9.3公式法（第2课时）（教学课件）数学新教材冀教版七年级下册

9.3 公 式 法 第二课时 第九章 因式分解 冀教版七年级数学下册 冀教版七年级数学下册 教学目标 素质目标 技能目标 知识目标 进一步理解整式乘法与因式分解互为相反的变形过程，认识公式法因式分解是将乘法公式“逆过来”使用的过程。 学生掌握完全平方公式结构特征，利用完全平方公式分解因式，并能结合提公因式法和平方差公式熟练进行因式分解 提升学生分析、思考和表达抽象数学问题的能力，通过具体实例体会因式分解在解决实际问题（如面积计算）中的应用。 重点 1 深刻理解完全平方公式的内涵及其在因式分解中的应用 难点 2 掌握将多项式化为完全平方公式形式的基本思路并正确利用完全平方公式进行因式分解 知识回顾 我们已经学过哪些分解因式的方法？ 提公因式法：ma +mb+mc=m(a+b+c) 公式法之平方差公式法： 步骤 一提：公因式； 二套：平方差公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 1、下列各式中能用平方差公式分解的是(　　) ①－a2＋b2； ②－a2－b2； ③2a2＋4b2； ④－9a2b2＋4； ⑤(x－y)2(y－x)2； ⑥x4－4. A．①②⑥　　B．③④⑤⑥ C．②④⑤ D．①④⑥ 知识回顾 D 2、（2024·云南·中考真题）分解因式： a 3-9 a =（ ） A．a（ a +3）（ a -3 ） B．a（ a² +9） C．（ a +3）（ a +3 ） D． a ²（ a -9） A 3、（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 B 新课导入 完全平方公式 因式分解与整式乘法互为逆运算 运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式” 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 新课讲授 完全平方公式 完全平方式的特点： 1.是二次三项式(或可以看成二次三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 称为完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放. 完全平方式结构特征口诀 =(首±尾)2 分解因式 4m²+12mn+9n² 4m²+12mn+9n²=(2m)² + 2·2m·3n + (3n)² 2m看作公式中的a 3n看作公式中的b 首2 +尾2 +2×首×尾 4m²+12mn+9n² =(2m)² + 2·2m·3n + (3n)² =(2m+3n)². =(首±尾)2 对照完全平方公式a²±2ab＋b²=（a±b）²填表： a²±2ab＋b² a b （a±b）² 16x²＋24x+9 －x＋x² a²＋4－4a 4a²＋25b²－20ab 4x 3 （4x+3）² x （－x）² a 2 （a－2）² 2a 5b （2a－5b）² 注意事项：1．平方项符号相同；2．中间项是积的2倍 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 例题精讲 新课讲授 例1 把下列各式分解因式: （1）t²+22t+121; (2) m²+n²-mn. (2) m²+n²-mn= m²-2×m×n +（n）²=（m n）². =(首±尾)2 解:(1)t²+22t+121 = (t+11)² = t²+2×t×11+11² 例题精讲 新课讲授 例 2 把下列各式分解因式: ax²+2a²x+a3; (x+y)²-4(x+y)+4; (3) (3m-1)²+(3m-1)+ 解:(1)ax²+2a²x+a3 =a(x²+2ax+a²) =a(x+a)². (3) (3m-1)²+(3m-1)+ =(3m-1)²+2.(3m-1). +()² =(3m-1+)² =(3m-)². (2) (x+y)²-4(x+y)+4 =(x+y)²-2·(x+y)·2+2² =(x+y-2)². 1．看项数： 必须是3项 2．看平方： 平方前的符号必须相同 3．看乘积： 必须是两个平方内数或式的2倍 有公因式要先提公因式. 可以把（x+y）看作一个整体 新课讲授 利用平方差式、完全平方式把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 公式法 变式训练 1、用简便方法计算 （1）49.92＋9.98 ＋0.12 （2）2025²-4048×2025+2024² 解： （1）49.92＋9.98 ＋0.12 = 49.92＋2×49.9×0.1 ＋0.12 =（49.9+0.1）² =2500 （2）2025²-4048×2025+2024² =2025²-2×2024×2025+2024² =（2025-2024）² =1 变式训练 （2）(x2＋y2)2-4x2y2 2、把下列各式分解因式 解： （3）-(4x2＋1)2+16x2 （3）原式=-[(4x2＋1)2－（4x）2] =-(4x2＋1+4x）(4x2＋1－4x) =-(2x+2)² (2x-2)² （1）原式=(x2)2－2•x2•9+92 =(x2 -9)2 =[(x +3)(x -3) ]2 =(x +3) 2(x -3) 2 分解要彻底 （2）原式=(x2＋y2)2-(2xy) 2 =(x2＋y2 ＋ 2xy ) (x2＋y2 - 2xy ) =(x +y) 2(x -y) 2 完全平方公式 平方差公式 变式训练 1×2×3×4+1=25=5 ², 2×3×4×5+1=121=11 ², 3×4×5×6+1=361=19 ², 4×5×6×7+1=841=29²,　 …　…　…　… 从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗? 解:结论四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数. 证明:设最小的自然数是n,则这四个自然数的积与1的和可以表示为 n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n ²+3n)(n ²+3n+2)+1 =(n ²+3n) ²+2(n ²+3n)+1 =(n ²+3n+1) ². 3. 阅读思考 直击中考 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 4．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 2．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． C 巩固练习 (1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2; (3) 25 m2+20m+4; (4) 0.16 x2－0.8x+1; (5) mx2+2m2x+m3; (6) －3x2+6xy－3y2. 解： （1）原式=（x+6）² （2）原式=-（x+y）² （3）原式=（5m+2）² （4）原式=（0.4x-1）² （5）原式=m（x+1）² （6）原式=-3（x-y）² 若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式 1.分解因式 巩固练习 （1）. 若 ，则 。 9 2.解答题 解： 巩固练习 2.解答题 （2）已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值. 解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0 即(a+1)2+(b–2)2=0 ∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7 a+1=0 b–2=0 a=1 b=2 方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答． 课堂小结 因式分解方法口诀 若要分解多项式，先看有无公因式； 看到两次两项式，就用平方差公式； 遇到两次三项式，应用完全平方式； 结果都是积整式，彻底分解多项式。 结论：多项式的因式分解要分解到不能再分解为止. 方法：先考虑能否用提取公因式法， 再考虑能否用公式分解因式. 课后练习 1．下列式子中是完全平方式的是( ) A．a²＋ab＋b² B．a²＋2a＋2 C．a²－2b＋b² D．a²＋2a＋1². 2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．x²＋x＋1 B．x²＋2x－1 C．x²－1 D．x²－6x＋9 D D 3．多项式mx²－m和多项式x²－2x＋1的公因式是( ) A．x－1 B．x＋1 C．x²－1 D．(x－1) ² 4．对(x－1) ²－2(x－1)＋1因式分解的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x² C．(x＋1) ² D．(x－2) ² D A 课后练习 5. 把下列各式因式分解 (1)16x ²－(x ²＋4) ²；(2)(x ²－2xy＋y ²)＋(－2x＋2y)＋1 (3)(a－b) ²＋4ab； (4)－2a ³b ²＋8a ²b ²－8ab ²； 解（1）原式＝(4x＋x ²＋4)(4x－x ²－4)＝－(x＋2) ² (x－2) ². （2）原式＝(x－y) ²－2(x－y)＋1＝(x－y－1) ². （3）原式＝a ²－2ab＋b ²＋4ab＝a²＋2ab＋b ²＝(a＋b) ². （4）原式＝－2ab ² (a ²－4a＋4) ＝－ 2ab ² (a－2) ². 课后练习 6.下列多项式能不能用公式法因式分解，为什么？ (1) m2－4m+4; (2)1+4m2; (3) 4b4 - 9a² ; (4)m2+mb+b2. (1) m2－4m+4符合完全平方公式特征， m2－4m+4=（m-2）² (2)1+4m2不符合平方差公式，不能因式分解 (3) 4b4 - 9a² 符合平方差公式特征， 4b4 - 9a² =（2b²+3a）（ 2b²-3a ） (4)m2+mb+b2不符合完全平方公式特征，不能因式分解 解： $$