第二章 一元二次方程【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 一元二次方程【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 由一元二次方程的定义求参数 题型二 判断是否是一元二次方程的解 题型三 由一元二次方程的解求参数 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 题型六 解一元二次方程——配方法 题型七 配方法的应用 题型八 公式法解一元二次方程 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十一 换元法解一元二次方程 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型十九 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点三 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点四 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点五 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点六 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点七 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达 定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点八 一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3.握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（25-26八年级下·北京·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【变式】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 题型讲练二 判断是否是一元二次方程的解 【例2】（25-26八年级下·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【变式】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型讲练三 由一元二次方程的解求参数 【例3】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为______． 题型讲练四 因式分解法解一元二次方程 【例4】（25-26八年级下·上海·期中）解方程： 【变式】（25-26八年级下·浙江·期中）对于实数，，，我们用符号表示，，三数的中位数，如．若，则的值是_____． 题型讲练五 解一元二次方程——直接开平方法 【例5】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________． 【变式】（25-26八年级下·上海·期中）解关于的方程：． 题型讲练六 解一元二次方程——配方法 【例6】（25-26八年级下·重庆·期中）解方程： (1) (2)． 【变式】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 题型讲练七 配方法的应用 【例7】（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的取值范围是___． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 题型讲练八 公式法解一元二次方程 【例8】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知，，，． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型讲练九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，则关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有无数个实数根 题型讲练十 根据一元二次方程根的情况求参数 【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【变式】（2023八年级下·浙江·竞赛）已知，，是整数，，且，则的最大值和最小值分别是______． 题型讲练十一 换元法解一元二次方程 【例11】（25-26八年级下·河北石家庄·月考）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 【变式】（25-26八年级下·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 题型讲练十二 一元二次方程的根与系数的关系 【例12】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为时，则的值为___________． 题型讲练十三 传播问题(一元二次方程的应用) 【例13】（25-26八年级下·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型讲练十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【例14】（25-26八年级下·浙江台州·期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【变式】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 题型讲练十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例15】（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将正方形沿图中虚线剪成三块，用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形（图中的，，是相应线段的长度）． (1)若，求与的值； (2)求正方形与长方形的周长之比． 【变式】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 题型讲练十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【例16】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【变式】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 题型讲练十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【例17】（2025八年级下·安徽滁州·专题练习）某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【变式】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 题型讲练十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例18】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 题型讲练十九 行程问题(一元二次方程的应用) 【例19】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 【变式】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 题型讲练二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【例20】（24-25八年级下·全国·课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）某赛季篮球职业联赛采用单循环制（每两队之间都进行1场比赛），比赛总场数为28．若设参赛队伍有支，则可列方程为__________________． 题型讲练二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【例21】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【变式】（24-25八年级下·安徽·期中）一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如果两个代数式a，b满足，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”．若与是关于16的“友好代数式”（m，n是有理数），则的值为（    ） A．或4 B．或4 C． D．或 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 10．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 一元二次方程【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 由一元二次方程的定义求参数 题型二 判断是否是一元二次方程的解 题型三 由一元二次方程的解求参数 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 题型六 解一元二次方程——配方法 题型七 配方法的应用 题型八 公式法解一元二次方程 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十一 换元法解一元二次方程 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型十九 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点三 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点四 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点五 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点六 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点七 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达 定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点八 一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3.握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（25-26八年级下·北京·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 题型讲练二 判断是否是一元二次方程的解 【例2】（25-26八年级下·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 【变式】（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 题型讲练三 由一元二次方程的解求参数 【例3】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 【变式】（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为______． 【答案】2或10 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元二次方程的整数解及参数分离法求整数参数，解题的关键是分“”和“”讨论，对一元二次方程通过正确整理方程分离参数，将表示为关于整数解的代数式，再根据为整数的条件，确定的可能值，进而求出． 分和：时方程为一元一次方程，求解判断是否为整数解；时，将一元二次方程整理为（关键是正确移项整理），分离参数得；根据一元二次方程根的判别式得出解得，因为整数，得出，，即可求出的整数解，列举的整数解代入计算，并验证方程是否有整数解即可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论：   1. 当时，方程化为， 即，解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程，移项整理：， 即，因式分解得， ∵时，左边，右边，故， ∴， ∵方程至少有一个整数解， ∴， 解得， ∵为整数，， ∴， ∴，， 解得， ∴整数可以为、、、、、， 当时，（整数，有效）； 当时，（整数，有效）； 当时，（与时重复）； 经检验，当取其它整数时，的值均不为整数，故舍去， 验证：时，方程，解为或（均为整数）； 时，方程，解为或（为整数）． 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 题型讲练四 因式分解法解一元二次方程 【例4】（25-26八年级下·上海·期中）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式】（25-26八年级下·浙江·期中）对于实数，，，我们用符号表示，，三数的中位数，如．若，则的值是_____． 【答案】或 【分析】根据题意可分为：当是这三个数的中位数时，当是这三个数的中位数时，当4是这三个数的中位数时，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分为： 当是这三个数的中位数时，则有，解得：，分别代入检验此时都不符合题意； 当是这三个数的中位数时，则有，解得：， 当时，此时这三个数为，符合题意；当时，此时这三个数为，符合题意； 当4是这三个数的中位数时，则有，解得：，分别代入检验发现都不符合题意； 综上所述：x的值为或． 题型讲练五 解一元二次方程——直接开平方法 【例5】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）等边三角形的边长是关于x的一元二次方程 的根，则等边三角形的面积为___________． 【答案】 【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求m的值，进而确定该方程并求解的x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵等边三角形的边长是关于x的一元二次方程的根 ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得 ∴原方程可化为， 解得 ∴等边三角形的三边边长都为3 ∴等边三角形的高为： ∴等边三角形的面积为． 故答案为． 【变式】（25-26八年级下·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】当时，方程的解为，；当时，方程无实数根 【分析】根据解方程的步骤求解，注意求解时，要分或两种情况讨论即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，， ，； 当时，方程无实数根， 综上，当时，方程的解为，；当时，方程无实数根． 题型讲练六 解一元二次方程——配方法 【例6】（25-26八年级下·重庆·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）先通过去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果进行检验，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解： 去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 【变式】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将一元二次方程左边转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加9得 ， 即 ． 题型讲练七 配方法的应用 【例7】（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的取值范围是___． 【答案】大于等于6 【分析】本题考查完全平方公式，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知得，代入，即可求出，的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ 的取值范围是：大于等于． 故答案为：大于等于． 【变式】（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 题型讲练八 公式法解一元二次方程 【例8】（24-25八年级下·浙江湖州·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将原等式化简为关于的一元二次方程，求解后根据的条件舍去不符合的根，即可得到结果. 【详解】设，，则. ，， 将代入等式，两边同乘（）得： 左边通分得， 两边都乘去分母，得， 展开整理得， ∴， ∴， ， ， 舍去负根， 得， 即. 故选：A. 【变式】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）已知，，，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将，进行通分，再计算的值即可； （2）根据得，设，则，求出，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， 又， ∴， 整理得， ∴， 设，则：， 解得：， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 题型讲练九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根． (1)求的值； (2)试判断关于的方程的根的情况； (3)若为完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3) 【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解； （1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可； （2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵是满足条件的最大整数， ∴； （2）解：将代入方程，得方程为， 其判别式 ， ∴方程没有实数根； （3）解：把代入得， ∵为完全平方式， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 计算该方程的判别式得， ∴ ． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，，则关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有无数个实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程判别式的符号来判断根的情况，由于已知条件，，，可推导出判别式大于零，从而有两个不相等的实数根. 【详解】解：二次方程的判别式为， 又，，， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根. 故选：C. 题型讲练十 根据一元二次方程根的情况求参数 【例10】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 【变式】（2023八年级下·浙江·竞赛）已知，，是整数，，且，则的最大值和最小值分别是______． 【答案】、 【分析】由，得到，根据，得到，且，，得到，则，不等式的解集为，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ，且，， ， 整理可得， ， 是整数， ，即， 当时，， ， ，， 因此，不等式的解集为， 是整数，且， ， 当时，，，即或，满足条件； 当时，，，即或，满足条件； 当时，即，此时，不是整数，不满足条件 的最大值和最小值分别是、． 题型讲练十一 换元法解一元二次方程 【例11】（25-26八年级下·河北石家庄·月考）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程，得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程有四个根：． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)用换元法解方程：； (2)三边是，若两直角边满足，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，三角形的三边关系的应用； （1）设，原方程可变形为进而解一元二次方程，注意最后要检验； （2）设，进而因式分解法解一元二次方程，根据三角形的三边关系，取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：设，原方程可变形为， 解得， 当时，，解得； 当时，，移项，得， ∵， ∴原方程没有实数根， 综上，原方程有两个根：； （2）设， ∵， ∴ 即， 解得 ∵斜边， ∴，则， ∴的周长为 【变式】（25-26八年级下·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 题型讲练十二 一元二次方程的根与系数的关系 【例12】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的判别式，根与系数关系定理，求解即可； 【详解】解：一元二次方程的判别式为， ，， 故①正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故②正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 有两个不相等的实数根， ， ∵一元二次方程的判别式为： ， ∴方程有两个不相等实数根， 故④正确； 由有两个不相等的实数根， ， 令，得， ， 故有两个不相等的实数根， 故也有两个不相等的实数根； 故⑤正确. 【变式】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为时，则的值为___________． 【答案】或5 【分析】求出根的判别式判断该方程一定有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程一定有两个不相等的实数根； 设方程的两个根为， 则：，， 当该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， ∵， 当时，，不合题意，舍去． ∴． 当该方程的两根一个是直角三角形的边长记为，另一个斜边记为， 则：，， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 综上，的值为或5． 题型讲练十三 传播问题(一元二次方程的应用) 【例13】（25-26八年级下·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 【变式】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 题型讲练十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【例14】（25-26八年级下·浙江台州·期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【答案】(1) (2)2万元 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解； （2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：下调后每架无人机的售价为2万元． 【变式】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 【答案】(1) (2)14元 【分析】（1）设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x，根据题意，得：，即可得到答案； （2）设该款错题本的售价上涨了元/本，根据题意，得：，要尽可能让学生得到实惠，所以，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该款活页错题本销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款错题本的售价上涨了元/本， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让学生得到实惠，所以，此时实际售价为：（元/本）， 答：该款错题本的实际售价应定为14元/本． 题型讲练十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例15】（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将正方形沿图中虚线剪成三块，用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形（图中的，，是相应线段的长度）． (1)若，求与的值； (2)求正方形与长方形的周长之比． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意易得长方形的长为，宽为，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）正方形的周长为，长方形的周长为，然后根据（1）中可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意，得长方形的长为，宽为， 长方形的长与宽之比为，且正方形的面积等于长方形的面积， ， ． ， （负值舍去）， ， ． （2）解：正方形的周长为， 长方形的周长为， 它们的周长之比． 由（1）知，， 可得，所以正方形与长方形的周长之比为． 【变式】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)从2023年到2025年的年平均增长率为 (2)鸡场的长和宽分别为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； （2）解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 题型讲练十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【例16】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 【变式】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为或． 故选：C． 题型讲练十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【例17】（2025八年级下·安徽滁州·专题练习）某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【答案】(1)10元；8元 (2)12 【分析】本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用； （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； （2）解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 【变式】（24-25八年级下·吉林长春·期末）某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得． 故答案为：B 题型讲练十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例18】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为，见解析 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）解：假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设后，的面积等于，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 题型讲练十九 行程问题(一元二次方程的应用) 【例19】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了______米． 【答案】24 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 【变式】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 题型讲练二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【例20】（24-25八年级下·全国·课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列出方程．据此解答即可． 【详解】解：∵设这次会议到会的人数为人 ∴每个人需要和除自己外的人握手 又∵每两人之间的握手会被重复计算一次 ∴总握手次数为 ∵已知一共握了66次手 ∴依题意可列方程 故选：A． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）某赛季篮球职业联赛采用单循环制（每两队之间都进行1场比赛），比赛总场数为28．若设参赛队伍有支，则可列方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程求解是解决问题的关键． 设参赛队伍有支，根据单循环制比赛规则，每两队之间进行一场比赛，总比赛场数为，结合总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设参赛队伍有支， 根据题意得：． 故答案为：． 题型讲练二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【例21】（25-26八年级下·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 【变式】（24-25八年级下·安徽·期中）一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 【答案】(1)①；②， (2)这个学校九年级共有名学生，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，代数式，不等式组的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）①根据题意即可求解；②根据单价总价除以数量即可求解； （2）由题意得，整理得，得到，，结合题意可知，，进而得到，取或，结合可得，最后求出即可． 【详解】（1）解：①由题意得 的取值范围是， 故答案为； ②铅笔的零售价每支应为，批发价每支应为， 故答案为：，； （2）由题意得， 整理得， ，， 、为正整数，且， ， 即， 解得：， 整数取或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ， 答：这个学校九年级共有名学生，． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）如果两个代数式a，b满足，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”．若与是关于16的“友好代数式”（m，n是有理数），则的值为（    ） A．或4 B．或4 C． D．或 【答案】D 【分析】根据定义求解即可． 【详解】解：根据定义，得， ， ， ， ， 故， ， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，实数，满足，根据根与系数的关系得到、，据此逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①通过判别式判断有两个不相等的实根；②由条件推导，判断无实数根；③代入根后得出或，结论不一定成立；④代入根后验证等式成立即可． 【详解】解：① ， ， ， 方程一定有两个不相等的实数根，故①正确； ② ， ． ， ，， ， 方程没有实数根，故②正确； ③ 是方程的一个根， ， ， 或， 不一定成立，故③错误； ④ 是方程的一个根， ， 两边除以得，． 当时，， 是方程的一个根，故④正确． 综上，正确的是①②④． 故选：D． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得：，，得：，从而推出，解得，，再根据，解得或，可知（舍去），，将和联立，解得，，从而求得，，根据，求得，即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 得：， 又， ，解得，， ∵方程有两个实数根， ，即，解得或； （舍去），， ∴， ，联立， 解得，， 又， 解得，， 又， 解得， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）对于一元二次方程，下列说法正确的是_______． ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若2026是方程的一个根，则一定是的一个根； ④若是一元二次方程的根，则． 【答案】①③④ 【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断． 【详解】解：①当时，代入方程得，说明方程有一个根为，因此判别式， 故①正确； ②方程是一元一次方程（），只有一个实数根，不可能有两个根， 故②错误； ③把代入，得， 两边同时除以，得，即， ∴一定是的一个根， 故③正确； ④∵是方程的根， ∴，即， ∴， 故④正确； 故答案为：①③④． 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【答案】或或6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，在和中利用勾股定理表示出和，分，，三种情况列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 设，两点同时出发秒时，是等腰三角形， 由题意得：，，且， ∴在 中，， 点在上，为中点， ， ∴在中，， 分三种情况讨论：①当时，，即 ， 解得或， ， ； ②当时，，即， 解得， ， ∴； ③当时，，即， 解得或， ， ； 综上所述，的值为或或． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，然后解方程即可得到； （2）根据根的判别式，可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：是关于的方程的一个解， ， 整理得， 解得； （2）解：关于的方程有实数根， ， 解得， 即时，关于的方程有实数根． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； (2)墙长的取值范围是； (3)不能实现，理由见解析． 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； （3）解：不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)的值为0或； (2)或； (3)见解析 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； （3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 10．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． （2）证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $