精品解析：2026年江苏省盐城市建湖县汇杰初级中学中考第三次学情自测数学试题

2025-2026学年度九年级数学中考模拟试卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴的性质，数轴上左边的点对应的数小于右边的点对应的数，因此找出四个数中最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ 数轴上数越小对应的点位置越靠左， ∴ 对应的点在最左边． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方及幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 3. 如图，直线直线b，为直角三角形，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 先求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵为直角三角形，， ， ∵直线， ， ， 故选：B． 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2，并且第一行有三个正方形． 【详解】俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，并且第一行有三个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 5. 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 3 3 6 2 则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（　　） A. 24.5，24.5 B. 24.5，24 C. 24，24 D. 23.5，24 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得． 【详解】这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5， 这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5，所以中位数为24.5， 故选A． 【点睛】本题考查了众数、中位数，熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键. 6. 如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作辅助线，求得，从而得到相似比，，设，，，再根据，则可求，利用三角形相似，对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：如图：延长至点，连接、延长至点，连接， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 7. 如果反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，则m的最小整数值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得1-2m＜0，再解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大， ∴1-2m＜0， 解得，m＞． ∴m的最小整数值为1， 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了反比例函数图像的性质，根据函数图象的增减性判断k的值是解题的关键 . 8. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点H，由角平分线的性质可证，再证明，然后根据勾股定理求解解． 【详解】作于点H，由作法知平分， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：若分式有意义，则分母不等于0， 可得， 解得． 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 于2026年4月24日发布，首次实现了顶级大模型在全栈国产算力上的原生适配和性能领先，其总参数量最高可达1.6万亿（注：1亿）．1.6万亿用科学记数法可表示为________ 【答案】 【解析】 【详解】解：1.6万亿． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根与绝对值的非负性，由两个非负数的和为，可得每个非负数均为，据此求出，的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 将，代入得：． 13. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意用含的代数式分别表示出两种情况下的竹竿总数，即可列出方程. 【详解】解：设牧童有人，根据题意，每人竿多竿，可得竹竿总数为， 每人竿少竿，可得竹竿总数为， 因为竹竿总数不变， 因此可列方程：. 14. 如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，因为在反比例函数​上，根据反比例函数性质可得．因为是矩形边的中点，所以矩形的，．根据矩形面积公式计算面积即可． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵在反比例函数​上， ∴． ∵是矩形边的中点， ∴，． ∵矩形面积， ∴代入，得． 15. 在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线），则入弯点到入口的路程______m（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割比例的定义计算即可． 【详解】解∶ 车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线）， 入弯点到入口的路程 16. 如图，在中，，．是边上一点，以为边，作，使得．若，则线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，证明，则可得，可得点在与夹角为的直线上，过点作，交于点，则当运动到处时，最短，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 即， ， ， ， ， ， 点在与夹角为的直线上， 过点作，交于点， 则当运动到处时，最短， ，， ， ， 即线段的最小值为． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，画图见解析 【解析】 【分析】分别求出各个不等式的解集，进而即可得到不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ． 原不等式组的解集为． 数轴上表示如下 ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式、提取公因式法化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，∴， 则原式． 20. 2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． （2）若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 【答案】（1） （2）列表见解析，概率为 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）列表展示出所有可能出现的结果，再找出都没有“驰驰（C）”的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是； 【小问2详解】 解：所有可能出现的结果有： 第2张 第1张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两张卡片中都没有C”（记为事件）的结果有6种，所以． 21. 现在人们越来越习惯借助各种人工智能软件来辅助工作、学习和生活，市场上也涌现出了各类人工智能软件，经过市场调研，佳佳决定从，两个人工智能软件中选择一个进行使用，以下是佳佳通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能软件的相关评价，并整理、描述、分析如下（单位：分）： a．语言交互能力得分（满分10分） ： ： b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力得分和数据分析能力得分统计表 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 7.7 8 8 6.9 7.6 7.5 7.0 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________；________；________（填“”或“”）； （2）通过以上数据分析，你认为佳佳应该选择哪个人工智能软件？并说明理由．（写出2条理由即可） 【答案】（1）；； （2）选择A软件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）众数：一组数据中出现次数最多的数；中位数：将数据从小到大排列后，中间两个数的平均数；方差：波动越大，方差越大； （2）从平均数、中位数、众数、方差角度对比，优先选择平均数高、中位数高、 方差小的软件． 【小问1详解】 解：B软件语言交互能力得分：， 其中6出现次数最多，故； 由折线图得A软件数据分析能力得分：5,9,7,8,7,8,6,8,6,5， 从小到大排序,5,5,6,6,7,7,8,8,8,9， 中位数为第5、6个数的平均数：； 由折线图可知，A软件数据分析能力得分波动小于B软件，波动越小方差越 小，故， 综上：；；． 【小问2详解】 解：选择A软件，理由如下： A软件语言交互能力得分的平均数更高，说明整体语言交互能力评价更好； A软件数据分析能力得分的方差更小，说明数据分析能力得分更稳定． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元 （2）应购买34个篮球、66个足球 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 23. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由为的直径，可得，由切线的性质可得，则，由，可得，进而可得； （2）由，可得，证明，则，即，可求，，则，进而可求的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，等边对等角，正切，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，切线的性质，等边对等角，正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，，，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数、矩形的性质和判定，解题的关键是把所求线段放到熟悉的图形中，并准确利用所学知识求解．在Rt中，先通过三角函数求出，进而由已知条件可以分别求出，再根据线段的和差关系求出即可． 【详解】解：Rt中，，， 则 ， ． 由条件易知四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， ． ， ． ，即连通器装置中液体的长度为 ． 25. 如图，直线与相交于点O，所夹的锐角为，与关于直线对称． （1）在图中作，使得与关于直线对称． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．） （2）第（1）题中的可以看作是由经过两次轴对称变换得到，它能由经过一次图形变换得到吗？如果能，请写出变换过程；如果不能，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）能，绕点O逆时针旋转得到 【解析】 【分析】（1）分别作点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）连接，分别作的垂直平分线，二者相较于点O，可知是由绕点O旋转得到的，再轴对称的性质求出即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求的三角形． 【小问2详解】 解：能，如图， 连接，分别作的垂直平分线，二者相交于点O，可知是由绕点O旋转得到的． 连接， ∵直线与所夹的锐角为， ∴． ∵与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴旋转角为． 综上可知，绕点O逆时针旋转得到． 26. 阅读材料，完成下列问题 主题 汽车无人驾驶场景模拟 数据 某无人智能车辆在测试场地进行路测，场地边界（示意图）满足：，，，． 方案 方案1：在场地内规划正方形路线，其中顶点在线段上，顶点在线段上，顶点在线段上，且正方形的边均与场地边界平行或在边界上． 方案2：若射线为场地边界的延伸．尝试规划矩形路线，顶点固定，点在线段上，点在射线上． 方案设计示意图 方案1示意图 方案2示意图 任务1 （1）在方案1中，________；________； 任务2 （2）在方案1中，求正方形路线的边长．（要求写出完整的推导过程） 任务3 （3）在方案2中，点在射线上，当最大时，请直接写出此时矩形的面积为________．（直接写出答案即可） 【答案】（1）， （2）解：过作于，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴， 设正方形边长为，则，， ∵，， ∴， ∴，  ∴， ∴ ， 解得 ． ∴正方形路线的边长为． （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线构造直角三角形，因为已知、为直角和各边长度，所以可通过勾股定理计算长度，再根据三角函数定义求； （2）设正方形边长为，证明，利用相似三角形对应线段成比例，结合正方形边长相等的性质列方程求解； （3）以A为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作，延长交射线于点，可证明四边形是矩形，接着求出直线的解析式，设E点在上的参数坐标，通过，表示出，推导出关于参数的函数，通过函数最值方法求出最大时的参数，最后计算矩形面积． 【小问1详解】 解：过作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴ ，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以A为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作，延长交射线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 设直线为，代入和，得， 解得， ∴的直线方程为：， 设， ∴，， ∵点在线段上，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为1， 即时，取得最大值， 当时，，， ∴，， ∴， ∴，​​ ， ∴矩形的面积为：． 27. 我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”． （1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______； （2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围． （3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为． ①当时，求n的取值范围； ②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值 【答案】（1）； （2） （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据“L点”和“X抛物线”的定义即可求解； （2）将点代入先求出原抛物线，再根据“X抛物线”的定义求出其“X抛物线”，将点与点分别代入其“X抛物线”根据建立不等式即可求p的取值范围； （3）①根据点A的“L点”为点．求得，进而可得，，根据“X抛物线”的定义得的方程为，的顶点为，，，即进而可得，根据二次函数的性质可得当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为，即可得出的取值范围； ②根据题意令，解方程，即可求与轴交点长度为，令，同法可求与轴交点长度为2，根据线段即，GK，RT构成直角三角形时，可能的组合为或，分别解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据“L点”定义，点的“L点”坐标为∶横坐标不变为， 纵坐标为， 故“L点”为；； 原抛物线， 设其上任意点A，其“L点”B的坐标为，即， “X抛物线”方程为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：将点代入， 得， ， ， 原抛物线上点A， 其“L点”B的坐标为， “X抛物线”方程为， 点与点在其“X抛物线”上， 分别代入， 得，， ， ， ； 【小问3详解】 解：①点A的“L点”为点． ，， ， 代入抛物线：， 得， ， 的顶点为， ，， 由题意得：的表达式为， 的顶点为， ，， 即， 当时，即，的最大值在顶点时为1，最小值在时为， 故的取值范围为； ②新的抛物线为，顶点为， 令， 解得，， ， 即与轴交点长度为， 新的抛物线为，顶点为， 令， 解得，， ，即与轴交点长度为2， ， 当线段即，构成直角三角形时， 可能的组合为， 解得， 或， 解得， t的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及新定义“L点”和“X抛物线”、二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式及特殊三角形的存在性问题，综合性强，难度较大，正确理解题意，准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学中考模拟试卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试形式为闭卷． 2．在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题． 3．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 4．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线直线b，为直角三角形，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 3 3 6 2 则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（　　） A. 24.5，24.5 B. 24.5，24 C. 24，24 D. 23.5，24 6. 如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如果反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而增大，则m的最小整数值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则满足的条件是________． 10. 分解因式：____________． 11. 于2026年4月24日发布，首次实现了顶级大模型在全栈国产算力上的原生适配和性能领先，其总参数量最高可达1.6万亿（注：1亿）．1.6万亿用科学记数法可表示为________ 12. 若，则______． 13. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有人，则可列方程为________． 14. 如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 15. 在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线），则入弯点到入口的路程______m（结果精确到） 16. 如图，在中，，．是边上一点，以为边，作，使得．若，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 19. 已知，求代数式的值． 20. 2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． （2）若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 21. 现在人们越来越习惯借助各种人工智能软件来辅助工作、学习和生活，市场上也涌现出了各类人工智能软件，经过市场调研，佳佳决定从，两个人工智能软件中选择一个进行使用，以下是佳佳通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能软件的相关评价，并整理、描述、分析如下（单位：分）： a．语言交互能力得分（满分10分） ： ： b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力得分和数据分析能力得分统计表 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 7.7 8 8 6.9 7.6 7.5 7.0 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________；________；________（填“”或“”）； （2）通过以上数据分析，你认为佳佳应该选择哪个人工智能软件？并说明理由．（写出2条理由即可） 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 23. 如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C作的切线交延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 24. 如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，，，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到．参考数据：，，） 25. 如图，直线与相交于点O，所夹的锐角为，与关于直线对称． （1）在图中作，使得与关于直线对称． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．） （2）第（1）题中的可以看作是由经过两次轴对称变换得到，它能由经过一次图形变换得到吗？如果能，请写出变换过程；如果不能，说明理由． 26. 阅读材料，完成下列问题 主题 汽车无人驾驶场景模拟 数据 某无人智能车辆在测试场地进行路测，场地边界（示意图）满足：，，，． 方案 方案1：在场地内规划正方形路线，其中顶点在线段上，顶点在线段上，顶点在线段上，且正方形的边均与场地边界平行或在边界上． 方案2：若射线为场地边界的延伸．尝试规划矩形路线，顶点固定，点在线段上，点在射线上． 方案设计示意图 方案1示意图 方案2示意图 任务1 （1）在方案1中，________；________； 任务2 （2）在方案1中，求正方形路线的边长．（要求写出完整的推导过程） 任务3 （3）在方案2中，点在射线上，当最大时，请直接写出此时矩形的面积为________．（直接写出答案即可） 27. 我们约定：若点A为，点B为，我们称点B是点A的“L点”；我们发现：若点A在抛物线上，点B始终在抛物线上，那么我们称抛物线是抛物线的“X抛物线”． （1）点的“L点”是______；抛物线l：的“X抛物线”是______； （2）已知抛物线经过点，若点与点在其“X抛物线”上，且，求p的取值范围． （3）已知点在抛物线：图像上，点A的“L点”为点．若该抛物线的顶点为，该抛物线的“X抛物线”的顶点为． ①当时，求n的取值范围； ②当c取不同的值时，所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为H且与x轴交于G，K两点，抛物线所有顶点组成新的抛物线，记的顶点为F且与x轴交于R，T两点，若线段，构成直角三角形时，求t的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $