精品解析：四川省成都市石室中学2026届高三下学期考前自测数学试题

数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了研究两个机器人专卖店的销售状况，统计了2025年1月至6月两个专卖店每月的营业额（单位：万元），得到如下表格，则下列说法正确的是（ ） 月份 营业额 1 2 3 4 5 6 专卖店 5 9 18 24 23 37 专卖店 6 8 26 20 38 34 A. 专卖店营业额的平均值小于专卖店营业额的平均值 B. 专卖店营业额逐月上升 C. 专卖店营业额的中位数为21万元 D. 专卖店营业额的极差大于专卖店营业额的极差 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为分别为双曲线的左､右顶点，点在双曲线上（异于两点），则直线与直线的斜率之积为（ ） A. 4 B. -4 C. D. 6. 已知奇函数满足，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 7. 已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 11. 已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为3 B. 点与点的纵坐标相等 C. 若点在直线上，则直线过点 D. 若三点共线，则的面积的最小值为1 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 13. 曲线上的点到直线的最短距离是______. 14. 在长方体中，为棱的中点，动点在平面内，且满足，则四棱锥的体积的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段的长. 16. 在四棱锥中，平面平面为正三角形，四边形为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在 之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. （1）从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； （2）某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 18. 设函数. （1）证明：在区间上存在极值点； （2）已知为的一个极值点； （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆的第二定义得到，即椭圆上的动点满足到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中. 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复.设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，. 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，且的面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）探究是否为定值？请说明理由； （3）若，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由复数的运算性质得， 因为，所以 可得. 3. 为了研究两个机器人专卖店的销售状况，统计了2025年1月至6月两个专卖店每月的营业额（单位：万元），得到如下表格，则下列说法正确的是（ ） 月份 营业额 1 2 3 4 5 6 专卖店 5 9 18 24 23 37 专卖店 6 8 26 20 38 34 A. 专卖店营业额的平均值小于专卖店营业额的平均值 B. 专卖店营业额逐月上升 C. 专卖店营业额的中位数为21万元 D. 专卖店营业额的极差大于专卖店营业额的极差 【答案】A 【解析】 【分析】对于选项A，直接计算专卖店营业额的平均值与专卖店营业额的平均值进行比较即可；对于选项B，从表中直接可以看出专卖店营业额没有逐月增加；对于选项C，计算出A专卖店营业额的中位数为 万元，故选项C错误；对于选项D，直接计算专卖店营业额的极差与专卖店营业额的极差进行比较即可. 【详解】由表格可知，专卖店营业额的平均值为， 专卖店营业额的平均值为.又 ，所以专卖店营业额的平均值小于专卖店营业额的平均值，故选项A正确； 因为专卖店月的营业额低于月的营业额，所以专卖店营业额没有逐月增加，故选项B错误； A专卖店营业额的中位数为 万元，故选项C错误； 专卖店营业额的极差等于专卖店营业额的极差，故选项D错误. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再整体法利用倍角公式即可. 【详解】， ，则. 故选：C. 5. 已知双曲线的渐近线方程为分别为双曲线的左､右顶点，点在双曲线上（异于两点），则直线与直线的斜率之积为（ ） A. 4 B. -4 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以． 又，，设，所以， ， 所以直线与直线的斜率之积为． 6. 已知奇函数满足，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 7. 已知在正四棱台中，，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积． 【详解】如图1，取的中点 ，设上底面与球相切的点为， 则平面为一个含内切圆的等腰梯形截面图如图2, 因为等腰梯形有内切圆的充要条件为上底+下底两腰之和， ，所以 ， 所以梯形的高， 此时梯形的高即为正四棱台的高. 又因为正四棱台的体积 为上底面的面积，为下底面的面积，， 所以. 8. 不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令 ，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令 ，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件求出数列的通项公式，验证即可判断AB，再由等比数列的定义判断C，利用分组求和判断D. 【详解】设等差数列的公差为. 由题意可得，，解得，所以. 对于A； ，故A错误； 对于B；因为 ，所以，故B正确； 对于C；因为，所以.因为 ，所以数列为等比数列，故C正确； 对于D；因为，所以 ，所以数列的前项和为 ，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 若函数图象的对称中心为，则 C. 函数在上一定存在减区间 D. 函数可能有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 11. 已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为3 B. 点与点的纵坐标相等 C. 若点在直线上，则直线过点 D. 若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则 . 又因为点在直线上，所以 ，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 13. 曲线上的点到直线的最短距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】将直线平移，当直线与相切时，切点到直线的最短距离，利用导数的几何意义求出切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的最短距离， 设曲线在点处的切线与直线平行， 因为，则，解得， 所以，则切点坐标为， 切点到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是， 故答案为： 14. 在长方体中，为棱的中点，动点在平面内，且满足，则四棱锥的体积的最大值为__________. 【答案】36 【解析】 【详解】如图1，在长方体中，平面平面，则. 因为点在平面内，，所以在与中，， 所以，即. 在平面中，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图2，则. 设，因为，所以， 整理得， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆. 当点到棱的距离最大时，四棱锥的体积取得最大值， 此时最大值为圆的半径，由，, 即. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. 16. 在四棱锥中，平面平面为正三角形，四边形为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得到，然后由线面垂直的判定定理证明平面，最终得证. （2）建立空间直角坐标系，根据空间向量法求线面角求得的长，再由二面角的空间向量法求得余弦值即可. 【小问1详解】 证明：因为底面为矩形，所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为正三角形，是的中点，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，则. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 以为原点，过点平行于的直线为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， ，则. 设平面的一个法向量为. 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得或（舍去）. 而，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，且， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在 之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. （1）从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； （2）某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在 之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【小问1详解】 由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为 . 【小问2详解】 由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 18. 设函数. （1）证明：在区间上存在极值点； （2）已知为的一个极值点； （i）证明：； （ii）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析;（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数并结合零点存在性定理得到的单调性，进而判断极值点即可. （2）（i）结合题意得到，进而利用图象得到，最后再代入运算证明出，（ii）结合题意得到，令，则转化为，令，即为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 令，得到， 当时，单调递减， 而，则存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，即有极大值点. 【小问2详解】 （i）因为函数，所以. 令，得，对满足方程的有，所以. 由函数与函数的图象可知，此方程无穷多个变号解，即有无穷多个变号零点， 故有无穷多个极值点，因为为的一个极值点，故， 所以. （ii）因为为的一个极值点，所以， 所以 ，令， 因为，所以， 记，即，得到， 令，当时，在上单调递增， 得到， 此时在上单调递增，而，符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为 ，所以当时， ， 可得在上单调递减，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆的第二定义得到，即椭圆上的动点满足到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中. 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复.设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，. 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，且的面积的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）探究是否为定值？请说明理由； （3）若，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）为定值，理由见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）通过对焦点三角形面积的最值进行分析，得到，而，再利用，求出,进而求得椭圆的方程； （2）通过【信息2】由椭圆的光学性质得到:从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；那么射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点，继续传播，射向椭圆上的点，故三点共线，再结合椭圆第二定义可知， 设所在直线方程为，联立椭圆方程，通过韦达定理，化简转换，最终得到； （3）由（2）可知，，即. 由椭圆的对称性可知，， 所以，则. 由椭圆的定义可得，， 所以，对数列前项与后项进行相比，最终得到数列是等比数列，从而求到数列的通项公式. 【小问1详解】 由题意可知，椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为. 因为椭圆的焦点为和的面积的最大值为， 所以 解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设. 因为当为奇数时，， 所以由于三点共线， 设所在直线方程为. 联立得， 所以. 由椭圆的第二定义可得， ， 所以. 因为 ， 所以 . 故为定值. 【小问3详解】 由（2）可知，，即. 由椭圆的对称性可知，， 所以，则. 由椭圆的定义可得，， 所以. 令， 则. 又 ， 所以数列是首项为-1，公比为的等比数列， 所以，整理得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $