2025-2026学年北师大版七年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 北师大版七年级下学期数学期末模拟卷，以“蛟龙号”深潜、容器放水等真实情境为载体，融合代数运算、几何推理与统计应用，全面考查抽象能力、几何直观及运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题18分|科学记数法、幂运算、平行线性质|第1题结合深海探测科技情境，第5题以容器放水考查函数图像理解| |填空题|6题18分|整式运算、概率、最短路径|第9题用频率估计概率，第10题动点最短路径体现空间观念| |解答题|11题66分|几何证明、函数建模、代数探究|19题盘秤问题建立函数模型（模型意识），22题行程图像分析数据（数据意识），23题几何类比探究培养推理能力|

2025-2026学年北师大版七年级下学期数学期末模拟试卷 满分：120分 时长：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）年，搭载水质分析系统的“蛟龙号”深潜器在深海热泉口开展探测任务，传感器在采集的水样中，发现了一种未知的极端微生物，它的直径仅为．将数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D．太阳从东方升起 4．（本题3分）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 二、填空题（共18分） 7．（本题3分）若，，则_______． 8．（本题3分）如图将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数________． 9．（本题3分）不透明的口袋中装有个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个． 10．（本题3分）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 11．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 12．（本题3分）如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 三、解答题（共30分） 13．（本题6分）计算： (1)； (2)． 14．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 15．（本题6分）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 16．（本题6分）阅读并填空：如图，，直线分别交直线于点G、N，点M在上，连接，，，试证明：． 证明：∵（已知）， ∴______（__________________） ∵， ∴______． ∵，且， ∴______． ∴（__________________）． 17．（本题6分）一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)直接写出袋中红球的个数_____； (2)求从袋子中摸出一个球是白球的概率； (3)在袋中再放入10个球（其中有5个黄球），求从袋中的球中摸出一个球是黄球的概率． 四、解答题（共24分） 18．（本题8分）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 19．（本题8分）盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出___________，___________； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为___________； (3)指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 20．（本题8分）已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 五、解答题（共18分） 21．（本题9分）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 22．（本题9分）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 六、解答题（共12分） 23．（本题12分）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版七年级下学期数学期末模拟试卷 满分：120分 时长：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）年，搭载水质分析系统的“蛟龙号”深潜器在深海热泉口开展探测任务，传感器在采集的水样中，发现了一种未知的极端微生物，它的直径仅为．将数据用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值小于的数用科学记数法可表示为，其中，为原数小数点移动到第一个非零数字后移动的位数． 【详解】解；∵将的小数点向右移动位可得到，且满足 ∴． 2．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，计算正确； 选项B：，计算错误； 选项C：，计算错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，计算错误． 3．（本题3分）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D．太阳从东方升起 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解： 选项A抛掷硬币反面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B经过有交通信号灯的路口遇到红灯，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项C抛掷骰子一次正面朝上点数为6，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D太阳从东方升起，是一定发生的自然规律，是必然事件． 4．（本题3分）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再根据平角的定义得． 【详解】如图， ∵， ∴， ∴． 5．（本题3分）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 6．（本题3分）如图，P是外一点，D，E分别是上的点，连接，点M，N在直线上，与关于对称，与关于对称．若，则线段的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】本题需利用轴对称的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，通过已知的、、长度来计算的长．关键是理解“关于某直线对称的两条线段相等”这一性质，进而推导各线段间的数量关系． 【详解】解：与关于对称， ； 同理，与关于对称， ． ∵，， ，． 点在直线上，且，， ． 点在直线上，且， ． 二、填空题（共18分） 7．（本题3分）若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件的值计算即可． 【详解】解：由平方差公式得， 把，代入得，原式． 8．（本题3分）如图将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数________． 【答案】/33度 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴． 9．（本题3分）不透明的口袋中装有个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个． 【答案】 【分析】大量反复试验下频率稳定值即为概率，设出白球个数，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到白球的频率稳定在附近， ∴， 解得， 经检验，为原方程的解． 10．（本题3分）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 11．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 12．（本题3分）如图，中，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 _____ ． 【答案】或 【分析】分类讨论：①当点在上，点在上，②当在上，在上，③当在上重合时，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】解：当在上，在上时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点运动秒； 当在上，在上时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 当在上重合时，如图， 则 ∴， 即 解得：， 综上可知：或． 三、解答题（共30分） 13．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 14．（本题6分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（本题6分）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 16．（本题6分）阅读并填空：如图，，直线分别交直线于点G、N，点M在上，连接，，，试证明：． 证明：∵（已知）， ∴______（__________________） ∵， ∴______． ∵，且， ∴______． ∴（__________________）． 【答案】见解析 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴． ∵，且， ∴． ∴（垂线的定义）． 17．（本题6分）一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)直接写出袋中红球的个数_____； (2)求从袋子中摸出一个球是白球的概率； (3)在袋中再放入10个球（其中有5个黄球），求从袋中的球中摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1) 30 (2) (3) 【分析】本题考查了概率的基本计算，解题的关键是利用“概率所求情况数总情况数”，结合题中数量关系逐步求解． （1） 利用红球概率与总球数直接计算红球个数； （2） 先求出黄球与白球总数，再根据黄球与白球的数量关系列方程求白球个数，最后计算白球概率； （3） 先算出原有黄球个数，再加上新增黄球个数，除以新的总球数得到概率． 【详解】（1）解：． （2）解：设白球有个，则黄球有个， 根据题意，得， 解得． 摸出白球的概率为：． 答：从袋子中摸出一个球是白球的概率为. （3）解：原黄球个数：， 加入5个黄球后，黄球总数：， 总球数：， 摸出黄球的概率为：． 答：从袋中摸出一个球是黄球的概率为． 四、解答题（共24分） 18．（本题8分）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 19．（本题8分）盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出___________，___________； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为___________； (3)指针转过的角度不得超过，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 【答案】(1)45；10 (2) (3)不会，见解析 (4)12千克 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，一元一次方程的应用，通过表格观察数据建立变量间的关系，理解题意得到等量关系建立方程是解决本题的关键． （1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）将代入（2）中所得关系式中，求解出n的值即可判断； （4）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为，重量为千克， 故答案为：45；10； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； 故答案为：； （3）解：不会，理由如下： 当物品的重量为18千克时， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， 将代入中，得， ∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤； （4）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的数量是第一次数量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴，解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为千克， （千克） 答：该顾客一共购买了12千克水果． 20．（本题8分）已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 【答案】(1)见详解 (2)16 【分析】（1）先结合角的和差关系得出，再证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， 则与的周长的和 ． 五、解答题（共18分） 21．（本题9分）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作系数，将多项式去括号，合并同类项，得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将，的代数式代入式子，合并同类项得，然后根据的值与无关，令的系数为0，即可求出n的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 22．（本题9分）甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 六、解答题（共12分） 23．（本题12分）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 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