期末考试必考题型（三）——几何推理综合压轴（3大考点5类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（三）——几何推理综合压轴（3大考点5类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】三角形的证明及其应用 1 【考点二】图形的平移与旋转 1 【考点三】平行四边形性质与判定 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】 等腰（直角）三角形与平移（旋转）综合 2 【题型 2】 平行四边形与等腰（直角）三角形综合 4 【题型 3】平行四边形与图形变换（平移、旋转、轴对称）综合 7 【题型 4】平行四边形与等腰（直角）三角形存在性综合压轴问题 9 【题型 5】平行四边形与等腰（直角）三角形探究性问题 11 一.必考点知识梳理 【考点一】三角形的证明及其应用 1、等腰三角形：等边对等角、三线合一；等边三角形三边等、三角 60°，判定定理。 2、直角三角形：勾股定理及其逆定理；直角三角形斜边中线 = 斜边的一半；30° 直角三角形边角关系；HL 斜边直角边全等判定。 3、线段垂直平分线：线上点到两端距离相等；逆定理；外心（三边垂直平分线交点，到三顶点等距）。 4角平分线：线上点到两边距离相等；逆定理；内心（三角平分线交点，到三边等距）。 【考点二】图形的平移与旋转 1、平移：平移前后对应线段平行相等、对应角相等，图形全等；坐标平移规律； 2、旋转：旋转中心、旋转角；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应线段夹角等于旋转角；中心对称性质。 【考点三】平行四边形性质与判定 考点 1：平行四边形五大性质 1、边：对边平行、对边相等；2、角：对角相等、邻角互补；3、对角线：对角线互相平分； 4、对称性：中心对称图形（对称中心是对角线交点）。 考点 2：平行四边形五种判定 1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等；4、两组对角分别相等；5、对角线互相平分。 二.必考题型精析 【题型 1】 等腰（直角）三角形与平移（旋转）综合 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转度（）到，设与与交于点D，连接，当旋转角度数为______时，为等腰三角形．    3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． （1）图1中，_______ （2）当_______秒时，；当_______秒时，； （3）在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： （1）求的长； （2）点E的坐标，并求出直线的解析式； （3）若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． （4）求直线关于直线对称的直线解析式 5．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． （1）如图①所示，延长交于点F，求的度数； （2）将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 6．（24-25八年级上·全国·期末）综合与探究 【问题情境】 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 【初步分析】 （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可） 【操作探究】 （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上． ①请在图中画出平移后的； ②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【题型 2】 平行四边形与等腰（直角）三角形综合 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则___________． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． （1）证明：是等腰三角形； （2）连接，若，．求的面积． 4．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． （1）请直接写出点B的坐标_______； （2）已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型 3】平行四边形与图形变换（平移、旋转、轴对称）综合 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，的面积为，则的值是（   ）    A． B． C． D． 2．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 4．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图（1），如果点和顶点重合，求的长． （2）如图（2），如果点落在直角边的中点上，求的长． （3）已知点为中点，那么是否存在一点在边上，使得沿直线折叠后，点刚好落在直线上？若存在点，求的面积；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． （1）求直线的解析式； （2）若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； （3）如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 【题型 4】平行四边形与等腰（直角）三角形存在性综合压轴问题 1．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）如图，的顶点，，所对的边分别为，，． （1）若，试说明是直角三角形； （2）在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，直线与轴、 轴分别交于点、点，且、满足，，是线段上一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向下平移6个单位长度得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数解析式和点、的坐标； （2）在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足． （1）______，______； （2）为延长线上一点，且，连接，以为直角边在轴上方作等腰直角，连接交轴于点，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）点是正比例函数第一象限内图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）在坐标平面内，是否存在一点，使点构成一个平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线n与直线m、x轴分别交于点点． （1）求直线n的解析式； （2）若点P是直线n上的点，且满足的面积等于面积的，请求出点P的坐标； （3）点D和点E分别是直线n和y轴上的动点，是否存在点D、E使得以点A、B、D、E为顶的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 5】平行四边形与等腰（直角）三角形探究性问题 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 5．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： （1）操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． （2）探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． （3）拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（三）——几何推理综合压轴（3大考点5类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】三角形的证明及其应用 1 【考点二】图形的平移与旋转 1 【考点三】平行四边形性质与判定 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】 等腰（直角）三角形与平移（旋转）综合 2 【题型 2】 平行四边形与等腰（直角）三角形综合 13 【题型 3】平行四边形与图形变换（平移、旋转、轴对称）综合 25 【题型 4】平行四边形与等腰（直角）三角形存在性综合压轴问题 35 【题型 5】平行四边形与等腰（直角）三角形探究性问题 48 一.必考点知识梳理 【考点一】三角形的证明及其应用 1、等腰三角形：等边对等角、三线合一；等边三角形三边等、三角 60°，判定定理。 2、直角三角形：勾股定理及其逆定理；直角三角形斜边中线 = 斜边的一半；30° 直角三角形边角关系；HL 斜边直角边全等判定。 3、线段垂直平分线：线上点到两端距离相等；逆定理；外心（三边垂直平分线交点，到三顶点等距）。 4角平分线：线上点到两边距离相等；逆定理；内心（三角平分线交点，到三边等距）。 【考点二】图形的平移与旋转 1、平移：平移前后对应线段平行相等、对应角相等，图形全等；坐标平移规律； 2、旋转：旋转中心、旋转角；旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应线段夹角等于旋转角；中心对称性质。 【考点三】平行四边形性质与判定 考点 1：平行四边形五大性质 1、边：对边平行、对边相等；2、角：对角相等、邻角互补；3、对角线：对角线互相平分； 4、对称性：中心对称图形（对称中心是对角线交点）。 考点 2：平行四边形五种判定 1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等；4、两组对角分别相等；5、对角线互相平分。 二.必考题型精析 【题型 1】 等腰（直角）三角形与平移（旋转）综合 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，，进而得出点的坐标变化规律，得出点的坐标即可． 解：过点作轴于点，轴于点， 由题意可得出：，，， 则， ∵将线段按逆时针方向旋转， ∴每个点循环一圈， ∵， ∴点的坐标与点的坐标在第象限， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点拨】本题考查了坐标与图形－坐标的变化规律，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，读懂题意，得出坐标的变化规律是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转度（）到，设与与交于点D，连接，当旋转角度数为______时，为等腰三角形．    【答案】或 【分析】根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，再分，，三种情况，分别讨论即可． 解：∵绕C点按逆时针方向旋转度（）到， ，， ， ∵， ． 当为等腰三角形时，分下面三种情况： （1）时，， 即， 解得； （2）时，， ∵， ， 解得； （3）时，， 与矛盾，即此种情况不存在． 综上可知，度数为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，即旋转前后，对应线段相等，对应角相等． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一副三角板如图1摆放，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒． （1）图1中，_______ （2）当_______秒时，；当_______秒时，； （3）在旋转过程中，与的交点记为（如图2），若有两个内角相等，求的值； 【答案】（1）；（2）3；21；（3）6秒或15秒或24秒 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质得到，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案；根据三角形内角和定理和对顶角相等得到，再求出的度数即可得到答案； （3）分，，，三种情况讨论求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图（1），当时，， ∵为的一个外角， ∴， ∴；    如图（2），当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3；21． （3）解：①如图（3），当时， ∵， ∴， ∴；    ②如图（4），当时， ∵，， ∴， ∴；    ③如图（5），当时， ， ∴， 综上所述：当t为6秒或15秒或24秒时，有两个内角相等． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，平分交y轴于E，点C为直线上在第一象限内一点．求： （1）求的长； （2）点E的坐标，并求出直线的解析式； （3）若将直线沿射线方向平移个单位，请直接写出平移后的直线解析式． （4）求直线关于直线对称的直线解析式 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）先求解，，结合，可得； （2）如图，过作于，证明，可得，再进一步求解即可； （3）如图，过作轴于，证明，当时，求解，可得将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位，进一步可得答案； （4）先求解，关于直线的对称点为，，设直线为：，再进一步解答即可. 解：（1）解：∵直线交坐标轴于A、B两点， ∴当时，， 当时，， 解得：， ∴，， ∵， ∴. （2）解：如图，过作于， ∵平分交y轴于E，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为. （3）解：如图，过作轴于， ∵在直线上， ∴， 当时， ∴，而， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，相当于将直线向右平移了个单位，向上平移了4个单位， ∴平移后的直线为. （4）解：如图，∵，， ∴，关于直线的对称点为，， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴直线关于直线对称的直线解析式为：. 【点拨】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点坐标，角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． （1）如图①所示，延长交于点F，求的度数； （2）将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）与相互垂直，，理由见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 解：（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·全国·期末）综合与探究 【问题情境】 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 【初步分析】 （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可） 【操作探究】 （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上． ①请在图中画出平移后的； ②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）（答案不唯一）；（3）①见分析，②，理由见分析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平移的性质，等边三角形的判定，等边对等角． （1）由角平分线的定义和余角的性质可得，可得，可得结论； （2）添加，由，可证成为等边三角形； （3）①根据题意画出即可； ②由可证，可得； 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：添加，可使成为等边三角形，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 又∵， ∴是等边三角形； 故答案为：； （3）解：①如图，即为所求； ②，理由如下： ∵将沿射线的方向平移， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【题型 2】 平行四边形与等腰（直角）三角形综合 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，与交于点，连接，与交于点，与相交于点，根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，推得，，根据三角形内角和可求得，根据中位线的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和性质可得，即可求得． 解：连接，与交于点，连接，与交于点，与相交于点，如图：    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，, ∴， 即， 整理得：； ∵是的中点，点是底边的中点， ∴是三角形的中位线，即， ∵是的中点，点是底边的中点， ∴是三角形的中位线，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和，中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则___________． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线间的距离，折叠问题．证明，再由折叠的性质可得，，，根据题意可得当线段最大时，最小，此时最小，则当时， 最小，可得，从而得到，即可求解． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∵线段最大， ∴最小，此时最小， ∵， ∴当时， 最小， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． （1）证明：是等腰三角形； （2）连接，若，．求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 解：（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 4．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． （1）请直接写出点B的坐标_______； （2）已知点D是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； （3）已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，再求B点坐标即可； （2）设，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出D点坐标即可； （3）先求的中点坐标为，由题意可知直线经过点，即可得． 解：（1）解：点，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∵点C坐标是， ∴， 故答案为：； （2）解：点是线段上一个动点， ∴设， ∵三角形是等腰三角形， ①当时， ∴ （负值舍去）， ， ②当时，则点D在的垂直平分线上， ∴， ③当时， ∴， ∴，， 故都不成立， 综上所述，或； （3）解：如图，连接交于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点A坐标是，点C坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴， ∴， 即k与b的函数关系式为． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，，点的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至，使，连接． （1）求直线的表达式； （2）若是直角三角形，求点的坐标； （3）若直线与的边有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）根据题意得出，将，，代入，即可求解． （2）作的平行线，交轴分别为，根据题意，得出点在上运动，进而分两种情况讨论，①当时，得出，求得直线的解析式为，进而联立直线，即可求解；②当，则则，根据中点坐标公式，即可求解； （3）点是线段上一点，又直线的表达式为得出，，由（2）可得是的中点，得出，直线经过点时，得出，结合图象，即可求解． 解：（1）解：∵，点的坐标为． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将，，代入 得， 解得： ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，作的平行线，交轴分别为， ∴， ∴，是等腰直角三角形 又∵ ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线； ∴点在上运动 ①当时，，过点作于点， ∴ 又∵是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， 设直线的解析式为，将代入， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立，解得： ∴； ②当，则 ∴， ∵，， ∴； 综上所述，或； （3）∵点是线段上一点，又直线的表达式为 ∴，， ∴ ∴直线过定点， 由（2）可得是的中点， ∴，即 当直线与的边有两个交点， ∴直线经过点时，则 解得：（舍去）或 又∵， ∴． 【点拨】本题考查了一次函数综合应用，中位线的性质，一次函数的平移，等腰三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【初步探究】：；【深入探究】：；【拓展延伸】，理由见分析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握判定全等三角形的条件与直角三角形斜边中线的性质，结合角平分线的性质推导角的关系． [初步探究]由 ,结合平行四边形的性质可证，从而得到； [深入探究]延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照[初步探究]证明，从而得到，进而推出； [拓展延伸]根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 解：[初步探究]数量关系： 解： 四边形是平行四边形， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 又, ， ． [深入探究]数量关系： 证明：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ． [拓展延伸] 解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ． 【题型 3】平行四边形与图形变换（平移、旋转、轴对称）综合 1．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，的面积为，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长，然后根据平行四边形的面积求得边上的，然后解等腰直角三角形即可求得，得到的值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 解：过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图所示，    由图象和题意可得，，， ∴， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴由勾股定理得：，即的值为， 故选：． 2．（2023·河南驻马店·二模）如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________． 【答案】或 【分析】过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线的性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解． 解：如图所示，过点作， ∵等腰中， ∴，则， ∴， ∴ ， 点为的中点， ． 当时，分类讨论如下： 当在内部时，如图，点与边中点重合， 由中位线定理可知，此时； 当在之外，如图2， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 又， ，在中，． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，，，当点落在上时，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理， （1）由四边形是平行四边形得，，，由折叠得，可得，即可得，则，即可得； （2）作交的延长线于点H，根据得．根据点落在上得，则，即可得，根据，，，得，，则，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，则，根据，即可得； 掌握平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作交的延长线于点H， ∵， ∴． ∵点落在上， ∴， ∴， 则． ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴的长是． 4．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图（1），如果点和顶点重合，求的长． （2）如图（2），如果点落在直角边的中点上，求的长． （3）已知点为中点，那么是否存在一点在边上，使得沿直线折叠后，点刚好落在直线上？若存在点，求的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）6． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． （3）根据题意，易得，当与点重合时，满足题意，易得，推出为的中位线，，根据三角形的面积公式，进行求解即可． 解：（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ． （2）解：∵点落在的中点， ， 设，则， ， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． （3）解：由折叠的性质可得：， ∵点E为的中点，， ∴， 如图所示，当点与顶点C重合时，点B刚好落在直线上． 由折叠的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D 为线段的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线，， ， ∴． 5．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． （1）求直线的解析式； （2）若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； （3）如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b值，从而求得A、B的坐标，再用待定系数法求解好戏可； （2）根据，得，即，求出即可求解； （3）先根据一次函数平移规律求得直线的解析式为，从而可求出点，再根据平行四边形的性质，根据平移的坐标变换规律求解即可． 解：（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式． （2）解：∵，， ∴，， ∵ ∴ 解得：，， ∴点P的坐标为或． （3）解：∵直线的解析式，将直线向上平移4个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴， 当以为对角线的平行四边形时， ∵， ∴向左平移4个单位，向上平移1个单位，可以得到， ∵ ∴点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或． 【点拨】本师考查非负数的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，平移坐标变换，熟练掌握算术平方根的非负性、待定系数法求一次函数解析式、平移坐标变换规律是解题的关键． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见分析；（2） 平行四边形，见分析；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形的形状是平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，在中，，，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图3，在中，，于是得到． 解：（1）， 证明：在中，，， ，， ， ； （2）四边形的形状是平行四边形， 理由：在中，，， ，， ， ， 由知， 四边形的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在图2中，点O，G分别是的中点， 是的中位线． ， 如图3，在中，， ， ． 【题型 4】平行四边形与等腰（直角）三角形存在性综合压轴问题 1．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）如图，的顶点，，所对的边分别为，，． （1）若，试说明是直角三角形； （2）在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）存在，5或8或18或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点． （1）先根据非负数性质求解，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）解：， ∴ ，， ， ∴， ∴ 是直角三角形 （2）解：存在， ①时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点， ∵ ∴； ②时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点、， ∴；； ③时，作的垂直平分线交直线于点，设，则 ∵， ∴， ∴ 解得，即 综上：的值为5或8或18或． 2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，直线与轴、 轴分别交于点、点，且、满足，，是线段上一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；（2）的面积为；（3）在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，点的坐标为或． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，可得，由折叠的性质可得，即可得点的坐标； （2）由折叠的性质，可得，根据勾股定理，可得，代入三角形的面积公式，即可得的面积； （3）假设在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，则，根据勾股定理可得，即可得点的坐标． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质，可得， ∵点在轴上， ∴，， ∴点的坐标为． （2）解：由折叠的性质，可得， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为． （3）解：假设在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，则， ∴， 解得，或， ∴在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，点的坐标为或． 【点拨】本题考查绝对值和平方的非负性，折叠的性质，勾股定理，与三角形的高相关的计算，等腰三角形． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线向下平移6个单位长度得到直线，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数解析式和点、的坐标； （2）在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用； （1）由平移的性质直线的函数解析式为，再求解的坐标即可； （2）先证明，可得，①当为平行四边形的对角线时，点在点的位置，如图，②当为平行四边形的边时，点在点的位置，如图，再进一步求解即可． 解：（1）解： 将直线向下平移6个单位长度得到直线， 直线的函数解析式为， 在中令，得， ． 在中令，得， ． （2）解：根据题意可得，则与为一组对应边，即． 在中令，得， ． 在中令，得， ． ，，， ， ． ①当为平行四边形的对角线时，点在点的位置，如图， 此时点与点重合， ； ②当为平行四边形的边时，点在点的位置，如图， 此时， 点的纵坐标为3． 在中，令，得， ． 综上可知，在直线上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 4．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足． （1）______，______； （2）为延长线上一点，且，连接，以为直角边在轴上方作等腰直角，连接交轴于点，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），6；（2），或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）过点E作轴于G，证明，得出E点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解． 解：（1）解：∵，且 ∴， 解得，， 故答案为：，6； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， 过点E作轴于G，如图所示， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 又∵以B、E、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且， 设， 当为对角线时，的中点坐标为，即为的中点， 得：， ∴， ∴点的坐标为； 当为对角线时，的中点坐标为，即，即为的中点，得： ， ∴， ∴点的坐标为； 当为对角线时，的中点坐标为，即，即为的中点，得： ， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为 ，或． 5．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）点是正比例函数第一象限内图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； （3）在坐标平面内，是否存在一点，使点构成一个平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，两直线的交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，其中，则，，表示出，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得点的坐标，分三种情况讨论，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，即可求解． 解：（1）解：将，，代入得， 解得： ∴ （2）解：设，其中，则， ∴，， ∵， ∴ 解得：或 ∴或 （3）解： 解得： ∴， 设，∵， ①当为对角线时， 解得：，则 ②当为对角线时， 解得：，则 ③当为对角线时，， 解得：，则 综上所述，或或 6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线n与直线m、x轴分别交于点点． （1）求直线n的解析式； （2）若点P是直线n上的点，且满足的面积等于面积的，请求出点P的坐标； （3）点D和点E分别是直线n和y轴上的动点，是否存在点D、E使得以点A、B、D、E为顶的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）设直线的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式； （2）求出点的坐标为，可得，即可求出，，再分两种情况求出，列方程可解得答案； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，当为对角线，当为对角线时，分别列方程即可解得的坐标． 解：（1）解：设直线的解析式为， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由直线，当时，， ∴点的坐标为， 过点作轴于点，如图： ， ， ， ， 设点， 当点在点左侧进，则， ， ， 由， 解得：， ， 当点在点的右侧时，则， ， ， 由， 解得：， ∴， ∴满足条件的点的坐标为或； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设，， 又，， 当为对角线时，的中点重合，如图： ，， 解得：，， ∴； 当为对角线，如图： ，， 解得：，， ， 当为对角线时，如图： ，， 解得：，， ∴， 综上所述，的坐标为或或． 【题型 5】平行四边形与等腰（直角）三角形探究性问题 1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到三角形的面积； （2）连接，根据平移的性质得到，，根据平行四边形的性质即可得到； （3）过作于，根据全等三角形的判定和性质定理和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：（1）解：把重合中的向左平移成， ， 点恰好是边的中点， ， ， ， 三角形的面积； （2）证明：连接， 把重合中的向左平移成， ，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：过作于，交于，如图， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ，， ≌， ， ． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 【答案】（1）四边形为平行四边形，见分析；（2）①；②，；（3） 【分析】（1）由，，求出，由，，求出，故，得，从而可得四边形为平行四边形； （2）①由，，E为的中点，即得； ②用待定系数法得直线l的函数解析式为，令得，故； （3）由，，得，轴，又轴，故，，因，故，即得，而，可得，再根据勾股定理有，即可得． 解：（1）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵，，E为的中点， ∴； 故答案为：； ②设直线l的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线l的函数解析式为， 在中，令得， ∴； （3）∵，， ∴，轴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点拨】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的判定，勾股定理及应用，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，结合题意求出，即可得证； （2）证明，得出，由，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得证． 解：（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）见分析；（2），，理由见分析；（3）或． 【分析】（1）由中，，，可得，再根据证明，则可得，进而可得，则可得． （2）方法一：延长到H，使得，连接 则可得是的中位线，则，．再根据证明，则可得，，进而可得．由可得， 进而可得．由可得，进而可得． 方法二：如图，延长到H，使得，连接，则可得，则，．再根据证明，则可得，，进而可．由可得．由可得，进而可得. （3）分两种情况：时和时，讨论即可得解． 解：（1）∵中，，， ∴， ∵将沿绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）方法一：如图，延长到H，使得，连接 ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． 方法二：如图，延长到H，使得，连接． ∵，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． （3）∵中，，， ∴． ①当时，， 则， ， ． ②当时， ． 综上，若是等腰三角形时， 的长度为或． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究 【问题情境】在中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】 （1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 【答案】（1）平行四边形；理由见分析；（2）①，；理由见分析； ②2 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质得到，，进而由三角形中位线的判定与性质得到，，最后由平行四边形的判定即可得证； （2）过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示，由（1）的证明过程得到得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得到相关边与角度关系，再结合三角形全等的判定与性质得到，，再结合平行线性质，数形结合表示出角度关系得到得证； （3）延长到点，使得，连接，，，如图2所示，由①的证明过程得到，由全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质得到，，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 解：（1）四边形是平行四边形． 理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴和都是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①，． 理由如下： 过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示： ∴，分别是，的中点， ∴，． 由（1）得四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长到点，使得，连接，，，如图2所示： 由①，可得， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∵，， ∴． 【点拨】本题考查几何综合，涉及等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线性质、等腰直角三角形判定与性质等知识．熟练掌握相关几何性质、数形结合构造辅助线求解是解决问题的关键． 6．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： （1）操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． （2）探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． （3）拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）成立，理由见分析；（3） 【分析】（1）由翻折的性质得出，，由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出． （2）同（1）过程一致． （3）先得出，平移平移到，则，证明点C，B，G三点共线，进而可得出，再得出，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质以及角度的和差关系即可得出答案． 解：（1）解：， ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴． （2）解：成立，理由如下： ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴ 即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立． （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴． 如下图平移平移到，则， ∴， ∵点A，B，F三点共线， ∴点C，B，G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则， 则，且， ∴四边形为平行四边形， 设， ∴， ， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质等知识，掌握平移的性质，翻折的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $