期末考试必考题型（二）——一元二次方程的应用（4大考点6类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（二）——一元二次方程的应用（4大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题 1 【考点二】数字问题、营销问题 1 【考点三】图形问题和动态几何问题 2 【考点四】工程问题、行程问题 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】 传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题（8题） 2 【题型 2】数字问题、营销问题（8题） 7 【题型 3】图形问题和动态几何问题（8题） 14 【题型 4】工程问题、行程问题（8题） 21 【题型 5】营销问题与增长率问题综合（8题） 28 【题型 6】营销问题与一次函数综合（8题） 34 一.必考点知识梳理 【考点一】传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题  1、传播问题基本形式：设初始数为1，1个人传播人，经过一次传播后人数为：1+，两次传播后人数为（1+）+（1+）=； 2、增长率问题基本形式：设初始数为,两次增长后数量为,则有； 3、 握手、循环赛问题基本形式：设共有人个或球队，进行循环握手（比赛）次数为：。 【考点二】数字问题、营销问题  1、数字问题基本形式：一个三位数，设个位数字为，这个三位数为100+10+ 2、 营销问题基本形式：（1）单件利润 = 售价 - 成本价；（2）总利润 = 单件利润 × 销量。 【考点三】图形问题和动态几何问题 1、基本图形： 靠墙问题 盒子折叠问题 平移问题 等量关系：利用矩形周长公式和面积公式建立等量关系 2、 动态几何问题： 三角形动态问题 四边形动态问题 等量关系：由点的速度求出线段长，利用图形性质建立等量关系 【考点四】工程问题、行程问题 1、 工程问题： （1）工作量 = 工作效率 × 工作时间；（2）工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间（单位时间完成的工作量）；（3）工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率； 2、行程问题： （1）路程 = 速度 × 时间；（2）速度 = 路程 ÷ 时间；（3）时间 = 路程 ÷ 速度 二.必考题型精析 【题型 1】 传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题（8题） 1．（2026·重庆·一模）某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这道题考的是传播问题，将每一次的传播情况分析清楚，将初始人数和后两次的传播人数加起来就是最终的总人数． 解：初始会做这道题的人数为1人， ∵第一节课，原来会的1人教会 名同学，第一节课后会做的人数为人， ∵第二节课，所有会做的 人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为， ∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得: ． 2．（25-26九年级下·四川内江·期中）某市2010—2012年的国民生产总值（GDP）的年平均增长率为，其中2010—2011年增长率，2011—2012年增长率为，则下列方程成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，解题思路为设初始GDP，分别用分年增长率和年平均增长率表示出两年后的GDP，根据总量相等列出方程即可． 解：由题意可得：． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某次篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），计划安排66场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? 设应邀请x支球队参加比赛，则列得方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，根据每队都要赛场，再根据“赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）”列方程即可． 解：由题意得，， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·河北邢台·期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行． 某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为__________，__________． 【答案】 8 【分析】利用碰肘的总次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，再解这个方程即可求解． 解：依题意得， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 故答案为：；8． 【点拨】本题考查了一元二次方程和应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． （1）问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ （2）按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】（1）人；（2）人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 解：（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 6．（2026·安徽合肥·二模）某机器人公司年的利润为万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知年的利润达到万元． （1）假设年到年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司年的利润能否超过亿元？ 【答案】（1）该机器人公司年到年利润的年平均增长率为；（2）该机器人公司年的利润不会超过亿元 【分析】（1）设该机器人公司年到年利润的年平均增长率为，根据平均增长率相同可列一元二次方程，解方程即可得到答案． （2）根据增长率不变，计算年的利润，即为年的利润，计算结果后判断是否大于亿元即可． 解：（1）解：设该机器人公司年到年利润的年平均增长率为， 根据题意可列方程：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴ 答：该机器人公司年到年利润的年平均增长率为20%； （2）解：（万元）， ∵亿元万元，9953.28万元万元， ∴该机器人公司年的利润不会超过亿元． 答：该机器人公司年的利润不会超过亿元． 7．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段检测）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． （1）求该邀请赛的参赛选手人数； （2）为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】（1）10人；（2）． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 解：（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 8．（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场，列出二元一次方程组，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是20支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行7场比赛，即可作答． 解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得：， 解得：， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支； ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 【题型 2】数字问题、营销问题（8题） 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 2．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据总利润=每台利润×销售量，分别表示出每台利润和销售量即可列出方程． 解：设每台冰箱定价元， ∵每台进货价为2500元， ∴每台利润为元． ∵原销售价为2900元， ∴销售价降低了元， 又∵每降低50元，平均每天多售出4台， ∴多售出的台数为， ∴平均每天总销售量为台． ∵总利润平均每天为5000元， ∴可得方程． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 【答案】 【分析】设最小的数为x，则最大的数为，可得，再进一步求解即可. 解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴， ∴（舍去）， ∴这个最小数为. 5．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）123；（2）小亮说法正确，理由见分析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 解：（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． （1）请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ （2）该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了，其中线上、线下销量各占1月份总销量的，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求的值． 【答案】（1）第二次购进文具礼盒150盒；（2）15 【分析】（1）设第一次购进文具礼盒的数量为未知数，或设第一次的进价为未知数，因为第二次购进数量是第一次的2倍，且单价比第一次上涨5元，所以可根据“单价=总价÷数量”的关系，结合两次进价的差值列分式方程，求解后得到第二次的购进数量； （2）先计算12月份的总销售额，再根据1月份销量的增长率表示出1月份的总销量，进而得到线上、线下各自的销量，结合线上、线下的单价，列出1月份总销售额的表达式，因为1月份总销售额比12月少200元，所以可建立关于a的方程，求解得到a的值． 解：（1）解：设第一次购进文具礼盒盒，则第二次购进文具礼盒盒， 由题意得， 解得 检验：当时，， ∴是方程的解且符合题意 ∴ 答：第二次购进文具礼盒150盒． （2）解：由题意得， 化简得解得，（舍） 答：的值为15． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）该零件的实际售价应定为50元；（3）不能，理由见分析 【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设该零件的实际售价为m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； （3）设该零件的实际售价为n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 解：（1）解：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为； （2）解：设该零件的实际售价为m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）解：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 8．（25-26八年级下·重庆·期中）某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． （1）求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ （2）为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】（1）四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元；（2）． 【分析】（1）根据票价比例设未知数，结合总销售额列一元一次方程求解； （2）据票价和人数的变化表示出五月份总销售额，结合总额变化条件列方程求解，舍去不符合的根得到结果． 解：（1）解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 【题型 3】图形问题和动态几何问题（8题） 1．（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 2．（2026·广东茂名·一模）高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用水池的半径表示正方形的边长，求出正方形面积，水池的面积，利用铺上鹅卵石区域的面积为,列出方程即可． 解：设水池半径为， 则正方形的面积为：， 喷泉和花圃的面积为：, 则． 3．（2026·浙江舟山·二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 解：（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 6．（2026·河南平顶山·二模）为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． （1）求矩形菜地的长和宽． （2）现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【答案】（1）矩形菜地的长为5米，宽为3米；（2）购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少 【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解． （2）设购买种化肥千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定的取值范围，再根据“总花费=种化肥的花费+种化肥的花费”，列出总花费与的函数关系式，最后确定购买方案． 解：（1）解：设矩形菜地的宽为米，则长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， （米）． 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米． （2）解：设购买种化肥千克，则购买种化肥千克，总花费为元， 由题意，得， 解得． 由题意，得， ∵， 随的增大而增大， 当取最小值，即时，取最小值， 此时． 答：购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． （2）如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【答案】（1），的长为23米；（2）不能，见分析 【分析】（1）①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 解：（1）解：①由题意得，，而， ∴ ∴米； ②由题意得，， 解得，． ， ∴， ∴不符合题意， 的长为23米． （2）解：养蜂场的面积不能达到230平方米，理由如下： 由题意得， ， ∵ ∴， ∴， 由题意得， 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230平方米． 8．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，围成这样的矩形养殖区符合题意；（2）面积不能达到，见分析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 解：（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【题型 4】工程问题、行程问题（8题） 1．（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 解：设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． （1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ （2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】（1）360个；240个；（2）80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 解：（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． （1）求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ （2）由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】（1）甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件；（2）10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 解：（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 7．（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】（1）或小时；（2）上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 解：（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 8．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】（1）第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时；（2）60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 解：（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 【题型 5】营销问题与增长率问题综合（8题） 1．（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 解：（1）解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 解：（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． （1）某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． （2）某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【答案】（1）；（2）2万元 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解； （2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 解：（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：下调后每架无人机的售价为2万元． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． （1）求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； （2）若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 【答案】（1）；（2）14元 【分析】（1）设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x，根据题意，得：，即可得到答案； （2）设该款错题本的售价上涨了元/本，根据题意，得：，要尽可能让学生得到实惠，所以，即可得到答案． 解：（1）解：设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该款活页错题本销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款错题本的售价上涨了元/本， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让学生得到实惠，所以，此时实际售价为：（元/本）， 答：该款错题本的实际售价应定为14元/本． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． （1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 【答案】（1）月平均增长率为；（2）售价应降低4元． 【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×（1+月平均增长率）²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果． （2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可． 解：（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（舍去） 答：月均增长率为． （2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件， 由题意得，， 解得，， 尽量减少库存， ，即售价应降低4元． 答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元． 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】（1）；（2）55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 解：（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 7．（25-26八年级下·浙江·期中）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． （1）若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 【答案】（1）35元；（2） 【分析】（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 解：（1）解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元， 这周的销售量为个， 由题意，得， 整理得，解得，． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元； 答：售价应定为35元． （2）解：设这两周销售量的平均增长率为． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个）， 则， 解得，（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为． 8．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 （1）求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 （2）某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【答案】（1）；（2）该品种葡萄每千克售价应上涨6元 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据两年种植面积的关系列方程求解即可； （2）设每千克售价上涨y元，先求出y的取值范围，再根据总利润列方程求解即可． 解：（1）解：设年平均增长率为x， ∵某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到， ∴， 解得：（负值舍去）； （2）解：设每千克售价上涨y元，则每千克利润为元，每周销售量为， ∵该品种葡萄售价不能超过每千克15元，售价应上涨， ∴， 解得， ∵每周销售该品种葡萄的利润为2240元， ∴， 解得：（舍去）， ∴该品种葡萄每千克售价应上涨6元． 【题型 6】营销问题与一次函数综合（8题） 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． （1）若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； （2）已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）元 【分析】（1）根据题意知销售量以每斤4元的价格销售时每天的销售量100斤+（降低价格后的差价），化简即可； （2）根据题意找出等量关系：每斤的盈利对应的销售量每天的总盈利，然后，得到关于x的方程，解方程即可． 解：（1）解：根据题意，得，即y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 即， 解得,． ∵， ∴． ∴， ∴每斤的售价应定为元． 2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）88元；（3）公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案． 解：（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得， 整理得， 解得． ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：符合题意， 公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 3．（2026·河南周口·模拟预测）某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： （1）求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2）该儿童绘本的销售单价应定为30元 【分析】（1）设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，由题意得，解方程组求解即可； （2）由题意得，解方程求解即可； 解：（1）解：设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 由题意得解得 该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 为了尽快减少库存， ， 答：该儿童绘本的销售单价应定为30元． 4．（25-26八年级下·广西崇左·期中）小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【答案】（1）；（2）60元或70元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 解：（1）解：设与之间的函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元． 5．（25-26八年级下·安徽池州·期中）某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． （1）求与x之间的函数关系式； （2）若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ （3）若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 【答案】（1）；（2）每本笔记本的售价为12元；（3）不能，见分析． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元二次方程，判断方程有无实数解即可． 解：（1）解：设与间的函数关系式为，依题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意得： 解得：，（舍去） ∵， ∴． 故，， 答：每本笔记本的售价为12元． （3）由题意得： 整理得： ∵ ∴方程无解，故不能． 6．（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）水果店老板李叔叔准备到水果批发市场购进一种水果，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果的钱现在可以买． （1）现在实际购进这种水果每千克多少元？ （2）李叔叔在销售这些水果时，发现水果的销售量（）与销售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系式，请你帮李叔叔拿个主意，将这些水果的销售售价定为多少元时，能获取1100元的利润？ 【答案】（1）每千克20元；（2）销售售价定为元时，能获取1100元的利润 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，根据“买这种水果的钱现在可以买”建立一元一次方程求解； （2）先求出销售量（）与销售价（元/千克）的一次函数关系式，再根据利润=（销售价-进价）销售量建立一元二次方程求解． 解：（1）解：设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，由题意得：， 解得：． 故现在实际购进这种水果每千克20元； （2）解：设与之间的函数关系式为， 将、代入， 得，解得， ∴与之间的函数关系式为， ∴由题意得： 整理得：， 解得：， 答：销售售价定为元时，能获取1100元的利润． 7．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）某商店销售某种工艺品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表： 售价x/（元/件） 30 45 50 月销售是y/件 300 150 100 （1）求y关于x的函数表达式． （2）若该商品的进价为20元，当售价是多少元时，月销售利润可以达到4000元？ 【答案】（1）；（2）40元 【分析】本题考查了待定系数法，一元二次方程的应用， （1）利用待定系数法计算即可； （2）利用单个商品的利润乘以销售量即可等于总利润，据此可得方程，解方程即可求解． 解：（1）设， 将，代入得， ∴， ∴； （2） ∴， ∴， ∴． 答：当售价为40元时，月销售利润可达到4000元． 8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 【答案】任务1∶120元；任务2：150元；任务3：见分析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：根据题意，列出方程，即可求解； 任务3：设所获利润为w元，根据题意列出w关于x的函数关系式，求出当时，根据保证日销售利润不低于3030元，可得到m的取值范围，即可求解． 解：任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意得：， 解得：， 即每只龙泉青瓷茶杯的进价为120元； 任务2：根据题意得：， 整理得： 解得：， ∵每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售， 所以该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：设所获利润为w元，根据题意得： 当时，， ∵保证日销售利润不低于3030元， ∴， 解得：， ∵且m为整数， ∴m取2， 当时，日捐款总额为元； 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（二）——一元二次方程的应用（4大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题 1 【考点二】数字问题、营销问题 1 【考点三】图形问题和动态几何问题 2 【考点四】工程问题、行程问题 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】 传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题（8题） 2 【题型 2】数字问题、营销问题（8题） 4 【题型 3】图形问题和动态几何问题（8题） 6 【题型 4】工程问题、行程问题（8题） 9 【题型 5】营销问题与增长率问题综合（8题） 11 【题型 6】营销问题与一次函数综合（8题） 13 一.必考点知识梳理 【考点一】传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题  1、传播问题基本形式：设初始数为1，1个人传播人，经过一次传播后人数为：1+，两次传播后人数为（1+）+（1+）=； 2、增长率问题基本形式：设初始数为,两次增长后数量为,则有； 3、 握手、循环赛问题基本形式：设共有人个或球队，进行循环握手（比赛）次数为：。 【考点二】数字问题、营销问题  1、数字问题基本形式：一个三位数，设个位数字为，这个三位数为100+10+ 2、 营销问题基本形式：（1）单件利润 = 售价 - 成本价；（2）总利润 = 单件利润 × 销量。 【考点三】图形问题和动态几何问题 1、基本图形： 靠墙问题 盒子折叠问题 平移问题 等量关系：利用矩形周长公式和面积公式建立等量关系 2、 动态几何问题： 三角形动态问题 四边形动态问题 等量关系：由点的速度求出线段长，利用图形性质建立等量关系 【考点四】工程问题、行程问题 1、 工程问题： （1）工作量 = 工作效率 × 工作时间；（2）工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间（单位时间完成的工作量）；（3）工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率； 2、行程问题： （1）路程 = 速度 × 时间；（2）速度 = 路程 ÷ 时间；（3）时间 = 路程 ÷ 速度 二.必考题型精析 【题型 1】 传播问题、增长率问题、握手、循环赛问题（8题） 1．（2026·重庆·一模）某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·四川内江·期中）某市2010—2012年的国民生产总值（GDP）的年平均增长率为，其中2010—2011年增长率，2011—2012年增长率为，则下列方程成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某次篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），计划安排66场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? 设应邀请x支球队参加比赛，则列得方程为__________________． 4．（22-23九年级上·河北邢台·期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼！代替“握手”的问候方式逐渐流行． 某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有人参加这次会议，则可列方程为__________，__________． 5．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． （1）问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ （2）按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 6．（2026·安徽合肥·二模）某机器人公司年的利润为万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知年的利润达到万元． （1）假设年到年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司年的利润能否超过亿元？ 7．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段检测）某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． （1）求该邀请赛的参赛选手人数； （2）为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 8．（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【题型 2】数字问题、营销问题（8题） 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 2．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 5．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． （1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； （2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 6．（25-26八年级下·重庆·期中）某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． （1）请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ （2）该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了，其中线上、线下销量各占1月份总销量的，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求的值． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个； 市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？ （3）任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由． 8．（25-26八年级下·重庆·期中）某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． （1）求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ （2）为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【题型 3】图形问题和动态几何问题（8题） 1．（24-25九年级上·广西来宾·阶段检测）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 2．（2026·广东茂名·一模）高州市开展双创工作，城建局计划对市中心一块正方形的空地美化，设计如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形花圃，其余部分铺上鹅卵石．喷泉和花圃的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为4m，铺上鹅卵石区域的面积为，设水池半径为，可列出方程（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江舟山·二模）学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 6．（2026·河南平顶山·二模）为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． （1）求矩形菜地的长和宽． （2）现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． （2）如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 8．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【题型 4】工程问题、行程问题（8题） 1．（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步． 5．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． （1）求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ （2）春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． （1）求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ （2）由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 7．（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． （1）两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ （2）若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 8．（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． （1）两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ （2）到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【题型 5】营销问题与增长率问题综合（8题） 1．（2026·辽宁营口·二模）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． （1）若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； （2）该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． （1）某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． （2）某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 4．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． （1）求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； （2）若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． （1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 6．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 7．（25-26八年级下·浙江·期中）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． （1）若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 8．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与应用 【问题情境】某农科院研制了一款优质新品种葡萄，并广泛种植．某葡萄种植基地2024年种植该品种葡萄，2026年该品种葡萄的种植面积达到 【提出问题】 （1）求这个基地年新品种葡萄种植面积的年平均增长率． 【问题拓展】 （2）某超市调查发现，当该品种葡萄的售价为每千克8元时，每周能售出，每千克售价每上涨1元，每周销售量将减少．已知该品种葡萄的进价为每千克6元，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品种葡萄售价不能超过每千克15元．要使每周销售该品种葡萄的利润为2240元，则该品种葡萄每千克售价应上涨多少元？ 【题型 6】营销问题与一次函数综合（8题） 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． （1）若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； （2）已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． （1）求出与的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 3．（2026·河南周口·模拟预测）某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： （1）求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 4．（25-26八年级下·广西崇左·期中）小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 5．（25-26八年级下·安徽池州·期中）某文体“网红”商店购进一批文创笔记本，该笔记本每本进价8元，物价部门规定每本笔记本的利润率不得超过，在销售过程中发现，每天销售量y（本）与每本售价x（元）之间存在一次函数关系（其中x为整数）．当每本售价为12元时，每天销售量为100本；当每本售价为14元时，每天销售量为90本． （1）求与x之间的函数关系式； （2）若该商店销售这种笔记本每天能获得400元的利润，则每本笔记本的售价为多少元？ （3）若该商店每天的固定成本为240元，那么每天销售这种笔记本能否获得500元的纯利润？若可以，请求出此时每本笔记本的售价为多少元，若不能，则说明理由． 6．（24-25九年级上·四川巴中·阶段检测）水果店老板李叔叔准备到水果批发市场购进一种水果，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果的钱现在可以买． （1）现在实际购进这种水果每千克多少元？ （2）李叔叔在销售这些水果时，发现水果的销售量（）与销售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系式，请你帮李叔叔拿个主意，将这些水果的销售售价定为多少元时，能获取1100元的利润？ 7．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）某商店销售某种工艺品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售量y的部分对应值如表： 售价x/（元/件） 30 45 50 月销售是y/件 300 150 100 （1）求y关于x的函数表达式． （2）若该商品的进价为20元，当售价是多少元时，月销售利润可以达到4000元？ 8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $