9.1因式分解（教学课件）2025-2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“因式分解”概念及与整式乘法的关系，通过多项式乘法算式逆向思考和计算方法对比导入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点是以问题驱动和实例对比，引导学生用数学眼光观察逆向变形，用数学思维分析互逆关系，通过辨析练习培养数学语言表达。采用对比探究法，小结清晰归纳，助力学生提升抽象能力与推理意识，也为教师提供结构化教学流程。

9.1 因式分解 第九章 因式分解 冀教版（2024） 素养目标 1.理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法之间的区别与联系； 2.能判断因式分解的正误，了解因式分解的过程. 重点 重点 2 想一想 观察下面几个多项式的乘法算式: m(a＋b) =ma＋mb (a＋b)(a－b)=a2－b2 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来，你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗? 问题导入 ma＋mb=m(a＋b) a2－b2=(a＋b)(a－b) a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2 新知导入 观察下面计算 20112-2011×2010 和 372-362 的过程，哪种更简便? 小明的方法 20112-2011×2010 =4 044 121-4 042 110 =2 011. 372-362 =1 369-1 296 =73. 小亮的方法 2 0112-2 011×2 010 =2 011×(2 011-2 010) =2 011. 372-362 =(37+36)×(37-36) =73. 探究新知 【思考】(1)小明用的什么方法? (2)小亮的第一个算式用了什么方法? (3)小亮的第二个算式用了什么方法? (4)你认为谁的方法更简便? 根据乘方的意义直接进行计算. 乘法对加法的分配律的逆用. 平方差公式. 小亮的方法更简便. 观察下面计算20112－2011×2010和372－362的过程，哪种更简便? 小亮的方法 20112－2011×2010 =2011×(2011－2010) =2011. 372－362 =(37+36)×(37－36) =73. 获取新知 知识点 因式分解的概念 1 小明的方法 20112－2011×2010 =4044121－4042110 =2011. 372－362 =1369－1296 =73. (1)小明用的什么方法? (2)小亮的第一个算式用了什么方法? (3)小亮的第二个算式用了什么方法? 根据乘方的意义直接进行计算. 乘法对加法的分配律的逆用. 平方差公式. 思考 全品初中 新课讲授 定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式 因式分解定义 ①分解的对象必须是多项式； ②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，且每个因式的次数不能高于原来多项式的次数； ③必须分解到每个多项式都不能再分解为止. 注意： 整式乘法与因式分解的关系 因式分解特点：由多项式和的形式转化成几个整式的积的形式。 整式的乘法特点：由整式积的形式转化成多项式和的形式。 整式乘法结果是什么？ ——多项式和的形式 一个多项式因式分解的结果是什么？ ——整式的积的形式。 (x+y)(x-y) = x2-y2 多项式x2-y2分解为(x+y)和(x-y)的积 x2 -y2 = (x+y)(x-y) (x+y)和(x-y)的积为x2-y2 结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。 探究新知 根据整式的乘法进行计算： x(x-2) = ； (x+y)(x-y) = ； (x+1)2 = . x2-2x x2-y2 x2+2x+1 反过来，可以把这些多项式写成整式乘积的形式吗? 可以. x2-2x = x(x-2)；x2-y2 = (x+y)(x-y)；x2+2x+1 = (x+1)2. 归纳总结 像这样，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式. 11 像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每个整式都叫做这个多项式的因式. 概念认知 全品初中 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 是 不是 不是 不是 不是 不是 下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 整式乘法与因式分解的关系 经验提升：是否是因式分解看结果－－乘积形式 （1） （3） 是因式分解 不是因式分解 1、下列各式中，从等号左边到右边的变形， 哪些是多项式的因式分解？ （2） （4） 一个多项式 整式的积 一个多项式 整式的积 是因式分解 是因式分解 一个多项式 整式的积 整式的积 一个多项式 （1） （4）² 2、下列对多项式的变形， 哪些是因式分解？是因式分解的，请指出各因式 （3） （2） 是因式分解 整式x与（x-1）的积 不是因式分解 是因式分解 整式(𝒂+𝟏)与(𝒂−𝟏)的积 是因式分解 整式(x+𝟏)与(x+𝟏)的积 练一练 归纳总结 因式分解 对象：一个多项式 结果：几个整式的乘积 程度：每个因式都不能再分解 17 一起探究 计算下列式子. (1)m(a＋b－1)=　　　　　　　　;  (2)(m＋4)(m－4)=　　　　　　　　;  (3)(y－3)2=　　　　　　　　;  根据上面的算式填空. (1)ma＋mb－m=　　　　　　　　;  (2)m2－16=　　　　　　　　;  (3)y2－6y＋9=　　　　　　　　.  因式分解与整式的乘法有什么关系? ma＋mb－m m2－16 y2－6y＋9 m(a＋b－1) (m＋4)(m－4) (y－3)2 知识点 因式分解与整式乘法的关系 2 实际上数学中有许多的互逆化知识，如乘方与开方，整式乘法与因式分解等，甚至是许多互逆化的性质，所以老师可以在此总结强调要善于对比，要善于总结，找到问题的最佳解决之道 因式分解 多项式乘法 互逆关系 （多项式） （几个整式乘积） 多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见，多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程，如图所示. x2-y2 (x+y)(x-y) 归纳总结 由和变积是因式分解，由积变和是整式乘法. 巩固练习 1. 若(a+5)(a+2)=a2+7a+10， 2. 若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), a+5 a+2 -7 -10 则a2+7a+10=( )( ). 则m=____,n=____. 3. 若x2-6x+m=(x-4)( x-2 ), 则m=____. 8 C D 4．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A．y（y－x）＝y²－xy； B．x²－2x＋1＝x（x－2）＋1 C．x²－x＝x（x－1）； D．x²－ ＝（x－ ）2 5．把下列各式分解因式正确的是（ ） A．xy²－x² y＝x（y²－xy）； B．9xyz－6 x² y²＝3xyz（3－2xy） C．3 a² x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x² y＝ xy（x＋y） 巩固练习 探究新知 x(x-2)=x2-2x；(x+y)(x-y)= x2-y2；(x+1)2= x2+2x+1. x2-2x = x(x-2)；x2-y2 = (x+y)(x-y)；x2+2x+1 = (x+1)2. 多项式相乘 多项式的分解因式 【问题1】多项式相乘的结果是什么？ 多项式相乘的结果是几个单项式的和. 【问题2】一个多项式进行因式分解的结果是什么？ 一个多项式进行因式分解的结果是几个整式的乘积 探究新知 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式 多项式的因式分解与整式的乘法运算是相反的变形过程. 多项式x2-y2分解为x＋y 与x-y 的乘积 x2 - y2 = (x+y)(x-y) 多项式x+y 与x-y 的乘积为x2-y2 (x+y )(x-y ) = x2- y2 x2- y2 因式分解 整式乘法 (x+y)(x-y) 试一试：1.下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是多项式的因式分解? (1)x2－4=(x＋2)(x－2); (2)x2＋4x＋4=(x＋2)2; (3)7m＋14n=7(m＋2n); (4)x(y＋1)=xy＋x. (1)(2)(3)是，(4)不是. 全品初中 2.下列对多项式的变形，哪些是因式分解?是因式分解的，指出它的各因式. (1)x2－x=x(x－1); (2)5(2x＋y)=10x＋5y; (3)a2－1=(a＋1)(a－1); (4)x2－2x＋1=(x－1)2. (1)是，因式为x，x－1; (2)不是; (3)是，因式为a＋1，a－1; (4)是，因式为x－1，x－1. 全品初中 小结 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式. 多项式的因式分解与整式的乘法运算是相反的变形过程. x2- y2 因式分解 整式乘法 (x+y)(x-y) 课堂小结 因式分解 定 义 与整式乘法运算的关系 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式叫做这个多项式的因式 因式分解 整式乘法 多项式化为整式乘积 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形. 整式乘积化为多项式 解析：A、等号不成立,故选项错误； B、是整式的乘法,不是分解因式,故选项错误； C、不是分解因式,故选项错误； D、从左到右的变形是因式分解,选项正确. 故选：D. $