9.3公式法（课时1）课件 2025-2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“平方差公式因式分解”，通过两圆面积差计算问题导入，引导学生从具体数值运算过渡到平方差公式的逆向应用，衔接整式乘法与因式分解，搭建从现实问题到数学公式的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过辨析题（如判断 -a² - b²能否分解）和“一提二套三查”步骤总结发展数学思维，融入中考题提升应用意识。学生能深化公式理解，教师可高效落实教学目标。

9.3 公式法 第1课时 平方差公式 第八章 整式的乘法 学习目标 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会逆向思维在数学中的作用. 2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解. 13.5cm 6.5cm π×13.5² π×6.5² 试着比较下面两个圆的面积大小. π 13.5 2 . π . 6.5 2 - 两者面积之差为（列出算式）： =π×（13.52 － 6.52 ） =π ×20 ×7 =π×(13.5＋6.5) (13.5 － 6.5) 你能快速计算出这两个圆的面积差吗？ =140π 什么样的式子相乘结果是两数平方差 新课导入 平方差公式 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 知识点1 平方差公式的结构特征 1. 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目： 用平方差公式分解因式： （1）； （2） ； （3）； （4） . 涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( ) B A. （1） B. （2） C. （3） D. （4） 2. [邯郸模拟] 将多项式“ ？”因式分解，结果为 ，则“？”是( ) C A. 3 B. C. 9 D. 5 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 新课讲授 平方差公式 互逆关系 (1)公式左边： 一个将要被分解因式的多项式 两项平方差 (2) 公式右边： 分解因式的结果 两项的和与两项差的积 ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - ▲ ▲ ▲ 平方差公式的项、指数、符号有什么特点？ 形式符合：A²－B²=（ A+B ）（ A－B） 把 看作公式中的 看作公式中的 . 注意1：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 新课讲授 练一练 （1）x2+y2； 下列多项式能否用平方差公式因式分解？ （2）x2-y2； （3）-x2+y2； （4）-x2-y2； 这是两数平方和； x2-y2 = (x+y)(xy)； -x2+y2 = (y+x)(yx)； 这是两数平方和的相反数. 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2  ( )2的形式. 练一练 把下列各式分解因式: (1)4x2-9y2 ； (2)(3m-1)2-9 (1)4x2-9y2 = 解： (2x)2 - (3y)2 = (2x+3y)(2x-3y) a2 - b2 (2)(3m-1)2-9 = (3m-1)2 - 32 = (3m-1+3)(3m-1-3) =（3m+2)(3m-4) = (a+b) (a-b) 平方差公式的特点 公式左边 公式右边 共有两项， 两项符号相反， 且都是平方形式. 两个数的和乘以这两个数的差. 知识点1 平方差公式的结构特征 把握平方差公式的结构特征，对号入座，正确分解因式. 3.[青岛中考] 因式分解: _______________. 4.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形 的长为_______. 5.若，，则 的值为___. 4 11 平方差公式 新课讲授 判断下列利用平方差公式分解因式是否正确,不对,请改正 (3) -9+4x2=(2x-3)(2x+3) （ ） (2) -a4+b2=(a2+b)(a2-b) （ ） (1) x2-4y2=(x+4y)(x-4y) （ ） × × √ （2y）² (x+2y)(x-2y) 这是平方差公式等号左边首项 a2 - b2=(a+b)(a-b) (b+a2)(b-a2) -9+4x2= 4x2-9 =(2x-3)(2x+3) (4) -1-x2=(1-x)(1+x) （ ） (5) a2-(b+c)2=(a+b+c)(a-b+c) （ ） (6) - s2+t2=-(s+t)(s-t)=(t+s) (t-s) （ ） × √ × (a+b+c)(a-b-c) 不能分解因式 = -（1+x²），不符合平方差公式条件 （b+c）要当作一个整体，带入公式要加括号 平方差公式 新课讲授 归纳：可运用平方差公式进行因式分解的多项式特征是： （1）恰好两项； 　　（2）一项正，一项负； 　　（3）可化为（　）2－（　）2. 归纳总结 （1）公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. （2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 14 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2； （2）x2-y2； （3）-x2-y2； -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2； （5）x2-25y2； (x+5y)(x-5y) （6）m2-1. (m+1)(m-1) 知识点1 平方差公式的结构特征 试一试：试着将下面的多项式分解因式. (1)p2－16=　　 　　;  (2)y2－4=　 　　　;  (3)x2－ =　　 　　;  (4)4a2－b2=　　 　　.  (p＋4)(p－4) (y＋2)(y－2) (2a＋b)(2a－b) 知识点2 用平方差公式进行因式分解 巩固练习 (1) ; 1. 下面分解因式的结果是否正确? 如果不正确，请指出错在哪里并改正. (2) . × （2x）² (2x+y)(2x-y) × 先提公因式a (2) . （教材p118练习第1题） 巩固练习 2. 运用公式法分解因式： (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解： （教材p118练习第2题） (2) (3) (4) =（-25） =（+5）（-5） 跟踪训练 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b)； 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解. 知识点2 用平方差公式进行因式分解 (2) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2 ＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)] ＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n) ＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n). 例2 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． ∴x－y＝－2②. 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 知识点2 用平方差公式进行因式分解 课堂小结 如果把平方差公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做平方差公式法. 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. □2－△2＝(□＋△)(□－△) ☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○) 平方差公式的特点 两数的和与差的积 两个数的平方差；只有两项 形象地表示为： ①左边 ②右边 相同项 相反项 小结 平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. $