四川省字节精准教育联盟2026届高三下学期模拟预测数学试题

**基本信息** 2026年高考数学三模卷，以“AI赋能·精准测评”为定位，通过基础题（如集合真子集个数）、中档题（函数图像平移）、难题（圆锥体积最值）的梯度设计，融合统计案例（体育锻炼与学业成绩关联）与数学建模（导数不等式证明），考查数学抽象、逻辑推理与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、概率等|单选注重基础，多选综合辨析（如相关系数与独立性检验）| |填空题|3题15分|基本不等式、向量数量积、双曲线离心率|梯度设问（如12题双空考最值及条件）| |解答题|5题77分|数列（分组求和）、立体几何（面面垂直+外接球+二面角）、统计（独立性检验）、椭圆（定值+面积最值）、导数（单调区间+恒成立+证明）|多问分层设计，如立体几何三问递进，导数题渗透转化思想，贴近高考命题趋势|

试卷启封前按机密事项保管 SCGK 字节精准教育联盟·2026年普通高考临门一脚 数 学 ZJ-GZ-GA-2026S-G26-LMYJ AI赋能·精准测评 考生注意： 1. 试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟。 3. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 郑重提醒 考生须在考试开始前检查试题卷和答题卡，若存在缺页、漏印、字迹模糊等情况，应于开考前向监考员报告；开考后报告的，延误的考试时间不予补足。对试题内容有疑问，不得向监考员询问。 考试结束前，严禁拍照、传播、上传试题卷及答题卡至任何网络平台，违者依规严肃处理。 请严格遵守考试纪律，违纪舞弊行为将按相关规定严肃处理。 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题给出的选项中，只有一项是正确的。 1．已知集合，集合，则的真子集6个数为 A．5 B．6 C．7 D．8 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，，则“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（   ） A．8 B．12 C．15 D． 5．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则 A． B． C．1 D．0 6．已知直线与抛物线相交于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则 A． B． C． D． 7．已知球的半径为，圆锥内接于球，则圆锥体积的最大值为 A． B． C． D． 8．已知事件A，B，如果A与B互斥，那么；如果A与B相互独立，且，，那么，则，分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中不正确的是 A．一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是 A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D．若，且，为的内心，则的面积为 11．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是 A．若 B．若 C．若 D．若 三、填空题：共3小题，12题第一空2分，第二空3分，13~14题每小题5分，满分15分。 12．已知，则的最小值为___________，此时______________. 13．若，，，则的值为______. 14．已知点是双曲线右支上的一点，分别是的左､右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，，其中，则的离心率为__________. 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（13分） 已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 16．（15分） 如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 17．（15分） 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）； (3)依据小概率值的独立性检验能否认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：． 18．（17分） 已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)证明：． 书山跋涉，题海砺剑，朝夕相伴的同窗即将踏上高考征途。无数次演算推导、错题复盘，所有汗水都已沉淀成应试底气。考场上放平心态，缜密审题、稳扎运算，从容发挥平日所学，以从容之姿迎战高考。愿各位乘风破浪，解题得心应手，所求皆如愿。 字节精准教育联盟数学教研组预祝联盟校全体考生金榜题名，前程似锦！ 试卷第4页，共4页 高三数学试卷 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 试卷启封前按机密事项保管 SCGK 字节精准教育联盟·2026年普通高考临门一脚 数学参考答案与试题解析 ZJ-GZ-GA-2026S-G26-LMYJ AI赋能·精准测评 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B C B C B C ABC BCD ACD 1．C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为． 2．A 【难度】0.92 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 3．B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案． 【详解】若且，则，，所以，但不能保证， 例如当，时，满足且，但，即充分性不成立； 若，则，，所以，，即必要性成立， 所以“且”是“”的必要不充分条件． 故选：B 4．C 【难度】0.85 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】依据题干得到，然后求得通项公式，根据常数项的特点计算即可. 【详解】由题可知：，通项公式为， 令，所以常数项为. 故选：C 5．B 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值. 【详解】由图知，则， 由，则，可得， 又，则，故， 由题意，故. 故选：B 6．C 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线定义的理解 【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，则得到弦长. 【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得， 因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为， 又直线，所以直线恒过抛物线的焦点， 设点，因为两点在抛物线上， 联立方程，两式相减可得，， 设的中点为，则，因为点在直线上， 解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心， 由抛物线的定义知，圆的半径， 因为，所以， 解得，则，则. 故选：C. 7．B 【难度】0.42 【知识点】面积、体积最大问题、锥体体积的有关计算 【分析】通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量的实际取值范围. 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径. ∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为， ∴ 由勾股定理可得 ，整理得 ，其中的取值范围为. 根据圆锥体积公式 ，将代入得：. 对关于求导，得 . 令，解得 或 （不符合实际意义，舍去）. ∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减， ∴ 当时，取得最大值，代入得： . 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数，再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解. 8．C 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论. 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 9．ABC 【难度】0.62 【知识点】相关系数的意义及辨析、独立性检验解决实际问题、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为从小到大排列得到的第五个数5，故A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故B错误； 对于C，根据小概率值的独立性检验：，因为，则不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，故C错误； 对于D，因为服从正态分布，且， 所以，故D正确； 10．BCD 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理求外接圆半径 【分析】借助余弦定理将角化为边计算可得；对A：由可得，再利用正弦定理与圆的面积公式计算即可得；对B：由正弦定理结合有两解，可得，解出即可得；对C：借助正弦定理可得，结合锐角三角形性质可求出的范围，即可得解；对D：借助三角形内角关系及三角恒等变换公式计算可得，从而可得该三角形各角及边长，再利用等面积法可得内切圆的半径，即可得解. 【详解】由和余弦定理，可得， 化简得，解得； 对A：因为，，所以， 设的外接圆的半径为，由正弦定理，，所以， 所以的外接圆的面积为，A不正确； 对B：由正弦定理可得， 有两解等价于有两个不同值，所以，解得，B正确； 对C：因为，所以， 整理得， 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以，所以c的取值范围为，C正确； 对D：因为，，所以， 则，解得， 由于为锐角，所以，即； 因为，则、， 设内切圆的半径为，则， 即，解得， 所以，D正确. 11．ACD 【难度】0.62 【知识点】线面垂直证明线线垂直、平面法向量的概念及辨析、证明线面垂直 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，D正确. 12． 4 2 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以 ， 所以，当且仅当时等号成立，此时. 故答案为：4；2 13． 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积、向量夹角的计算 【分析】根据条件，利用数量积的运算运算，得到，，再利用向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又，， 所以， 得到，所以， 故答案为：. 14．4 【难度】0.42 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】延长交于点，借助中位线定义及其性质可得，结合是的平分线可得，再根据双曲线的定义以及离心率公式计算求解即可得. 【详解】延长交于点， 因为，是的中点，则是三角形的中位线， 故是的中点，且， 则，即是中线， 又因为是的平分线， 则是等腰三角形，即， 根据双曲线定义，有， 则， 因为 ，所以， 又，因此，离心率. 15． 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案； （2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案. 【解】（1）因为， 所以时. 当时，， 所以， ，满足，所以， 数列是正项等比数列，. 所以公比，. （2）由（1）知， ， . 16． 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、面面角的向量求法、球的表面积的有关计算、证明面面垂直 【分析】（1）先证明平面，从而得到，结合可得平面，故平面平面； （2）根据（1）中的条件，将三棱锥补全为正三棱柱，得到外接球球心即为两个底面的中心连线的中点，使用勾股定理计算即可得到半径，进而得到表面积； （3）以的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向，垂直于平面向上为轴方向，建立坐标系，设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看），利用空间向量法得到平面和平面的法向量，得到夹角表达式，最后利用变量代换求得最小值. 【解】（1）在等边中，是的中点， ，又且平面， 平面，又平面， ，又且平面， 平面，又平面， 平面平面. （2）由（1）知平面，且为等边三角形， 故可将三棱锥补全为正三棱柱，三棱柱的高， 则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球， 外接球的球心为等边三角形和的中心连线的中点， 半径， 所以三棱锥外接球的表面积为； （3）取的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向， 垂直于平面向上为轴方向，建立如图所示的坐标系， 设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看）， 则，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则  ，指向三棱锥外， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则，  指向三棱锥内， 得， 令， 则，   当，即时取等号， 所以的最小值为． 17．【难度】0.65 【知识点】卡方的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、独立性检验解决实际问题、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可； （2）根据平均数的计算公式即可得到答案； （3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论. 【解】（1）抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42+3+1+137+40+27=250． 设该地区29000名学生中有人的日均体育锻炼时长不小于1小时，则， 解得． 故该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为12500． （2）依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为（0.25×139+0.75×191+1.25×179+1.75． 所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时． （3）对数据重新组合，得到列联表 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出原假设：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关． ， 我们推断不成立，即认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． 18． 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）利用椭圆定义可得值，结合值即可得出； （2）（ⅰ）设，，，写出直线的方程表示出的长，最后化简即可； （ⅱ）先求出的面积，再利用上一问求出，转化成求面积的最大值就是求出的面积最大值即可. 【解】（1）由题意可得，又，解得， 故椭圆的标准方程为 （2）（ⅰ）由（1）可得：，，设，，， 且，即 则，令， 则，令，， 则， . 故求证四边形面积为定值2. （ⅱ）直线，到直线的距离为 且 当且仅当时等号成立. 所以的面积 19． 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、数列不等式恒成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导并解不等式、即可. （2）分离参数可得，恒成立，令，运用导数求的最大值即可. （3）取，由（2）知，设，进而可得，整理可得，结合累加法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则． 由，得． 令，解得；令，解得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为，恒成立，所以恒成立． 令，则． 令，则恒成立， 即在区间上单调递减， 又，所以，即． 所以时，， 所以在区间上单调递减，故，所以， 综上，实数的取值范围为． （3）证明：由（2）知，取，当时，，所以． 设，则满足， 所以， 即， 所以， 所以， 即． 【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法： 方法1：分离参数法求最值 (1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)恒成立⇔； 恒成立⇔； 能成立⇔； 能成立⇔. 方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解． 答案第12页，共13页 高三数学答案 第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $