期末数学复习专题二（选择填空篇）（7大考点28类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

七年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（7大考点28类题型） 北师大版七年级下册数学期末考试选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来使用北师大版地区期末考试考题特点，分为七个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】图形的识别型 【题型一】轴对称图形............................................................................................................................................2 【考点二】概念、定义与性质辨析型 【题型二】对顶角与余（补）角............................................................................................................................2 【题型三】频率与概率............................................................................................................................................3 【题型四】同位角、内错角、同旁内角.................................................................................................................3 【题型五】三角形的重心与垂心............................................................................................................................4 【考点三】计算化简求值解型 【题型六】科学记数法............................................................................................................................................5 【题型七】幂的运算................................................................................................................................................5 【题型八】乘法公式................................................................................................................................................5 【题型九】整式的乘除法........................................................................................................................................6 【考点四】概率初步 【题型十】事件的分类............................................................................................................................................7 【题型十一】求频率................................................................................................................................................7 【题型十三】求概率................................................................................................................................................8 【考点五】变量之间的关系 【题型十四】常量与变量........................................................................................................................................8 【题型十五】用三种方法表示变量之间的关系....................................................................................................9 【题型十六】变量之间关系中的动点问题...........................................................................................................10 【考点六】几何判定推理、求值型 【题型十七】两直线的关系..................................................................................................................................11 【题型十八】平行线的性质与判定......................................................................................................................11 【题型十九】与三角形有关的角和线段..............................................................................................................12 【题型二十】全等三角形性质与判定求值..........................................................................................................13 【题型二十一】全等三角形的判定求值证明......................................................................................................14 【题型二十二】全等三角形的几何模型..............................................................................................................15 【题型二十三】轴对称性质求值证明...................................................................................................................16 【题型二十四】尺规作图中的求值证明...............................................................................................................16 【考点七】几何综合型 【题型二十五】三角形全等中的几何模型...........................................................................................................18 【题型二十六】三角形全等与轴对称图形综合...................................................................................................19 【题型二十七】轴对称中的折叠问题...................................................................................................................20 【题型二十八】全册几何最值问题.......................................................................................................................21 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【考点一】图形的识别型 【题型一】轴对称图形 ★1．（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． ★2．（2025七年级下·全国·专题练习）汉字“中”“天”“日”“因”都可看作是轴对称图形．请你再写出一个这样的汉字： ． ★3．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【考点二】概念、定义与性质辨析型 【题型二】对顶角与余（补）角 ★1．（2025·河南焦作·三模）如图，直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ★2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与是对顶角，且，则的补角是 ． ★★3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的有 ． ①钝角与锐角互补； ②的余角是； ③的补角是； ④若，则互余． 【题型三】频率与概率 ★1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 ★2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 ★3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【题型四】同位角、内错角、同旁内角 ★1．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 ★2．（23-24七年级下·四川南充·期中）下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A． B． C． D． ★3．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是 角，与是 角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【题型五】三角形的重心与垂心 ★★1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． ★★2．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． ★★3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是，则四边形的面积是 ． 【考点三】计算化简求值解方程型 【题型六】科学记数法 ★1．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 ★2．（24-25八年级下·河南南阳·期中）研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（   ） A． B．8 C． D．7 ★★3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，，，，则，，，的大小关系为 （用“<”号连接）． 【题型七】幂的运算 ★1．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 ★2．（2025·山东济宁·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． ★3．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【题型八】乘法公式 ★1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． ★2．（2025·广东湛江·一模）已知，，则的值为 ． ★★3．（21-22八年级上·广东东莞·期末）如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型九】整式的乘除法 ★1．（2025·四川成都·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． ★2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为（   ） A． B． C． D． ★3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项 ． 【考点四】概率初步 【题型十】事件的分类 ★1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列事件是必然事件的为（　　） A．掷一枚骰子，3点朝上 B．任意买一张足球票，座位号是5的倍数 C．明天一定会下雨 D．地球每天都在自转 ★2．（2025·湖北宜昌·一模）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．太阳从西边升起来 B．足球运动员射门一次，球进了 C．打开电视，正在播“天空课堂” D．投掷一枚骰子，掷得朝上一面的点数小于7 ★3．（24-25八年级下·全国·课后作业）不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出 球是不可能事件，取出 球是随机事件，取出 球是必然事件； 【题型十一】求频率 ★1．（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 ★2．（24-25九年级上·四川达州·期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 ★3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【题型十一】求概率 ★1．（23-24九年级上·广西河池·期末）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． ★2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）从分别标有数的九张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值大于2的概率是 ． ★★3．（24-25七年级下·四川成都·期中）从1至中50任意抽取的一个数记为a，则的末位数字是7的概率是 ． ★4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形的概率是 ． ★5．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，直线与直线、相交于点M、N，从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为 ． 【考点五】变量之间的关系 【题型十四】常量与变量 ★1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 ★2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）学校用100元钱购买乒乓球，所购买球的数量W与单价n（元）之间的关系是，其中（   ） A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量 C．100，n是常量，W是变量 D．100是变量，W，n是常量 ★3．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【题型十五】用三种方法表示变量之间的关系 ★1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（    ） 所处深度 2 3 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475 A． B． C． D． ★3．（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ． 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 ★★4．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【题型十六】变量之间关系中动点问题 ★★1．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． ★★2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 ★★★3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点六】几何判定推理、求值型 【题型十七】两直线的关系 ★1．（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 ★2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，，垂足是点D，则图中所有与互余的角是（   ）    A． B．和 C． D．和 ★3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 【题型十八】平行线的性质与判定 ★1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，，，点F在上，线段的延长线与线段的延长线相交于点A．如果，，求的度数（   ） A． B． C． D． ★2．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射向水中时，要发生折射现象．在相同介质中光线是平行的．如图，水面与杯底互相平行，若，则（    ） A． B． C． D． ★3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【题型十九】与三角形有关的角和线段 ★1．（2025·河北沧州·一模）如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． ★2．（2025·山东滨州·一模）满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， ★3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型二十】全等三角形性质与判定求值 ★1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 ★2．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． ★3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． ★3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型二十一】全等三角形性质与判定证明 ★★1．（2025·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，，设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的关系不能确定 ★★2．（24-25八年级上·上海·期中）已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． ★★3（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【题型二十一】全等三角形的几何模型 ★1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． ★★2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． ★3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ． ★★4．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，中，，，点，分别是，上的点，，连接，，若，图中与相等的角是 ， 度． 【题型二十二】轴对称性质求值证明 ★1．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 ★★2．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ★★3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【题型二十三】尺规作图中的求值证明 ★1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． ★★2．（2025八年级下·全国·专题练习）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 ★★3．（2025·河北·模拟预测）下面是根据如图所示的作图写出的两个推理过程： 推理一： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴点F是的平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∴． 推理二： ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 下列是对上面两个推理的正确性进行的判断，判断正确的是（    ） A．推理一正确 B．推理二正确 C．两个推理过程都正确 D．两个推理过程都错误 ★★4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【考点七】几何综合型 【题型二十四】三角形全等中的几何模型 ★★1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 ★2．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． ★★3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【题型二十五】轴对称中的折叠问题 ★★1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ★★2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． ★★3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1，在长方形纸条中，，，点E，F分别为线段上一点，将线段沿折叠，点B的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段沿进行第二次折叠后点C的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【题型二十六】全册几何最值问题 ★★1．（21-22八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． ★★2．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° ★★3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在线段（不包含点）上运动，连接，将沿直线翻折得到． （1）当时，的度数为 ． （2）在点运动的过程中，点到直线的距离的最大值是 ． 【题型二十七】三角形全等与轴对称图形综合 ★★1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，于点D，点E在上，连接交于点F，若，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为14，且，则的值为 ． ★2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． ★★3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． ★★3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（7大考点28类题型） 北师大版七年级下册数学期末考试选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来使用北师大版地区期末考试考题特点，分为七个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】图形的识别型 【题型一】轴对称图形............................................................................................................................................2 【考点二】概念、定义与性质辨析型 【题型二】对顶角与余（补）角............................................................................................................................3 【题型三】频率与概率............................................................................................................................................4 【题型四】同位角、内错角、同旁内角.................................................................................................................6 【题型五】三角形的重心与垂心............................................................................................................................7 【考点三】计算化简求值解型 【题型六】科学记数法............................................................................................................................................9 【题型七】幂的运算..............................................................................................................................................10 【题型八】乘法公式..............................................................................................................................................11 【题型九】整式的乘除法......................................................................................................................................13 【考点四】概率初步 【题型十】事件的分类..........................................................................................................................................15 【题型十一】求频率..............................................................................................................................................16 【题型十三】求概率..............................................................................................................................................17 【考点五】变量之间的关系 【题型十四】常量与变量......................................................................................................................................20 【题型十五】用三种方法表示变量之间的关系...................................................................................................21 【题型十六】变量之间关系中的动点问题...........................................................................................................23 【考点六】几何判定推理、求值型 【题型十七】两直线的关系..................................................................................................................................26 【题型十八】平行线的性质与判定......................................................................................................................28 【题型十九】与三角形有关的角和线段..............................................................................................................30 【题型二十】全等三角形性质与判定求值..........................................................................................................32 【题型二十一】全等三角形的判定求值证明......................................................................................................35 【题型二十二】全等三角形的几何模型..............................................................................................................38 【题型二十三】轴对称性质求值证明...................................................................................................................43 【题型二十四】尺规作图中的求值证明...............................................................................................................46 【考点七】几何综合型 【题型二十五】三角形全等中的几何模型...........................................................................................................50 【题型二十六】三角形全等与轴对称图形综合...................................................................................................54 【题型二十七】轴对称中的折叠问题...................................................................................................................57 【题型二十八】全册几何最值问题.......................................................................................................................60 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【考点一】图形的识别型 【题型一】轴对称图形 ★1．（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断． 解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意； B、图案不是轴对称图形，不符合题意； C、图案是轴对称图形，符合题意； D、图案不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． ★2．（2025七年级下·全国·专题练习）汉字“中”“天”“日”“因”都可看作是轴对称图形．请你再写出一个这样的汉字： ． 【答案】关（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 解：由轴对称图形的定义可得：关、甲、出、本、王、平都是轴对称图形． 故答案为：关（答案不唯一）． ★3．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【考点二】概念、定义与性质辨析型 【题型二】对顶角与余（补）角 ★1．（2025·河南焦作·三模）如图，直线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、几何图形中角的计算，熟练掌握相关定义是解题的关键．由对顶角相等得，再由角的和差关系得出的度数． 解：如图， 与是对顶角，， ， ， 故选C． ★2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． ★★3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的有 ． ①钝角与锐角互补； ②的余角是； ③的补角是； ④若，则互余． 【答案】③ 【分析】本题考查了余角和补角的性质，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 根据互补和互余的定义一一判断即可． 解：①：例如：是钝角，是锐角，不互补；故此项错误； ②：当时，的余角是，当时，没有余角；故此项错误； ③：当时，的补角是；故此项正确； ④：互余是两个角之间的关系；故此项错误． 故答案为：③ ． 【题型三】频率与概率 ★1．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B ★2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． ★3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ． （填“甲、乙或丙”） 【答案】丙 【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 解：∵甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.3、0.1、0.9，且0.9非常接近， ∴对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”． 即该事件是丙， 故答案为：丙． 【题型四】同位角、内错角、同旁内角 ★1．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 解：A、和是内错角，原说法正确，不符合题意； B、和是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、和是同位角，原说法错误，符合题意； D、和是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． ★2．（23-24七年级下·四川南充·期中）下列四个图形中，和不是同位角的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的识别，关键是清楚同位角的概念，即若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 根据同位角的定义判断可得选项． 解：根据同位角的概念判断知，A，C，D中的和符合同位角的定义， 选项B中的和不是两条直线被第三条直线所截形成的，故不是同位角外． 故选：B． ★3．（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是 角，与是 角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可． 解：如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 【题型五】三角形的重心与垂心 ★★1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知的面积为8，点O为的重心，则四边形的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心的定义，三角形的中线，三角形的面积；根据题意可得，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 解：因为点O是的重心， 所以点、分别是的中点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以． 故选：C． ★★2．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点拨】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． ★★3．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质；根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答． 解：是的重心， 是的中线， ， 四边形的面积， 故答案为：4． 【考点三】计算化简求值解方程型 【题型六】科学记数法 ★1．（2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C ★2．（24-25八年级下·河南南阳·期中）研发的智能系统在分析数据时，其算法对微观结构的测量精度可达米，用科学记数法表示，则n为（   ） A． B．8 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于或等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数，据此即可解答． 解：， 为． 故选：C． ★★3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知，，，，则，，，的大小关系为 （用“<”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，负整数指数幂，实数大小的比较，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 根据科学记数法表示出原数，再比较大小即可． 解：，，，， ． 故答案为：． 【题型七】幂的运算 ★1．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、等式的性质、等式的性质逐项分析判断即可． 解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，计算正确，故选项符合题意； C. 若，则，原计算错误，故选项不符合题意； D. 若，则，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点拨】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． ★2．（2025·山东济宁·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法运算、幂的乘方运算依次判断选项即可． 解：A．与不是同类项，不能合并，此选项错误； B．，此选项正确； C．，此选项错误； D．，此选项错误． 故选B． 【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟记运算法则并灵活运用是解答的关键． ★3．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的除法，将变形得到，再将变形为求解，即可解题． 解：， ， ； 故答案为：． 【题型八】乘法公式 ★1．（24-25七年级下·山东聊城·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算， 根据平方差公式解答A，再根据完全平方公式解答B，C，最后根据多项式乘以多项式解答D即可． 解：因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确． 故选：D． ★2．（2025·广东湛江·一模）已知，，则的值为 ． 【答案】218 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式变形可得，，两式相加并整理，即可获得答案． 解：∵， ∴①， ∵， ∴②， ①+②得：， ∴． 故答案为：218． ★★3．（21-22八年级上·广东东莞·期末）如图，由4个全等的小长方形与一个小正方形密铺成一个大的正方形图案，该图案的面积为100，里面的小正方形的面积为16，若小长方形的长为a，宽为b，则下列关系式中：①；②；③；④，正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积差列方程． 解：①大正方形的边长为a+b，面积为100 故①正确 ②小正方形的边长为a-b，面积为16 故②正确 ③ 故③错 ④ 故④正确 故选C 【点拨】此题考查了平方差公式、完全平方公式及数形结合的应用，关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，对每一项进行分析计算，进而得出结果． 【题型九】整式的乘除法 ★1．（2025·四川成都·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相除、完全平方公式、平方差公式，根据幂的乘方和同底数幂相除的运算法则以及完全平方公式和平方差公式逐项分析即可得解． 解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． ★2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为，则宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式除法的应用．用长方形的面积除以长可得． 解：宽为： ． 故选：C． ★3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项 ． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角，正确得出杨辉三角的规律是解题的关键．每个单项式的次数都等于左边式子的次数，第一个单项式的底数为a，各项是按a的降幂，b的升幂排列的，系数依次为杨辉三角中的数，依此规律写出即可； 解：由题意得， 所以展开式中的第三项是， 故答案为： 【考点四】概率初步 【题型十】事件的分类 ★1．（24-25七年级下·四川成都·期中）下列事件是必然事件的为（　　） A．掷一枚骰子，3点朝上 B．任意买一张足球票，座位号是5的倍数 C．明天一定会下雨 D．地球每天都在自转 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 根据必然事件，随机事件的定义逐项判断即可． 解：A. 掷一枚骰子，3点朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； B. 任意买一张足球票，座位号是5的倍数，是随机事件，故该选项不符合题意； C. 明天一定会下雨，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 地球每天都在自转，是必然事件，故该选项符合题意； 故选：D． ★2．（2025·湖北宜昌·一模）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．太阳从西边升起来 B．足球运动员射门一次，球进了 C．打开电视，正在播“天空课堂” D．投掷一枚骰子，掷得朝上一面的点数小于7 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，进行判断即可． 解：A、太阳从西边升起来，是不可能事件，符合题意； B、足球运动员射门一次，球进了，是随机事件，不符合题意； C、打开电视，正在播“天空课堂”，是随机事件，不符合题意； D、投掷一枚骰子，掷得朝上一面的点数小于7，是必然事件，不符合题意； 故选A． ★3．（24-25八年级下·全国·课后作业）不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出 球是不可能事件，取出 球是随机事件，取出 球是必然事件； 【答案】 绿（答案不唯一） 红（或填黄） 红或黄 【分析】此题考查的是事件的分类，根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义结合题意，即可得出结论． 解：不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出绿（只要填1个红、黄以外的颜色即可）球是不可能事件，取出红（或填黄）球是随机事件，取出红或黄球是必然事件． 故答案为：绿（答案不唯一）；红（或填黄）；红或黄． 【题型十一】求频率 ★1．（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C ★2．（24-25九年级上·四川达州·期末）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故选：C． ★3．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 【题型十一】求概率 ★1．（23-24九年级上·广西河池·期末）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，根据题意求出布袋中球的总数． 根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得的值． 解：由题意可得，布袋中球的总数为：（个）， 所以 故答案为：5． ★2．（24-25七年级下·山东枣庄·期中）从分别标有数的九张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值大于2的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率计算，熟练掌握概率公式是解题的关键． 由分别标有数的九张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值大于2的有，直接利用概率公式求解即可求得答案． 解：由分别标有数的九张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值大于2的有，共张， 所抽卡片上数的绝对值大于2的概率是， 故答案为：． ★★3．（24-25七年级下·四川成都·期中）从1至中50任意抽取的一个数记为a，则的末位数字是7的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，数字类的规律探索，通过计算可得这一列数每4个数字为一个循环，末位数字依次为3，据此可求出1至中50能使的末位数字是7的数字个数，再根据概率计算公式求解即可． 解：的末位数字是3， 的末位数字是9， 的末位数字是7， 的末位数字是1， 的末位数字是3， 的末位数字是9， ……， 以此类推可知，这一列数每4个数字为一个循环，末位数字依次为3，9，7，1， ∵， ∴在1至中50中有12个数字能使的末位数字是7， ∴的末位数字是7的概率为， 故答案为：． ★4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，一个转盘被分成3个扇形，扇形、扇形、扇形的圆心角分别为，，，自由转动转盘1次，则指针落在扇形的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率的求法．求出A区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 解：∵转盘的A扇形、B扇形和C扇形的圆心角分别为、、， ∴让转盘自由转动1次，指针落在A区域的概率为：， 故答案为：． ★5．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，直线，直线与直线、相交于点M、N，从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查求概率，补角的定义，平行线的性质，解题的关键是根据补角定义得出，，，中有2个角与互为补角，然后根据概率公式进行计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互为补角； ∵， ∴与互为补角； ∴，，，中有2个角与互为补角， ∴从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为． 故答案为：． 【考点五】变量之间的关系 【题型十四】常量与变量 ★1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量，常量是固定不变的量，变量是变化的量，据此判断即可得答案． 解：∵单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴其中的常量是单价． 故选：C． ★2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）学校用100元钱购买乒乓球，所购买球的数量W与单价n（元）之间的关系是，其中（   ） A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量 C．100，n是常量，W是变量 D．100是变量，W，n是常量 【答案】A 【分析】本题考查了常量与变量，在变化过程中，数值不变的量是常量，数值发生变化的量是变量，根据常量与变量的含义判断即可． 解：在关系式中，100是常量，W，n是变量； 故选：A． ★3．（24-25八年级下·全国·单元测试）以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 【题型十五】用三种方法表示变量之间的关系 ★1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点y与x的部分对应数据如下表，则该地y与x的关系可以近似的表示为（    ） 所处深度 2 3 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 265 370 475 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用表达式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可． 解：由表格中数据可知，从2千米开始，每下降1千米，气温升高， ∴y与x的关系可以近似的表示为． 故选A． ★3．（23-24七年级下·全国·单元测试）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ． 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握表格表示变量间的关系，正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，由函数值求自变量的值，是解决此题的关键． 设，将数对代入，求得，得到，当时，可求得． 解：设， 将代入， 得， 解得， ∴， 当时， ， 解得， ∴注满水池所需的时间是． 故答案为：． ★★4．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 解：由题意，结合图象可得， A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意； B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意； C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， 故选：A． 【题型十六】变量之间关系中动点问题 ★★1．（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图①，梯形中，，．动点从点出发，沿匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，与之间关系的如图②所示．梯形的面积为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，弄清图象上的信息是解题的关键．根据图象得出，以及此时面积，利用三角形面积公式求出；再由图象得出，最后利用梯形面积公式计算梯形面积即可． 解：根据图象得：，此时 ，即 解得： 由图像可得： 故答案为：26． ★★2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． ★★★3．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 解：由图象，当点P在边上时，，则， 又点P运动8秒时到点B处， ∴，故①正确； ∵点P运动c秒时到达点D处， ∴，故②错误； 点从点运动到点用时秒，故③正确； 当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误； 由题意，长方形面积为， 当的面积是长方形面积的时，， 由图知，点P在边上时，由得； 当点P在边上时，由得， ∴， 即当的面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误， 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 【考点六】几何判定推理、求值型 【题型十七】两直线的关系 ★1．（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． ★2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，，垂足是点D，则图中所有与互余的角是（   ）    A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角定义，找出与和为的角即可．关键是要利用直角三角形的性质。利用“直角三角形两锐角之和为”的性质来解题． 解：∵， ∴； 又∵于D， ∴ 根据互余定义，与互余的角为和． 故选：D． ★3．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案． 解：， ， 射线平分， ， ， 射线平分， ， ， 的度数为， 故答案为：． 【题型十八】平行线的性质与判定 ★1．（2025七年级下·浙江·专题练习）如图，，，点F在上，线段的延长线与线段的延长线相交于点A．如果，，求的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先利用平行线的性质可得，，再利用平行线的性质可得，然后根据题目的已知易得：，即可解答． 解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． ★2．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射向水中时，要发生折射现象．在相同介质中光线是平行的．如图，水面与杯底互相平行，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，再代入计算即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 解：∵在相同介质中光线是平行的， ∴, ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 故选：． ★3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 解：， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 【题型十九】与三角形有关的角和线段 ★1．（2025·河北沧州·一模）如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形两个锐角相加等于是解题的关键．先计算出和的度数，再根据即可求解． 解：，，， ， ， ． 故答案为： ． ★2．（2025·山东滨州·一模）满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． ★3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 【题型二十】全等三角形性质与判定求值 ★1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． ★2．（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用“边角边”证得，由全等三角形的性质即可得解． 解：设小正方形的边长为， 依题得：，，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． ★3．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定，结合垂直的定义证明，再利用全等是性质得到，，最后根据求解，即可解题． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 故选：C． ★3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）小文与爸爸、妈妈在公园荡秋千．小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为，点B到的距离为，点C距离地面的高度是，，则点C到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用．由证明得出，即可推出结果． 解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， ， ， ， ， 又由题意可知，， ， ，， ， 点到的距离为， 故选：C． 【题型二十一】全等三角形性质与判定证明 ★★1．（2025·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，，设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的关系不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的定义， 先延长至E，使，再根据角平分线的定义可证明，可得，然后根据三角形的三边关系得出答案． 解：先延长至E，使， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴． 故选：A． ★★2．（24-25八年级上·上海·期中）已知，在中，，，垂足为点H，平分，与相交于点D，过点D作，与边相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，先导角证明，再证明，可得，则D选项结论正确；根据现有条件无法证明A、B、C三个选项中的结论，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故D结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论， 故选：D． ★★3（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 【题型二十一】全等三角形的几何模型 ★1．（24-25八年级上·山东德州·期末）在中，，中线，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中线的性质，三角形三边关系，倍长中线，进而根据三角形三边关系求解是解题的关键．延长至E，使，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 解：如图，延长至E，使，连接， ∵AD是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， 的长度不可能是7． 故选：A． ★★2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． ★3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出． 先过作于，根据，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为 2 ． 解：∵点是中点，， ∴， 如图所示，过作于，则， ∵， ， ， ， ， ∴当时，， 即点与点重合，此时， ∴线段的最小值为 2 ． 故答案为：2． ★★4．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，中，，，点，分别是，上的点，，连接，，若，图中与相等的角是 ， 度． 【答案】 22.5 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用证明△与△全等解答．根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 解：中，，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：；22.5． 【题型二十二】轴对称性质求值证明 ★1．（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． ★★2．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；证明，都是等边三角形，即可判断正确，根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出⑤错误． 解：∵和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确． ， 由翻折的性质得，， 又， ， ，故②正确． ∵的对称图形和， ，， ，， ， ， 是等边三角形， 同法也是等边三角形， ；故③正确． ， ，， 边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， 平分，故④正确． 在和中，，，，， ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． ★★3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型二十三】尺规作图中的求值证明 ★1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． ★★2．（2025八年级下·全国·专题练习）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． ★★3．（2025·河北·模拟预测）下面是根据如图所示的作图写出的两个推理过程： 推理一： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴点F是的平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∴． 推理二： ∵是的垂直平分线， ∴． ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 下列是对上面两个推理的正确性进行的判断，判断正确的是（    ） A．推理一正确 B．推理二正确 C．两个推理过程都正确 D．两个推理过程都错误 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键．根据尺规作图、线段垂直平分线的性质，对两个推理过程逐步分析即可解答． 解：推理一的第二、三行过程中，由和不能推出点F是的平分线与的交点，故过程出现错误； 推理二的第三、四行过程中，由平分不能推出，故过程出现错误； 综上所述，两个推理过程都错误． 故选：D． ★★4．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）过内一定点D，作一条直线，交于点E，交于点F，下列四种作法，面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 解：如图①，过点E作交于点M，则 ∵ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图②，过点E作于点M，则 ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 如图③， ∵ ∴ ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 综上，面积最小的是D选项， 故选：D． 【考点七】几何综合型 【题型二十四】三角形全等中的几何模型 ★★1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． ★2．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． ★★3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． 【题型二十五】轴对称中的折叠问题 ★★1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 解：， 设，则， ， 四边形沿折叠形成四边形， ， ， 四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 解得， 即的度数为． 故选：A． ★★2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，设点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小，由可得为等边三角形，进而可得． 解：作点C关于的对称点为M，关于的对称点为N，连接， 由轴对称的性质可得，， ， 当点D、E在上时，等号成立，如图： 由轴对称的性质可得垂直平分线段，垂直平分线段， ，，，， ，， 为等边三角形， ， ． 故选D． ★★3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1，在长方形纸条中，，，点E，F分别为线段上一点，将线段沿折叠，点B的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段沿进行第二次折叠后点C的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质求度数，掌握折叠的不变性是解题的关键． 由长方形以及平行线的性质得到，由折叠得到，而，则，再由得到． 解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二十六】全册几何最值问题 ★★1．（21-22八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． ★★2．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． ★★3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在线段（不包含点）上运动，连接，将沿直线翻折得到． （1）当时，的度数为 ． （2）在点运动的过程中，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 /15 2 【分析】本题考查了三角形翻折的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；解题的关键是熟练掌握这些性质． （1）由折叠性质及，可求得，再由三角形内角和即可求得的度数； （2）当垂足E在线段上时，点到直线距离的最大，则；由折叠的性质及含30度直角三角形的性质即可求解． 解：（1）∵， ∴； 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵点在以点A为圆心，为半径的圆上， ∴当垂直时，点到的距离最大，即垂足E在线段上时，点到直线距离的最大，如图所示： ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型二十七】三角形全等与轴对称图形综合 ★★1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，于点D，点E在上，连接交于点F，若，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为14，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，先证明，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，据此证明得到，根据三角形面积计算公式推出，据此利用完全平方公式的变形求解即可． 解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵的面积为14， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ★2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为解题的关键． 如图：过A作于E，过D作于E，即，先证明可得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，最后根据的面积为16列方程求解即可． 解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． ★★3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． ★★3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$