9.3 第2课时 利用完全平方公式因式分解-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用完全平方公式因式分解”，通过对比平方差公式导入，结合图形面积验证（如大正方形分割），从基础辨析到综合应用，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是分层设计（基础夯实、能力提升、素养培优），融入条件开放题、多解法等新考向，通过图形验证培养几何直观，配方法应用提升运算能力与模型意识，助力学生深度学习，教师可实现分层教学。

第2课时　利用完全平方公式因式分解 第九章　因式分解 9.3　公式法 初中数学培优课堂  　利用完全平方公式因式分解 1.(2025河北唐山玉田期末)下列各式中,可以用完全平方公式 分解因式的是 ( ) A.a2-1　　　B.a2+2a-1 C.a2-2a-1　　　D.a2+2a+1 　D     初中数学培优课堂 解析　A.a2-1符合平方差公式的特点,不符合完全平方公式的 特点,故不符合题意.B.a2+2a-1不符合完全平方公式的特点,故 不符合题意.C.a2-2a-1不符合完全平方公式的特点,故不符合 题意.D.a2+2a+1符合完全平方公式的特点,符合题意.故选D. 初中数学培优课堂 2.(2025河北沧州青县三中月考)下列多项式能用完全平方公 式分解的有 ( ) (1)a2+ab+b2;(2)a2-a+ ; (3)9a2-24ab+4b2;(4)-a2+8a-16. A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 　B     初中数学培优课堂 解析    (1)a2+ab+b2中,中间项不是±2ab,不能用完全平方公式 分解;(2)a2-a+ = ,符合题意; (3)9a2-24ab+4b2,中间项不是±12ab,不能用完全平方公式分解; (4)-a2+8a-16=-(a2-8a+16)=-(a-4)2,符合题意.综上,(2)(4)能用完 全平方公式分解,共2个.故选B. 初中数学培优课堂 3.(2025河北邯郸临漳期末)如图,两条线段把大正方形ABCD 分割成边长分别为a、b的两个小正方形和两个小长方形,则 利用该图形可以验证的因式分解是( )   　B     初中数学培优课堂 A.b2-a2=(b-a)(b+a) B.a2+2ab+b2=(a+b)2 C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.a2+b2=ab(a+b) 初中数学培优课堂 解析　大正方形的面积可以表示为a2+2ab+b2或(a+b)2,∴a2+ 2ab+b2=(a+b)2.故选B. 初中数学培优课堂 4.【新考向·条件开放题】(2025四川成都中考改编)多项式 x2+1 加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加上的 单项式可以是_________________(填一个即可). x(答案不唯一) 初中数学培优课堂 解析　∵ x2+1+x= ,∴加上的单项式可以为x(答案不 唯一). 初中数学培优课堂 5.(2025黑龙江绥化中考)分解因式:2mx2-4mxy+2my2=_______ _. 2 2m(x-y) 初中数学培优课堂 解析    2mx2-4mxy+2my2=2m(x2-2xy+y2)=2m(x-y)2. 初中数学培优课堂 6.(2025山东日照东港期末)分解因式:-m4+8m2-16=__________ ___. 2)2 -(m+2)2(m- 初中数学培优课堂 解析　-m4+8m2-16=-(m4-8m2+16)=-(m2-4)2 =-(m+2)2(m-2)2. 初中数学培优课堂 7.若x是y的2倍,则多项式-2x2+8xy-8y2的值是_______. 初中数学培优课堂 解析　∵x是y的2倍, ∴x=2y,∴x-2y=0, ∵-2x2+8xy-8y2=-2(x2-4xy+4y2)=-2(x-2y)2, ∴原式=-2(2y-2y)2=0, ∴多项式-2x2+8xy-8y2的值是0. 初中数学培优课堂 8.把下列各式分解因式: (1) a2- ab+ b2.    (2)-3x2+6xy-3y2. (3)2a3-12a2+18a.　 (4)x4-8x2y2+16y4. (5)4+12(x-y)+9(x-y)2. (6) -6(y2-1)+9. 初中数学培优课堂 解析    (1) a2- ab+ b2= . (2)-3x2+6xy-3y2=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2. (3)2a3-12a2+18a=2a(a2-6a+9)=2a(a-3)2. (4)x4-8x2y2+16y4= =[(x+2y)(x-2y)]2 =(x+2y)2(x-2y)2. (5)4+12(x-y)+9(x-y)2=22+12(x-y)+[3(x-y)]2 =[2+3(x-y)]2=(3x-3y+2)2. (6) -6(y2-1)+9= =  初中数学培优课堂 =(y+2)2(y-2)2. 初中数学培优课堂 9.【学科特色·教材变式P121T4】请用简便方法计算: (1)1242-48×124+242. (2)10.32+20.6×9.7+9.72. 初中数学培优课堂 解析    (1)1242-48×124+242 =1242-2×124×24+242=(124-24)2 =1002=10 000. (2)10.32+20.6×9.7+9.72=10.32+2×10.3×9.7+9.72 =(10.3+9.7)2=202=400. 初中数学培优课堂   10.(2024广西中考,★★☆)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3 的值为 ( ) A.0　　　B.1　　　C.4　　　D.9 　D     初中数学培优课堂 解析　原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9.故选D. 初中数学培优课堂 11.【学科特色·多解法】(★★☆)代数式a2(a2-1)-a2+1的值  ( ) A.不是负数　　　B.恒为正数 C.恒为负数　　　D.不等于0 　A     初中数学培优课堂 解析　【解法一】提公因式法: ∵a2(a2-1)-a2+1 =a2(a2-1)-(a2-1) =(a2-1)(a2-1) =(a2-1)2≥0, ∴代数式a2(a2-1)-a2+1的值不是负数.故选A. 初中数学培优课堂 【解法二】公式法: ∵a2(a2-1)-a2+1 =a4-a2-a2+1 =a4-2a2+1 =(a2-1)2≥0, ∴a2(a2-1)-a2+1的值不是负数.故选A. 初中数学培优课堂 12.(2025福建宁德期末,★★☆)如图,将三个边长分别为a,b的 小长方形组成一个大长方形,已知大长方形的周长为12,面积 为7,则a3b+6a2b2+9ab3的值是____.   84 初中数学培优课堂 解析　∵大长方形的周长为12,面积为7, ∴2(a+3b)=12,3ab=7,∴a+3b=6,ab= , ∴a3b+6a2b2+9ab3=ab(a2+6ab+9b2)=ab(a+3b)2= ×62=84. 初中数学培优课堂 13.(2025河北邯郸广平实验中学开学考,★★★)发现:两个差 为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方. (1)2×4+1是正整数_______的平方. (2)设较小的正整数为n,写出这两个正整数的积与1的和,并说 明它是一个正整数的平方. (3)两个差为12的正偶数,设较小的数为2k(k为正整数),若它们 的积与常数a的和是一个正整数的平方,求a的值. 初中数学培优课堂 解析    (1)3.详解:2×4+1=8+1=9=32.故答案为3. (2)较小的正整数为n,则另一个正整数为n+2, 这两个数的积与1的和为n(n+2)+1, ∴n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2, ∴原式为正整数n+1的平方. (3)较小的正偶数为2k,则另一个正偶数为2k+12, 它们的积与常数a的和为2k(2k+12)+a, ∴2k(2k+12)+a=4k2+24k+a=4 , 初中数学培优课堂 由题意可知,k2+6k+ 可以利用完全平方公式进行因式分解, 所以 = =9,∴a=36, 此时4(k2+6k+9)=[2(k+3)]2,符合题意. 所以a=36. 初中数学培优课堂   14.【新课标·运算能力】(2025河北秦皇岛十中月考)通过课 堂的学习,我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方 式,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:例如 x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4,2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8, 像这样先添加一个适当的项,使多项式中出现完全平方式,再 减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为配方法.配方法 初中数学培优课堂 是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不 能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问 题或求代数式最大值、最小值的问题等,如:因为2x2+4x-6= 2(x+1)2-8,可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,为-8. 请阅读以上材料,并用配方法解决下列问题: (1)因式分解:x2-6x+8=_______. (2)若a,b满足a2+b2+2a-6b+10=0,求ba的值. 初中数学培优课堂 (3)已知a是任意有理数,若M=(a+3)(a-1),N=-2(a+4),通过计算 判断M,N的大小关系. (4)如图,用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园,菜园的 一面靠墙,设与墙壁垂直的一边长为x米. ①试用含x的代数式表示菜园的面积. ②当x取何值时菜园面积最大?最大面积是多少平方米? 初中数学培优课堂 解析    (1)(x-2)(x-4).详解:x2-6x+8=x2-6x+8+1-1=(x-3)2-1=(x-3+ 1)(x-3-1)=(x-2)(x-4). (2)∵a2+b2+2a-6b+10=0, ∴a2+2a+1+b2-6b+9=0, ∴(a+1)2+(b-3)2=0, ∴a+1=0,b-3=0, ∴a=-1,b=3,∴ba=3-1= . (3)M-N=(a+3)(a-1)-[-2(a+4)] 初中数学培优课堂 =a2+2a-3+2a+8=a2+4a+5=a2+4a+4+1 =(a+2)2+1, ∵(a+2)2≥0,∴(a+2)2+1≥1,∴M>N. (4)①由题意可得菜园的面积为x(20-2x)=-2x2+20x. ②∵-2x2+20x=-2(x2-10x)=-2(x2-10x+25)+50 =-2(x-5)2+50, ∴当x=5时,菜园面积最大,最大面积为50平方米. 初中数学培优课堂 $