精品解析：2025年江苏省盐城市建湖县两校中考三模数学试题

二○二五年第三次模拟考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 要使有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图是一个“U”形工件，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看可得到长方形少了一个半圆，即主视图为 ， 故选：A 5. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（ ） A. 6，7 B. 7，6 C. 7，7 D. 7，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的概念，并会求一组数值的中位数、众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数．根据这两个定义解答即可． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的是数据7， 所以这组数据的众数为7， 将数据重新排列为4，6，7，7，8， 则这组数据的中位数为7， 故选：C． 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 8. 在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．设，则点：均在反比例函数图象上，根据反比例函数图象与此图的交点个数，即可得到答案． 【详解】解：设， 则点：均在反比例函数图象上， 根据函数图象可知：当时，反比例函数图象与此图在第一象限最多有4个交点，在第三象限最多有4个交点，即此时最多有8个交点， 当时，反比例函数图象与此图在第二象限最多有2个交点，在第四象限最多有2个交点，即此时最多有4个交点， ∴n的最大取值为8， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，先确定公因式，然后提取即可．熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 截至2025年3月21日，中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是工艺的量产．这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其表示方法，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 11. 若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：则这个圆锥的侧面积， 故答案为： ． 12. 已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为________． 【答案】0（答案满足均可） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据一次函数的图象可知，即可得出答案． 【详解】解∶函数 (b是常数)的图象不经过第二象限， 可取． 故答案为∶0(答案不唯一，满足即可) 13. 正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，． 故答案为：9． 15. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为__________． 【答案】或3##3或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， （Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； （Ⅱ）当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 故答案为：或3． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据立方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先算括号里面的，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算题 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． 19. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ； （2） 证明：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 20. 某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩． （1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ； （2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）由概率公式求解即可； （2）用树状图法得出9种等可能的结果，小明和小亮都从D出口走出展馆的只有一种，再结合概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有两个入口，每个入口被选择的概率相同， ∴小明从A入口进入商品博览会的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小亮都从D出口走出博览会的结果数有1种， ∴小明和小亮都从D出口走出博览会的概率为. 21. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了__________名观众，其中喜欢哪吒的人数有_____名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 【答案】（1）150，60 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据喜欢敖丙的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求出喜欢哪吒的人数； （2）根据喜欢李靖角色对应的百分比乘以乘以即可求解； （3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的观众共有（人）， 喜欢哪吒的人数为（人）， 故答案为：150，60； 【小问2详解】 解：∵； ∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：∵（人）， ∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人． 22. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本． （2）数学书最多还可以摆90本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． 【小问2详解】 设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 23. 某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量小岛的面积 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 如图，湖中有一小岛用表示，．数学小组的同学先在湖岸边取点D，使点在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得的长为24米，在点E处用测角仪测得 根据表格中提供的信息，解决下面的问题（结果保留整数）． （1）求的长； （2）求小岛的面积． （参考数据：） 【答案】（1）米； （2）平方米． 【解析】 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为24米， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴小岛的面积为：平方米． 24. 如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． （1）求证：； （2）如果 如图2．求圆O的直径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点H，连接，则． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）作直径，连接，由平行四边形的性质和点E是的中点得，得到，再证明，，可证得． （2）证平行四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分；根据勾股定理可求出菱形的边长．由于E是中点，可得，根据，可得P、O、C三点共线，为的直径，根据，，可得，得到，得到，即得⊙O的直径为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴． ∵切于P， ∴． ∵， ∴P、O、C三点共线． ∴为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴⊙O的直径为． 【点睛】本题主要考查了圆与四边形综合．熟练掌握圆切线性质，平行四边形性质，菱形的判定和性质，三角形中位线判定和性质，圆内接四边形性质，直角三角形你斜边上中线的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点． （1）判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点． ① 求a，c的值； ② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围． 【答案】（1）存在且坐标为 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据“慧泉”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案； （2）①根据“慧泉”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值②先根据对称性求出二次函数与的另一交点，再结合图像及二次函数性质可求n的范围 【小问1详解】 解：由“慧泉”点定义得： 解得： 当时， 所以存在“慧泉”点，坐标为 【小问2详解】 解：①∵的图像上有且只有一个“慧泉”点 即有两个相等实根 由根与系数的关系可得： 解得： ②由①得，求得对称轴为，最大值为 画出与的图像，如下图所示 由对称性易求另一交点坐标为 ∴由图像可求得： 【点睛】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“慧泉”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键． 26. 平行线是研究相似三角形的基本工具 【尝试】 已知线段，请用无刻度直尺与圆规作出线段的一个三等分点P． 【应用】仅用无刻度直尺在下面的网格中作出线段的一个三等份点D、E． 【拓展】仅用无刻度直尺完成下列作图 （1）在边找一点E，使得 （2）在边找一点E，使得 【计算】 在上图中的中，请直接写出的值． 【答案】 [尝试]如图，点P即为所作： [应用]如图，点即为所作： [拓展]（1）如图，点即为所作： （2）如图，点即为所作： [计算] 【解析】 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． [尝试]先作出，连接，再作，则，由平行线分线段成比例可得； [应用]取格线与的交点即为点，由得，则，故点D即为所作；取格点，连接与交点即为点，同理，，则，故点以为所作． [拓展]（1）取格点，连接交于点，连接与交点即为点．首先由边角边可证明，则，根据全等三角形对应角相等可证明，同上由平行得相似，则，则，故； （2）取格点，连接交于点，与交点即为点，同上可得，由“8字形”相似得，则，设，则由勾股定理得，故； [计算] 过点C作于点M，过点A作于点N，通过勾股定理以及解直角三角形即可求解． 【详解】[尝试]略 [应用]略 [拓展] （1）略 （2）略 [计算] 解：过点C作于点M，过点A作于点N， 由勾股定理可得， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求证：； （3）如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围． 【答案】（1），； （2） 解：如图，连接， 在中，令，得， 点C的坐标为，则． ，， ，． ． ，，， 由勾股定理可求得，． ，， ， ． ， 又， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）将，两点代入抛物线，则可得抛物线的解析式；将求出解析式化成顶点式，即可写出抛物线的顶点D的坐标； （2）连接CD，令，得，由点A、B、C的坐标可得，，进而得．由点B、C、D的坐标可求得，．根据勾股定理逆定理可得．根据三角函数的定义得 ，由，即可求证； （3）先证明，得．设，，则；进而得．可得有最大值．由，得的最小值为．又点Q在线段上，可得点Q纵坐标n的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入， 得． 解得． 抛物线的解析式为． ， 顶点D的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ，， ， ． ． 设，，则； ； ． 当时，y的最大值为，即有最大值． ， 的最小值为． 又点Q在线段上， 点Q纵坐标n的取值范围是． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、三角函数及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年第三次模拟考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 要使有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是一个“U”形工件，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的5位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，7，7，这组数据的众数，中位数分别为（ ） A. 6，7 B. 7，6 C. 7，7 D. 7，8 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：____________． 10. 截至2025年3月21日，中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是工艺的量产．这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．数据用科学记数法表示为__________． 11. 若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积________． 12. 已知一次函数（为常数）的图象不经过第二象限．写出一个符合条件的的值为________． 13. 正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 14. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 15. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 16. 定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为，当时，函数的最大值与最小值的差为8，则的值为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 计算题 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 19. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 20. 某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩． （1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ； （2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图） 21. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了__________名观众，其中喜欢哪吒的人数有_____名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 22. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 23. 某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量小岛的面积 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 如图，湖中有一小岛用表示，．数学小组的同学先在湖岸边取点D，使点在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得的长为24米，在点E处用测角仪测得 根据表格中提供的信息，解决下面的问题（结果保留整数）． （1）求的长； （2）求小岛的面积． （参考数据：） 24. 如图1，平行四边形的对角线交于点P，E为的中点，过E点的圆O与相切于点P，圆O与直线分别交于点F，G． （1）求证：； （2）如果 如图2．求圆O的直径． 25. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点． （1）判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点． ① 求a，c的值； ② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围． 26. 平行线是研究相似三角形的基本工具 【尝试】 已知线段，请用无刻度直尺与圆规作出线段的一个三等分点P． 【应用】仅用无刻度直尺在下面的网格中作出线段的一个三等份点D、E． 【拓展】仅用无刻度直尺完成下列作图 （1）在边找一点E，使得 （2）在边找一点E，使得 【计算】 在上图中的中，请直接写出的值． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接，，． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求证：； （3）如图2，点在x轴上，点P是线段上的动点（不与点B，C重合），连接，作，交y轴于点Q，设点Q的纵坐标为n，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $