期末数学复习专题四（高频易考易错题型分类汇编）（13类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

八年级下册期末数学复习专题四（高频易考易错题型分类汇编）（13类题型） 本专题紧密围绕教材核心知识点，结合学生认知水平，突出对概念理解的准确性、计算能力的熟练度和逻辑推理的严谨性的考查，结合使用浙教版地区期末考题题型特征精选细编出高频易考易错十三类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【题型一】二次根式的意义（二次根式双重非负性理解不深+忽视题目隐含的取值范围）.......................1 【题型二】利用二次根式的性质化简（含字母参数）（忽略隐含条件+不能构造完全平方式）...............2 【题型三】一元二次方程求值（忽视一元二次方程a≠0+整体思想未掌握）................................................2 【题型四】根与系数关系与根的判别式求值（使用根与系数关系忽视根的判别式∆≥0为前提）..............2 【题型五】一元二次方程的应用（忽视根据实际意义舍根+不能灵活使用根的判别式）...........................2 【题型六】数据分析初步（平均数、众数、中位数、方差不能综合运用）.................................................3 【题型七】数据分析初步（不能识记方差公式+加权平均数运算出错）.......................................................4 【题型八】平行四边形判定与性质（条件和结论不熟练+证明过程不严谨）...............................................4 【题型九】矩形、菱形、正方形（性质与判定掌握不扎实+辅助线构造无从入手）...................................5 【题型十】特殊四边形定值问题（无法精准定位相关的核心要素+缺乏对定值问题分析方法掌握）.......6 【题型十一】反比例函数+一次函数综合（解析式求解错误+三角形面积求解逻辑混乱）.........................7 【题型十二】反比例函数+动点问题（动点坐标表示错误+面积公式应用与方程列写错误）.....................8 【题型十三】反比例函数与几何综合（几何意义与辅助线作图画图脱节+面积加减逻辑混淆）...............9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型一】二次根式的意义（二次根式双重非负性理解不深+忽视题目隐含的取值范围） 【例题1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）若根式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，满足，则的值为 ． 【题型二】利用二次根式的性质化简（含字母参数）（忽略隐含条件+不能构造完全平方式） 【例题2】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果是 ． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【题型三】一元二次方程定义与求值（忽视一元二次方程a≠0+整体思想未掌握） 【例题3】（24-25九年级上·重庆巴南·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【变式2】（20-21八年级下·江苏苏州·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为 ． 【变式3】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【题型四】根与系数关系与根的判别式求值（使用根与系数关系忽视根的判别式∆≥0为前提） 【例题4】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ． 【变式2】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【题型五】一元二次方程的应用（忽视根据实际意义舍根+不能灵活使用根的判别式） 【例题5】（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． （1）填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； （2）试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ （3）若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型六】数据分析初步（平均数、众数、中位数、方差不能综合运用） 【例题6】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）为了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小帅对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题： （1）该班级的女生人数是___________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是___________． （2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，试求该班级的男生人数． （3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小帅给出了部分统计量（如表）． 统计量 平均数（次） 方差（次） ．．． 女生 3 1.3 ．．． 男生 3 2 ．．． 根据你学过的统计知识，比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动情况． 【变式】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 【题型七】数据分析初步（不能识记方差公式+加权平均数运算出错） 【例题7】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知数据1，2，4，4，6，x的平均数为4，则这组数据的方差为 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一组数据：，这组数据的方差是 ． 【题型八】平行四边形判定与性质（条件和结论不熟练+证明过程不严谨） 【例题8】（2025·浙江·模拟预测）如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为 ． 【变式2】（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【题型九】矩形、菱形、正方形（性质与判定掌握不扎实+辅助线构造无从入手） 【例题9】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【变式1】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； （2）当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； （3）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【题型十】平行四边形判定与性质（条件和结论不熟练+证明过程不严谨） 【例题10】（20-21八年级下·浙江·期末）已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有 （填序号） 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中，当变化时，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型十一】反比例函数+一次函数综合（解析式求解错误+三角形面积求解逻辑混乱） 【例题11】（24-25九年级上·贵州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 【变式1】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）直线与轴交于点，与函数在第一象限的图象交于两点，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ． 【题型十二】反比例函数+动点问题（动点坐标表示错误+面积公式应用与方程列写错误） 【例题12】（2025·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2． （1）求k的值和点B的坐标． （2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D． ①求m的值． ②求的面积， 【变式1】（2023·四川巴中·一模）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2】（21-22九年级下·浙江台州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为 ． 【题型十三】反比例函数与几何综合（几何意义与辅助线作图画图脱节+面积加减逻辑混淆） 【例题13】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. （1）直接写出的值； （2）①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 【变式1】（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【变式2】（2025·浙江金华·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末数学复习专题四（高频易考易错题型分类汇编）（13类题型） 本专题紧密围绕教材核心知识点，结合学生认知水平，突出对概念理解的准确性、计算能力的熟练度和逻辑推理的严谨性的考查，结合使用浙教版地区期末考题题型特征精选细编出高频易考易错十三类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【题型一】二次根式的意义（二次根式双重非负性理解不深+忽视题目隐含的取值范围）.......................1 【题型二】利用二次根式的性质化简（含字母参数）（忽略隐含条件+不能构造完全平方式）...............2 【题型三】一元二次方程求值（忽视一元二次方程a≠0+整体思想未掌握）................................................4 【题型四】根与系数关系与根的判别式求值（使用根与系数关系忽视根的判别式∆≥0为前提）..............6 【题型五】一元二次方程的应用（忽视根据实际意义舍根+不能灵活使用根的判别式）...........................8 【题型六】数据分析初步（平均数、众数、中位数、方差不能综合运用）...............................................12 【题型七】数据分析初步（不能识记方差公式+加权平均数运算出错）.....................................................13 【题型八】平行四边形判定与性质（条件和结论不熟练+证明过程不严谨）.............................................15 【题型九】矩形、菱形、正方形（性质与判定掌握不扎实+辅助线构造无从入手）.................................19 【题型十】特殊四边形定值问题（无法精准定位相关的核心要素+缺乏对定值问题分析方法掌握）.....24 【题型十一】反比例函数+一次函数综合（解析式求解错误+三角形面积求解逻辑混乱）.......................28 【题型十二】反比例函数+动点问题（动点坐标表示错误+面积公式应用与方程列写错误）...................32 【题型十三】反比例函数与几何综合（几何意义与辅助线作图画图脱节+面积加减逻辑混淆）.............36 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型一】二次根式的意义（二次根式双重非负性理解不深+忽视题目隐含的取值范围） 【例题1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）若根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列出不等式组即可求出答案． 解：由题意可知：， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意可得，得出，进而求得，代入代数式，即可求解． 解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型二】利用二次根式的性质化简（含字母参数）（忽略隐含条件+不能构造完全平方式） 【例题2】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，先根据二次根式有意义的条件判断，再利用二次根式的性质化简可得． 解：由知， 则原式， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号下部分变形开平方得出答案． 解： ． 故答案为：5． 【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围．本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，一个带根号的未知数的平方等于原来的数． 解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型三】一元二次方程定义与求值（忽视一元二次方程a≠0+整体思想未掌握） 【例题3】（24-25九年级上·重庆巴南·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由是方程的一个根可得，再将化简为，最后整体代入值即可得到答案． 解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，分式的化简求值，准确进行计算，采用整体代入的思想是解题的关键． 【变式2】（20-21八年级下·江苏苏州·期末）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为 ． 【答案】-2 【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值． 解：把x=0代入方程得：a2-4=0， （a-2）（a+2）=0， 可得a-2=0或a+2=0， 解得：a=2或a=-2， 当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则a的值为-2． 故答案为：-2． 【点拨】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 【题型四】根与系数关系与根的判别式求值（使用根与系数关系忽视根的判别式∆≥0为前提） 【例题4】（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把转换为，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 经检验，是分式方程的解， 又∵方程有两个实数根， ∴， 当时，， 当时，， ∴符合条件的m的值为． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围． 解：由根与系数的关系可得：，， 又由三角形的三边关系可得：， ∴， 即， 解得：； ∵方程有两个实根， ∴， 解得． ∴． 故答案为：． 【题型五】一元二次方程的应用（忽视根据实际意义舍根+不能灵活使用根的判别式） 【例题5】（24-25九年级上·四川成都·期末）2024年成都世界园艺博览会于4月26日至10月28日举行．在盛会期间，某销售商进行市场调查发现：某类盆栽每盆进货价为60元．当销售价为90元时，平均每天能售出24盆；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2盆．现设销售价降低元，解答下列问题． （1）填空：现在平均每天可售出______盆，每盆盈利______元（用含的代数式表示）； （2）试向：当为何值时，平均每天盈利784元？ （3）若该销售商打算平均每天盈利900元，那么他的这种想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1），；（2）当2元或16元时，平均每天盈利784元；（3）见分析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识点，解决此题的关键是正确列出一元二次方程． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）由（1）的结果可得到每天盈利为，再根据题意列出方程即可求解； （3）由（2）的思路可列出方程，再算出方程根的判别式即可判断． 解：（1）解：由题意可得现在平均每天售卖盆，每盆盈利为元，即元． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：当为2元或16元时，平均每天的盈利为784元． （3）解：不能实现，理由如下： 由题可得方程： 整理得：， ∵ ∴原方程无解， ∴该销售商的这种想法不能实现． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）自行车车棚的长为，宽为；（3）不能，理由见分析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 解：（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：由题意知，，， 矩形中，， 由勾股定理知， ， 解得，（舍）， 即时，的长度等于； （2）解：如图， 由题意知， ， 的面积等于， ， ， 解得（舍），， 即时，的面积等于． 【题型六】数据分析初步（平均数、众数、中位数、方差不能综合运用） 【例题6】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）为了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小帅对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题： （1）该班级的女生人数是___________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是___________． （2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低，试求该班级的男生人数． （3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小帅给出了部分统计量（如表）． 统计量 平均数（次） 方差（次） ．．． 女生 3 1.3 ．．． 男生 3 2 ．．． 根据你学过的统计知识，比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动情况． 【答案】（1）20，3；（2）该班级男生有25人；（3）男生比女生的波动幅度大． 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．解题的关键是明确平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． （1）将条形图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数． （2）先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可． （3）利用方差，比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小即可． 解：（1）该班级女生人数是，女生收看“两会”新闻次数的中位数是． 故答案为：20，3． （2）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为， ∴男生对“两会”新闻的“关注指数”为． 设该班的男生有x人，则， 解得：． 答：该班级男生有25人． （3）∵； ∴男生比女生的波动幅度大． 【变式】（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平均数、中位数、极差、众数、方差等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平均数、中位数、极差、众数、方差的定义逐个判断即可解答． 解：这组数据的平均数为：，故错误； 这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 所以中位数为，故正确； 这组数据的最大值为，最小值为， 所以极差为，故错误； 这组数据出现次数最多的数据为， 所以众数为，故正确； 由知平均数为， 所以方差，故错误； 故答案为：． 【题型七】数据分析初步（不能识记方差公式+加权平均数运算出错） 【例题7】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差的计算公式计算即可求解． 解：∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知数据1，2，4，4，6，x的平均数为4，则这组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数的公式和求方差的公式是解题关键．先根据平均数求出的值，再根据方差公式进行计算，即可得到答案． 解：由题意得，， 解得：， ∴方差为：， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）一组数据：，这组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数据的方差，先求出数据的平均数，再根据方差公式计算即可求解，掌握方差计算公式是解题的关键． 解：数据的平均数， ∴， 故答案为：． 【题型八】平行四边形判定与性质（条件和结论不熟练+证明过程不严谨） 【例题8】（2025·浙江·模拟预测）如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明可得，再进一步结合平行四边形的性质求解即可． 解：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ∴， ， 同理得， 在和中， ， ∴， ， ， 如图，过点作的垂线，分别交于点，， 在平行四边形中，，， ∴， ． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长． 解：设，则在中有， 如图，延长至点G使，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平行四边形中， ∴三点共线， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴，负值舍去． 故答案为：4． 【点拨】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力． 【变式2】（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见分析，；（2）能，图见分析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 解：解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 【题型九】矩形、菱形、正方形（性质与判定掌握不扎实+辅助线构造无从入手） 【例题9】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：A、对角线相等且平分的四边形是矩形；原命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形；原命题是真命题，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；原命题是假命题，不符合题意； 故选B． 【变式1】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ； （2）当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）； （3）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及平行四边形的性质、轴对称，勾股定理等知识点，根据题意画出几何图是解题关键． （1）根据即可求解； （2）分两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． （3）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解； 解：（1）解：∵点E为中点，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K． ∵，， ∴， 当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F． ∵，可得， ∴ ∵，， ∴ ， ∴， 综上：的值为或 （3）解：∵，，， ∴， 当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示： 若点落在上， ∵点E、点F关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时， 故当时，满足题意； 当点与点重合时， ， 解得：， 综上所述：或． 【题型十】平行四边形判定与性质（条件和结论不熟练+证明过程不严谨） 【例题10】（20-21八年级下·浙江·期末）已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有 （填序号） 【答案】①③ 【分析】连接，由菱形的性质得出，，，，得出是等边三角形，得出，，证明得出，证出是等边三角形，得出②不正确， 的面积的面积，得出的面积，①正确，当时，最小，等边的面积最小，求出的面积，得出，③正确；即可得出结论． 解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，②不正确， 的面积的面积， 的面积，①正确， 当时，最小，等边的面积最小， 的面积， ，③正确； 故答案为：①③． 【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的面积计算等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 解：（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中，当变化时，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质及勾股定理，过作，，即可判断A，B，根据勾股定理求解即可判断C，D即可得到答案； 解：根据图像得， ，，， ∵， ∴， ∴，，，四点共线， 过作， ∴， 在与中， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∵大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形的边长分别为m，n，p，q， ∴，，故A，B正确，不符合题意，C不正确，符合题意， ∵，，， ∴，故D正确，不符合题意 故选：C． 【题型十一】反比例函数+一次函数综合（解析式求解错误+三角形面积求解逻辑混乱） 【例题11】（24-25九年级上·贵州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法； （1）将、的坐标代入一次函数解析式，即可求解； （2）设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C，求出点的坐标，根据图象即可求解； （3）由可求出，即可求解； 掌握待定系数法，能熟练利用数形结合思想进行求解是解题的关键． 解：（1）解：由题意得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C． ∵反比例函数过点， ， ∴反比例函数的解析式为． 联立方程组， 解得，或， ， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设一次函数与x轴交于点D， ∴当时，， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【变式1】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）直线与轴交于点，与函数在第一象限的图象交于两点，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】如图所示，过点B作于E，过点C作于F，设直线与x轴的交点为G，先求出，得到，，同理可得，再联立得，则，由此求解即可． 解：如图所示，过点B作于E，过点C作于F，设直线与x轴的交点为G， ∵A、G分别是直线与y轴，x轴的交点， ∴A点坐标为，G点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 设B点坐标为，C点坐标为， 联立得， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数的性质以及反比例函数的性质，分类讨论是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定点在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可． 解： ， 当时，， 直线经过平面内一个定点， 反比例函数的图象经过点， ； 即， 若点在第一象限，当时，， 若点在第三象限，当时，， 综上，当时，或， :故答案为故答案为：或． 【题型十二】反比例函数+动点问题（动点坐标表示错误+面积公式应用与方程列写错误） 【例题12】（2025·浙江杭州·二模）在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2． （1）求k的值和点B的坐标． （2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D． ①求m的值． ②求的面积， 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可； （2）①先表示出平移后的直线解析式，进而利用待定系数法求出平移后的解析式，即m的值；②求出点D坐标，再根据列式求解即可． 解：（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴； （2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为， ∵函数的图象经过， ∴， ∴； ②由①可得平移后的函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴． 【变式1】（2023·四川巴中·一模）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先把代入反比例函数求出k的值，分别过 两点作轴，轴，证明，再设，即可得B的坐标，列方程求m的值，确定P点坐标． 解： 解：分别过 两点作轴，轴，垂足为C、D， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵将点A绕点P顺时针旋转，点A的对应点为B， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，设， ∴，， ∵在反比例函数上， ∴，解得：， ∴或 故选D． 【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，坐标与图形变化﹣旋转，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【变式2】（21-22九年级下·浙江台州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点A、B的坐标分别为，动点C在双曲线上，且满足，当长度最小时，k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，斜边上的中线，取的中点D，连接，求出点坐标，斜边上的中线求出的长，根据，得到当O，C，D三点共线时，取得最小值，求出的解析式，设点C坐标为，根据两点间距离公式列出方程求出点坐标，即可得出结果． 解：取的中点D，连接，如图所示： ∵线段的端点A、B的坐标分别为， ∴点D坐标为，， ∵， ∴， ∵， 当O，C，D三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，代入点，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设点C坐标为， ∴， 解得或（舍去）， ∴点C坐标为， 将C点坐标代入双曲线，得， 故答案为：3． 【题型十三】反比例函数与几何综合（几何意义与辅助线作图画图脱节+面积加减逻辑混淆） 【例题13】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. （1）直接写出的值； （2）①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 【答案】（1）4；（2）①见分析；② 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到； （2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到； ②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论． 解：（1）解：设点， ∵轴，轴， ∴，， ∵点P在反比例函数图象上， ∴； （2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， 过C作轴于E，轴于F， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴m与n的函数关系式为. 【变式1】（2025·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数   的图象上，延 长交x轴于C点，且，D是第二象限一点，且，若的面积是15， 则k的值为（  ） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可. 解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：B 【变式2】（2025·浙江金华·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数性质、矩形周长公式及勾股定理的综合运用，解题关键是通过设点坐标，利用矩形周长和勾股定理建立等式求出反比例函数中的值． 设，由反比例函数性质得．根据矩形周长公式得出的值，两边平方得到的值．利用勾股定理得出的值，代入上式求出，进而得到的值． 解：设A点坐标为（，）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． ∵矩形周长为， 即，，， 则，化简得． 将两边同时平方得 ， 即． ∵对角线长为， 在中， 根据勾股定理， 即． 把代入中得 ． 解得． ∵， ∴． 故答案为：3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$