9.3 公式法 第2课时 课件 2025--2026学年冀教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦“用完全平方公式分解因式”，通过回顾乘法公式逆向变形导入，结合问题链（项数、平方项特征、中间项关系）与“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”口诀搭建支架，衔接整式乘法与因式分解。 其亮点在于通过结构特征分析培养抽象能力，例题分层（如提公因式后用公式、整体代换）发展推理能力，口诀与表格强化符号意识。学生能理清分解步骤，教师可借助清晰流程提升教学效率。

第九章 因式分解 9.3 公式法 冀教版七年级下册 第2课时 用完全平方公式分解因式 1.经历通过乘法公式(a±b)2 =a2±2ab+b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力. 2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式. 3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值. . 新课导入 完全平方公式 因式分解与整式乘法互为逆运算 运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式” 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 知识点1 完全平方公式的结构特征 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± =(a ± b)² a2 首2 + +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 知识点1 完全平方公式的结构特征 全品文教初中 新课讲授 完全平方公式 完全平方式的特点： 1.是二次三项式(或可以看成二次三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 称为完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放. 完全平方式结构特征口诀 =(首±尾)2 分解因式 4m²+12mn+9n² 4m²+12mn+9n²=(2m)² + 2·2m·3n + (3n)² 2m看作公式中的a 3n看作公式中的b 首2 +尾2 +2×首×尾 4m²+12mn+9n² =(2m)² + 2·2m·3n + (3n)² =(2m+3n)². =(首±尾)2 前边我们学习了乘法公式： 根据乘法公式，你能将多项式 与多项式 分解因式吗？ 知识点 用完全平方公式分解因式 1 获取新知 　　 把整式的乘法公式——完全平方公式 反过来就得到因式分解的完全平方公式： 这样，我们也可以利用完全平方公式把一些多项式分解因式了. 例 1 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 知识点1 完全平方公式的结构特征 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： ③ a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² ② m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² ① x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x+2 a a 2b a + 2b 2b m m - 3 3 x 2 m 3 知识点2 用完全平方公式分解因式 . . . 对照完全平方公式a²±2ab＋b²=（a±b）²填表： a²±2ab＋b² a b （a±b）² 16x²＋24x+9 －x＋x² a²＋4－4a 4a²＋25b²－20ab 4x 3 （4x+3）² x （－x）² a 2 （a－2）² 2a 5b （2a－5b）² 注意事项：1．平方项符号相同；2．中间项是积的2倍 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 获取新知 知识点 完全平方公式法因式分解的结构特征 2 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± =(a ± b)² a2 首2 + +尾2 ±2×首×尾 =(首±尾)2 全品文教初中 思考：具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式? 具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式. 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解. 知识点2 用完全平方公式分解因式 例题精讲 新课讲授 例 2 把下列各式分解因式: ax²+2a²x+a3; (x+y)²-4(x+y)+4; (3) (3m-1)²+(3m-1)+ 解:(1)ax²+2a²x+a3 =a(x²+2ax+a²) =a(x+a)². (3) (3m-1)²+(3m-1)+ =(3m-1)²+2.(3m-1). +()² =(3m-1+)² =(3m-)². (2) (x+y)²-4(x+y)+4 =(x+y)²-2·(x+y)·2+2² =(x+y-2)². 1．看项数： 必须是3项 2．看平方： 平方前的符号必须相同 3．看乘积： 必须是两个平方内数或式的2倍 有公因式要先提公因式. 可以把（x+y）看作一个整体 新课讲授 利用平方差式、完全平方式把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 公式法 下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?请说明理由. (1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l； (3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2. (1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2. (2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2. (3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2. (4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2. 火眼金睛 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号． 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 在此处老师要强调的是因式分解的顺序：先提公因式，再用公式法 解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4 =(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22 =(x＋y－2)2 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法. 例3 把下列各式分解因式： (1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4； (2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ . 知识点2 用完全平方公式分解因式 本题将（x+y)和（3m-1）看作一个整体，体现了整体思想的运用. 例4 把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2； a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ (a+b)2 (2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2. a2 － ＋ b2 ＝ (a-b)2 2 a b 知识点2 用完全平方公式分解因式 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号． 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 知识点2 用完全平方公式分解因式 在此处老师要强调的是因式分解的顺序：先提公因式，再用公式法 课堂小结 因式分解方法口诀 若要分解多项式，先看有无公因式； 看到两次两项式，就用平方差公式； 遇到两次三项式，应用完全平方式； 结果都是积整式，彻底分解多项式。 结论：多项式的因式分解要分解到不能再分解为止. 方法：先考虑能否用提取公因式法， 再考虑能否用公式分解因式. 课堂小结 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负 完全平方公式分解因式 $