期末考试必考题型（四）——因式分解、分式与不等式综合压轴（3大考点6类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（四）——因式分解、分式与不等式综合压轴（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】因式分解 1 【考点二】一元一次不等式与一元一次不等式组 1 【考点三】分式与分式方程 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】分式化简与不等式（组）取整代入求值综合 2 【题型 2】因式分解 + 不等式综合压轴 4 【题型 3】分式与不等式综合 5 【题型 4】分式方程与不等式综合压轴 7 【题型 5】分式方程与因式分解综合压轴 8 【题型 6】不等式、因式分解、分式及分式方程综合压轴 10 一.必考点知识梳理 【考点一】因式分解 1、含参数因式分解求参 已知二次三项式可分解成两个整式乘积，求待定系数； 2、整体代入求值压轴 条件式无法单独求出未知数，因式分解变形后整体代入求代数式； 3、阅读理解新定义因式分解 现场给分组分解、十字分解新方法，套用方法分解因式。 【考点二】一元一次不等式与一元一次不等式组 1、含参不等式（组）求参数 告知不等式有几个整数解，反向求字母取值范围； 2、方案设计应用题 采购物资、租车、生产用料，列不等式组确定可行方案，求成本最低或费用最少； 3、不等式解集限定分式中未知数取值。 【考点三】分式与分式方程 1、化简求值压轴：分式先因式分解约分化简，从不等式解集里选取合适整数代入求值（综合经典考法：分式 + 不等式）； 2、根据分式取值范围求参数 分式的值为正数或负数，列不等式求未知数取值范围； 3、分式方程型实际应用题压轴 工程、购物、行程列式，列式后利用因式分解化简求解。 二.必考题型精析 【题型 1】分式化简与不等式（组）取整代入求值综合 1．（25-26八年级下·全国·期末）（1）已知，分别满足不等式与，请比较，的大小． （2）若能用完全平方公式分解因式，求的值． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． （1）不等式解集为______； （2）不等式解集为______； （3）解不等式． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． （1）不等式：的解集是________． （2）请根据上面的解法解不等式：． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当时，，代入原式，得， ∴原多项式即为对进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得， 综上得：，另一个因式为． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）已知二次三项式有一个因式为，则______； （2）若分解因式后，有两个因式和，求的值； （3）无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集． 5．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求a、b的值； （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值； （3）若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 6．（20-21七年级下·江苏淮安·期末）【问题情境】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：． 证明： ，． （1）比较大小： ． 【问题探究】 （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【深入研究】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【题型 2】因式分解 + 不等式综合压轴 1．（2025·浙江·模拟预测）在复习不等式时，李老师给出一条没有标注原点的数轴（如图），，两数分别落在的两侧，且更靠近．同学们经过探究后，得到以下两个结论：①；②，则下列判断正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）关于x的不等式的解集是______． 4．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 5．（2024·辽宁辽阳·一模）计算： （1）求不等式的正整数解． （2）已知，，求代数式的值． 6．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． （1）不等式：的解集是________． （2）请根据上面的解法解不等式：． 【题型 3】分式与不等式综合 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法当中正确的是（   ） A．是因式分解 B．若使分式有意义，则 C．的计算结果为 D．是最简分式 2．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（23-24八年级上·山东淄博·阶段检测）八年级三位同学在一起讨论一个分式乘法的题目： 甲：它是一个整式与分式相乘；乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解； 丙：计算结果为．请你写一个符合上述条件的题目：__________． 4．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 5．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是 ，此时代数式的值为 ． 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式 ； 即当时，的最小值为2 请根据上述材料解决下列问题： （1）因式分解： （2）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （3）若，求的值； 【题型 4】分式方程与不等式综合压轴 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程有增根，则关于的不等式的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023·河北沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 4．（2023·四川泸州·一模）已知方程，且关于x的不等式只有3个整数解，则b的取值范围是__________． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）解下列方程或不等式 （1） （2）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来 6．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线l：与x相交于点A，与y轴相交于点B，直线与直线l互相垂直于点C． （1）当时，求点C的坐标； （2）当时，①求直线l的解析式； ②直接写出不等式的解集：______． 【题型 5】分式方程与因式分解综合压轴 1．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）计算： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）解方程： （4）解不等式组： 2．（25-26八年级上·河南商丘·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解方程：． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）（1）因式分解：     （2）因式分解： （3）解方程：     （4）解方程： 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）因式分解和解方程 （1）因式分解： ① ② （2）解分式方程： ① ② 5．（23-24八年级下·山东青岛·阶段检测）（1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）化简：； （4）化简：； （5）解分式方程：； （6）解分式方程：． 6．（24-25八年级上·广东广州·期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等． （1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个） （2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值； （3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值． 7．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，，，……，则依据此规律_______． ②请你利用拆项法进行因式分解：． （2）若，满足，求的值． （3）受此启发，解方程：． 【题型 6】不等式、因式分解、分式及分式方程综合压轴 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）按要求解答下列问题： （1）（因式分解） （2）（分式计算） （3）（解分式方程） 2．（23-24八年级上·山东威海·期中）计算题： （1）因式分解 ①        ② （2）分式化简： ①             ② （3）解方程： ①                 ② 3．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． （1）直接写出： ， ； （2）若关于的不等式组无解，求的取值范围； （3）若的解集为，求不等式：的解集． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）； （2）若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　； （3）在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形： 小明：原式， 小娟：原式， 你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）——因式分解、分式与不等式综合压轴（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】因式分解 1 【考点二】一元一次不等式与一元一次不等式组 1 【考点三】分式与分式方程 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】分式化简与不等式（组）取整代入求值综合 2 【题型 2】因式分解 + 不等式综合压轴 9 【题型 3】分式与不等式综合 13 【题型 4】分式方程与不等式综合压轴 18 【题型 5】分式方程与因式分解综合压轴 23 【题型 6】不等式、因式分解、分式及分式方程综合压轴 32 一.必考点知识梳理 【考点一】因式分解 1、含参数因式分解求参 已知二次三项式可分解成两个整式乘积，求待定系数； 2、整体代入求值压轴 条件式无法单独求出未知数，因式分解变形后整体代入求代数式； 3、阅读理解新定义因式分解 现场给分组分解、十字分解新方法，套用方法分解因式。 【考点二】一元一次不等式与一元一次不等式组 1、含参不等式（组）求参数 告知不等式有几个整数解，反向求字母取值范围； 2、方案设计应用题 采购物资、租车、生产用料，列不等式组确定可行方案，求成本最低或费用最少； 3、不等式解集限定分式中未知数取值。 【考点三】分式与分式方程 1、化简求值压轴：分式先因式分解约分化简，从不等式解集里选取合适整数代入求值（综合经典考法：分式 + 不等式）； 2、根据分式取值范围求参数 分式的值为正数或负数，列不等式求未知数取值范围； 3、分式方程型实际应用题压轴 工程、购物、行程列式，列式后利用因式分解化简求解。 二.必考题型精析 【题型 1】分式化简与不等式（组）取整代入求值综合 1．（25-26八年级下·全国·期末）（1）已知，分别满足不等式与，请比较，的大小． （2）若能用完全平方公式分解因式，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为0或10 【分析】（1）分别解出两个不等式中的和的取值范围，再去比较大小即可； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 解：（1）由，得． 由，得，故． （2）可以用完全平方公式来分解因式， ，解得，， 的值为0或10． 【点拨】此题考查了一元一次不等式的解法和因式分解−运用公式法，熟练掌握不等式的解法和完全平方公式是解题的关键． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． （1）不等式解集为______； （2）不等式解集为______； （3）解不等式． 【答案】（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的除法法则，异号得负，且除数不为0，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，②， 解不等式组①得，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为； （3）解：由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且除数不为0，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． （1）不等式：的解集是________． （2）请根据上面的解法解不等式：． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集； （2）先把不等式整理为，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集． 解：（1）解： ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． （2）解： ∴， ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当时，，代入原式，得， ∴原多项式即为对进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得， 综上得：，另一个因式为． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）已知二次三项式有一个因式为，则______； （2）若分解因式后，有两个因式和，求的值； （3）无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组，求一元一次不等式的解集： （1）根据题意可得当时，，即当时，，据此求解即可； （2）根据题意可得当时，，当时，，则，解方程组即可得到答案； （3）根据题意得到，无论k取何值，点满足方程恒成立，则，据此求出m、n的值，再解不等式即可． 解：（1）解：∵二次三项式有一个因式为， ∴当时，， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵分解因式后，有两个因式和， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，点满足方程恒成立， ∴， 解得， ∴不等式，即为不等式， ∴． 5．（21-22七年级下·江苏苏州·期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求a、b的值； （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值； （3）若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3），详见分析 【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解． （2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边． （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，， ∵a、b、c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． 6．（20-21七年级下·江苏淮安·期末）【问题情境】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：． 证明： ，． （1）比较大小： ． 【问题探究】 （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【深入研究】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【答案】（1）≥；（2）；（3）当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同． 【分析】（1）计算，问题得解； （2）分别用含m式子表示出、，再用得到含m的式子，根据m为正整数，即可判断出＞0，问题得解； （3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，分别表示出A、B两种方案费用，用A方案费用减去B方案费用，根据题意分别得到m取值不同，两方案费用的差的符号，即可确定如何选择方案． 解：（1）∵， ∴， 故答案为：≥； （2）∵，， ∴， ∵为正整数， ∴＞0， ∴＞0， ∴； （3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，则A方案游泳总费用为0.65xm元；B方案游泳总费用为x+0.6x（m-1）=0.6xm+0.4x（元）， 0.65xm-（0.6xm+0.4x）=0.05xm-0.4x， 由题意得x＞0， ∴当0.05xm-0.4x＞0时，即m＞8，此时应选择B方案； 当0.05xm-0.4x＜0时，即m＜8，此时应选择A方案； 当0.05xm-0.4x=0时，即m=8，两种方案费用相同． 答：当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同． 【点拨】本题为创新型题目，考查了因式分解，整式的计算，解不等式等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，并理解“作差法”依据是解题关键． 【题型 2】因式分解 + 不等式综合压轴 1．（2025·浙江·模拟预测）在复习不等式时，李老师给出一条没有标注原点的数轴（如图），，两数分别落在的两侧，且更靠近．同学们经过探究后，得到以下两个结论：①；②，则下列判断正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，因式分解的应用．数b表示的点比点a表示的点到表示的点的距离小即可判断①；根据可判断②． 解：因为，所以，故①正确； 因为，而，， 所以，故②正确， 故选A． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得或或或，分别解不等式组即可得到答案． 解：∵， ∴或或或， 解不等式组得， 解不等式组得， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组，可知不等式组无解； 综上所述，或． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）关于x的不等式的解集是______． 【答案】－2<x<2 【分析】首先把不等式左边因式分解，然后利用两数相乘异号为负得到不等式组① 或②，求出解集． 解：（x-2）（x+2）＜0， ∴x+2与x-2异号， 故有① 或②， 由不等式组①得-2＜x＜2， 不等式组②无解， 故答案为-2＜x＜2． 【点拨】本题考查解不等式组以及因式分解，解决问题的关键是把二次不等式转化为一元一次不等式组． 4．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 【答案】 【分析】先对不等式左边因式分解，再根据“异号两数相乘，积为负”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解不等式组后即可得到原不等式的解集． 解：， ， ∴（1）或（2）， 解得（1）；（2）无解； ∴不等式的解集为． 5．（2024·辽宁辽阳·一模）计算： （1）求不等式的正整数解． （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）1，2；（2） 【分析】本题考查解一元一次不等式，因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握相关运算的步骤及法则． （1）先去括号，移项，合并同类项，再找其正整数解即可； （2）先将代数式因式分解，再代入求值． 解：（1）解：， ， ； 不等式的正整数解是1，2. （2）解：原式 ． 6．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． （1）不等式：的解集是________． （2）请根据上面的解法解不等式：． 【答案】（1）或；（2）或 【分析】（1）根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集； （2）先把不等式整理为，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集． 解：（1）解： ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． （2）解： ∴， ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． 【题型 3】分式与不等式综合 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）下列说法当中正确的是（   ） A．是因式分解 B．若使分式有意义，则 C．的计算结果为 D．是最简分式 【答案】D 【分析】根据因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义逐一判断各选项即可． 解：A．，该变形不是因式分解，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若使分式有意义，则，解得：，原说法错误，故此选项不符合题意； C．，原说法错误，故此选项不符合题意； D．是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点拨】本题考查因式分解定义、分式有意义条件、积的乘方与幂的乘方及负整数指数幂、最简分式的定义，掌握相应的知识点是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①式子：从左到右的变形，属于因式分解； ②式子从左到右的变形，属于因式分解； ③分式的分子，分母同时除以分式的值不变； ④分式的值可能等于零． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义及分式的基本性质和分式值为零的条件，熟练掌握相关定义，性质是解题的关键．直接根据因式分解的定义，分式值为零的条件及分式的基本性质逐项判断即可得解． 解：根据将一个多项式化为几个整式积的形式的过程为因式分解，左边为多项式，右边是整式积的形式可判断①不是因式分解；②不是整式积的形式，是分式积的形式，也不是因式分解；根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为零的数或式，分式值不变，可知③正确；④不正确，分子不为零，分式值不可能为零． 因此正确的只有1个， 故选：B 3．（23-24八年级上·山东淄博·阶段检测）八年级三位同学在一起讨论一个分式乘法的题目： 甲：它是一个整式与分式相乘；乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解； 丙：计算结果为．请你写一个符合上述条件的题目：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住结果与使用了平方差公式进行因式分解构建分式的乘法运算式即可． 解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式乘法的特点构建符合条件的乘法运算式是解本题的关键． 4．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 5．（25-26八年级上·天津南开·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）已知． ①化简该代数式； ②从，，1，3中选取一个合适的数作为x的值，计算该代数式的值．你选取的数是 ，此时代数式的值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）①化简结果是；②选取的数是，此时代数式的值为 【分析】本题考查了因式分解和分式的化简求值，解题的关键是掌握因式分解的方法和分式的混合运算． （1）用平方差公式分解即可； （2）用完全平方公式分解即可； （3）先化简分式，再代入合适的值计算即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ， 由题意得，， 解得且， 所以x取， 当时，原式， 所以选取的数是，此时代数式的值为． 6．（25-26八年级上·广东惠州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式 ； 即当时，的最小值为2 请根据上述材料解决下列问题： （1）因式分解： （2）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （3）若，求的值； 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，最小值为3；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，分式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）利用题中所给配方法进行计算即可； （2）利用题中所给配方法进行计算即可； （3）根据题意可得，则可推出，，，把所求式子变形得到，据此计算求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为3； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴，， ∴， ∴ ． 【题型 4】分式方程与不等式综合压轴 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程有增根，则关于的不等式的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，求不等式的整数解．首先由分式方程有增根确定m的值，再代入不等式求解其最小整数解． 解：分式方程两边同乘， 得： 化简得：， 解得， 当方程有增根时，增根为，代入得：， 解得． 将代入不等式， 得：， 解得， 故不等式的最小整数解为． 故选D． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可． 解：根据新定义可得，，即， 去分母得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 把代入不等式可得，， 解得． 故选D． 【点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有________个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． 4．（2023·四川泸州·一模）已知方程，且关于x的不等式只有3个整数解，则b的取值范围是__________． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式的整数解．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式只有3个整数解，即可确定出b的范围． 解：分式方程去分母得：， 整理，得：， 即， 解得：或， 经检验是增根， 故分式方程的解为， ∵不等式只有3个整数解， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）解下列方程或不等式 （1） （2）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解分式方程和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 解：（1）解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 6．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线l：与x相交于点A，与y轴相交于点B，直线与直线l互相垂直于点C． （1）当时，求点C的坐标； （2）当时，①求直线l的解析式； ②直接写出不等式的解集：______． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】（1）当时，则直线l的解析式为，直线的解析式为，再建立方程组解题即可； （2）①如图，过作轴于，由，可得，结合，可得，，可得，再解方程即可；②由①可得，再结合图象可得解集. 解：（1）解：当时，则直线l的解析式为，直线的解析式为， 联立，解得， ∴； （2）解：①如图，过作轴于， ∵， 解得：，即， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴直线l的解析式为； ②∵， ∴， ∴不等式的解集为. 【点拨】本题考查的是求解一次函数的交点坐标，分式与二次根式的运算，勾股定理的应用，利用函数图象解不等式，选择合适的方法解题是关键. 【题型 5】分式方程与因式分解综合压轴 1．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）计算： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）解方程： （4）解不等式组： 【答案】（1）；（2）；（3）原分式方程无解；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 去分母得， 解得， 检验，把代入得， ∴是原方程的增根， ∴原分式方程无解； （4）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 2．（25-26八年级上·河南商丘·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解、解分式方程，关键是熟练应用知识点解题； （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解即可； （3）把分式方程化成整式方程求解即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：两边同乘以得： ， ， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）（1）因式分解：     （2）因式分解： （3）解方程：     （4）解方程： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）无解 【分析】本题考查因式分解、解分式方程，熟练掌握因式分解和解分式方程的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （3）先将分式方程转化为整式方程，再解方程，最后检验是否为原方程的根； （4）先将分式方程转化为整式方程，再解方程，最后检验是否为原方程的根即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ， ， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的根； （4） 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的增根，应舍去， 所以原方程无解． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）因式分解和解方程 （1）因式分解： ① ② （2）解分式方程： ① ② 【答案】（1）①；②；（2）①原方程无解；② 【分析】本题主要考查了因式分解和解分式方程： （1）①先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；②先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）①按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；②按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 解：（1）解：① ； ② ； （2）解：① 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； ② 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 5．（23-24八年级下·山东青岛·阶段检测）（1）因式分解：； （2）因式分解：． （3）化简：； （4）化简：； （5）解分式方程：； （6）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）原分式方程无解；（6） 【分析】（1）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （3）通分求解即可； （4）先通分，进行因式分解，然后进行除法运算即可； （5）先去分母，将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可； （6）先去分母，将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解：， ， ， 解得，， 经检验，不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解； （6）解：， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 【点拨】本题考查了因式分解，分式的减法运算，分式的化简，解分式方程．熟练掌握因式分解，分式的减法运算，分式的化简，解分式方程是解题的关键． 6．（24-25八年级上·广东广州·期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等． （1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个） （2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值； （3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值． 【答案】（1）212814、281421；（2）m=-12，n=17；（3）或或0． 【分析】（1）根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一 （2） 设，求出p、q、r，根据等号左右两边对应相等，可以求得m、n的值； （3）去分母求出方程的解，根据方程无解得到x=-1或3或-7，代入求出k的值即可． 解：（1） ， 当x＝21，y＝7时，x+y=28，x-y=14， ∴可以形成的数字密码是212814、281421； （2）设， ∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834， ∴27+p=24，27+q=28，27+r=34， 解得p=-3，q=1，r=7， ∴= ∴， ∴，解得； （3）﹣＝， 去分母得（x+7）-k（x-3）=x+1， 解得， ∵方程﹣＝无解， ∴x=-1或3或-7， 当x=-1时，，解得k=，经检验是方程的解； 当x=3时，=3，方程无解； 当x=-7时，=-7，解得k=，经检验是方程的解； 当k=0时，方程（x+7）-k（x-3）=x+1，无解，则原方程无解； ∴k的值为或或0 ． 【点拨】此题考查多项式的分解因式，分式方程的应用，方程组的应用，（2）是难点，读懂例题中多项式分解因式的个数仿照解决问题是解题的关键． 7．（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，，，……，则依据此规律_______． ②请你利用拆项法进行因式分解：． （2）若，满足，求的值． （3）受此启发，解方程：． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解； ②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 解：（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【题型 6】不等式、因式分解、分式及分式方程综合压轴 1．（25-26八年级上·山东烟台·期中）按要求解答下列问题： （1）（因式分解） （2）（分式计算） （3）（解分式方程） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解，分式的加减，以及解分式方程． （1）用完全平方公式分解即可； （2）先把分母变形，再通分，然后按同分母分式的加减法法则计算； （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验． 解：（1） （2） ； （3）， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 2．（23-24八年级上·山东威海·期中）计算题： （1）因式分解 ①        ② （2）分式化简： ①             ② （3）解方程： ①                 ② 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）①无解；② 【分析】此题考查了因式分解，分式的混合运算，解分式方程， （1）①首先利用十字相乘法因式分解，然后利用完全平方公式法分解因式即可； ②首先利用提公因式法分解因式，然后利用平方差公式和完全平方公法分解因式即可； （2）①首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，然后计算乘法； ②根据分式的混合运算法则求解即可； （3）①首先去分母转化成整式方法，然后求解，最后要检验； ②首先去分母转化成整式方法，然后求解，最后要检验． 解题的关键是熟练掌握以上运算法则和运算顺序． 解：（1）① ； ② ； （2）① ； ② ． （3）① 去分母得： 去括号得 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验：当时，， ∴原方程无解； ② 去分母得： 去括号得， 移项合并同类项得：， 系数化为1得： 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 3．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 【答案】（1）；（2）；；（3）． 【分析】本题主要考查了分式的化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）由已知得，再根据分式化简的步骤求解即可； （2）由已知得，由分式的性质得到，据此求解即可； （3）由题意得到或，结合，据此求解即可． 解：（1）解：∵， ∴． ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵分式的值为正数时， ∴或， 又∵， ∴或， 解得． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，． （1）直接写出： ， ； （2）若关于的不等式组无解，求的取值范围； （3）若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 解：（1）解：把，代入， 得：， 解得：； 故答案为：，； （2）根据题意得； 解得： ∵关于的不等式组无解， ∴； （3）根据题意得， 整理得：， 此不等式解集为， ，且， 整理得：， 所求不等式化简得：，即， 把代入得： ，解得：， ∴ 解得：． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）； （2）若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　； （3）在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形： 小明：原式， 小娟：原式， 你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由． 【答案】（1）②；（2）或5；（3）我欣赏小娟的做法，见分析 【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案； （2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案； （3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可． 解：（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意； ②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意； ③这个分式可以约分，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：将分母变成完全平方公式得：，此时； 将分母变形成，此时； 故答案为：或5； （3）我欣赏小娟的做法， 原式 ， 理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母． （3）解：我欣赏小娟的做法， 原式 ， 理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母． 【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 解：（1）解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $