2025-2026学年苏科版数学七年级下册 期末巩固练习 专题3：几何问题

**基本信息** 聚焦几何综合与图形变换，通过分层递进的题型设计，系统整合三角形角度关系、图形变换性质及尺规作图技能，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形中的角度问题|4题|角平分线与平行线综合，含证明、猜想及动态计算|从基本角平分线、平行线性质出发，结合三角形内角和定理，构建角度关系推导体系| |图形变换与几何综合|5题|旋转、翻折（折纸）与三角形、多边形、平行线结合，探究动态数量关系|以图形变换为核心，融合变换性质与几何图形性质，形成“变换-性质-关系”的逻辑链条| |作图题|7题|网格中平移/对称/旋转作图、非网格尺规作图，强调操作与规范|从网格到非网格，从基本变换到复杂作图，培养空间观念与几何直观表达能力|

期末巩固练习 专题3：几何问题 三角形中的角度问题 一、三角形与角平分线的综合 1. 已知：，四点在同一直线上. (1) 如图①，求证：. (2) 如图②，猜想这三个角之间有何数量关系?并证明你的结论. (3) 如图③，是下方一点，连接，且，若，求的度数. (4) 如图④，是下方一点，连接，，，若，则________(结果用含的代数式表示). 答案： (1) 如图①所示，延长相交于点.. (2) ，证明如下：如图②所示，过点作. (3) ， . .， . ， ， ... (4) 解析：， . ， . ， ， . 由(1)得，. 2. 已知：在中，记. (1) 如图①，若平分分别平分的外角和于点. ①用含的代数式表示的度数. ②用含的代数式表示的度数. (2) 如图②，若点为的三条内角平分线的交点，且于点. ①请补全图形. ②猜想(1)中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论. 答案： (1) ①如图①，分别平分的外角和. ②在Rt中，.. (2) ①如图②所示. ②(1) 中的两个结论都发生了变化，. 理由如下：点为的三条内角平分线的交点，.. 二、三角形与平行线的综合 3. (1) 如图①，，顶点在直线上，边，分别与直线交于点，，且.求证：； (2) 如图②，在(1)的条件下分别作与的平分线交于点，求的度数； (3) 如图③，在(1)的条件下作的平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与∠FHP的关系式. 答案： (1) ∵∠EFG=120º，顶点在直线上，∴. (2) 设，，，是的平分线，， 是的平分线，是的一个外角，. (3) 或 解析：当点在的上方时，如图①所示，过点作. 设平分，则 ， .又， ， ， ， ，即； 当在的下方时，如图②所示，过点作， 设. 综上所述，或. 4. 如图①，已知两条直线，被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且. (1) 判断直线与直线是否平行，并说明理由. (2) 如图②，点是射线上一动点(不与点重合)，平分交于点，过点作于点，设. ①当点在点的右侧时，若，求的度数. ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明. 答案： (1) . 理由如下：平分. (2) ①如图①，，，，平分.. ②猜想：或，证明如下： 当点在点的右侧时，如图①，. 当点在点的左侧时，如图②，平分平分.综上所述，或. 图形变换与儿何综合 一、图形变换与三角形综合 1. 有一副三角尺，其中中，中，.将这副直角三角尺按如图①放置.此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处.若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为. (1) 当________时，；当________时，； (2) 如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记.在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； (3) 在(2)的条件下，若，直接写出的取值范围. 答案： (1) 解析：在中，，当时，；在中，，当时，. (2) 当时，， 理由如下：如图①，中，.，即； 当时，，理由如下：如图②，在中，，即. 当时，，点不存在，故舍去该情况. 综上所述，当时，；当时，. (3) 当时，由(2) 得； 当时，由(2) 得， .综上所述，的取值范围是或. 2. 综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.现有等腰三角形，如图①所示，其中. 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点.将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与的位置关系是________. 【深入探究】 问题2：如图③，直线与线段相交于点，将沿直线翻折至处，点的对应点为. (1) 当时，________； (2) 探究与之间的数量关系. 【拓展延伸】 问题3：如图④所示，点在上，过点作交于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，的度数为________. 答案： 【初步感知】 解析：折叠后和关于直线对称，所以，所以. 【深入探究】(1) 10° 解析：，直线与线段相交于点，将沿直线翻折至处，点的对应点为是等腰三角形的对称轴.，由折叠性质可得 (2) 设，由折叠的性质可得. 又， ， .， .， 则. 【拓展延伸】10°或30°或65°或100°解析：如图①，当的的边与垂直时，在等腰三角形的对称轴上，将沿直线翻折得到. 如图②，当的的边与垂直时，在等腰三角形的对称轴上，将沿直线翻折得到 如图③，当的的边与射线垂直时，过点作为等腰三角形的对称轴且.将沿直线翻折得到，即 如图④，当的的边与垂直时，过点作为等腰三角形的对称轴，将沿直线翻折得到，即.综上所述，的度数为，，，. 二、图形变换与多边形综合 3. 折纸中的数学： 已知，在长方形纸片中，.点在边上，点在边上，将长方形按如图①方式沿折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点，设(). 【初步探索】(1) 若，则________°； 【深入探究】(2) 如图②，将四边形沿翻折至四边形交于点，写出和的数量关系：________； 【拓展延伸】(3) 如图③，在(2)的条件下，连接，将沿翻折至，当平分时，求和的数量关系，用含的式子直接表示出的大小，并写出的范围. 答案： (1) 35 解析：.又，由折叠性质可得. (2) 解析：由折叠的性质可得.，由折叠的性质可得，、. (3) 由(2)可得，由折叠可得沿翻折至，当，即时，解得， . 当，即时，， . 综上所述，；或 三、图形变换与平行线综合 4. 如图，已知，点在上，点在上.在中，，点在直线上，在中，. (1) 图中的度数是多少？请说明理由. (2) 将沿直线平移，使得点与重合，再将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转________度，使得与平行. (3) 将沿直线平移，当点在上时，求的度数. (4)将沿直线平移，当以为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数. 答案： (1) ，理由如下：，. (2) 30解析：如图①，将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转，使得. (3) 如图②，，，在中，. (4) 或或或. 解析：分两种情况，I.当向上平移时，①如图③所示，当以为顶点的三角形中有两个角相等，即时，； ②如图④所示，当以，，为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ③如图⑤所示，当以为顶点的三角形中有两个角相等，即时，； II.当向下平移时，如图⑥所示， ④当以为顶点的三角形中有两个角相等，即时，. 综上可知，将沿直线平移，当以为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或. 5. 【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射.如图①，经过入射点且垂直于反射面的直线叫作法线.入射光线与法线的夹角叫作入射角.反射光线与法线的夹角叫作反射角. 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即. (1) 探究图①中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系，并说明理由. 【结论应用】请用【问题情境】中获得的结论解决以下问题： 如图②，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上. (2) 与有怎样的位置关系?并说明理由. (3) 如图③，已知，直线绕点顺时针旋转至直线，当为何值时，. (4) 直线绕点顺时针旋转)，直线与直线相交于点，请直接写出和之间的数量关系. 答案： (1) ，理由如下：，即. (2) ，理由如下：，，由(1) 的结论可得，. (3) 直线绕点顺时针旋转至直线，即， ，由(1) 的结论可得，由(1) 的结论可得当，即时，. (4) 或.解析：分两种情况讨论： ①如图①，当在的左侧时，直线与相交于点. 直线绕点顺时针旋转，即，由(1) 的结论可得，，由(1) 结论有； ②如图②，当在的右侧时，直线与相交于点. 直线绕点顺时针旋转，即，由(1) 结论可得，.又.，由(1) 结论可得.. 综上所述，或. 作图题 一、网格中的图形变换 1. 网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位长度.已知的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，直线在格线上. (1) 请画出向上平移5个单位长度后的； (2) 请画出，使它与关于直线对称； (3) 请在直线上画出一点，使得线段，的长度和最小. 答案： (1) 如图，即为所求. (2) 如图，即为所求. (3) 如图，连接，交直线于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求. 2. 如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫格点.仅用无刻度的直尺完成下列作图. (1) 在图①中画出向右平移4个单位长度后的图形(注意标上字母)； (2) 连接、，线段和的关系是________； (3) 在图②中画出绕点顺时针旋转后的； (4)在图中存在满足与面积相等的格点(与点不重合)共计有________个. 答案： (1) 如图①所示，即为所求. (2) 且 解析：根据平移可得关系. (3) 如图②，为所求作的三角形. (4) 3 解析：根据平行线间的距离处处相等，过点作的平行线，如图③，不与点重合的格点共有3个. 3. 格点和直线在正方形网格中的位置如图所示.和关于直线对称，将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得. (1) 分别画出. (2) 下列说法中，所有正确的序号是________. ①绕某点旋转一定的角度可得到； ②绕某点旋转一定的角度可得到； ③与关于某条直线对称. 答案： (1) 如图①，，，即为所求作的三角形. (2) ①③ 解析：如图②，分别画的垂直平分线，得到交点，连接绕点旋转一定的角度可得到，故①符合题意； 如图③，分别画的垂直平分线，三条垂直.平分线不相交于同一点，绕某点旋转一定的角度可得到的说法错误； 如图④，作出对称轴，与关于直线对称，故③符合题意.故答案为①③. 二、网格中的对称图形 4. 如图①，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影. (1) 请在图②中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2) 请在图③中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形. 答案： (1) 如图①，6个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形.(答案不唯一) (2) 如图②，6个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形.(答案不唯一) 三、非网格尺规作图问题 5. 如图，在中，，，请用无刻度直尺和圆规作图.(标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法) (1) 如图①，在边上找一点，使得； (2) 如图②，是上一点，在边上作点，使. 答案： (1) 如图①，点即为所求.(作图方法合理即可) (2) 如图②，点即为所求，连接.(作图方法合理即可) 6. 数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，点在长方形纸片边上. (1) 将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上.请你利用无刻度的直尺和圆规，在图①中画出折痕，其中，点在边上(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合.请你利用无刻度的直尺和圆规，在图②中作出折痕，其中点，分别在边，上(不写作法，保留作图痕迹)； (3) 折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图③中作出折痕，其中点分别在边上(不写作法，保留作图痕迹).和的位置关系为________； (4) 折叠长方形纸片，使得落在直线上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图④中作出折痕(不写作法，保留作图痕迹)，其中点分别在边上. 答案： (1) 如图①，直线即为所求. (2) 如图②，直线即为所求. (3) 如图③中，直线，即为所求. 解析：四边形是长方形，分别平分. (4) 如图④，直线即为所求. 7. 在中，，点在边上. (1) 如图①，当点是的中点时，用直尺和圆规作出关于点的对称的三角形(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 如图②，用直尺和圆规分别作出点关于的对称点(不写作法，保留作图痕迹).连接，若，则点与点之间的距离为________； (3) 如图③，已知，将绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周.同时，射线绕着点按每秒的速度顺时针旋转(随旋转停止而停止)，旋转过程中射线的位置不变.设旋转时间为秒，当为________秒时，射线与中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线. 答案： (1) 如图①，即为所求. (2) 如图②，点即为所求的点. 6 解析：如图③，是点关于的对称点，，即，即点与点在同一条直线上，. (3) 或2或11或 解析：如图④，若平分，则，解得； 如图⑤，若平分，则，解得；如图⑥，若平分，则，解得；如图⑦，若平分，则，解得 故的值为或2或11或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末巩固练习 专题3：几何问题 三角形中的角度问题 一、三角形与角平分线的综合 1. 已知：，四点在同一直线上. (1) 如图①，求证：. (2) 如图②，猜想这三个角之间有何数量关系?并证明你的结论. (3) 如图③，是下方一点，连接，且，若，求的度数. (4) 如图④，是下方一点，连接，，，若，则________(结果用含的代数式表示). 2. 已知：在中，记. (1) 如图①，若平分分别平分的外角和于点. ①用含的代数式表示的度数. ②用含的代数式表示的度数. (2) 如图②，若点为的三条内角平分线的交点，且于点. ①请补全图形. ②猜想(1)中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论. 二、三角形与平行线的综合 3. (1) 如图①，，顶点在直线上，边，分别与直线交于点，，且.求证：； (2) 如图②，在(1)的条件下分别作与的平分线交于点，求的度数； (3) 如图③，在(1)的条件下作的平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与∠FHP的关系式. 4. 如图①，已知两条直线，被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且. (1) 判断直线与直线是否平行，并说明理由. (2) 如图②，点是射线上一动点(不与点重合)，平分交于点，过点作于点，设. ①当点在点的右侧时，若，求的度数. ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明. 图形变换与儿何综合 一、图形变换与三角形综合 1. 有一副三角尺，其中中，中，.将这副直角三角尺按如图①放置.此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处.若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为. (1) 当________时，；当________时，； (2) 如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记.在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； (3) 在(2)的条件下，若，直接写出的取值范围. 2. 综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.现有等腰三角形，如图①所示，其中. 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点.将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与的位置关系是________. 【深入探究】 问题2：如图③，直线与线段相交于点，将沿直线翻折至处，点的对应点为. (1) 当时，________； (2) 探究与之间的数量关系. 【拓展延伸】 问题3：如图④所示，点在上，过点作交于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，的度数为________. 二、图形变换与多边形综合 3. 折纸中的数学： 已知，在长方形纸片中，.点在边上，点在边上，将长方形按如图①方式沿折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点，设(). 【初步探索】(1) 若，则________°； 【深入探究】(2) 如图②，将四边形沿翻折至四边形交于点，写出和的数量关系：________； 【拓展延伸】(3) 如图③，在(2)的条件下，连接，将沿翻折至，当平分时，求和的数量关系，用含的式子直接表示出的大小，并写出的范围. 三、图形变换与平行线综合 4. 如图，已知，点在上，点在上.在中，，点在直线上，在中，. (1) 图中的度数是多少？请说明理由. (2) 将沿直线平移，使得点与重合，再将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转________度，使得与平行. (3) 将沿直线平移，当点在上时，求的度数. (4)将沿直线平移，当以为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数. 5. 【问题情境】阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射.如图①，经过入射点且垂直于反射面的直线叫作法线.入射光线与法线的夹角叫作入射角.反射光线与法线的夹角叫作反射角. 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角，即. (1) 探究图①中入射光线与镜面所夹的锐角与反射光线与镜面所夹的锐角的数量关系，并说明理由. 【结论应用】请用【问题情境】中获得的结论解决以下问题： 如图②，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上. (2) 与有怎样的位置关系?并说明理由. (3) 如图③，已知，直线绕点顺时针旋转至直线，当为何值时，. (4) 直线绕点顺时针旋转)，直线与直线相交于点，请直接写出和之间的数量关系. 作图题 一、网格中的图形变换 1. 网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位长度.已知的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，直线在格线上. (1) 请画出向上平移5个单位长度后的； (2) 请画出，使它与关于直线对称； (3) 请在直线上画出一点，使得线段，的长度和最小. 2. 如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫格点.仅用无刻度的直尺完成下列作图. (1) 在图①中画出向右平移4个单位长度后的图形(注意标上字母)； (2) 连接、，线段和的关系是________； (3) 在图②中画出绕点顺时针旋转后的； (4)在图中存在满足与面积相等的格点(与点不重合)共计有________个. 3. 格点和直线在正方形网格中的位置如图所示.和关于直线对称，将向左平移8个单位长度，再向下平移2个单位长度得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得. (1) 分别画出. (2) 下列说法中，所有正确的序号是________. ①绕某点旋转一定的角度可得到； ②绕某点旋转一定的角度可得到； ③与关于某条直线对称. 二、网格中的对称图形 4. 如图①，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影. (1) 请在图②中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2) 请在图③中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形. 三、非网格尺规作图问题 5. 如图，在中，，，请用无刻度直尺和圆规作图.(标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法) (1) 如图①，在边上找一点，使得； (2) 如图②，是上一点，在边上作点，使. 6. 数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，点在长方形纸片边上. (1) 将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上.请你利用无刻度的直尺和圆规，在图①中画出折痕，其中，点在边上(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合.请你利用无刻度的直尺和圆规，在图②中作出折痕，其中点，分别在边，上(不写作法，保留作图痕迹)； (3) 折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图③中作出折痕，其中点分别在边上(不写作法，保留作图痕迹).和的位置关系为________； (4) 折叠长方形纸片，使得落在直线上.请你利用无刻度直尺和圆规，在图④中作出折痕(不写作法，保留作图痕迹)，其中点分别在边上. 7. 在中，，点在边上. (1) 如图①，当点是的中点时，用直尺和圆规作出关于点的对称的三角形(不写作法，保留作图痕迹)； (2) 如图②，用直尺和圆规分别作出点关于的对称点(不写作法，保留作图痕迹).连接，若，则点与点之间的距离为________； (3) 如图③，已知，将绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周.同时，射线绕着点按每秒的速度顺时针旋转(随旋转停止而停止)，旋转过程中射线的位置不变.设旋转时间为秒，当为________秒时，射线与中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $