精品解析：2026年四川南充市中考名校联测（三）数学试题

2026年南充中考名校联测（三） 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、座位号、考号填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 下列式子，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，在中，，，以为直径的与交于，则弧的长为（）． A. B. C. D. 7. 若实数，互为倒数，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋中装有大小质感等相同的个红球，个黄球．先从袋中随机摸出个，放回摇匀，再从袋中随机摸出个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点在上，，的延长线与交于，与交于，与交于．下列结论，不正确的是（ ） A. 与成轴对称 B. C. D. 与不一定互相垂直平分 10. 在直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，线段的端点分别在线段和抛物线上，并与轴垂直．下列说法：①抛物线的顶点最高为；②的最大值与无关；③若为抛物线的顶点(点A在点B的左侧)，则；④总能成立；⑤当对应函数值时，．成立的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 分解因式________． 12. 下表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练数学成绩的平均分与方差．要推选一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应推选________． 甲 乙 丙 丁 平均分 方差 13. 如图，切于点，半径，，．连接，则的值为________． 14. 某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 15. 如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 16. 如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ________________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 18. 如图，是的中线，于，于．求证：． 19. 某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续天收回的问卷进行统计，其中问卷数目统计如图．已知从左到右各矩形的高度比为，第天的份数是120．请你回答： （1）本次活动共收回问卷多少份？ （2）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第天收回的概率是多少？ （3）按照（2）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖．第天和第天分别设置份和份获奖．你认为这两天中哪天获奖概率较高？请通过计算说明． 20. 为实数，关于的方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程的两根为，，当时，求的值． 21. 如图，直线与双曲线交于，，与轴交于，与轴交于D．点在线段上，轴于． （1）求双曲线的解析式． （2）当面积最大时，求证． 22. 如图，是的直径，是左半圆上的动点，于，的平分线与交于． （1）求证：为定点．（点不随点位置变化而改变．） （2）若，，试求的长． 23. 某古镇名店用传统手艺制作一种特色食品．根据每天产量采取浮动价格，成品均能售完．每千克生产成本（元）与日产量（）之间的关系为．每千克售价（元）与日产量（）之间的关系可用如图中的线段表示． （1）求线段的函数解析式． （2）要获得日销售最大利润，求销售单价和日产量． （3）求日销售利润和日销售额的范围． 24. 如图，在矩形中，，，点在折线上运动．将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于 （1）当最长时，完善图形，求的长． （2）点从点运动到点的过程中，求点的运动路径长度，并求的最小值． 25. 如图1，抛物线经过，，．抛物线上点满足，以，，为顶点的三角形与相似． （1）求抛物线的解析式． （2）求点的坐标． （3）如图，抛物线上两动点，，满足．请证明直线必经过一个定点，并求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年南充中考名校联测（三） 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、座位号、考号填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 下列式子，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则计算每个选项的结果，即可得到答案． 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意． 2. 若，，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先推出且，，再将代入各选项逐一验证，判断等式是否一定成立． 【详解】解：∵，， ∴，且，． 对选项A∶，等式一定成立． 对选项B∶ ，等式一定成立． 对选项C∶将代入得，右边，等式变为，即，得，与矛盾，等式不成立，因此不一定成立． 对选项D∶∵，∴，等式一定成立． 3. 如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A是该几何体的俯视图； B不是该几何体的三视图； C是该几何体的主视图或左视图； D不是该几何体的三视图； 点睛：从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线. 5. 关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系结合已知条件列方程求，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】对于方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 代入计算得 ， 解得 ， 根据根与系数的关系可得 ，， ∵ ， ∴ 代入得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ， ∵ ， ∴． 6. 如图，在中，，，以为直径的与交于，则弧的长为（）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接利用平行四边形的性质求解，，再利用等腰三角形的性质求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接 中，，，以为直径的交于点， ，，， ， ∴，， 的长为： 7. 若实数，互为倒数，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用倒数的定义得到，再利用积的乘方的逆用得出，再对分式通分，结合化简代数式即可得到结果． 【详解】解：∵，互为倒数， ∴ ，可得 对原式通分并化简： 8. 一个不透明的袋中装有大小质感等相同的个红球，个黄球．先从袋中随机摸出个，放回摇匀，再从袋中随机摸出个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，所以第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种， 第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 9. 如图，正方形中，点在上，，的延长线与交于，与交于，与交于．下列结论，不正确的是（ ） A. 与成轴对称 B. C. D. 与不一定互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】证明，结合等角互余，证明，判定A正确．证得，结合正方形对角线，推出，判定B正确．利用，与底角，算出，判定C正确．三线合一得，再利用正方形的性质和角的和差，可知与必垂直平分，故D错误． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，，，， 在和中 ， ． ， ， 又， ， ． 在与中： ． 正方形沿对边中点连线折叠，与、与重合，两三角形完全重合，故、成轴对称．正确． 由，，， ， ． ，， ．正确． ，， ， ，， ． ，， ． ．正确． 设与交于点． 四边形是正方形， ， ， ． ， 由等腰三角形三线合一可得：垂直平分， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， 与一定互相垂直平分． 选项D描述与不一定互相垂直平分和推导结论矛盾， D选项错误． 10. 在直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，线段的端点分别在线段和抛物线上，并与轴垂直．下列说法：①抛物线的顶点最高为；②的最大值与无关；③若为抛物线的顶点(点A在点B的左侧)，则；④总能成立；⑤当对应函数值时，．成立的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】先联立抛物线与直线方程得到交点横坐标，再逐个判断五个说法的正确性，将抛物线换成顶点式，然后根据k的取值即可判定①，设横坐标为，根据两点之间的距离得出关系式即可判定②，根据顶点的横坐标等于点A的横坐标即可求出k的值并判断③，根据两点之间的距离得出，即可判定④，根据得出，解不等式即可判断⑤． 【详解】解：联立抛物线与直线方程：， 化简得， 解得或， 即交点恒为， ①对抛物线配方得， 顶点坐标为，顶点纵坐标， ， ， 当时，取最大值，此时顶点为，故①正确． ②设横坐标为， 轴， ，长度为， ， （在线段上）， ，最大值为，与无关，故②正确． ③若为抛物线顶点，即， 解得，故③错误． ④交点为， ，， 恒成立，故④正确． ⑤即，化简得，解得，故⑤正确． 综上，①②④⑤都正确． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式． 12. 下表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练数学成绩的平均分与方差．要推选一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应推选________． 甲 乙 丙 丁 平均分 方差 【答案】乙 【解析】 【分析】平均数反映成绩的整体水平，方差反映成绩的稳定性，先比较平均数选出成绩较好的对象，再比较方差选出发挥稳定的对象． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丙的平均分高于甲和丁的平均分，因此乙和丙的成绩更好， ，即乙的方差小于丙的方差， 乙的发挥比丙更稳定， 因此应推选乙． 13. 如图，切于点，半径，，．连接，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点C，由切线的性质及三角形相似、正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点C， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 14. 某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，小敏投中了个三分球，根据得分不低于70分即可列出不等式． 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 15. 如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相平分，得与中点相同；借助中点纵坐标列式，求出a； 根据B点坐标，勾股定理算出长度． 【详解】解：连接，． 四边形是菱形， 对角线、互相平分，设交点为，则既是线段的中点，也是线段的中点． ，点，为中点， 点坐标为． ，，是中点， 根据中点坐标公式： ， 解得， ． 由勾股定理： ． 16. 如图，在四边形中，，，对角线与相交于点E，若，则 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握以上性质． 过点作于点，过点作于点，连接，利用平行线和等边三角形的性质，求出相关线段的长度和数量关系，利用直角三角形斜边中线定理求出长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接. ， ． ，根据同高， ， 将看作两个三角形的同底，且，则等于的高， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ∴， ， ， ，点为中点， ∴， ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分子、分母分别因式分解；然后约去；再通分合并分式，化简即可解答． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，是的中线，于，于．求证：． 【答案】证明：∵是的中线， ∴， ，， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】先证明，得出，再根据含的直角三角形的性质，得出，即可得出结论． 【详解】略 19. 某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续天收回的问卷进行统计，其中问卷数目统计如图．已知从左到右各矩形的高度比为，第天的份数是120．请你回答： （1）本次活动共收回问卷多少份？ （2）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第天收回的概率是多少？ （3）按照（2）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖．第天和第天分别设置份和份获奖．你认为这两天中哪天获奖概率较高？请通过计算说明． 【答案】（1）600份 （2） （3）第天收回问卷获奖概率较高，理由如下： （第天收回问卷获奖）， （第天收回问卷获奖）． ， 第天收回问卷获奖概率较高． 【解析】 【分析】（1）根据第三组的频数除以频率得出总件数即可； （2）根据概率公式，用第4天的频数除以总数即可得； （3）分别用第4、6天的获奖数除以对应频数求得获奖率，比较大小即可得． 【小问1详解】 本次活动共收回问卷份数为： （份）. 【小问2详解】 解：第天收回问卷（份）， ． 【小问3详解】 略 20. 为实数，关于的方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】（1）原方程总有两个实数根 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【小问1详解】 解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 21. 如图，直线与双曲线交于，，与轴交于，与轴交于D．点在线段上，轴于． （1）求双曲线的解析式． （2）当面积最大时，求证． 【答案】（1） （2）证明：将，两点坐标代入直线解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 上式中，令，解得；令，解得， ，． 设， 轴， ， ， 当时，取到最大值． 此时， 是线段的中点， ， ， ∵， ． 【解析】 【分析】（1）根据A、B两点在双曲线上，代入双曲线解析式中即可求解； （2）由A、B两点的坐标可求出直线的解析式，求得C、D两点的坐标；设，表示出的面积，可求得面积的最大值及此时点E的坐标，并得点是线段的中点，即可证明相似． 【小问1详解】 解：∵A、B两点在双曲线上， ∴． ， （舍），或， ，， ， ∴双曲线的解析式为． 【小问2详解】 证明：略． 22. 如图，是的直径，是左半圆上的动点，于，的平分线与交于． （1）求证：为定点．（点不随点位置变化而改变．） （2）若，，试求的长． 【答案】（1）证明：连接， 则， ． ， ， ． ， ， 为右半圆的中点．即为定点． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据可得，结合已知即可证明，得出，进而可得，由垂径定理可得为右半圆的中点． （2）连接，作于．在可求，根据可得是等腰直角三角形，由此求出，在中由勾股定理求出，由此可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，作于． 由（1）可得：， 又∵， ∴， ∵，， ， ， ． 23. 某古镇名店用传统手艺制作一种特色食品．根据每天产量采取浮动价格，成品均能售完．每千克生产成本（元）与日产量（）之间的关系为．每千克售价（元）与日产量（）之间的关系可用如图中的线段表示． （1）求线段的函数解析式． （2）要获得日销售最大利润，求销售单价和日产量． （3）求日销售利润和日销售额的范围． 【答案】（1） （2）销售单价为元/，日产量为 （3）日销售利润的范围为；日销售额的范围为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）日销售利润等于每千克售价与成本的差乘以日产数量，据此列出算式并求出最大值即可； （3）根据日产数量的范围及（2）中所得函数式可求得日销售利润的范围；根据日销售额及日产数量的范围，可求得日销售额的范围． 【小问1详解】 解：设线段的函数解析式为． 将，代入，得， 解得． ∴线段的函数解析式为． 【小问2详解】 解：日销售利润 ． 当时，日销售最大利润． 销售单价（元）． 即要获得日销售最大利润，销售单价为元/，日产量为． 【小问3详解】 解：由（2），当时，． 当时，． 即日销售利润的范围为． 日销售额 ． 当时， 当时， 即日销售额的范围为． 24. 如图，在矩形中，，，点在折线上运动．将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于 （1）当最长时，完善图形，求的长． （2）点从点运动到点的过程中，求点的运动路径长度，并求的最小值． 【答案】（1）， （2）14， 【解析】 【分析】（1）要使最长，则应使最长，最长等于，故，作于，证明，得到，，勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出的长． （2）如图，分别确定点E在点B、C、D时点F的位置，得到点的运动路径为折线，证明，得到，进而得到点的运动路径长为．由，得．过点作于，与交于，则，此时最小，利用的面积求出，即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：如图，由旋转，． 最长时，才最长．最长等于． 作于． 是矩形， ，， ． ，， ， ，． 在中，由勾股定理，得， ． 在中，由勾股定理，得． 【小问2详解】 解：如图，点在点处时，点在点处． 点在点处时，点在点处． 点在点处时，点在点处． 点的运动路径为折线． ， ． ，， ， ， ∴点的运动路径长为． 又， ∴． 过点作于，与交于，则， 此时最小，． 由，得， ， ， 即的最小值为． 25. 如图1，抛物线经过，，．抛物线上点满足，以，，为顶点的三角形与相似． （1）求抛物线的解析式． （2）求点的坐标． （3）如图，抛物线上两动点，，满足．请证明直线必经过一个定点，并求的面积． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）如图，作轴于，作轴于． ， ， ， ， 则， ． 设，，显然． 则． ， ， ①， 设直线为．则 ②， ③， ②③，得， ④， 把④代入②，得⑤， 把①代入⑤，得， 直线为． 即． 当时，．与，均无关． ∴直线必经过一个定点． 面积为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形相似的判定，运用分类思想求解即可； （3）作轴于，作轴于，利用三角形相似的判定和性质，结合待定系数法，过定点的意义求解即可； 【小问1详解】 解：点在轴上， 可设抛物线为． 将，两点坐标代入，得 ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，为直角三角形，，． 当时，作轴于，则， ， ， ， ， 设，， ， 则．代入抛物线，得； ． 则． 解得，或， （舍）或， ； 此时，轴．则， ．满足条件； 当时，， 与不会相似； 当时，点在以为直径的圆上． 由图象，此时点不会在抛物线上； 综上所述，点的坐标为； 【小问3详解】 证明略 则； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $