期末考试必考题型（二）——分式方程与不等式的应用（2大考点10类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 以“解题步骤+题型分类+综合应用”构建体系，系统整合不等式（组）与分式方程实际应用，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识回顾|2考点|不等式（组）7步解题流程、分式方程6步（含双重检验）、4类等量关系模型|从概念原理（步骤）到应用框架（模型），构建“基础-应用”逻辑链| |题型精析|10类×6题|行程/经济/分配等场景化解题策略、综合题分步转化技巧|按“单一考点→综合应用”递进，每题型覆盖选择/填空/解答，突出抽象能力与推理意识|

期末考试必考题型（二）——分式方程与不等式的应用（2大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 1 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 2 二.必考题型精析 2 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 2 【题型 1】不等式组的行程问题（6题） 2 【题型 2】不等式组的经济问题（6题） 7 【题型 3】不等式组的分配问题（6题） 11 【题型 4】不等式组的方案选择问题（6题） 16 【题型 5】不等式组与利润与营销问题（6题） 21 【考点二】分式方程的实际应用综合 25 【题型 6】分式方程的行程、工程问题（6题） 25 【题型 7】分式方程的利润与营销问题（6题） 29 【考点三】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 34 【题型 8】分式方程与行程问题、工程问题（6题） 34 【题型 9】分式方程与营销、利润问题（6题） 40 【题型 10】分式方程与分配、方案问题（6题） 46 一.必考点知识回顾 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 1、解题通用步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）找不等关系；（4）列不等式（组）；（5）求解集；（6）结合实际取值（整数、正数等）；（7）确定方案，作答。 2、高频经典题型 （1）分配问题：物资、人员分配，结合数量限制列不等式； （2）方案选择问题：多套方案对比，求取最优方案； （3）最值问题：求最大量、最小量取值； （4）限额类问题：总量不超过、不少于某一数值类题型； 特别提示：注意实际问题中，人数、物品数、次数等必须取非负整数。 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 1、解题步骤 （1）：审：分析题意，找出已知量、未知量，梳理数量关系 （2）：设：设未知数（直接设 / 间接设，注意单位统一） （3）：列：根据等量关系列出分式方程 （4）：解：去分母化为一元一次方程，求解方程 （5）：验：双重检验（①检验是否为分式方程增根；②检验解是否符合实际题意） （6）：答：规范作答，带单位 【要点提示】分式方程应用题必须检验，这是得分关键点，增根、不符合实际的解都要舍去。 2、常见等量关系模型 （1）：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （3）：路程 = 速度 × 时间 （3）：总价 = 单价 × 数量 （4）：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 二.必考题型精析 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 【题型 1】不等式组的行程问题（6题） 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 【答案】C 解：∵由表格信息可得，该段高速公路小客车的最高限速为，所有车辆的最低限速为． ∴小客车速度需要同时满足不低于最低限速和不高于最高限速，即，整理得． 2．（24-25七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 解：水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ， 即， 故选C． 【点拨】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 3．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． （1）小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． （2）小张出发几小时与小李相遇？ （3）若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）小时；（3）时间范围是 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 解：（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【答案】（1）所在直线的函数表达式，线段所在直线的函数表达式；（2）F 的坐标为，甲出发小时后，乙骑摩托车到达乙地；（3）或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求出线段OD的函数表达式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求出线段EF所在直线的函数表达式； （2）根据线段EF所在直线的函数表达式求出F的坐标，即可说明其实际意义； （3）根据两条线段的函数表达式列不等式解答即可． 解：（1）设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， ∴线段所在直线的函数表达式， 把代入，得， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式， 将，代入， 得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式； （2）把代入，得， ∴的坐标为， 实际意义：甲出发4.5小时后，乙骑摩托车到达乙地； （3）由题意可得，或者, 当时，， 解得， 又∵当时，乙开始行驶， ∴当时，， ∴, ∴, 当时，， 解得, 又∵当时，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地． ∴当时，， ∴, ∴, 综上所述，乙在行驶过程中，两人距离超过时的取值范围是：或． 【题型 2】不等式组的经济问题（6题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 二、填空题 3．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车；（3）购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 解：（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 6．（2026·河南周口·模拟预测）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． （1）编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ （2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为10元．当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1）大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个；（2）当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 【分析】（1）根据编织大号所用绳子加上编织小号所用绳子等于30米建立二元一次方程，再求方程的正整数解； （2）根据编织大号所得利润加上编织小号所得利润等于总利润建立一次函数，再利用绳长的限制建立不等式组求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的性质求解． 解：（1）解：设编织大号个，编织小号个，根据题意，得 ， ∵、都是正整数， ∴方程的解为或， 答：大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． （2）解：设编织大号个，编织小号个，设总利润为元， 则， ∵， ∴（为整数）， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，最大利润为． 答：当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 【题型 3】不等式组的分配问题（6题） 1．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 解：根据题意可得： ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 4．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】（1）A种产品应生产件，B种产品生产件；（2）有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件；（3）生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 解：（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 （1）求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． （2）若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【答案】（1）（且x为整数）；（2）租甲种客车2辆，乙种客车3辆 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题意得租乙种型号辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可列总费用解析式； （2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解． 解：（1）解：∵租用甲种客车x辆， ∴租用乙种客车辆， 由题意得，总费用为 （且x为整数）； （2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元， ∴， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴x的取值为2或3， ∵中， ∴y随x增大而增大， ∴当时，总费用最低， ∴租甲种客车2辆，乙种客车辆． 【题型 4】不等式组的方案选择问题（6题） 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． （1）求型号服装最多可以购进多少件． （2）若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】（1）型号服装最多可以购进件；（2）有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【分析】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 解：（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元． （1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？ （2）初二年级计划购买这两种公仔共100个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍、请设计最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元；（2）购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列出关系式或方程组是解题的关键； （1）设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意，可以列出二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意可以列出相应的不等式，设总费用为，从而根据一次函数的性质得出最省钱的购买方案，即可以解答本题． 解：（1）解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得， 解得： 答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元 （2）解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得 解得： 设总费用为，则 ∵， ∴当时，取得最小值， 最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少． 6．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． （1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； （2）若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】（1）每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元；（2）小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 解：（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 【题型 5】不等式组与利润与营销问题（6题） 1．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金（元），并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案． 解：设购买A型污水处理设备a台， 由题意得，， 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． （1）求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ （2）已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】（1）一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元；（2）面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 解：（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． （1）每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ （2）已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每个A款纪念品售价为120元，每个B款纪念品售价为80元；（2）购进A款纪念品200个时，该商店销售利润最大，最大利润为17600元 【分析】（）设两个未知数，根据题干给出的两种售价总和的条件，列出二元一次方程组求解即可； （）设购进A款纪念品的数量，根据单利润乘以数量得到总利润，整理出总利润关于A款数量的一次函数，再根据题干给出的数量关系和总价限制列出不等式组，得到自变量的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最大利润及对应的购进数． 解：（1）解：设每个A款纪念品售价为元，每个B款纪念品售价为元， 根据题意可得解得 答：每个A款纪念品售价120元，每个B款纪念品售价80元； （2）设购进A款纪念品个，总销售利润为元，则购进B款纪念品个， ∴降价后A款纪念品的售价为（元）， 每个A款的利润为（元），每个B款的利润为（元） ∴总利润； 根据题意列不等式组得解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进A款纪念品200个时该商店当月销售利润最大，最大利润为17600元． 【考点二】分式方程的实际应用综合 【题型 6】分式方程的行程、工程问题（6题） 1．（2026·浙江台州·二模）2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式“时间路程速度”，结合“总时间跑步总时间骑行时间”列方程即可． 解：∵设小华跑步的平均速度为，骑行平均速度是跑步平均速度的2倍， ∴骑行平均速度为． ∵小华两次跑步总路程为，骑行路程为， ∴跑步总时间为，骑行时间为． ∵全程总时间为，总时间等于跑步总时间与骑行时间之和， ∴可得方程． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 3．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 4．（2026·山西运城·二模）我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，根据该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多，建立分式方程即可． 解：设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要， 根据题意，得． 5．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． （1）求两车的速度； （2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是；（2）我不赞同甲队同学的看法，见分析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 解：（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 6．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 【答案】（1）甲队单独完成这项过程需要25天，则乙队单独完成这项工程需要20天；（2）万元 【分析】（1）设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天， 然后根据题意列分式方程求得x的值，再求得的值即可解答； （2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用即可． 解：（1）解：设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天，  根据题意，得， 解得，  经检验，是原方程的解，且符合题意，  则，  答：甲队单独完成这项工程需要25天，乙队单独完成这项工程需要20天． （2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，  则有，  解得．  因为不足一天的按一天计算， 所以工期为12天． 所以需要施工费用：（万元）．  答：需要的施工预算总费用是万元． 【题型 7】分式方程的利润与营销问题（6题） 1．（24-25七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 3．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． （1）求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ （2）已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】（1）一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元；（2）面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 解：（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 6．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 （1）任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ （2）任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元；（2）有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 解：（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 【考点三】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 【题型 8】分式方程与行程问题、工程问题（6题） 1．（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． （2）有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 【答案】（1）小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为；（2）小李跑步的速度至少为 【分析】（1）设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）先求出小李骑自行车出发所用的时间，从而得出从出发到上班所用的时间，设小李跑步的速度为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 解：（1）解：设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则． 答：小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为． （2）解：小李骑自行车出发所用的时间为． 因为小李每天出发的时间都相同， 所以从出发到上班所用的时间为． 设小李跑步的速度为． 由题意，得， 解得． 答：小李跑步的速度至少为． 2．（2026·辽宁·模拟预测）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】（1）无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时；（2）无人机的速度至少提高到48千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 解：（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 3．（2026·山西晋城·二模）山西碳普惠平台“晋碳行”以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．西西每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，西西用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． （1）求每获得1个碳积分需要步行多少步； （2）西西当月工作22天，每日上下班任选一种方式出行，每月需累计至少2000个碳积分才能兑换心仪权益，则当月最多选多少次方式一出行． 【答案】（1）60步；（2）21次 【分析】（1）根据“方式一积分比方式二少50个”这一  等量关系，设每获得1个碳积分需要步行x步，列出分式方程求解；   （2）先根据第（1）问的结果计算出两种出行方式单次获得的积分，再根据“每月需累计至少2000个碳积分”列出一元一次不等式，求出方式一出行次数的最大值． 解：（1）解：设每获得1个碳积分需要步行x步． 根据题意，得， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步； （2）解：由（1）得，方式一每次获得的积分为（个） ， 方式二每次获得的积分为（个） ， 西西每月总出行次数为（次） ， 设当月选m次方式一出行，则选次方式二出行． 根据题意，得， 解得． ∵m为整数， ∴m的最大值为21． 答：当月最多选21次方式一出行． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）2025年“全国青少年无人机大赛”智能竞速项目中，“极光号”和“星驰号”两架无人机需沿标准赛道完成30米直线竞速，每次竞速中，两架无人机均同时起飞． （1）第一轮竞速中，当“极光号”抵达终点时，“星驰号”仅完成全程的，已知“极光号”比“星驰号”每秒快米．求“星驰号”的飞行速度（单位：米/秒）； （2）第二轮竞速中，组委会将“极光号”的速度设置为米/秒，“星驰号”的速度设置为米/秒，其中两个速度中的．它们谁能先到达终点，请计算说明． 【答案】（1）米/秒；（2）“极光号”先到达终点，计算说明见分析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式除法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“星驰号”的飞行速度为米/秒，则“极光号”的飞行速度为米/秒，根据“极光号”抵达终点时，“星驰号”仅完成全程的建立方程求解即可； （2）根据时间等于路程除以速度分别求出两个无人机的飞行时间，再利用作商的方法比较两个无人机的飞行时间的大小即可得到结论． 解：（1）解：设“星驰号”的飞行速度为米/秒，则“极光号”的飞行速度为米/秒， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“星驰号”的飞行速度为米/秒； （2）解：∵， ∴ ∴“极光号”的飞行时间为秒，“星驰号”的飞行时间为秒，且， ， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴“极光号”先到达终点． 5．（2026·内蒙古通辽·三模）为响应国家“发展新质生产力”的号召，某高科技公司计划将一批工业机器人投入智能化生产线．已知旧生产线由工人操作，每天生产的产品数量是固定的；新生产线由机器人操作，其生产效率比旧生产线高．若先用旧生产线单独工作3天，剩下的由新生产线单独完成，则总共需要9天才能完成该订单． 根据以上信息，解答下列问题： （1）旧生产线单独完成这批订单需要多少天？ （2）现计划由旧生产线、新生产线共同完成这批订单，若旧生产线每天所需费用为万元，新生产线每天所需费用为2万元，求在总费用不超万元的情况下，公司最多安排新生产线工作多少天？ 【答案】（1）旧生产线单独完成整批订单需要12天；（2）公司最多安排新生产线工作4天 【分析】（1）设旧生产线单独完成整批订单需要x天，则旧生产线的工作效率为，结合题意可得，再进一步求解即可； （2）由（1）得旧生产线的工作效率为，新生产线的效率为，设公司安排新生产线工作天，则旧生产线工作天，再进一步求解即可． 解：（1）解：设旧生产线单独完成整批订单需要x天，则旧生产线的工作效率为 根据题意，新生产线的效率比旧生产线高，故新生产线的效率为， 旧线工作3天，新线工作（天）， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解． 答：旧生产线单独完成整批订单需要12天． （2）解：由（1）得旧生产线的工作效率为，新生产线的效率为， 设公司安排新生产线工作天，则旧生产线工作（天）， 根据题意，得， 解得， 答：公司最多安排新生产线工作4天． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用． （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）；（2）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元；（3）每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 解：（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 【题型 9】分式方程与营销、利润问题（6题） 1．（2026·河南周口·模拟预测）某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价． （2）若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 【答案】（1）甲种工具的单价是元，乙种工具的单价是元；（2）购买这批劳动工具所需的最低费用是元 【分析】 （1）设甲种工具的单价为元，根据题意表示出乙种工具的单价，再根据两种工具购买数量相等列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设购买甲种工具件，总费用为元，列出总费用关于的一次函数解析式，再根据甲种工具数量的限制条件列不等式求出的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最低费用. 解：（1） 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是元，依题意得 ，解得； 经检验：是原分式方程的解； 当时，； 答：甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元； （2）解：设购买甲种工具件，则购买乙种工具件，所需总费用为元，依题意得 ，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）； 答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元. 2．（2026·江苏盐城·一模）为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． （1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ （2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）编程机器人价格为850元；无人机价格为1000元；（2）购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 【分析】（1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费． 解：（1）解：设编程机器人的单价为x元，则航拍无人机的单价为元； 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则； 答：编程机器人价格为850元；航拍无人机价格为1000元； （2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台， 由题意得：，解得：； 设购买两种设备的总费用为w元，则， 整理得：； ∵，且， ∴当时，w最小，最小值为10800元； 此时购买航拍无人机为（台）； 答：购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 3．（2026·河南平顶山·模拟预测）近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； （2）从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 【答案】（1）B型玩具的单价；用元购进A型玩具的数量；（2）A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元；（3）最多可购进A型玩具116个 【分析】（1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）任意选择一种方法解答即可； （3）设可购进A型玩具个，则，解不等式即可得出答案． 解：（1）解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B型玩具的单价；乙所列方程中的表示用元购进A型玩具的数量； （2）解：甲：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 乙：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； （3）解：设可购进A型玩具个，则B型玩具个， 根据题意得：， 解得， 整数最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 4．（2026·山东济南·二模）2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元；（2）购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 解：（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； （2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 5．（2026·湖北襄阳·一模）某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． （1）求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ （2）六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）20元；30元；（2），自变量的取值范围为且是整数；（3）A种40个，B种80个；1680元 【分析】（1）设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，再结合总利润等于A、B两种玩偶的利润之和建立关系式，进一步求解的范围即可； （3）运用一次函数的性质进行解答即可． 解：（1）解：设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种玩偶的单价为20元，则B种玩偶的单价为30元； （2）解：根据题意得：. ∵， 解得：， ∴自变量的取值范围为且是整数； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴w随的增大而减小， ∴当时，最大为元，此时， 答：购买A种玩偶40个，购买B种玩偶80个时，最大利润为1680元． 6．（2026·河南平顶山·二模）中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． （1）求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． （2）经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【答案】（1）A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元；（2）当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少 【分析】（1）设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套，求出两种方案的费用，进而分情况讨论即可． 解：（1）解：设B型民族服饰的单价为x元，则A型民族服饰的单价为元． 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， 此时． 答：A型民族服饰的单价为200元，B型民族服饰的单价为160元； （2）解：设购买A型民族服饰套，则购买B型民族服饰套． ∵，两种类型均购买，型民族服饰不超过35套， ∴为正整数，且， 按方案一购买需要的费用为． 按方案二购买需要的费用为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 答：当购买A型民族服饰小于20套时，选择方案一花费较少；当购买A型民族服饰20套时，选择两种方案花费一样；当购买A型民族服饰大于20套且不超过35套时，选择方案二花费较少． 【题型 10】分式方程与分配、方案问题（6题） 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． （1）求、两款文件袋的单价； （2）一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【答案】（1）款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元；（2）最少购进33个款文件袋 【分析】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 解：（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． （1）请列方程求出跳绳和实心球的单价； （2）该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【答案】（1）跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元；（2）最低费用为1600元 【分析】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 解：（1）解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． （2）解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 3．（25-26九年级下·辽宁本溪·阶段检测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个；（2）最少可以购买40个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 解：（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得， 解得， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器． 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，A型机器人单价比B型机器人单价高3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择8台配备到某生产线，且购买这8台机器人的总费用不超过65万元，那么配备到该生产线的A型机器人最多有多少台？ 【答案】（1）A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元；（2）配备到该生产线的A型号的机器人最多有5台 【分析】（1）利用两种机器人采购数量相同的条件，结合总费用和单价差列分式方程求解，检验后得到两种机器人的单价； （2）设A型机器人的台数，根据总费用不超过65万元的条件列一元一次不等式，求解得到A型机器人的最大数量． 解：（1）解：设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为万元. 根据题意，得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， ． 答：A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元； （2）解：设配备到该生产线的A型机器人有y台，则配备的B型机器人有台，y为非负整数. 根据题意得： ， 解得， 因为y为整数，所以y的最大值为5． 答：配备到该生产线的A型机器人最多有5台． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料；（2）17台 【分析】（1）根据题意列出分式方程并求解； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 解：（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 当时， ， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台， 则有 ， 解得， ∵是整数， ∴； 答：至少购进型机器人17台． 6．（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】（1）每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元；（2）最少预约销售了A款人形机器人10件 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 解：（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——分式方程与不等式的应用（2大考点10类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 1 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 2 二.必考题型精析 2 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 2 【题型 1】不等式组的行程问题（6题） 2 【题型 2】不等式组的经济问题（6题） 4 【题型 3】不等式组的分配问题（6题） 5 【题型 4】不等式组的方案选择问题（6题） 7 【题型 5】不等式组与利润与营销问题（6题） 8 【考点二】分式方程的实际应用综合 10 【题型 6】分式方程的行程、工程问题（6题） 10 【题型 7】分式方程的利润与营销问题（6题） 11 【考点三】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 13 【题型 8】分式方程与行程问题、工程问题（6题） 13 【题型 9】分式方程与营销、利润问题（6题） 15 【题型 10】分式方程与分配、方案问题（6题） 16 一.必考点知识回顾 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 1、解题通用步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）找不等关系；（4）列不等式（组）；（5）求解集；（6）结合实际取值（整数、正数等）；（7）确定方案，作答。 2、高频经典题型 （1）分配问题：物资、人员分配，结合数量限制列不等式； （2）方案选择问题：多套方案对比，求取最优方案； （3）最值问题：求最大量、最小量取值； （4）限额类问题：总量不超过、不少于某一数值类题型； 特别提示：注意实际问题中，人数、物品数、次数等必须取非负整数。 【考点二】分式方程应用题解题步骤及常见的等量关系 1、解题步骤 （1）：审：分析题意，找出已知量、未知量，梳理数量关系 （2）：设：设未知数（直接设 / 间接设，注意单位统一） （3）：列：根据等量关系列出分式方程 （4）：解：去分母化为一元一次方程，求解方程 （5）：验：双重检验（①检验是否为分式方程增根；②检验解是否符合实际题意） （6）：答：规范作答，带单位 【要点提示】分式方程应用题必须检验，这是得分关键点，增根、不符合实际的解都要舍去。 2、常见等量关系模型 （1）：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （3）：路程 = 速度 × 时间 （3）：总价 = 单价 × 数量 （4）：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 ÷ 进价 二.必考题型精析 【考点一】一元一次不等式（组）实际应用 【题型 1】不等式组的行程问题（6题） 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． （1）小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． （2）小张出发几小时与小李相遇？ （3）若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，两地相距，甲骑自行车，乙骑摩托车沿一条笔直的公路由地匀速行驶到地．设行驶时间为，甲、乙离开地的路程分别记为，，它们与的关系如图所示． （1）分别求出线段，所在直线的函数表达式． （2）试求点的坐标，并说明其实际意义． （3）乙在行驶过程中，求两人距离超过时的取值范围． 【题型 2】不等式组的经济问题（6题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 4．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 三、解答题 5．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 6．（2026·河南周口·模拟预测）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． （1）编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ （2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为10元．当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 【题型 3】不等式组的分配问题（6题） 1．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（24-25八年级下·四川成都·阶段检测）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 4．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元． 类别 甲种客车 乙种客车 载客量（人辆） 45 30 租金（元辆） 1000 800 （1）求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式． （2）若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方案． 【题型 4】不等式组的方案选择问题（6题） 1．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． （1）求型号服装最多可以购进多少件． （2）若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元． （1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？ （2）初二年级计划购买这两种公仔共100个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍、请设计最省钱的购买方案，并说明理由． 6．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． （1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； （2）若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【题型 5】不等式组与利润与营销问题（6题） 1．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 4．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 5．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． （1）求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ （2）已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）2026亚太经合组织第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了、两款有关会场的纪念品，已知10个款纪念品和15个款纪念品的售价为2400元；30个款纪念品和20个款纪念品的售价为5200元． （1）每个款纪念品和款纪念品的售价分别为多少元？ （2）已知款纪念品和款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中款纪念品的数量不超过款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对款纪念品降价后再销售，而款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？ 【考点二】分式方程的实际应用综合 【题型 6】分式方程的行程、工程问题（6题） 1．（2026·浙江台州·二模）2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 4．（2026·山西运城·二模）我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 5．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． （1）求两车的速度； （2）甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 6．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 【题型 7】分式方程的利润与营销问题（6题） 1．（24-25七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 4．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 5．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． （1）求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ （2）已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 6．（25-26七年级下·四川眉山·期中）为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 （1）任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ （2）任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【考点三】分式方程与一元一次不等式（组）综合应用 【题型 8】分式方程与行程问题、工程问题（6题） 1．（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． （1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． （2）有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 2．（2026·辽宁·模拟预测）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 3．（2026·山西晋城·二模）山西碳普惠平台“晋碳行”以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分．西西每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，西西用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． （1）求每获得1个碳积分需要步行多少步； （2）西西当月工作22天，每日上下班任选一种方式出行，每月需累计至少2000个碳积分才能兑换心仪权益，则当月最多选多少次方式一出行． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）2025年“全国青少年无人机大赛”智能竞速项目中，“极光号”和“星驰号”两架无人机需沿标准赛道完成30米直线竞速，每次竞速中，两架无人机均同时起飞． （1）第一轮竞速中，当“极光号”抵达终点时，“星驰号”仅完成全程的，已知“极光号”比“星驰号”每秒快米．求“星驰号”的飞行速度（单位：米/秒）； （2）第二轮竞速中，组委会将“极光号”的速度设置为米/秒，“星驰号”的速度设置为米/秒，其中两个速度中的．它们谁能先到达终点，请计算说明． 5．（2026·内蒙古通辽·三模）为响应国家“发展新质生产力”的号召，某高科技公司计划将一批工业机器人投入智能化生产线．已知旧生产线由工人操作，每天生产的产品数量是固定的；新生产线由机器人操作，其生产效率比旧生产线高．若先用旧生产线单独工作3天，剩下的由新生产线单独完成，则总共需要9天才能完成该订单． 根据以上信息，解答下列问题： （1）旧生产线单独完成这批订单需要多少天？ （2）现计划由旧生产线、新生产线共同完成这批订单，若旧生产线每天所需费用为万元，新生产线每天所需费用为2万元，求在总费用不超万元的情况下，公司最多安排新生产线工作多少天？ 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用． （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【题型 9】分式方程与营销、利润问题（6题） 1．（2026·河南周口·模拟预测）某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价． （2）若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 2．（2026·江苏盐城·一模）为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． （1）求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ （2）该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 3．（2026·河南平顶山·模拟预测）近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； （2）从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 4．（2026·山东济南·二模）2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 5．（2026·湖北襄阳·一模）某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． （1）求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ （2）六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 6．（2026·河南平顶山·二模）中华优秀传统文化是中华民族的精神命脉．为了响应传统文化进校园的号召，某校在迎接六一儿童节时，准备为学生购买一批A，B两种类型的民族服饰，以供演出使用．已知每套A型民族服饰的价格比每套B型民族服饰的价格多40元，且用3000元购买A型民族服饰的数量与用2400元购买B型民族服饰的数量相同．该商场对同时购买这两种类型的民族服饰推出以下两种优惠方案（两种优惠不能同时享有）： 方案一：A型民族服饰每套打八五折，B型民族服饰每套打七五折； 方案二：A，B两种类型的民族服饰每套均打八折． （1）求A，B两种类型民族服饰的单价分别是多少元． （2）经核算，学校准备购买A，B两种类型的民族服饰共45套（A，B两种类型均购买），且A型民族服饰不超过35套．设按方案一、方案二购买的费用分别为元，元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少． 【题型 10】分式方程与分配、方案问题（6题） 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． （1）求、两款文件袋的单价； （2）一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． （1）请列方程求出跳绳和实心球的单价； （2）该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 3．（25-26九年级下·辽宁本溪·阶段检测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 4．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，A型机器人单价比B型机器人单价高3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择8台配备到某生产线，且购买这8台机器人的总费用不超过65万元，那么配备到该生产线的A型机器人最多有多少台？ 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续多年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破近20万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料；（2）17台 【分析】（1）根据题意列出分式方程并求解； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 解：（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， 根据题意列分式方程得，， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意； 当时， ， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； （2）解：设购进型机器人台，则购进型机器人台， 则有 ， 解得， ∵是整数， ∴； 答：至少购进型机器人17台． 6．（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $