期末考试必考题型（四）——整式运算、概率初步与变量之间关系（3大考点5类题型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（四）——整式运算、概率初步与变量之间关系（3大考点9类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】整式运算 1 【考点二】概率初步 1 【考点三】变量之间的关系 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】整体代入求值综合压轴（6题） 2 【题型 2】拼图几何推导公式压轴（6题） 5 【题型 3】多项式参数压轴（6题） 10 【题型 4】新定义运算压轴（6题） 14 【题型 5】由概率列方程求球数（6题） 18 【题型 6】方案选择概率应用题（6题） 21 【题型 7】分段计费应用题（6题） 26 【题型 8】行程图像综合大题（5题） 32 【题型 9】变量之间关系（动点问题） （6题） 37 一.必考点知识回顾 【考点一】整式运算 1、完全平方公式四大变形整体代入：，，已知和与积求代数式的值是必考压轴； 2、多项式不含某项、多项式恒等求字母参数； 3、新定义运算：利用自定义新型运算法则，套用整式公式化简求值； 4、数形结合：几何面积拼图，用面积推导乘法公式：平方差公式与完全平方公式。 【考点二】概率初步 1、利用概率公式列一元一次方程，反求小球个数； 2、两种方案择优：计算两种方案概率，比较概率大小做决策； 3、不放回（放回）摸球结合整式参数，设未知数列方程求解。 【考点三】变量之间的关系 1、通过表格列关系式、通过图像写分段函数关系式； 2、行程、注水、购物收费分段计费（自变量分段，因变量分段列式）； 3、根据关系式求最值、限定自变量取值求对应因变量； 4、从图像提取关键点：起点、拐点、最值、匀速或静止区间。 二.必考题型精析 【题型 1】整体代入求值综合压轴（6题） 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由已知得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法法则把原式转化为，进而代入计算即可求解． 解：∵， ∴， ∴． 2．（2026·重庆巴南·模拟预测）已知，则_______． 【答案】3 解：∵， ∴，， ∴ ． 3．（2026·北京昌平·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用整式乘法运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，利用整体代入法计算代数式的值 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）变形求值： （1）化简求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）化简结果为，求值结果为；（2） 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可； （2）由可得，再运用整式的混合运算法则化简，最后将整体代入求值即可． 解：（1）解： 当时，原式． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）化简求值 （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式展开，然后去括号合并同类项得到最简结果，再代值计算； （2）由已知得，根据完全平方公式和单项式乘多项式将所求代数式展开，然后合并同类项，再变形成含的形式，整体代入计算． 解：（1）解： ， 当时，原式； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 6．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 2030 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式等，解题的关键是掌握以上运算法则． 先对多项式进行化简，然后根据给出的等式进行整理，最后整体代入求值即可． 解： ∵ ∴，代入上式得， 原式． 【题型 2】拼图几何推导公式压轴（6题） 1．（2026·江西鹰潭·二模）几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算阴影部分面积的两种不同方法建立等式：一种是大三角形面积减去小三角形面积，另一种是利用梯形面积公式计算，从而验证平方差公式． 解：和均为等腰直角三角形，且腰长分别为， ， ， 又阴影部分为直角梯形，， 上底，下底，高， ， ，即． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 3．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，较大的正方形由个长方形和个较小的正方形拼成，由面积恒等关系可得________________________________． 【答案】 【分析】把个长方形和个较小的正方形的面积相加并合并同类项即可． 解：个长方形和个较小的正方形面积和为： ， 4．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式． 解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为， 因此整体面积为： 方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为： 边长为 的正方形：2 个，面积和为 边长为 的正方形：1 个，面积和为 长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为 总面积为： 两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为 故答案为：． 5．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． （1）图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图①：__________________________； 图②：__________________________； 图③：__________________________． 综合运用： （2）用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：__________________________． 类比迁移： （3）若，求的值． 【答案】（1），；，；，；（2）；（3）10 【分析】（1）根据图①中的阴影部分可以看作是一个边长为的正方形，得面积为，再根据图①中的阴影部分也可以看作是由两个边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形构成，得面积为，由此可得出答案；根据图②中的阴影部分是一个边长为的正方形得面积为，再根据图②中边长为的大正方形是由边长分别为的正方形和两个长为，宽为的长方形构成及阴影部分构成得面积为，由此可得出答案；根据图③中两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）根据图④中的阴影部分可以看作是一个边长为的正方形，得面积为，也可以看作是由边长为的正方形减去4个两个长为，宽为的长方形构成，即可得出答案； （3）设，，则，，再根据图①等式计算即可． 解：（1）解：图中①阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； 图中②阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； 图中③阴影部分的面积：方法一：， 方法二：； （2）解：图中④阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； ∴可验证的等式是：； （3）解：设，，则，， 由（1）①知， ∴， ∴． 【点拨】本题考查乘法公式的几何背景，通过数与形的对应关系相互转化解决问题，是数学中的核心思想方法．数形结合思想将抽象的数学语言与直观的图形结合，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化． 6．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式． （1）直接写出这个等式__________： （2）试用乘法公式说明这个等式成立； （3）利用这个公式解决问题：若，，求的值． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】（1）用不同的方式表示大正方形的面积，即可得到； （2）利用完全平方公式把等式左右两边分别展开，计算可得结果相等； （3）把，代入计算，即可得到，进一步即可求出结果． 解：（1）解：由图可知，中间小正方形的边长为， 大正方形的面积为， 由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为， ； （2）解：左边， 右边 ， 左边＝右边， 即等式成立； （3）解：把，代入等式， 可得：， ，而， ． 【题型 3】多项式参数压轴（6题） 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据不含x的一次项，则一次项系数为0，的系数为4列方程，求出m和n的值，再代入所求代数式计算即可． 解： ， ∵展开式中不含x的一次项，且的系数为， ∴， 解得， ， ∴． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：，， 当，，时，， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知代数式的展开式中不含和x项，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式，直接根据多项式乘多项式法则进行计算，由不含某一项就是说这一项的系数为0，得出，，然后根据完全平方公式求解即可． 解： ， ∵代数式的展开式中不含和x项， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知多项式中不含的二次项，则_____． 【答案】/0.5 【分析】先根据整式混合运算的运算法则和运算顺序，将多项式化简，再根据多项式不含的二次项，得出x的二次项系数为0，即可求解． 解： ， ∵该多项式不含的二次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则，以及多项式中不含某项则某项系数为0． 5．（24-25七年级下·广东茂名·期中）若的计算结果中不含与x项． （1）求m，n的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1），；（2）1 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行计算，再由结果中不含与项令其系数为0，进而求解即可； （2）先将原式化简，再将代入计算即可求解． 解：（1）解： ， ∵计算结果中不含与项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 6．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的多项式与的乘积中不含与x项． （1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据题意，得到，，将转化为，再代入计算即可； （2）利用完全平方公式的非负性求出的值，再代值计算即可． 解：（1）解：， 由题意，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 4】新定义运算压轴（6题） 1．（25-26八年级上·全国·周测）设是实数，定义的一种运算：．则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则且 C．若，则或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据新定义运算的意义，将其转化为常见的运算，根据常见的运算的性质逐个做出判断． 考查完全平方公式的特点和应用，新定义运算关键是转化为常见的运算进行计算即可． 解：，故选项正确，不符合题意； ，则或，故选项错误，符合题意； 即：，则 或，故选项正确，不符合题意； ， ，故选项正确，不符合题意． 故选：． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 3．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 解： ． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据题意得出，从而得出方程，解方程即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： （1）计算：； （2）若，求a的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据定义求出的结果，再根据得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ； ∵， ∴ ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． （1）判断48是否为“幸福数”，说明理由； （2）据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）求不超过150的所有“幸福数”的和． 【答案】（1）48是幸福数，理由见分析；（2）能，理由见分析；（3）1368 【分析】（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）由（2）得“幸福数”能被整除，然后由求出不超过150的所有“幸福数”，然后求和即可． 解：（1）解：（1）48是“幸福数”， 理由：设， 解得：， ， 是“幸福数”； （2）解：“幸福数”能被整除， 理由： ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “幸福数”都能被整除； （3）解：由（2）得，“幸福数”能被整除， ， 不超过150的所有“幸福数”有，，，，136，144， ， ， ， ， ． 【题型 5】由概率列方程求球数（6题） 1．（2026·广东茂名·一模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据频率与总球数的关系列出方程求解即可． 解：设盒子中红球有个 ∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为 ∴ 列方程得 得， 解得： 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计盒子中大约有红球2个． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，据此得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 解：∵大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在 ∴摸到红球的概率为 由题意得，总球数为，红球共个，根据概率公式可得 ，解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意 3．（2026·江苏扬州·二模）小刚有若干外形相同的中性笔，其中4支黑色，若干支红色和2支蓝色，小刚随机从中抽取一支，若他拿出红色笔的概率为，则小刚一共有中性笔_________支． 【答案】10 【分析】根据概率计算公式，设总中性笔数量为未知数，结合已知的红色笔概率列出方程，求解即可得到结果. 解：设小刚一共有中性笔支，则红色中性笔的数量为支， 由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解. 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式即可计算得到袋中红球的个数． 解：由频率估计概率的知识可知，摸到红球的概率为， 已知袋中球的总个数为， 设袋中红球的个数为， 根据概率公式可得， 解得， 因此袋中红球的个数是． 5．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，将它们搅匀，其中黄球有55个．已知从袋中随机摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率； （3）如果要将从袋中随机摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 【答案】（1）个；（2）；（3）需要把个黄球改为红球 【分析】（1）根据概率公式即可求出结论； （2）先求出白球的个数，再根据概率公式即可求出结论； （3）设需要把个黄球改为红球，则，再解方程即可． 解：（1）解：根据题意得：（个）． 答：袋中红球的个数有个． （2）解：由题意可得白球的数量为（个）， ∴从袋中摸出一个球是白球的概率． （3）解：设需要把个黄球改为红球， 则， 解得：， 答：需要把个黄球改为红球． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． （1）甲顾客获得购物券的概率是多少？ （2）若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 【答案】（1）；（2）还需要将个无色扇形涂成绿色． 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 解：（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，获奖区域一共有7个， ∴甲顾客得到元购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 由题意可得， 解得：， ∴还需要将个无色扇形涂成绿色． 【题型 6】方案选择概率应用题（6题） 1．（23-24八年级下·江苏·期中）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（    ） A．增加2个白球 B．减少2个黄球 C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球 【答案】D 【分析】分别求出各选项摸到白球和黄球的概率，然后比较即可解答． 解：A．增加2个白球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，不符合题意； B．减少2个黄球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，不符合题意； C．增加1个白球、减少1个黄球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，不符合题意； D．增加4个白球、3个黄球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，符合题意； 故选D． 【点拨】本题主要考查了可能性大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键． 2．（23-24九年级下·浙江绍兴·自主招生）第届亚运会将于年9月在中国杭州举行．近期，组委会将组织名测试员对个不同场馆的运行状态进行测试，现要求每名测试员都参与测试且只测试一个场馆，每个场馆至少安排一名测试员，问共有多少种不同的安排方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法解决问题；分类加法计数原理：将所有安排方案按 “哪个场馆分人”分为类（甲场馆、乙 场馆、丙场馆），最后将每类的方案数相加，得到总方案数，这是对该原理的直接应用；分步乘法计数原理：在每一类情况中 （如甲场馆分人），先选人去该场 馆，再分剩下的人到另外两个场馆，两步方法数相乘得到该类总方案数，体现分步计算的逻辑；有序列举与逻辑分类能力：需要明确“不同场馆”和“人员分组”的区别，按固定标准（指定分人的场馆）有序列举所有可能，避免重复或遗漏，考察逻辑严谨性． 解：假设名测试员叫，个不同 场馆为甲、乙、丙（需先明确：有个场馆分人，另外个场馆各分人），分类情况列举； 甲场馆分人，乙、丙各分人 ·甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ （种） ； 甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ （种） ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→（种） ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ （种） ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ （种） ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ （种） 本情况共：组种种； 同理可得：乙场馆分人，本情况共：组种种； 丙场馆分人，本情况共：组种种； 类情况相加：种， 即共有种不同安排方案． 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 【答案】9 【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 【点拨】本题考查了排列组合的计数问题，解题的关键是看出前两个人都抽取贺卡后，第三个人和第四个人只有一种结果． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【答案】126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． （1）有多少种购票方案？列举所有可能结果； （2）如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 【答案】（1）有6种购票方案；（2） 【分析】此题考查了列举法求概率和概率公式． （1）某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张，再结合票价写出所有方案即可； （2）根据概率公式进行解答即可． 解：（1）解：有6种购票方案，方案如下． 指定日普通票张数 平日优惠票张数 一 1 11 二 2 9 三 3 7 四 4 5 五 5 3 六 6 1 （2）由（1）知，共有6种购票方案，且选到每种方案的可能性相等，而恰好选到11张门票的方案只有1种，因此恰好选到11张门票的概率是． 6．（23-24九年级下·福建福州·期中）“多多活鲜超市”从养殖场批发购进某种淡水虾，并随机抽取了100只，按重量分类统计，得到频数分布直方图如图a：      （1）求“从这批虾中任取一只，重景不超过25克”的概率； （2）养殖场提出两种收购方案： 方案A：将该品种淡水虾分三个等级，并制定出销售单价如表，买方按不同等级分开收购； 淡水虾等级的销售单价表 等级 一级 二级 三级 重量（克） 单价（元/千克） 50 40 30 方案B：不分等级，以41元/千克收购； 试通过计算，说明“多多活鲜超市”应选择哪个方案收购． 【答案】（1）；（2）“多多活鲜超市”选择两种方案收购都可以 【分析】（1）根据概率公式用重量不超过25克的频数除以抽取的总数即可求出； （2）分别求出三个等级的概率，计算出按不同等级分开收购的价格，与不分等级的收购价格比较即可得出答案． 解：（1）解：由于从100只虾中任取一只，重量不超过25克的有只， ∴“从这批虾中任取一只，重景不超过25克”的概率为． （2）解：从100只虾中任取一只，重量为一级的概率为， 从100只虾中任取一只，重量为二级的概率为， 从100只虾中任取一只，重量为二级的概率为， ∴方案A的收购价为元/千克 又方案B：不分等级，以41元/千克收购， ∴方案A的收购价格等于方案B的收购价格， ∴“多多活鲜超市”选择两种方案收购都可以． 【点拨】本题考查了频数分布直方图，概率，销售问题，能够读懂题意，正确列式计算是解决本题的关键． 【题型 7】分段计费应用题（6题） 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为______． 【答案】 【分析】根据用水不超过立方米的收费标准、用水超过立方米时的收费标准分别得出与的函数关系式，然后根据确定与的关系式即可 解：由题意可得：每户每月应交水费元与用水量立方米之间的函数关系式为 ， 因为月份用水量为立方米，应交水费元，则关于的函数表达式为； 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了求函数关系式，掌握立方米这个分界点是解答本题的关键． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． 【答案】 8 或 【分析】（1）根据时，列出方程求解即可； （2）首先求出每分钟从乙容器注水到丙容器，然后根据题意列出关系式即可； （3）根据列出方程求解即可． 解：（1）由题意可得，时，， ∴，解得， （2）∵， ∴时，每分钟从乙容器注水到丙容器， ∴与的函数关系式为：； （3）当时，，丙容器原有液体， 若，则有， 解得； 当时，丙容器内液体体积为， 若，则有，解得， ∴当为或时，． 故答案为：（1）8；（2）；（3）或． 【点拨】本题考查了函数关系式，一元一次方程，掌握注水量与注水时间之间的关系是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 4．（23-24七年级下·山东青岛·阶段检测）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，整式的混合运算，解题关键是求得房屋的总面积．分别表示出房屋总面积以及卧室和客厅的面积和，相除即可求得概率． 解：由图形可知，房屋总面积为：， 卧室和客厅的面积和为：， 他停留在卧室或客厅的概率是． 5．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． （1）当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； （2）在整个运动过程中，求与的关系式； （3）当时，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 解：（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量y（单位：）和时间x（单位：）成比例关系（y随x变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 … 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 … （1）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （2）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （3）研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 【答案】（1）成正比例关系，；（2）成反比例关系，；（3）此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【分析】本题考查正、反比例关系及变量之间的关系．易错点是根据表格中的数据判断出在自变量相应的取值范围内y与x成什么比例关系． （1）当时，y随x的增大而均匀增大可得y与x成正比例关系，设出解析式后，把范围内的任意一对对应值代入可得k的值，即可得到y与x的关系式； （2）当时，y与x的积是一定的，那么y与x成反比例关系，设出解析式后，把范围内的任意一对对应值代入可得a的值，即可得到y与x的关系式； （3）取代入（1），（2）得到的关系式，求得x的值，可得此次消毒的有效时间范围． 解：（1）解：当时，y与x成正比例，设， ∵当时， ∴， 解得：， ∴y和x的关系式为：； （2）解：当时，y与x成反比例关系，设， ∵当时， ∴， ∴y和x的关系式为：； （3）解：当时，， 解得：； ， 解得：． 答：此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【题型 8】行程图像综合大题（5题） 1．（23-24七年级下·江西抚州·期末）小亮从家出发步行到公交站台后，再等公交车去学校，如图，折线表示这个过程中小亮行驶的路程（千米）与时间（分）之间的关系.下列说法错误的是（  ） A．他家离公交车站台1千米远 B．他等公交车的时间为14分钟 C．公交车的速度是500米/分 D．他步行速度是0.1千米/分 【答案】B 【分析】根据图像中的条件分析即可解答. 解：已知小亮从家出发步行到公交站台后，再等公交车去学校， ①    在家一千米处停下，故A正确. ②    暂停时间为14-10=4分钟，故B错误. ③    公车行驶22-14=8分钟，行驶了5-1=4km,故速度为500m/min,C正确. ④    十分钟步行一千米，速度为0.1km/min,D正确. 故选B. 【点拨】本题考查看图分析问题，重点是看清关键点的信息与单位. 2．（23-24·山东潍坊·中考真题）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 【答案】D 解：A、∵线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象， ∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误； B、∵小莹比小梅先到， ∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误； C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等， ∴他们没有相遇，故选项错误； D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面， ∴小梅是在小莹的前面，故选项正确． 故选D． 3．（23-24六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 解：由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点拨】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示．   （1）求乙车到达B地的时间； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 【答案】（1）2.5小时；（2）100千米；（3）甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间； （2）根据图形中的数据，可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为3.75小时，设乙车行驶的时间为小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米： 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可． 解：（1）由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， （2）由（1）可知， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， （3）乙车返回时的速度为（千米/时）， 甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米：，解得； 乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：，解得； 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，，解得：，不符合题意舍去， 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 【点拨】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： （1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； （2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ （3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【答案】（1）1200，6；（2）小刚出发分钟后，小聪追上了小刚；（3）不会迟到，理由见分析 【分析】（1）由图可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可求解； （2）先求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可； （3）先求出小刚原来步行速度，再求出走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，根据题意可知小刚出门25分钟后球赛开始，比较即可得出结论． 解：（1）解：由图可知： 小刚家到体育场的路程是1200米， （分钟）， 即小聪比小刚早到体育场6分钟， 故答案为：1200，6； （2）解：小聪的速度：， ， ， 答：小刚出发分钟后，小聪追上了小刚； （3）解：小刚原来步行速度：， ， ∴小刚到达体育场所用时间： ， 即小刚出门25分钟后球赛开始， ∵， ∴不会迟到． 【点拨】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确识图，从图象中获取正确数据． 【题型 9】变量之间关系（动点问题） （6题） 1．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． （1）直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）； （2）当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； （3）点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）．；（3）存在，秒和秒 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质； （1）根据题意即可得到结论； （2）当点在线段上时，根据，，，得到，当点在线段上时，于是得到结论； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）解：∵，轴，轴 ∴，， （2）当点P在线段BA上时， 由，，可得：， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （3）存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：， 当点在线段上时，    ， 解得：， 综上所述：当为秒和秒时． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    （1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … （3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量；（2）；；（3）当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 解：（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期中）动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒． （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； （2）______，______，______； （3）当的面积为时，求点F的运动时间的值． 【答案】（1）H的运动时间，的面积；（2）4，14，10；（3）或 【分析】（1）根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答案； （2）由题意可知，点在上运动时的面积不变，在结合图象即可求得答案； （3）分两种情况，由三角形面积可得出答案． 解：（1）解：由图象可知，自变量为：H的运动时间，因变量为：的面积， 故答案为：H的运动时间，的面积； （2）∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点在上运动时的面积不变， ∴，，则， ∴，， 故答案为：4，14，10； （3）当在上时，的面积为：， 当的面积为时，可分两种情况： 当在上时，，则， ∴， 当在上时，，则， ∴， 综上，当的面积为时，求点F的运动时间为或． 【点拨】本题考查了动点问题的图象，三角形的面积，坐标与图形的关系等知识，解决问题的关键是深刻理解动点的图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从图象中获取相关的信息进行计算． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留1s后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． （1）填写图2中数据：________，_______，_______，_______； （2）当_______s时，为的中线； （3）当_______s时，； （4）当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动．当_______s时，． 【答案】（1），，，；；（2）；（3）或；（4）或 【分析】（1）由三角形的面积公式可求出 ，由图2可求出 ，由三角形的面积公式可求出 ，由的长度与点 运动的速度以及到达 时停留1s以原速度继续运动即可求出 ； （2）由 为 的中点，得出 ，再由点 的速度即可得出结果； （3）先求出，， ，计算出 ，，求出 ，当在上时，则；当在延长线上时，分情况讨论即可求出的值； （4）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 解：（1）解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：为的中线， 为中点， ， ， （s）， 故答案为：； （3）解：由（1）得：，， ， ， ， ， ， 当在上时， （s） 当在延长线时， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， （s） 综上所述，当s或s时， ， 故答案为：或； （4）解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时，, 故答案为：或． 【点拨】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算公式，一元一次方程的应用以及分类讨论，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示． （1）动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； （2）在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； （3）如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案； （2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可 解：（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为， ∴， 故答案为：10； （2）∵四边形是长方形， ∴， ∴， 则点由点运动到点的总时间为； （3）由（2）可知，， 则，， 若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 点在上运动的时间为，点在上运动的时间为， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 当时，此时点在上，点在上，不符合题意， 当时，此时点在上，点在上，    则，，，， ∴的面积为 ， 综上，． 【点拨】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键． 6．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 【答案】；24；17 【分析】本题考查了从图象获取信息，面积的计算等，从图象获取准确的信息并利用路程等于速度乘时间得到各边的长是解题的关键．根据题意，利用路程速度时间，计算得到、、的长度，即可得到图形的面积和a的值，然后计算得到的长度和在上运动的时间，从而得到的长度和在上运动的时间，即可得到值． 解：根据题意可知， 动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得， 因为， 所以， 所以上运动的时间为秒， 所以图1中的图形面积为，； 因为， 所以上运动时间为秒， 所以， 故答案为：；24；17． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）——整式运算、概率初步与变量之间关系（3大考点9类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】整式运算 1 【考点二】概率初步 2 【考点三】变量之间的关系 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】整体代入求值综合压轴（6题） 2 【题型 2】拼图几何推导公式压轴（6题） 2 【题型 3】多项式参数压轴（6题） 4 【题型 4】新定义运算压轴（6题） 5 【题型 5】由概率列方程求球数（6题） 6 【题型 6】方案选择概率应用题（6题） 7 【题型 7】分段计费应用题（6题） 9 【题型 8】行程图像综合大题（5题） 11 【题型 9】变量之间关系（动点问题） （6题） 13 一.必考点知识回顾 【考点一】整式运算 1、完全平方公式四大变形整体代入：，，已知和与积求代数式的值是必考压轴； 2、多项式不含某项、多项式恒等求字母参数； 3、新定义运算：利用自定义新型运算法则，套用整式公式化简求值； 4、数形结合：几何面积拼图，用面积推导乘法公式：平方差公式与完全平方公式。 【考点二】概率初步 1、利用概率公式列一元一次方程，反求小球个数； 2、两种方案择优：计算两种方案概率，比较概率大小做决策； 3、不放回（放回）摸球结合整式参数，设未知数列方程求解。 【考点三】变量之间的关系 1、通过表格列关系式、通过图像写分段函数关系式； 2、行程、注水、购物收费分段计费（自变量分段，因变量分段列式）； 3、根据关系式求最值、限定自变量取值求对应因变量； 4、从图像提取关键点：起点、拐点、最值、匀速或静止区间。 二.必考题型精析 【题型 1】整体代入求值综合压轴（6题） 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如果，那么的值为______． 2．（2026·重庆巴南·模拟预测）已知，则_______． 3．（2026·北京昌平·二模）已知，求代数式的值． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）变形求值： （1）化简求值：，其中． （2）已知，求代数式的值． 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）化简求值 （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求的值． 6．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【题型 2】拼图几何推导公式压轴（6题） 1．（2026·江西鹰潭·二模）几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 3．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，较大的正方形由个长方形和个较小的正方形拼成，由面积恒等关系可得________________________________． 4．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 5．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题． （1）图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图①：__________________________； 图②：__________________________； 图③：__________________________． 综合运用： （2）用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：__________________________． 类比迁移： （3）若，求的值． 6．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，四个完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，得到一个等式． （1）直接写出这个等式__________： （2）试用乘法公式说明这个等式成立； （3）利用这个公式解决问题：若，，求的值． 【题型 3】多项式参数压轴（6题） 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知的展开式中不含的一次项，且的系数为4，则的值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知代数式的展开式中不含和x项，则的值为__________． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知多项式中不含的二次项，则_____． 5．（24-25七年级下·广东茂名·期中）若的计算结果中不含与x项． （1）求m，n的值； （2）求代数式的值． 6．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的多项式与的乘积中不含与x项． （1）求的值； （2）已知，求的值． 【题型 4】新定义运算压轴（6题） 1．（25-26八年级上·全国·周测）设是实数，定义的一种运算：．则下列结论不正确的是（    ） A． B．若，则且 C．若，则或 D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 3．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： （1）计算：； （2）若，求a的值． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）观察下列等式，回答问题： ①；②；③；④；…… 定义：如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”．如，则8就为“幸福数”，因此8，16，24都是“幸福数”． （1）判断48是否为“幸福数”，说明理由； （2）据“幸福数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中n是正整数，那么“幸福数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）求不超过150的所有“幸福数”的和． 【题型 5】由概率列方程求球数（6题） 1．（2026·广东茂名·一模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 3．（2026·江苏扬州·二模）小刚有若干外形相同的中性笔，其中4支黑色，若干支红色和2支蓝色，小刚随机从中抽取一支，若他拿出红色笔的概率为，则小刚一共有中性笔_________支． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 5．（25-26七年级下·陕西汉中·期中）一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，将它们搅匀，其中黄球有55个．已知从袋中随机摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率； （3）如果要将从袋中随机摸出一个球是红球的概率提高到，在保持小球总数不变的情况下需要把几个黄球改为红球？ 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色（如图），并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券．已知甲顾客购物消费170元． （1）甲顾客获得购物券的概率是多少？ （2）若要让获得20元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？请说明理由． 【题型 6】方案选择概率应用题（6题） 1．（23-24八年级下·江苏·期中）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（    ） A．增加2个白球 B．减少2个黄球 C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球 2．（23-24九年级下·浙江绍兴·自主招生）第届亚运会将于年9月在中国杭州举行．近期，组委会将组织名测试员对个不同场馆的运行状态进行测试，现要求每名测试员都参与测试且只测试一个场馆，每个场馆至少安排一名测试员，问共有多少种不同的安排方案（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有______种（用数字作答）． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某游乐园门票价格如下表所示： 门票价格一览表 指定日普通票 元 平日优惠票 元 …… …… 某旅行社准备了元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张． （1）有多少种购票方案？列举所有可能结果； （2）如果从上述方案中任意选一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率． 6．（23-24九年级下·福建福州·期中）“多多活鲜超市”从养殖场批发购进某种淡水虾，并随机抽取了100只，按重量分类统计，得到频数分布直方图如图a：      （1）求“从这批虾中任取一只，重景不超过25克”的概率； （2）养殖场提出两种收购方案： 方案A：将该品种淡水虾分三个等级，并制定出销售单价如表，买方按不同等级分开收购； 淡水虾等级的销售单价表 等级 一级 二级 三级 重量（克） 单价（元/千克） 50 40 30 方案B：不分等级，以41元/千克收购； 试通过计算，说明“多多活鲜超市”应选择哪个方案收购． 【题型 7】分段计费应用题（6题） 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为______． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 4．（23-24七年级下·山东青岛·阶段检测）一房屋内部结构如图所示，小李在房屋内自由走动，求他停留在卧室或客厅的概率是多少？ 5．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． （1）当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； （2）在整个运动过程中，求与的关系式； （3）当时，若，求的值． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量y（单位：）和时间x（单位：）成比例关系（y随x变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 … 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 … （1）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （2）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （3）研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 【题型 8】行程图像综合大题（5题） 1．（23-24七年级下·江西抚州·期末）小亮从家出发步行到公交站台后，再等公交车去学校，如图，折线表示这个过程中小亮行驶的路程（千米）与时间（分）之间的关系.下列说法错误的是（  ） A．他家离公交车站台1千米远 B．他等公交车的时间为14分钟 C．公交车的速度是500米/分 D．他步行速度是0.1千米/分 2．（23-24·山东潍坊·中考真题）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　） A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 3．（23-24六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 解：由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点拨】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示．   （1）求乙车到达B地的时间； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： （1）小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； （2）小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ （3）体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【题型 9】变量之间关系（动点问题） （6题） 1．（23-24七年级下·天津·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． （1）直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）； （2）当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； （3）点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    （1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … （3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期中）动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒． （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______； （2）______，______，______； （3）当的面积为时，求点F的运动时间的值． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留1s后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． （1）填写图2中数据：________，_______，_______，_______； （2）当_______s时，为的中线； （3）当_______s时，； （4）当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动．当_______s时，． 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示． （1）动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________； （2）在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间； （3）如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式． 6．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $