20.1勾股定理及其应用课后培优提升同步训练 2025—2026学年人教版数学八年级下册

20.1勾股定理及其应用课后培优提升同步训练人教版2025—2026学年八年级下册 一、选择题 1．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 2．若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 3．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 4．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D．4 5．如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．5 C． D． 7．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上的中点，过点D作，交于点E，交于点F．若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 8．如图，在与中，，点D在直线上运动，则的最小值（   ）． A． B． C．2 D． 二、填空题 9．如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 10．如图，在中，，于点D，于点E．若，，则的长为______． 11．如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到离上底面的点处的食物，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是_____． 12．等腰直角三角形的底边长为，则这个三角形的周长是________． 三、解答题 13．如图，一棵树上的点处有两只猴子，它们都要到处吃东西，其中一只猴子先沿往下到达树底处，再沿走到处．另一只猴子则先沿爬到树顶处，再沿缆绳滑到处，已知两只猴子所经过的路程相等，且，设树高为． (1)请用含的代数式表示的长为___________． (2)这棵树的高有多少米？ 14．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，，平分交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 17．【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 18．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． (1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形        B．等腰三角形        C．等腰直角三角形        D．等边三角形 (2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，则正方形的面积是_____； (3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 参考答案 一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．B 二、填空题 9． 10．5 11．13 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴； （2）解：由题意可知：， 在中，根据勾股定理，得 ， 即， 整理，得， 解得 答：这棵树的高有． 14．【详解】（1）解：是的垂直平分线， ，， ． ，， ， 解得； （2）解：是的垂直平分线， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ． 15．【详解】（1）证明：AD平分， ． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，， ，． ． ， ， 解得． 16．【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． 17．【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 18．【详解】（1）解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意； 故选：D； （2）解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24， ， ∵是“加倍三角形”，且， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接，如图所示： ， ∴和均为直角三角形， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得， ， ， ∴是“加倍三角形”． 学科网（北京）股份有限公司 $