期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（16类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（16类题型） 北师大版八下解答题以证明题、计算题、应用题为主，侧重逻辑推理与实际应用，常结合图形变换、动态综合考查多知识点整合能力。本专题结合使用北师大版地区期末考试题型特点精选细编出两大部分十六类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】因式分解（3题）.................................................................................................................................1 【题型二】分式的化简求值（4题）.....................................................................................................................2 【题型三】解分式方程（4题）.............................................................................................................................2 【题型四】分式方程的应用（3题）.....................................................................................................................3 【题型五】一元一次不等式和一元一次不等式组的应用与分式方程应用综合（4题）..................................4 【题型六】一元一次不等式与一次函数（3题）..................................................................................................5 【题型七】尺规作图与求值证明（3题）..............................................................................................................7 【题型八】三角形的证明（4题）.........................................................................................................................9 【题型九】图形的平移和旋转（4题）...............................................................................................................10 【题型十】平行四边形的性质与判定（4题）....................................................................................................12 【题型十一】三角形的中位线（4题）...............................................................................................................13 【拓展延升+压轴培优】 【题型十二】分式方程与一元一次不等式（组）压轴题（3题）....................................................................14 【题型十三】一元一次不等式（组）与一次函数压轴题（4题）....................................................................15 【题型十四】三角形的证明与平移旋转综合压轴题（4题）.............................................................................17 【题型十五】平行四边形的性质与判定与几何变换（4题）............................................................................19 【题型十六】平行四边形的性质与判定探究性压轴题（4题）........................................................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】因式分解（3题） ★1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）把下列各式因式分解： （1）； （2）． ★★2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． ★★3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先阅读材料内容，再解决问题： ①若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ②已知x为实数，求的最小值． 解：∵ 而 ∴有最小值2 （1）若，求的值； （2）设、为实数，求的最小值． 【题型二】分式的化简求值（4题） ★1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算： （1）； （2）． ★★2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知， （1）化简A，并对B进行因式分解； （2）当时，求A的值． ★★3．（22-23八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． ★★4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解答下列各题： （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【题型三】解分式方程（4题） ★1．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）解下列分式方程： （1） （2） ★★2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． ★★3．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? ★★★4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． （1）若这个分式方程的解是，求的值； （2）若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【题型四】分式方程的应用（3题） ★★1．（2025·重庆綦江·一模）孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． （1）求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ （2）“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． ★★2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ ★★3．（24-25九年级上·山西大同·期末）太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． （1）求小明和小亮的速度分别是多少． （2）小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 【题型五】一元一次不等式和一元一次不等式组的应用与分式方程应用综合（4题） ★★★1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ ★★2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ ★★3．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同． （1）求、两种工具的单价各是多少元． （2）该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． ★★4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等． （1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？ 【题型六】一元一次不等式与一次函数（3题） ★★1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； （2）结合图形直接写出的解集； （3）求的面积． ★★★2．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    （4）根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． ★★3．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． （1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； （2）求与之间的函数表达式； （3）在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【题型七】尺规作图与求值证明（3题） ★★1．（2024·山西临汾·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以点M和N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接．     （1）求证：四边形是平行四边形； （2）直接写出点E到的距离． ★★2．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． ★★★3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【题型八】三角形的证明（4题） ★★1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． ★★★2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，等腰中，．点是上两动点，且，若． （1）求证：． （2）当时，求的长； ★★3．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若． （1）求证：； （2）求的长． ★★★4．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【题型九】图形的平移和旋转（4题） ★★1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，等边的边长为1，将绕点C顺时针旋转到，点A，C，E三点共线． （1）旋转角的度数______； （2）连接，求的长． ★★★2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度； （2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）． ★★★3．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，，求的面积． ★★★4．（24-25九年级上·广东汕头·期末）问题提出：（1）如图（1），在中，，将绕点顺时针旋转得到，则__________ 方法应用：（2）某地建造了三个特色农产品种植基地，，，如图（2），在中，，．为了方便农产品的储藏运输，要在内修建一个中转站点及道路，，，则的最小值为__________． 【题型十】平行四边形的性质与判定（4题） ★★★1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，在平行四边形中，，E、F分别在和的延长线上，且，点 D为的中点，． （1）求证四边形是平行四边形； （2）求的长度． ★★★2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图1，在中，，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，过点作于点，连接，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明． ★★★3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． ★★★4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 【题型十一】三角形的中位线（3题） ★★★1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． ★★2．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，求线段的长． ★★3．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； （2）如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延升+压轴培优】 【题型十二】分式方程与一元一次不等式（组）压轴题（3题） ★★★1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）（1）解方程：             （2）关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． ★★★2．（18-19八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． （1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． ★★★3．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． （1）当，时，求分式方程的解； （2）当时，求b为何值时分式方程无解； （3）若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【题型十三】一元一次不等式（组）与一次函数压轴题（4题） ★★★1．（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围． ★★★2．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）x满足什么条件时，； （3）点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标． ★★★3．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图①，直线：经过点，，且与直线交于点，． （1）求直线的表达式； （2）由图象直接写出关于的不等式的解集； （3）如图②所示，为轴上点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，，直线交轴于点．当点在轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围． ★★★4．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数． 【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为． （1）点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______； （2）已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程： ①填表， x … 0 1 2 … y … 5 3 1 3 5 … ②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像； ③若，则y的取值范围为______； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______． 【题型十四】三角形的证明与平移旋转综合压轴题（4题） ★★★1．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，，点D在射线上，点E在射线上，，设． （1）当时，求的度数； （2）如图1，当D在线段上时，求证：； （3）若，将点A绕着点E顺时针旋转得到，直线与直线相交于点F，当为直角三角形时，请求出CD的长． ★★★2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）等边中，点为上一点． （1）如图1，连接，点为上一点，连接，，若，求的度数； （2）如图2，点关于直线的对称点为点，连接，，，点为中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，点在上运动的过程中，当线段取最小值时，请直接写出的值． ★★★3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标中，已知点，点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作直线． （1）求直线的函数表达式； （2）是平面内一点，且，求n与m的关系； （3）如图2，是x轴上一动点，将线段绕点H顺时针旋转得到线段，当与直线有交点时，求h的取值范围． ★★★4．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： （1）如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． （2）如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【题型十五】平行四边形的性质与判定与几何变换（4题） ★★★1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． ★★★2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且面积为40． （1）求点C的坐标及直线的解析式； （2）如图2，已知点，连接并延长与交于点F，求线段的长度． （3）如图3，将直线向右平移个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线或上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ★★★3．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． （1）求的长及点A，点B的坐标； （2）求的长度； （3）点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； （4）取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． ★★★4．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． （1）______，______． （2）用含的代数式表示的长． （3）当将四边形的周长分成两部分时，求的值． （4）如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 【题型十六】平行四边形的性质与判定探究性压轴题（4题） ★★★1．（2024·山东济南·二模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． ★★★2．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．    ★★★3．（23-24八年级上·山东济南·期末）问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 问题探究： （）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明； 问题拓展： （）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值． ★★★4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（16类题型） 北师大版八下解答题以证明题、计算题、应用题为主，侧重逻辑推理与实际应用，常结合图形变换、动态综合考查多知识点整合能力。本专题结合使用北师大版地区期末考试题型特点精选细编出两大部分十六类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】因式分解（3题）.................................................................................................................................1 【题型二】分式的化简求值（4题）.....................................................................................................................3 【题型三】解分式方程（4题）.............................................................................................................................6 【题型四】分式方程的应用（3题）.....................................................................................................................9 【题型五】一元一次不等式和一元一次不等式组的应用与分式方程应用综合（4题）................................12 【题型六】一元一次不等式与一次函数（3题）................................................................................................17 【题型七】尺规作图与求值证明（3题）...........................................................................................................22 【题型八】三角形的证明（4题）.......................................................................................................................30 【题型九】图形的平移和旋转（4题）...............................................................................................................36 【题型十】平行四边形的性质与判定（4题）....................................................................................................43 【题型十一】三角形的中位线（4题）................................................................................................................49 【拓展延升+压轴培优】 【题型十二】分式方程与一元一次不等式（组）压轴题（3题）....................................................................54 【题型十三】一元一次不等式（组）与一次函数压轴题（4题）....................................................................58 【题型十四】三角形的证明与平移旋转综合压轴题（4题）.............................................................................65 【题型十五】平行四边形的性质与判定与几何变换（4题）............................................................................78 【题型十六】平行四边形的性质与判定探究性压轴题（4题）........................................................................88 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】因式分解（3题） ★1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． ★★2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用提取公因式法直接求解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果； （4）用两次提取公因式法直接求解即可． 解：（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． ★★3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先阅读材料内容，再解决问题： ①若，求m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． ②已知x为实数，求的最小值． 解：∵ 而 ∴有最小值2 （1）若，求的值； （2）设、为实数，求的最小值． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性求出x，y的值，然后代入的值； （2）先利用完全平方公式分解因式，再根据偶次方的非负性求解即可． 解：（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵ 而， ∴有最小值3 【题型二】分式的化简求值（4题） ★1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键； （1）先通分，然后再进行分式的加减运算； （2）先算括号里，然后再进行分式的除法运算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ★★2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知， （1）化简A，并对B进行因式分解； （2）当时，求A的值． 【答案】（1）；；（2）3 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把进行化简，对进行因式分解即可； （2）根据求出的值，代入式进行计算即可． 解：（1）解： ； ； （2）， ， ． 当时，． ★★3．（22-23八年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可． 解：原式 ； ∵，， ∴，，， ∴， ∴原式． ★★4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解答下列各题： （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），6 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键． （1）按照异分母分式加减运算法则计算； （2）先计算括号内减法，再将除法化为乘法，计算乘法，最后整体代入求值． 解：（1）解： （2）解：原式 . ∵， ∴． ∴原式． 【题型三】解分式方程（4题） ★1．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的求解方法，验根是关键． （1）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 解：（1）解： 方程两边都乘得：，即， 解得： 检验：把代入得， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解； （2）解： 方程两边都乘得：，即， ∴，即， ∴， 解得：， 检验：把，代入，把，代入， ∴是原分式方程的增根，是原分式方程的解． ★★2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于x的分式方程． （1）当时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题： （1）把代入分式方程，去分母将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 解：（1）把代入分式方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴原分式方程的解为； （2）分式方程变形得 去分母得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时，∵分式方程无解， 分母为0得：，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． ★★3．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； （3）请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 【答案】（1）；（2）的解是；（3）的解是． 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 解：（1）解：， ， ， ， 经检验，为方程的解， 故答案为：． （2）解：由题意得：⑤的解是； 故答案为：的解是； （3）解：由题意得：第个式子及其解为：的解是． ★★★4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． （1）若这个分式方程的解是，求的值； （2）若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将代入方程中求解即可； （2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件． 解：（1）解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； （2）解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 【题型四】分式方程的应用（3题） ★★1．（2025·重庆綦江·一模）孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元． （1）求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？ （2）“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值． 【答案】（1）康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元；（2）m的值为5 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组． （1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案； （2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可． 解：（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元， 由题意，得：， 解得：， 答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元． （2）解：依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 答：m的值为5． ★★2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）700元；（2）一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 解：（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． ★★3．（24-25九年级上·山西大同·期末）太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，他们同时从距离长风桥端（记为点A）米处的步道上点C处出发向胜利桥端（记为点B）行走，已知小明的步行速度是小亮步行速度的倍，且小明比小亮早分钟到达步道上距点A处米的出口点E处． （1）求小明和小亮的速度分别是多少． （2）小明到达点E后因有其他事情没有继续前行，直至小亮到达点E处．若在接下来的行走中，他们均从点E出发，各自的步行速度保持不变，求小亮至少需要先出发几分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 【答案】（1）小亮的速度为米分，小明的速度为米分；（2）小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．正确找出等量关系和建立不等式是解题的关键． （1）根据小明比小亮早到分钟列出分式方程求解即可； （2）根据两人各自的速度和到的距离，分别算出小明、小亮从点到的时间， 设小亮先出发y分钟，因为需要小亮先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B，算出小明从到的时间要大于等于小亮从到的时间，即，求解即可． 解：（1）解：小亮的速度为x米/分，则小明的速度为米/分， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则． 答：小亮的速度为米分，小明的速度为米分． （2）解：到的距离为（米）， 小明从点到的时间为：（分钟）， 小亮从点到的时间为：（分钟）， 设小亮需要先出发y分钟，才能使他不晚于小明到达点B． 则有，解得． 故小亮至少先出发分钟，才能使小亮不晚于小明到达点B． 【题型五】一元一次不等式和一元一次不等式组的应用与分式方程应用综合（4题） ★★★1．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；（2）停车场有3种购买方案，方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个；方案三所需购买总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解． 解：（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元． （2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个． 根据题意，得， 解得． 为整数， ，15或16． 该停车场有3种购买方案． 方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个； 方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个； 方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个． 型充电桩的单价低于B型充电桩的单价， 方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）． ★★2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）700元；（2）一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 解：（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． ★★3．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同． （1）求、两种工具的单价各是多少元． （2）该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】（1）种工具的单价是元，则种工具的单价是元；（2）最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键． （1）设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 解：（1）解：设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意， 则种工具的单价是：元， 答：种工具的单价是元，则种工具的单价是元 （2）解：设够买种工具件，则购买种工具件，根据题意得， 解得：， 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小, ∴时，取的最小值，此时元， 购进种工具件， 答：最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元． ★★4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等． （1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60；（2）7 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合型机器人搬运900所用时间与B型机器人搬运600所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出的值（即型机器人每小时搬运化工原料的质量），再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量； （2）设增加个型机器人，利用工作总量工作效率工作时间，结合5个小时的工作总量不低于3000，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 解：（1）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60． （2）设增加个型机器人， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为7， ∴至少要增加7个型机器人． 【题型六】一元一次不等式与一次函数（3题） ★★1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点． （1）填空： ①线段的长度为 ； ②方程组的解为 ； （2）结合图形直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可； ②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论； （2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论； （3）利用三角形面积公式进行计算即可． 解：（1）解：①在中， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为， 故答案为：； ②∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点， 当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方， ∴的解集为； （3）∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点拨】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键． ★★★2．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． 下面是小玉的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 0 m 2 1 0 n … 表中 ， ； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；    （4）根据画出的函数图象，回答下列问题： ①当x 时，y随x的增大而增大； ②方程有 个解； ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】（1）x为任意实数；（2）1，；（3）见分析；（4）①；②2；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数； （2）把分别代入解析式可得m，n的值； （3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可； （4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答． 解：（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数． 故答案为：x为任意实数； （2）解：当时，； 当时，． 故答案为：1，； （3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下： ； （4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大； ②由图象可知，当时，， ∴方程有2个解； ③由图象可知，当时， ∴关于x的方程无解，a的取值范围是． 故答案为：①；②2；③． ★★3．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． （1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元； （2）求与之间的函数表达式； （3）在图中画出与之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围． 【答案】（1）30；（2）；（3）见分析， 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据单价总价数量，即可解决问题． （2）函数表达式单价数量，与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决． （3）画出函数图象后，根据在下面即可解决问题． 解：（1）解：甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克（元） 故答案为：30； （2）解：由题意知 由图可得，当时，； 当时，设， 将和代入， 得， 解得， ∴， ∴， （3）解：函数的图象如图所示， 由， 解得， ∴点的坐标为； 由， 解得， ∴点的坐标为； 由图象可知选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量的取值范围是． 【题型七】尺规作图与求值证明（3题） ★★1．（2024·山西临汾·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以点M和N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接．     （1）求证：四边形是平行四边形； （2）直接写出点E到的距离． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，平行四边形的判定： （1）由作法得平分，根据等腰三角形的性质求出，则，证明，根据全等三角形的性质得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得解； （2）根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）证明：如图，    由作法得平分， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点E作于点Q，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即点E到的距离为． ★★2．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可． 解：（1）证明：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，交的延长线于点，如图； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ★★★3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见分析；【能力提升】：见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 解：【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 【题型八】三角形的证明（4题） ★★1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）等边三角形，理由见分析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到为中点，再结合得，又，即可得解． 解：（1）解：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， 为中点， ， ， ， 是等边三角形． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． ★★★2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，等腰中，．点是上两动点，且，若． （1）求证：． （2）当时，求的长； 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等知识点． （1）先证明，结合 ，，从而可得结论； （2）设 ，则 ，证明 ，可得 ，再利用勾股定理计算即可． 解：（1）证明：∵，， ， ， ，， ； （2）解： ， 设 ，则 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 解得 ， ． ★★3．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见分析；（2）4.5 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质； （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 解：（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， 又在中，， ， 解得：． ★★★4．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）（1）如图1，已知是直角三角形．，，直线经过点，分别从点、向直线作垂线，垂足分别为、．求证：． （2）如图2，在中，，直线经过点，点、分别在直线上，如果，猜想、、有何数量关系？并给予证明． （3）如图3，以的边、为腰向外作等腰和等腰，，，，是边上的高．延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析；（3），理由见分析 【分析】（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定得，，由此可得出、、的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定，则，，同理可证明得，，再证明得，再根据可得结论． 解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【题型九】图形的平移和旋转（4题） ★★1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，等边的边长为1，将绕点C顺时针旋转到，点A，C，E三点共线． （1）旋转角的度数______； （2）连接，求的长． 【答案】（1）120；（2） 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理： （1）根据旋转的性质结合平角的定义，得到，即可； （2）设交于点，三线合一，结合30度的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长即可． 解：（1）解：∵等边， ∴，， ∵点A，C，E三点共线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转到， ∴的度数即为旋转角的度数，即：旋转角的度数为； 故答案为：120； （2）设交于点， ∵将绕点C顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ★★★2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度； （2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）． 【答案】（1），；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查作图-利用旋转设计图案，利用中心对称设计图案，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，中心对称变换，旋转变换的性质． （1）根据旋转的性质找出旋转中心及旋转角的度数即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点并顺次连接即可； （3）根据中心对称变换的性质作出点P，写出坐标即可． 解：（1）解：如图，分别连接，并作出的垂直平分线，其交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标是，旋转角是， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形， 点的坐标为， 故答案为：． ★★★3．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知中，，过点C作直线，D是边上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E，T为线段延长线上一点． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）由旋转的性质可得，由“”可证，可得AD=DE； （3）由全等三角形的性质可得，由勾股定理可列方程组，可求的长，由三角形的面积公式可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：如图，在上取点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点D顺时针旋转交直线l于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积= ★★★4．（24-25九年级上·广东汕头·期末）问题提出：（1）如图（1），在中，，将绕点顺时针旋转得到，则__________ 方法应用：（2）某地建造了三个特色农产品种植基地，，，如图（2），在中，，．为了方便农产品的储藏运输，要在内修建一个中转站点及道路，，，则的最小值为__________． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质得为等边三角形，则，即可作答． （2）先把绕点B顺时针旋转得出，连接，证明是等边三角形，结合勾股定理得，即可作答． 解：（1）∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：2； （2）把绕点B顺时针旋转得出，连接，如图所示： 由旋转性质得， ∴是等边三角形， ∴， 当四点共线时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴， 则的最小值为． 故答案为：． 【题型十】平行四边形的性质与判定（4题） ★★★1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，在平行四边形中，，E、F分别在和的延长线上，且，点 D为的中点，． （1）求证四边形是平行四边形； （2）求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. （1）根据平行四边形性质推出，，再根据中点的定义得出，从而得出平行四边形； （2）根据直角三角形性质得出，再利用勾股定理即可求出的长，再利用平行四边形性质即可推出的长． 解：（1）证明: ∵四边形是平行四边形, ∴, 且, ∵点D为的中点, ∴, ∴, 又∵, ∴四边形是平行四边形， （2）解：∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ， ∴, ∴, 由（1）可知, , ． ★★★2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图1，在中，，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，过点作于点，连接，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见分析 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质： （1）利用等边对等角结合三角形内角和定理分别求出，即可解答； （2）利用平行四边形的性质证明，进而推出，再证明，得到，，根据，，即可证明． 解：（1）解：，， ，， ； （2）解：， 证明：过点作交的延长线于点 为平行四边形 ，，，         ， ，         ， 又 ， 在和中，                          ， ， ． ★★★3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点点． （1）点的坐标为_____； （2）点是线段上一动点．若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线正好将分成面积相等的两部分．请确定和的关系式． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据题意求出，根据平行四边形的性质得到，于是得到点B的坐标； （2）设，根据当，当，和三种情况分类讨论即可； （3）连接交于，根据平行四边形的性质得到，求得，即可得到结论． 解：（1）解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． ★★★4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到三角形全等、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或为对角线时，同理可解； （3）证明，则且，即可求解． 解：（1）解：对于， 当时，当时，； ∴， ∵，则，即点， 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 则直线l2的表达式为：； （2）解：设点、点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或； （3）解：设点、点， 设直线交x轴于点， 过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则， 过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N， ∵， ∴， ∴， 则且， 则，且， 解得：，则点， 将点P的坐标代入得：， 解得：． 【题型十一】三角形的中位线（3题） ★★★1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）知识回顾：已知，如图（1）中，点是边的中点，点是边的中点，连接．则与的关系为：_____（用符号语言表达）． 知识应用：已知，如图（2），四边形中，，点，分别为，的中点，连接．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 【答案】知识回顾：，；知识应用：，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据三角形的中位线的性质可得结论； 知识应用：连接并延长交的延长线于点G，证明，可得，，再结合三角形的中位线的性质可得结论． 解：知识回顾：由题意可得：与的关系为：，； 知识应用： ，理由如下： 连接并延长交的延长线于点G，      ∵， ∴，， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴． ★★2．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出、，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，则，然后根据勾股定理求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∵，是的边上的中线， ∴是的中位线， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． ★★3．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； （2）如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 解：（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 【拓展延升+压轴培优】 【题型十二】分式方程与一元一次不等式（组）压轴题（3题） ★★★1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）（1）解方程：             （2）关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法步骤，注意验根，是解决问题的关键． （1）运用去分母，移项，合并同类项，系数化成1，经检验，即得； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1求出x的表达式，根方程的根为正数且分母不为0，即可求出m的取值范围． 解：（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 经检验，是原分式方程的根， 故原分式方程的根为：； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 移项，得， 系数化成1，得； ∵方程的解是正数， ∴，且， ∴，且． ★★★2．（18-19八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． （1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）小聪，分式的分母不能为0；（2）且；（3）或． 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 解：（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． ★★★3．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． （1）当，时，求分式方程的解； （2）当时，求b为何值时分式方程无解； （3）若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】（1）；（2）或时，分式方程无解；（3）满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 解：（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点拨】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 【题型十三】一元一次不等式（组）与一次函数压轴题（4题） ★★★1．（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）的取值范围为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，然后结合题意，得不等式，即可求出的取值范围． 解：（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 根据题意得：当时，， 解得：， ∵当时，对于的每一个值，函数：的值小于函数的值， ∴的取值范围为． ★★★2．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）x满足什么条件时，； （3）点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）3，6；（2）；（3）或 【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）根据（1）中所求的解析式，求出点A、C、D三点的坐标，再数形结合即可作答； （3）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 解：（1）∵是一次函数与的图象的交点， ∴，解得，即， ∴将代入可得：， 解得，即， 故答案为：3，6； （2）当时，即有， 解得：，即， 当时，即有， 解得：，即， ∵，，， ∴，， 结合图象可知：； （3）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，    设点，且， ∵，， ∴，，， 当时，轴， ∴点C与点P的横坐标相等，即， ∴， ∴点P坐标为； 当时，，    ∴， 解得， ∴点P坐标为； 综上所述，所有符合条件的点P坐标为或． 【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． ★★★3．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图①，直线：经过点，，且与直线交于点，． （1）求直线的表达式； （2）由图象直接写出关于的不等式的解集； （3）如图②所示，为轴上点右侧任意一点，以为边作等腰，其中，，直线交轴于点．当点在轴上运动时，线段的长度是否发生变化？若不变，求出线段的长度；若变化，求线段的取值范围． 【答案】（1）直线的表达式为；（2）；（3）线段的长度不变， 【分析】（1）将，代入，求出，，再用待定系数法可得直线的表达式为； （2）求出的解，观察图象可得的解集为； （3）过作轴于，求出，证明，有，，可得，是等腰直角三角形，即知，是等腰直角三角形，从而，线段的长度不变． 解：（1）解：将点，代入，得． 将，代入，得． ∴的坐标为，． 将，代入，得． 所以，直线的表达式为． （2）解：由得∶， 观察图象可得，关于的不等式的解集为； （3）解：线段的长度不变，． 如图，过作轴，垂足为．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，． ∴． ∴，． 由，得，，即． 由，，得． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元一次不等式与一次函数的关系，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． ★★★4．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数． 【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为． （1）点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______； （2）已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程： ①填表， x … 0 1 2 … y … 5 3 1 3 5 … ②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像； ③若，则y的取值范围为______； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______． 【答案】（1）5；（2）②作图见分析；③；（3）或者． 【分析】（1）根据关联函数的定义把代入，即可求解； （2）②根据列表即可作出图形，③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围； （3）先求出直线与y轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 解：（1）解∶由题意得的关联函数为， ∵点在一次函数的关联函数的图像上，且， ∴把代入，得， ， 解得， 故答案为∶5； （2）解：②作图如下， ③∵当时，，当x=0时， ∴时，， ∵当x=0时，当时，， ∴时，， ∴时，； （3）解：如图， 设直线为， ∵点M、N的坐标分别为、， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线为与y轴的交点为， 由题意得，一次函数的关联函数为． 当y轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当y轴左侧部分与MN有交点时，把和，代入，得， 当，， ∴或者， ∴关联函数与有1个交点时， b的取值范围为∶或者， 故答案为∶ 或者． 【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 【题型十四】三角形的证明与平移旋转综合压轴题（4题） ★★★1．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，，点D在射线上，点E在射线上，，设． （1）当时，求的度数； （2）如图1，当D在线段上时，求证：； （3）若，将点A绕着点E顺时针旋转得到，直线与直线相交于点F，当为直角三角形时，请求出CD的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）或 【分析】（1）先根据等腰三角形求出，再利用三角形内角和求解即可； （2）要证，需将线段进行转化，过E作于点H，交于点H，连接并延长交延长线于点M，导角易得，，进而可证出，所以，，即可得证； （3）分类讨论，当D在线段上或延长线上时，画出符合题意的图形，易证，通过推导角可得出特殊角，再利用特殊角建立方程求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，过E作于点H，交于点H，连接并延长交延长线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点D在上时， ∵点A绕着点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 过E作于点H，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； ②当在延长线上时， 同理可得， ∴， 当时，， 设，则， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、含的直角三角形的性质等内容，最后一问画出符合题意的图形是解题的关键． ★★★2．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）等边中，点为上一点． （1）如图1，连接，点为上一点，连接，，若，求的度数； （2）如图2，点关于直线的对称点为点，连接，，，点为中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，点在上运动的过程中，当线段取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，由外角的性质可求解； （2）由轴对称的性质可得，，，即可证明，可得，，可证，可得，即可求解； （3）由题意可得当时，有最小值，即有最小值，由旋转的性质可证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解． 解：（1）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下：如图，连接，延长交于，     点关于直线的对称点为点， ，，， ， ， 点为中点， ， 又， ， ，， ，， 又，， ， ， ； （3）解：如图，连接，，，过点作直线于，    设， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 点在上运动， 当时，有最小值，即有最小值， 是等边三角形，， ， ，，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ． ★★★3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标中，已知点，点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作直线． （1）求直线的函数表达式； （2）是平面内一点，且，求n与m的关系； （3）如图2，是x轴上一动点，将线段绕点H顺时针旋转得到线段，当与直线有交点时，求h的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）过点C作轴于点D，证明，得出，，求出，得出，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）过点B作于点F，延长，取点E，使，过点E作直线，过点B作，连接，，先根据中点坐标公式求出，根据待定系数法求出直线的解析式为，设点，根据中点坐标公式求出，得出，根据，求出直线l的解析式为：，同理求出直线的解析式为：，根据得出当点D在直线l或上时，符合题意，最后求出结果即可； （3）分别求出当旋转后点正好在上时，当点在上时h的值，即可得出当与直线有交点时，h的边界值，即可得出h的取值范围． 解：（1）解：过点C作轴于点D，如图所示： 则， ∵点，点， ∴，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点B作于点F，延长，取点E，使，过点E作直线，过点B作，连接，，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵、， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 根据作图可知：点F为的中点， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴设直线l的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线l的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵，， ∴当点D在直线l或上时，， 当点在直线l上时，，即； 当点在直线上时，，即； 综上分析可知：n与m的关系为或； （3）解：当旋转后点正好在上时，连接，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵，直线的解析式为：， ∴点的坐标为：， ∵，， ∴， 解得：； 当点在上时，过点C作轴于点N，作轴于点M，连接，，如图所示： 则， ∵，， ∴，，， 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为：， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴当时，与直线有交点． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，一次函数的综合应用，求出一次函数解析式，一次函数的平移问题，中点坐标公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，注意进行分类讨论． ★★★4．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： （1）如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． （2）如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 【答案】（1）①，；②，，仍然成立，理由见分析；（2）时，理由见分析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质得到，推出，得到，得到，，得到，；②根据等腰直角三角形性质得到，推出，推出，得到，，得到，即得； （2）当时，．分当与当，两种情况讨论，过点A作交的延长线于点F，证明，得到， 即，即可证明． 解：（1）解：①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； ②，仍然成立，理由： ∵，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由： 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 则， ， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，如图，过点A作交的延长线于点F， 同理可得：， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，时，． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 【题型十五】平行四边形的性质与判定与几何变换（4题） ★★★1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 【答案】（1）见分析；（2）①，理由见分析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，根据平行四边形的性质可得得出，等量代换得出，即平分； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②在上截取，连接，过点作于点，根据旋转的性质结合已知条件可得是等边三角形，则，证明，得出四边形是平行四边形，则，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 解：（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形， ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴，即平分； （2）解：①， 如图所示，过点作于点，    ∵平分，， ∴ ∵四边形，是长方形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴； ②如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， 在上截取，连接，过点作于点，    ∵旋转，则， ∴是等边三角形，则， ∴，即旋转角为 ∴ 又平分； ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 又∵旋转，则 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， ， ∴，则 ∴ ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键． ★★★2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且面积为40． （1）求点C的坐标及直线的解析式； （2）如图2，已知点，连接并延长与交于点F，求线段的长度． （3）如图3，将直线向右平移个单位，交x轴于点M，交y轴于点N，在直线或上是否存在一点P，使得以点M，N，O，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）6；（3）或 【分析】（1）先根据直线，求出、B两个点的坐标，然后根据面积为40求出点C的坐标，最后根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求作直线的解析式，然后求作点F的坐标，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）根据平移设直线的解析式为，求出，，分两种情况：当点P在上时，此时是，当点P在上时，此时是，分别求出点P的坐标即可． 解：（1）解：把代入得：， 把代入得，解得：， ∴，， ∴，， ∵， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 联立， 解得：， ∴点F的坐标为， ∴； （3）解：根据平移设直线的解析式为， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， 当点P在上时，此时是， ∴，， ∴， ∴轴， 把代入得：， ∴， 解得：， ∴； 当点P在上时，此时是， ∴，， 即轴， ∴点N的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴此时点P的坐标为． 综上分析可知：点P的坐标为：或． 【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质，求一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． ★★★3．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上．将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． （1）求的长及点A，点B的坐标； （2）求的长度； （3）点N在第二象限，若是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标； （4）取的中点M，点P在y轴上，若点Q在直线上，如果存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）或或 【分析】（1）首先由直线，计算即可得出点A，B的坐标；；将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处，则，即可求解； （2）设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案； （3）当为直角边时，证明，则，，即可求解；当为直角边时， 同理可解； （4）求得，，设，，分当是对角线、是对角线、是对角线时，利用中点坐标公式即可求得点Q的坐标． 解：（1）解：对于直线，令，则， 令，则， ∴； 由勾股定理得，， ∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处， ∴，， ∴； （2）解：∵，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴； （3）解：当为直角边时，如下图：过点N作轴于点M，连接， ∵为等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 点； 如图，当为直角边时， 同理可得：点； 综上，或； （4）解：∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，， 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 当是对角线时，则有， 解得，， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，折叠性质、坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键熟练掌握相关知识的联系与运用，同时注意分类讨论思想的运用． ★★★4．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． （1）______，______． （2）用含的代数式表示的长． （3）当将四边形的周长分成两部分时，求的值． （4）如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 【答案】（1）10，；（2）当点在上时，；当点在上时，；（3）的值为7或13；（4）或 【分析】本题考查图形的旋转，平行四边形的性质． （1）将绕着的中点旋转得到得，得四边形是平行四边形即可求解； （2）先表示出，再表示即可； （3）先表示出，再根据题意可得或，求解即可； （4）分两种情况，当时和当时，分别画出图形求解即可． 解：（1）解：将绕着的中点旋转得到 四边形是平行四边形 故答案为：10，； （2） ； （3） 当将四边形的周长分成两部分时 或 解得或 经检验，或是原方程的解 当将四边形的周长分成两部分时，或； （4）如图， 当时， 点与点关于对称 ； 如图， 当时， 点与点关于对称 ． 综上，的度数为或． 【题型十六】平行四边形的性质与判定探究性压轴题（4题） ★★★1．（2024·山东济南·二模）在中，点是线段上一动点，连接．将线段 绕点逆时针旋转至， 记旋转角为， 连接．取的中点为点 ， 连接． 【特例感知】 （1）如图， 已知是等腰直角三角形， ， ，．延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ． 【类比迁移】 （2）如图， 已知是等腰三角形，， ，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图， 已知在中，，， ， ．在点的运动过程中，求线段 长度的最小值． 【答案】（1），；（2），理由见分析；（3）． 【分析】（）利用余角性质可得，进而由可证明，得到，再由三角形中位线性质可得； （）如图， 延长至点， 使得， 连接，同理（）即可求解； （）如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接，同理（）可得，进而知当时，最短， 此时取得最小值，利用直角三角形的性质求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，余角性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：（1）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又由旋转可知，， ∴， ∴， 即， ∵是的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）． 证明： 如图， 延长至点， 使得， 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ，    ； （3）解： 如图， 在线段上作， 连接， 延长至点， 使得， 连接， ∴， ， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，                  ∴ ∵，， ， ∵点在线段上运动， ∴当时，最短， 此时取得最小值， 如图， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴线段 长度的最小值为． ★★★2．（23-24八年级下·四川成都·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．    【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，可得，再由平分，可得，从而得到，即可； （2）延长至点K，使，连接，证明，可得，，从而得到，然后根据等腰三角形的性质可得，即可； （3）连接，过点F作于点P，，可得到四边形是平行四边形，从而得到，，进而得到，再由的面积是面积的2倍，可得，从而得到，然后根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可求出，即可求解． 解：（1）证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵点D是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至点K，使，连接，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，过点F作于点P，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． ★★★3．（23-24八年级上·山东济南·期末）问题情景：老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图，和都是等腰直角三角形，，点分别在边上，连接，点分别为的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 问题探究： （）甲小组发现：图中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （）乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图的位置，请判断的形状并证明； 问题拓展： （）两小组的同学继续探究：把 绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（），；（）是等腰直角三角形，理由见分析；（）． 【分析】（）理由三角形的中位线性质，直角三角形的性质即可求解； （）是等腰直角三角形．证明得到，，由三角形中位线性质可证明是等腰三角形，再根据平行线的性质可得，，进而可得到，即可求证； （）由（）知，是等腰直角三角形，，，推出点在的延长线上时，有最大值，由即可求解． 解：（）∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （）是等腰直角三角形． 证明：连接，由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴分别是，的中位线， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （）由（）知，是等腰直角三角形，，， ∴点在的延长线上时，有最大值， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理和外角性质，平行线的性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． ★★★4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【性质探究】 如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论 ， ； 【问题解决】 如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”； 【拓展应用】 如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点， （1）试探索与的数量关系，并说明理由． （2）若，则的最小值是 ． 【答案】性质探究：，；问题解决：证明见详解；拓展应用：（1），理由见详解；（2） 【分析】性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 解：性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ，， 故答案为：，； 问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于， 四边形各边中点分别为、、、， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，， 又， ， 即， 在和中， ， ， ，， 又，， ， 是菱形， ， ． 又，， ， ， 又，， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用：（1），理由如下： 如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”， ，分别是，的中点， 四边形是正方形， ，， ， ，分别是，的中点， ， ； （2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、， 连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 又，分别是，的中点， ，， ， ， 由拓展应用（1）知：； 又， ， ． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$