B. C. D. 6.在中，若，则(    ) A. B. C. D. 7.若三角形的三边长分别为，，，且满足，则这个三角形的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 8.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时海里的速度向北偏东方向航行，“海天”号以每小时海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离开港口半小时后分别位于，处，且相距海里，则“海天”号航行的方向是(    ) A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏西 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.如图，，，，，，则四边形的面积是          ． 10.若一个三角形的三边长为，，，则使此三角形是直角三角形的的值是          ． 11.如图，在四边形中，若，，，，且，则四边形的面积是          ． 12.如图，的三边长为，，，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为          。 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点为格点利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图，请参考此方法按下列要求作图．   在图中以格点为顶点画一个，使得，． 猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 14.本小题分 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，在四边形中，，米，米，米，米． 连接，求的长； 已知运动型塑胶地板每平方米元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，求购买运动型塑胶地板的费用． 15.本小题分 如图，一条南北走向的高速公路经过县城，村庄位于高速公路西侧，村庄和县城之间有一大型水库从村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路和，千米，千米，千米． 公路是否为村庄到高速公路的最近道路请通过计算说明理由 通过无人机测得，求村庄到县城的直线距离的长． 16.本小题分 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，． 求供水点到喷泉需要铺设的管道长 求证：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学下学期阶段测试（人教版新课标) 勾股定理及其应用提升训练（二） (分值100分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是() A.V3,√4，V5B.3,4,5 C.0.3,0.4,0.5D.30,40,50 2.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A.∠B=∠A+∠C B.∠A:∠B:∠C=5:12:13 C.BC2=AC2-AB2 D.BC:AC:AB=5:12:13 3.如图，在△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=I0cm,D,E,F分别是AB, BC,CA的中点，则△DEF的面积等于() A.4cm2 B.5 cm2 C.6 cm2 D.7 cm2 4.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A,B,C三点均在正方形的顶点上， 则下列结论错误的是() 第1页，共6页 A.S。ABc=10 B.∠BAC=90° C.AB=2V5 D.点A到直线BC的距离是2 5.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=3m,BC=4m, CD=12m,AD=13m,且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是() B A.24m2 B.36m2 C.48m2 D.72m2 6.在△ABC中，BC2-AB2=AC2.若∠B=55°，则∠C=() A.20° B.35 C.65° D.75 7.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-2)2+b-2W2+Vc-2=0,则这个三 角形的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.远航号、海天号轮船同时离开港口，各 自沿一固定方向航行，远航”号以每小时16海里的速度向北偏东50°方向航行，海天号 以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离开港口半小时后分别位 于Q,R处，且相距10海里，则海天号航行的方向是() 个北 “海天”号 “远航”号 →东 A.北偏东40° B.北偏西40° C.北偏西30° D.北偏西20° 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.如图，AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°，则四边形DABC的面积 是 第2页，共6页 10若一个三角形的三边长为3，x,5,则使此三角形是直角三角形的x的值是 11.如图，在四边形ABCD中，若AB=3,BC=4,CD=5,DA=5V2,且 ∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是_， D B 12.如图，△ABC的三边长为5,12,13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部 分的面积为 12 A 13 B 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题13分) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点为格点利用正 方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，AB=√3？+22=√13.请参考此方法按 下列要求作图. B图1 图2 (1)在图2中以格点为顶点画一个△EFM,使得EF=FM=2V5,EM=2V10 (②)猜想△EFM是什么形状的三角形？并说明理由. 第3页，共6页 14.(本小题13分) 全民健身手牵手，社区运动心连心.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的 一块平地（如图所示的四边形ABCD)进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和 防滑性的运动型塑胶地板.经测量，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=24米，BC=7 米，CD=15米，AD=20米. B (I)连接AC,求AC的长： (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型 塑胶地板，求购买运动型塑胶地板的费用. 第4页，共6页 15.(本小题13分) 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C,村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城 C之间有一大型水库.从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和 AD,AB=10千米，BD=6千米，AD=8千米. B (I)公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； (②)通过无人机测得AC=BC,求村庄A到县城C的直线距离AC的长 第5页，共6页 16.(本小题13分) 如图，某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB=25m, 现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离 MN=12m,BM=15m. M B (I)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM, (2)求证：∠BMA=90°. 第6页，共6页 初二数学下学期阶段测试（人教版新课标） 勾股定理及其应用提升训练（二） （分值100分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A  2.满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.如图，在中，，，，，，分别是，，的中点，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，，分别是，，的中点， ，，都是的中位线， ，，， 又，，， ，，， ， ， 为直角三角形， 故选：． 4.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为，，，三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 点到直线的距离是 【答案】A  5.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  6.在中，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  7.若三角形的三边长分别为，，，且满足，则这个三角形的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D  8.如图，某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时海里的速度向北偏东方向航行，“海天”号以每小时海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离开港口半小时后分别位于，处，且相距海里，则“海天”号航行的方向是(    ) A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏西 【答案】B  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.如图，，，，，，则四边形的面积是          ． 【答案】36 10.若一个三角形的三边长为，，，则使此三角形是直角三角形的的值是          ． 【答案】或  11.如图，在四边形中，若，，，，且，则四边形的面积是          ． 【答案】  12.如图，的三边长为，，，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为          。 【答案】  三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点为格点利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图，请参考此方法按下列要求作图．   在图中以格点为顶点画一个，使得，． 猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)解：如图，即为所求.   (2)解：是等腰直角三角形. 理由：，， . . 是等腰直角三角形.  14.本小题分 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，在四边形中，，米，米，米，米． 连接，求的长； 已知运动型塑胶地板每平方米元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得（米）．  (2)∵152+202＝625，252＝625， ∴CD2+AD2＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°， ∴（平方米）， ∴购买运动型塑胶地板的费用为234×200＝46800（元）．  15.本小题分 如图，一条南北走向的高速公路经过县城，村庄位于高速公路西侧，村庄和县城之间有一大型水库从村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路和，千米，千米，千米． 公路是否为村庄到高速公路的最近道路请通过计算说明理由 通过无人机测得，求村庄到县城的直线距离的长． 【答案】(1)解:公路AD为村庄A到高速公路的最近道路,理由如下: +=100,=100, A+B=A, ABD是直角三角形,ADB=, ADBD, 公路AD为村庄A到高速公路的最近道路;  (2)设AC=x千米,则CD=BC-BD=AC-BD=(x-6)千米, 在RtACD中,由勾股定理得:A=A+C, 即=+, 解得:x=, 故村庄A到县城C的直线距离AC的长为千米.  16.本小题分 如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离，． 求供水点到喷泉需要铺设的管道长 求证：． 【答案】(1)解:由题意可知:MNAB,MN=12m,BM=15 m , 由勾股定理,得BN=9m, AN=AB-BN=25-9=16(m). =+=+=400, AM=20m, 供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20m.  (2)证明:AM=20m, BM=15m, AB=25m, +=+==, AMB是直角三角形,且BMA=.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学下学期阶段测试（人教版新课标） 勾股定理及其应用提升训练（二） (分值100分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是() A.V3,V4,V5B.3,4,5 C.0.3,0.4,0.5D.30,40,50 【答案】A 2.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是() A.∠B=∠A+∠C B.∠A:∠B:∠C=5:12:13 C.BC2=AC2-AB2 D.BC:AC:AB=5:12:13 【答案】B 3.如图，在△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB, BC,CA的中点，则△DEF的面积等于() A A.4 cm2 B.5 cm2 C.6 cm2 D.7cm2 【答案】C 【解析】解：D,E,F分别是AB,BC,CA的中点， ·EF,DE,DF都是△ABC的中位线， 第1页，共7页 EF=AB,DE=AC,DF=BC, 又：AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm, .EF=5(cm),DE=3(cm),DF=4(cm), 32+42=25=52, .DE2+DF2=EF2, ∴△EDF为直角三角形， SAE=DE·DF=5×3×4=6(cm 故选：C 4.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A,B,C三点均在正方形的顶点上， 则下列结论错误的是() A.S.ABC=10 B.∠BAC=90° C.AB=2v5 D.点A到直线BC的距离是2 【答案】A 5.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=3m,BC=4, CD=12m,AD=13m,且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是() B A.24m2 B.36m2 C.48m2 D.72m2 【答案】B 6.在△ABC中，BC2-AB2=AC2.若∠B=55°，则∠C=() A.20° B.35° C.65° D.75° 【答案】B 第2页，共7页 7.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-2)2+b-2W2+√c-2=0,则这个三 角形的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 【答案】D 8.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.远航号、海天号轮船同时离开港口，各 自沿一固定方向航行，远航”号以每小时16海里的速度向北偏东50°方向航行，海天号 以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离开港口半小时后分别位 于Q,R处，且相距10海里，则海天号航行的方向是() 北 “海天”号 “远航”号 →东 A.北偏东40 B.北偏西40° C.北偏西30° D.北偏西20° 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.如图，AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°，则四边形DABC的面积 是 D 【答案】36 10若一个三角形的三边长为3，x,5,则使此三角形是直角三角形的x的值是 【答案】4或v34 第3页，共7页 11.如图，在四边形ABCD中，若AB=3,BC=4,CD=5,DA=5v2,且 ∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是· D A B 【答案】18.5 12.如图，△ABC的三边长为5,12,13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部 分的面积为 12 5 A 13 【答案】30 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题13分) 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点为格点利用正 方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，AB=√32+22=√13.请参考此方法按 下列要求作图. B图1 图2 第4页，共7页 (I)在图2中以格点为顶点画一个△EFM,使得EF=FM=2V5,EM=2V10 (2)猜想△EFM是什么形状的三角形？并说明理由 【答案】(I)解：如图，aEFM即为所求 (2)解：△EFM是等腰直角三角形 理由：EF=FM=2V5,EM=2W10, ·EF2+FM2=EM2 ∠F=90° ·。EM是等腰直角三角形 14.(本小题13分) 全民健身手牵手，社区运动心连心，为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的 一块平地（如图所示的四边形ABCD)进行改建，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和 防滑性的运动型塑胶地板，经测量，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=24米，BC=7 米，CD=15米，AD=20米. (I)连接AC,求AC的长； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形ABCD地面上全部铺设运动型 塑胶地板，求购买运动型塑胶地板的费用. 第5页，共7页 【答案】(1)解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC=VAB2+BC=√242+72=25（米）. (2).152+202=625,252=625, ..CD2+AD2=AC2, .△ACD为直角三角形，∠D=90°， S四边形ABcD=Sa4B8+SAACD=×24×7+×20×15=234(平方米)， '.购买运动型塑胶地板的费用为234×200=46800（元). 15.(本小题13分) 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C,村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城 C之间有一大型水库.从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和 AD,AB=10千米，BD=6千米，AD=8千米. 北 ,东 (1)公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； (2)通过无人机测得AC=BC,求村庄A到县城C的直线距离AC的长. 【答案】(1)解：公路AD为村庄A到高速公路的最近道路，理由如下： 82+62=100,102=100, ..AD2+BD2-AB2, ∴.△ABD是直角三角形，∠ADB=90°， ..AD LBD, 公路AD为村庄A到高速公路的最近道路； (2)设ACX千米，则CD=BC-BD=AC-BD=(x-6)千米， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2=AD+CD2, 即x2=82+(x-6)2, 解得x 第6页，共7页 故村庄A到县城C的直线距离AC的长为千米 16.(本小题14分) 如图，某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB=25, 现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离 MN=12m,BM=15m. B (I)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM, (2)求证：∠BMA=90°. 【答案】(1)解：由题意可知：MNLAB,MN=12m,BM=15m, .由勾股定理，得BN=9m, AN=AB-BN=25-9=16(m). :AM2=AN2+MN2=162+122=400, ∴AM=20m, .供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20m. (2)i证明：AM=20m,BM=15m,AB=25m, .AM2+BM2=202+152=252=AB2, ∴△AMB是直角三角形，且∠BMA=90°， 第7页，共7页