精品解析：四川字节精准教育联盟2026届高考考前自测（二）数学试题

2026年普通高考冲刺试题（二） 数 学 考生注意： 1.试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟. 3.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知全集，集合，则集合元素的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合， 所以， 所以集合元素的个数是4. 2. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，故 3. 一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，5，7，，14，22，23.若分位数是中位数的两倍，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数和中位数的公式求解. 【详解】1，2，3，4，5，7，，14，22，23共个数， ，第分位数为第个数和第个数的平均数，即， 这个数的中位数为， 分位数是中位数的两倍， ，. 故选：A. 4. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 5. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】若公比，则，此时，， 显然，因此. 由等比数列前项和公式， 代入得： 则，整理得， 所以. 6. 如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 蓝藻面积每个月的增长率为 B. 蓝藻每个月增加的面积都相等 C. 第4个月时，蓝藻面积就会超过 D. 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象过的点求出函数解析式，分别计算增长量，增长率可判断AB，根据解析式计算判断C，利用指数式与对数的转化，由对数运算可判断D. 【详解】因为，图象可知，函数过点，则，即函数解析式为， 对于A，蓝藻每月的增长率为，即增长率为，故A正确； 对于B，因为不是常数，所以蓝藻每月增加的面积不相等，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题，故， 又，所以，故D正确. 故选：B 7. 已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用所给不等式判断的单调性，即可得出大小关系. 【详解】构造函数，， 当时，由题中不等式得， 所以，所以，单调递增， ，所以，即， 故. 8. 将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知推得两球球心的位置，设出球心，半径，进而推得，代入体积公式，求导根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数的最值点，代入化简，即可得出答案. 【详解】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切， 并且分别与正方体的面相切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上. 如图，设两球的球心分别为，半径为， 由已知可得，，， 所以，则， ，. 又， 所以，. 因为，所以. 又两球的体积之和， 且， 当时，有， 即函数在上单调递减； 当时，有， 即函数在上单调递增. 当时，， 所以. 又， 故函数的最大值为. 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 D. 任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，因为满足，所以确定，代入对应解析式计算；选项B，先分析当时的符号，再分析所在区间对应的的符号，根据符号关系判断乘积是否非负；选项C，根据零点个数分类讨论，找出区间包含两个正整数的的范围；选项D，将转化为关于的函数，结合定义域和值域判断. 【详解】由题意，对，当 时，： 对任意，， 因此的符号由决定， 时符号为； 的零点为所有正整数 . 选项A，，对应， 代入得：，正确. 选项B，对任意：若，则， 的符号为，与同号，故； 若或为整数，则. 因此恒成立，正确. 选项C，在区间内，恰好有两个零点，转化为：在开区间中，恰好包含两个正整数. 故存在非负整数，使得， 故，故且，即， 当时，；当时，；当时，， 综上所述，，C错误； 选项D，令，则原式可化为. 因为，所以且. 那么，D正确. 10. 已知矩形，若点为边上的一动点（不包括端点），现将沿着翻折成，使得平面平面，并记为.则（ ） A. 存在点，使得 B. 任意点，都有 C. 存在两点，使得它们所确定的直线与垂直 D. 任意两点，它们所确定的直线与平面的所成角都小于 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析折叠前后的图形，假设A正确，利用线面垂直的判定定理，通过证明不成立，判断A错误；根据线面垂直的判定定理，证明平面，从而证得，判断B正确；借助点的轨迹，可说明C正确；求出任意两点，它们所确定的直线与平面的所成角的范围判断D. 【详解】过作垂直于点，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 若存在点，使得，则由平面，得平面. 因为平面，所以. 显然不成立，所以A错误. 因为，，且平面，所以平面. 因为平面，所以，所以B正确. 假设存在两点，使得它们所确定的直线与垂直. 在边上取点，连接. 过作垂直于点，并记则. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 同理在边上取异于点的点，连接. 过作垂直于点，并记，则平面. 所以∥.所以四点共面. 因为平面，所以. 如图所示，均在以为直径的圆上，当弦平行于时，可与垂直. 此时因为平面，所以平面. 因为平面，所以，所以C正确. 由C的分析可得，线段在平面的射影为， 所以直线与平面的所成角，即为直线与所成的角. 记直线与平面的所成的角为， 则.， 如上图，令， 则，且. 所以. . 因为，且在上单调递减， 所以，所以，即. 所以，即对于任意两点， 它们所确定的直线与平面的所成角都小于，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得是常数列 B. 任意，有最大项，无最小项 C. 存在，使得是周期数列 D. 任意，不是递增数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，， 当时，，两式相减得：， 而，即， 对于A，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以不是常数列 当时，，当时，，所以不是常数列， 所以不存在，使得是常数列，A错误； 对于B，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 且，，所以数列是递减数列， 所以数列有最大项为，没有最小项，B正确； 对于C，当，即时，，数列是周期为的周期数列，C正确； 对于D，当时，，当时，，所以不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立，是递减数列， 若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒成立， 因此对于任意，不是递增数列，D正确； 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，设出点的坐标，利用斜率坐标公式列式计算出，进而求出离心率. 【详解】因为，所以，所以， 所以双曲线，设， 则，所以，所以； 又，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 13. 函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用异面直线间的距离公式即可求解，第二空由圆的定义求出点的轨迹即可求解. 【详解】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为. 如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以，所以点的轨迹长度为. 故答案为：； 四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述. 15. 已知分别是的内角的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，从而有，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，由三角形面积公式得，再结合（1）中结果，由余弦定理得到，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 即，由正弦定理得，即. 【小问2详解】 由，得， 又，得， 由余弦定理，且由（1）知 所以，整理得， 即，解得或（舍）， 所以，. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面 （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 17. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. （1）求6次姿态修正后达到个单位的概率； （2）以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【小问1详解】 若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 18. 已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）直线过定点，证明见解析；（ii）6 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的焦距，渐近线方程及离心率分别求解即可求解； （2）（i）设方程为，与双曲线方程联立，得出韦达定理，求得点的坐标，分类讨论，当时得出直线过，当时，得出直线方程，令即可证明； （ii）先说明，再由弦长公式得出，进而得出，求解最小值即可． 【小问1详解】 由题可知，，所以，又， 所以，所以的方程为． 【小问2详解】 （i）由题意可知斜率存在且都不为0， 设方程为，联立， 消去并整理得，，且，， 设，则， 所以，所以， 又直线互相垂直，用替换，则可得， 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令， 所以直线过． （ii）取中点，设交点为，交点为， 因为分别为的中点，所以， 所以，则， 同理可得，所以， 由（i）得， ， 则， 同理可得，， 所以 （*）， 因为直线与双曲线右支交于两点， 所以，解得， 同理直线与双曲线右支交于两点，则，解得， 所以， 所以（*）同时除以得，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以设，则， 设函数 ， 因为，所以， 所以，当时取得最小值． 19. 已知函数（，且）、（，且）、. （1）若、，求函数的极值； （2）若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； （3）已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再求函数的单调区间，得到函数的极值点和极值； （2）首先分别求在点处的切线和在点处的切线，利用切线是同一条直线，利用待定系数法，转化为函数在上有零点，利用导数判断函数的单调性，再判断函数存在零点时的取值范围； （3）法1：首先讨论时与最多有两个交点，再分两种方法讨论时，与有3个交点时，的取值范围；法2：当时，此时，设，对其求导，然后令，求得其最大值，分和两种情况讨论求解. 【小问1详解】 ，则， 由，得到或， 当时，解得或， 所以和为函数增区间， 当时，解得， 所以为函数减区间， 所以在处取到极大值，极大值为， 在处取到极小值，极小值为0， 故函数的极大值为，极小值为0； 【小问2详解】 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 由题意知， 因为，可知，由可得， 将其代入可得：， 令，则在上有零点， 令，则，，， 令，解得；令，解得； 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 当时，，故在上恒有零点，从而恒成立； 当时，，无零点，不成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是； 【小问3详解】 （i）当时与最多有两个交点，不符合题意舍去； 证明如下：， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意； （ii）法1：下面只需考虑时，与交点的个数即可； 两边取对数得， 令，，则， 由于，令，可得，而， 令，所以，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，， 由图象可得有两个解，，且， 那么在，上单调递增，在上单调递减， 又， ， 把看成一个整体，由均值不等式可得，， 所以， 当，所以， 因为，得，所以， 当时，，当时，， 又在，上单调递增，在上单调递减， 则在，，三个区间各有一个零点， 所以曲线与有三个交点， 即：时符合题意，解得：. 法2：当时，此时， 设，， 令，， 令，则，所以在是递增的， 在是递减的，所以； i.若，即时， 此时则，所以，又是增函数， 又，则只有一的零点， ii.若，即时，，， ，所以有两个零点，， 其中，，所以， 在是增区间，是减区间，是增区间， 有零点存在定理得： 取点1：， 设，，则在上递增， 所以，所以， 取点2：，，， 所以一定有，，所以有三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高考冲刺试题（二） 数 学 考生注意： 1.试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张. 2.试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟. 3.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚. 4.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 5.考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分.在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知全集，集合，则集合元素的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，5，7，，14，22，23.若分位数是中位数的两倍，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 4. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 5. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 6. 如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 蓝藻面积每个月的增长率为 B. 蓝藻每个月增加的面积都相等 C. 第4个月时，蓝藻面积就会超过 D. 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 7. 已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分.在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 D. 任意， 10. 已知矩形，若点为边上的一动点（不包括端点），现将沿着翻折成，使得平面平面，并记为.则（ ） A. 存在点，使得 B. 任意点，都有 C. 存在两点，使得它们所确定的直线与垂直 D. 任意两点，它们所确定的直线与平面的所成角都小于 11. 已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（ ） A. 存在，使得是常数列 B. 任意，有最大项，无最小项 C. 存在，使得是周期数列 D. 任意，不是递增数列 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_______． 13. 函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：共5小题，满分77分.解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述. 15. 已知分别是的内角的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面 （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17. 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. （1）求6次姿态修正后达到个单位的概率； （2）以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 18. 已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 19. 已知函数（，且）、（，且）、. （1）若、，求函数的极值； （2）若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； （3）已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $