期中检测必考题型（四）——综合压轴探究（6大考点7类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

期中检测必考题型（四）——综合压轴探究（6大考点7类题型） 目录 【考点一】平移与旋转综合 1 【题型1】平移与旋转综合求值证明 1 【考点二】三角形证明综合（等腰（边）三角形、直角三角形） 8 【题型2】三角形性质与判定综合求值证明 8 【题型3】三角形性质与判定与动点、存在性问题 14 【考点三】一元一次不等式（组）实际应用 22 【题型4】一元一次不等式（组）方案问题、最大利润、整数解问题综合 22 【考点四】因式分解综合应用 27 【题型5】因式分解化简求值、规律探究与证明问题 27 【考点五】 一次函数与几何综合 31 【题型6】一次函数、一元一次不等式与面积、几何综合问题 31 【考点六】几何变换与最值综合 40 【题型7】几何变换与最值问题、动点问题综合压轴题型探究 40 【考点一】平移与旋转综合 考点：平移与旋转作图、坐标变化、旋转中心、全等性质、勾股定理。 考法：网格作图、求旋转后坐标、找旋转中心、利用旋转证全等、求线段长或角度。 易错点：旋转方向与角度看错、对应点找错、坐标符号写错、旋转中心不会找。 【题型1】平移与旋转综合求值证明 1.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，若是由平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为； （1）直接写出点、、的坐标． （2）若点在轴上，若值最小，请在图中画出点位置，并求点坐标； 【答案】（1），，；（2）图见分析， 【分析】本题考查了已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标、最短路径问题、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据点经过平移后的对应点为，得出向左平移5个单位，向上平移2个单位得到，结合中顶点的坐标，即可求解； （2）作点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短确定点的位置，根据待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，即可． 解：（1）解：中，，， ∵点经过平移后的对应点为， 故向左平移5个单位，向上平移2个单位得到， 故点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为． （2）解：作点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，点即为所求，如图： ∵点的坐标是， 故点关于轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为． 2.（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，过作轴，过作轴交于点，过作于，由旋转可得，，即可证明，得到，，据此求得． 解：如图，过作轴，过作轴交于点，过作于，则， ∵， ∴，， ∵将点绕点顺时针旋转至点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：D． 3.（24-25九年级上·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，若，则此时_____． 【答案】 【分析】在上取，过作交于，由旋转的性质可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，利用可证得，由全等三角形的性质可得，设，则，再由勾股定理即可求解． 解：如图，在上取，过作交于， 由旋转的性质可得：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 设， 则 ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，含度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构建全等三角形并能熟练运用勾股定理进行求解是解题的关键． 4.（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． （1）如图，当点在线段的延长线上时，求证：； （2）如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②见分析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，求出的度数，从而得到，判定； （2）①根据旋转的性质，得到，而，从而用含的式子表示出； ②如图，取线段中点，连接，则，然后证明，从而得到． 解：（1）证明：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，， ， ， ∴， ∴； （2）①解：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，，． ． ． ， ， ． ②证明：如图，取线段中点，连接， ∵，是直角三角形． ∴， 是等腰三角形． ． ∵， ， ． ∵， ． 由①，得， ， ， ， 是等腰三角形． 在与中， ， ． ，， ， ． 【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转的性质进行边角关系转换、构造全等三角形是解答本题的关键． 【考点二】三角形证明综合（等腰（边）三角形、直角三角形） 考点：三线合一、HL 全等、垂直平分线、角平分线、勾股定理、角度计算。 考法：尺规作图与证明、求角度或边长、证线段相等或垂直、等腰三角形存在性。 易错点：等腰分类讨论漏解、HL忽略直角前提、三线合一用错、外角定理用混。 【题型2】三角形性质与判定综合求值证明 1.（2026·四川绵阳·一模）已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接． （1）如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形； （2）当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2）补全图形见分析，线段与的数量关系：，证明见分析 【分析】（1）由对称性知，由等边三角形的性质得，从而，由等边三角形的判定即可证明结论； （2）按题意补全图形即可；线段与的数量关系：；延长到点G，使，连接，易证明，从而得，得；再证明，得，从而． 解：（1）证明：∵点D，E关于直线对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D为线段的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形； （2）解：补全图形如图所示， 线段与的数量关系：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵F为线段的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵点D，E关于直线对称， ∴． ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 2.（2026九年级下·安徽·学业考试）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先证明是等边三角形，得到，再根据外角得到，得到，，过作于，中，根据直角三角形的性质得到，，再证明是等腰直角三角形，求出即可． 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵中，，， ∴， ∵中，， ∴， ∴． 3.（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，在等腰直角中，，一只小蚂蚁从上的点处出发，沿直线爬行到上的点处，然后再沿直线爬行到上的点处．若，，则蚂蚁爬行的总长度为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，进而证得为等腰直角三角形，利用平角的定义和三角形内角和定理证得，结合已知条件利用AAS证明，从而得到，，求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 解：过点作于点， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 蚂蚁爬行的总长度为． 4.（24-25八年级·贵州遵义·竞赛）如图，在四边形中，，，，连接、，若． （1）求作线段，并使．画出图形，写出作法，并给出证明； （2）求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）过点A作，且，连接，利用即可证明； （2）作，连接，求得，由勾股定理求得，，，据此求解即可． 解：（1）解：过点A作，且，连接，如图所示： ∵，，∴，∴， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：作，连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，   在中，由勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   在中，由勾股定理得； ， 又∵， ∴． 【题型3】三角形性质与判定与动点、存在性问题 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴、轴分别交于点，，． （1）求点的坐标和的值． （2）若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，的坐标为或或或． 【分析】（1）先求得直线与轴的交点，即可求出点的坐标，从而得到的长度；结合已知可得，进而求得点的坐标，将点的坐标代入解析式中，即可求得的值； （2）以、、分别是等腰三角形的顶角顶点分三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解． 解：（1）解：把代入，得， 点的坐标为， ． ， ， 点的坐标为． 把代入，得， 解得． （2）解：存在． 由题意，得点的坐标为， ，解得，此时， 点的坐标为， 由勾股定理，得． 分以下三种情况讨论： ①当是等腰三角形的顶角顶点时，， 点的坐标为或； ②当是等腰三角形的顶角顶点时，，点与点关于过点且与轴垂直的直线对称， 点的坐标为； ③当是等腰三角形的顶角顶点时，． 设点的坐标为． ， 由勾股定理，得， 解得，则点的坐标为． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 2.（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P，由轴对称的性质可得，即，由垂线段最短可知，的最小值为，由等边三角形的性质可得，推出，由含角直角三角形的性质可得，推出，计算出即可得解． 解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P， 则， ∴， ∵， ∴由垂线段最短可知，的最小值为， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， 故选：B． 3.（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 【答案】// 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______； （2）求点的坐标； （3）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；5；（2）；（3）存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解； （3）分三种情况：①若 ；②若；③若；分别利用全等三角形的判定及性质求解即可. 解：（1）解：令得 ∴； ， 令得 解得 ∴， ， 在中，， 故答案为：，，5； （2）解：由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，，则， 解得：， ， ； （3）解：存在，理由如下： ①若， 如图，过点作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ∴，， ， ∴此时点的坐标为； ②若， 如图，过点作轴交轴点， 同理可得，此时点的坐标为； ③若， 如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点拨】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答时求三角形全等是解题的关键． 【考点三】一元一次不等式（组）实际应用 考点：列不等式组、整数解、方案设计、利润最值、函数与不等式结合。 考法：采购或租车或进货方案、费用限制、利润最大或最省钱、整数解确定方案。 易错点：不等号方向改反、解集求错、未取整数解、方案漏写、最值判断反。 【题型4】一元一次不等式（组）方案问题、最大利润、整数解问题综合 1.（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ （2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）元；（2）方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 2.（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 3.（2026七年级下·江苏·专题练习）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 解：根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 4.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的单价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【答案】（1）甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元；（2）有三种购买方案；（3） 【分析】（1）设乙商品单价为元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可， （2）设乙商品件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可， （3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与无关，从而判断的系数为0，则可以得出的取值． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键． 解：（1）解：乙商品的单价为元，则甲商品的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是方程的解， 则 答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元． （2）解：购买乙商品件，则甲商品件， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件， 方案二购买乙商品49件，则甲商品101件， 方案三购买乙商品50件，则甲商品100件． 故商品共有三种购买方案． （3）解：设商品总获利为元， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关， 则的系数为0， ． 即答案为：． 【考点四】因式分解综合应用 考点：提公因式法、公式法、整体代入、几何面积、整除证明。 考法：化简求值、简便运算、面积推导、代数规律证明、新定义运算。 易错点：分解不彻底、提公因式漏项、公式用错、几何边长符号错。 【题型5】因式分解化简求值、规律探究与证明问题 1.（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1）；（2）；（3），图见分析 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 解：（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． （2）， ． ． ， ． （3）如图所示． ． 故答案为：． 2.（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 3.（25-26九年级上·广东惠州·期末）分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 解： ， ， ， ． 【点拨】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时（即与和是一次项的系数），那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 4.（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现 背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律． 观察：请计算下列各式的值： ① ② ③ ④ 发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ． 猜想：（2）如果用表示一个奇数（是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为．根据你的发现，请猜想： （结果请化简） 验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想： 方法一（直接计算）：展开计算和 ，然后相减． 方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算． 应用：利用你发现的规律，快速计算： 【答案】观察：① ② ③ ④ 发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数 猜想： 验证：见分析 应用： 【分析】本题主要考查平方差公式的应用以及因式分解． 观察和发现：先通过计算给定式子的值，观察规律得出相邻两个奇数的平方差是8的倍数这一发现； 验证：再根据发现对进行猜想并化简，最后用两种方法验证猜想，一种是直接展开计算，另一种是利用平方差公式因式分解计算． 应用：利用所找规律进行计算． 解：观察：①； ②； ③ ； ④； 发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数； 猜想：； 验证：方法一（直接计算）： 方法二（因式分解）： 应用： 解析与计算：原式共有10组“相邻奇数平方差”．每组都符合猜想公式．找出每一组对应的n值． 第一组 ：较大的奇数是，即，解得． 第二组：较大的奇数是，即，解得． 第三组：较大的奇数是，即，解得． ．．． 第十组：较大的奇数是，即，解得． 原式 ． 【考点五】 一次函数与几何综合 考点：求解析式、函数与不等式、面积计算、一次函数与图形存在性。 考法：交点问题、由图像写解集、面积求动点坐标。 易错点：解集看反图像、面积算错、动点分类漏情况、坐标写错。 【题型6】一次函数、一元一次不等式与面积、几何综合问题 1.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． （1）若，则的取值范围为 ； （2）求的面积； （3）已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）12；（3）存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答． （1）根据交点结合图象即可求解； （2）根据题意确定，，利用待定系数法确定，得出，结合图象求面积即可； （3）设点，则，，，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答． 解：（1）解：由图象得：当时，的图象在的图象的下方， ∴当，的取值范围为． 故答案为：． （2）解：的横坐标为4，且在上， 代入得：； 当时，得， ∴，． 在上， ∴，解得． ∴． 当时，得， ∴． ． ． （3）解：存在点，使的两条直角边之比为． 如图， 根据题意设点，则，． ∴，． 分两种情况： ①当时， 依题意得：，解得． ∴点． ②当时， 依题意得：，解得． ∴点． 综上所述，存在点，使的两条直角边之比为；满足条件的所有点的坐标为或． 2.（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 3.（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线且经过原点，且与直线交于点，点为轴上任意一点，连接、．以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为3； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与二元一次方程组，直角坐标系下点的坐标，熟练掌握一次函数的性质以及一次函数与二元一次方程组的关系是解决本题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系可判断①；由直线与直线的交点可判断②；将点E与点B代入直线先求解直线的函数解析式，再由直线平行可得直线的函数解析式，再将点E代入直线，可求解直线的函数解析式，即可求出点F的坐标，即可判断③；作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，求解直线点的函数解析式即可求解点P的坐标． 解：方程组的解就是两直线与交点的坐标， 已知直线与直线都经过点， ∴方程组的解为，故①正确； ∵已知直线与直线的交点为， 点是直线上的点，点是直线上的点， 当时，观察图像可知，直线在直线上方， ∴，故②正确； 把和代入得：， 将代入，可得， ，解得， 所以直线的解析式为， ∵直线且经过原点， ∴直线的解析式为， 把代入直线的解析式， 可得，，解得， 所以直线的解析式为， 令，即，解得， ∴点， ∵直线与直线的交点为点F， ∴，解得， ∴点， ∴，故③错误； 令，即， ∴点， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ∵点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，，解得， ∴点，故④正确． ∴正确结论的序号是①②④． 故答案为：①②④． 4.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． （1）求直线与 的函数表达式． （2）求的面积． （3）根据图像写出关于x的不等式 的解集． （4）在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线函数表达式为；直线函数表达式为；（2）；（3）；（4）点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． （1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）根据图象即可解答； （4）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 解：（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； 由题可知， ， 将代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； （2）解：令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴关于x的不等式 的解集是． （4）解：当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得：（负值已舍去）， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得：（正值舍去）， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 【考点六】几何变换与最值综合 考点：旋转构造全等、等边或等腰直角三角形、两点之间线段最短。 考法：旋转转化线段、求最小值、勾股定理计算、压轴几何证明。 易错点：不会构造旋转、最值模型用错、计算失误、辅助线不会画。 【题型7】几何变换与最值问题、动点问题综合压轴题型探究 1.（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． （1）试求的度数； （2）若，试求动点，的运动时间的值； （3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 解：（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 2.（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、点到直线的距离垂线段最短等知识点，过作，根据等边三角形的性质得，有，那么，结合点到直线的距离垂线段最短，过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，再次利用等边三角形的性质得到即可． 解：过作，如图， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为的长， ∵是等边三角形，，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 3.（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 【答案】８ 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据A、B两点的坐标，得出，说明点在直线上运动，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图， 则， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当最小时，的周长最小， 作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 则， ∴， 当点与点E重合时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴由勾股定理得， 即的最小值为5， ∴周长的最小值为， 故答案为：８． 【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 4.（24-25九年级下·安徽·开学考试）已知为等边三角形． （1）如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； （2）如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； （3）如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明； （）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解． 解：（1）证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴平分， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：把绕点逆时针旋转得到，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴三点共线， 又由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2或30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测必考题型（四）——综合压轴探究（6大考点7类题型） 目录 【考点一】平移与旋转综合 1 【题型1】平移与旋转综合求值证明 1 【考点二】三角形证明综合（等腰（边）三角形、直角三角形） 3 【题型2】三角形性质与判定综合求值证明 3 【题型3】三角形性质与判定与动点、存在性问题 4 【考点三】一元一次不等式（组）实际应用 5 【题型4】一元一次不等式（组）方案问题、最大利润、整数解问题综合 5 【考点四】因式分解综合应用 6 【题型5】因式分解化简求值、规律探究与证明问题 7 【考点五】 一次函数与几何综合 8 【题型6】一次函数、一元一次不等式与面积、几何综合问题 8 【考点六】几何变换与最值综合 10 【题型7】几何变换与最值问题、动点问题综合压轴题型探究 10 【考点一】平移与旋转综合 考点：平移与旋转作图、坐标变化、旋转中心、全等性质、勾股定理。 考法：网格作图、求旋转后坐标、找旋转中心、利用旋转证全等、求线段长或角度。 易错点：旋转方向与角度看错、对应点找错、坐标符号写错、旋转中心不会找。 【题型1】平移与旋转综合求值证明 1.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，若是由平移后得到的，且中任意一点经过平移后的对应点为； （1）直接写出点、、的坐标． （2）若点在轴上，若值最小，请在图中画出点位置，并求点坐标； 2.（25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）已知，将点绕点顺时针旋转至点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，若，则此时_____． 4.（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． （1）如图，当点在线段的延长线上时，求证：； （2）如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【考点二】三角形证明综合（等腰（边）三角形、直角三角形） 考点：三线合一、HL 全等、垂直平分线、角平分线、勾股定理、角度计算。 考法：尺规作图与证明、求角度或边长、证线段相等或垂直、等腰三角形存在性。 易错点：等腰分类讨论漏解、HL忽略直角前提、三线合一用错、外角定理用混。 【题型2】三角形性质与判定综合求值证明 1.（2026·四川绵阳·一模）已知是等边三角形，点D在射线上（与点B，C不重合），点D关于直线的对称点为点E，连接． （1）如图1，当点D为线段的中点时，求证：是等边三角形； （2）当点D在线段的延长线上时，连接，F为线段的中点，连接．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2.（2026九年级下·安徽·学业考试）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 3.（25-26八年级下·河北保定·月考）如图，在等腰直角中，，一只小蚂蚁从上的点处出发，沿直线爬行到上的点处，然后再沿直线爬行到上的点处．若，，则蚂蚁爬行的总长度为_________． 4.（24-25八年级·贵州遵义·竞赛）如图，在四边形中，，，，连接、，若． （1）求作线段，并使．画出图形，写出作法，并给出证明； （2）求的长度． 【题型3】三角形性质与判定与动点、存在性问题 1.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴、轴分别交于点，，． （1）求点的坐标和的值． （2）若是第一象限内的直线上的一个动点，当的面积是时，轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（   ） A．10 B．13 C．16 D．无法确定 3.（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 4.（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______； （2）求点的坐标； （3）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点三】一元一次不等式（组）实际应用 考点：列不等式组、整数解、方案设计、利润最值、函数与不等式结合。 考法：采购或租车或进货方案、费用限制、利润最大或最省钱、整数解确定方案。 易错点：不等号方向改反、解集求错、未取整数解、方案漏写、最值判断反。 【题型4】一元一次不等式（组）方案问题、最大利润、整数解问题综合 1.（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ （2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 2.（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3.（2026七年级下·江苏·专题练习）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 4.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的单价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值． 【考点四】因式分解综合应用 考点：提公因式法、公式法、整体代入、几何面积、整除证明。 考法：化简求值、简便运算、面积推导、代数规律证明、新定义运算。 易错点：分解不彻底、提公因式漏项、公式用错、几何边长符号错。 【题型5】因式分解化简求值、规律探究与证明问题 1.（25-26八年级上·湖南永州·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 2.（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 3.（25-26九年级上·广东惠州·期末）分解因式：____． 4.（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现 背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律． 观察：请计算下列各式的值： ① ② ③ ④ 发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ． 猜想：（2）如果用表示一个奇数（是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为．根据你的发现，请猜想： （结果请化简） 验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想： 方法一（直接计算）：展开计算和 ，然后相减． 方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算． 应用：利用你发现的规律，快速计算： 【考点五】 一次函数与几何综合 考点：求解析式、函数与不等式、面积计算、一次函数与图形存在性。 考法：交点问题、由图像写解集、面积求动点坐标。 易错点：解集看反图像、面积算错、动点分类漏情况、坐标写错。 【题型6】一次函数、一元一次不等式与面积、几何综合问题 1.（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于点，与轴分别交于点和点，点的横坐标为4． （1）若，则的取值范围为 ； （2）求的面积； （3）已知是线段上的一点，过点作直线轴，交直线于点；过点作轴，交轴于点，连接．是否存在点，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．直线且经过原点，且与直线交于点，点为轴上任意一点，连接、．以下结论： ①方程组的解为； ②若点是直线上的点，点是直线上的点，则当时，； ③的面积为3； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确结论的序号是_____． 4.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． （1）求直线与 的函数表达式． （2）求的面积． （3）根据图像写出关于x的不等式 的解集． （4）在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点六】几何变换与最值综合 考点：旋转构造全等、等边或等腰直角三角形、两点之间线段最短。 考法：旋转转化线段、求最小值、勾股定理计算、压轴几何证明。 易错点：不会构造旋转、最值模型用错、计算失误、辅助线不会画。 【题型7】几何变换与最值问题、动点问题综合压轴题型探究 1.（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． （1）试求的度数； （2）若，试求动点，的运动时间的值； （3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 2.（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，已知在等边中，， ，若点P在线段上运动，当有最小值时，最小值为（   ） A． B． C．10 D．12 3.（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 4.（24-25九年级下·安徽·开学考试）已知为等边三角形． （1）如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； （2）如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； （3）如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 2或30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $