2026年江苏省扬州市邗江区部分校九年级考前自测数学试题

**基本信息** 2026年九年级中考三模数学试卷以“绿水青山”工程、校园照明抛物线等真实情境为载体，通过基础题（如选择1-4题）、能力题（如填空17-18题）、创新题（如解答28题勾股分割探究）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配中考冲刺阶段综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|10题/96分|代数（函数、方程）、几何（圆、四边形）、统计与概率|27题结合抛物线模型解决照明问题，体现应用意识；28题新定义“勾股分割点”，通过探究性问题发展创新意识，贴合中考命题趋势。|

2026年九年级中考三模考试数学试题答案 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟 ） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C A D B A 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9． 1.1×104 ；10． ；11． ；12． 8 ；13． －2 ； 14． 2 ；15． 0<y<2 ；16． ；17． 4或10-2 ；18． ②③④ . 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算： （1）2tan45º+-（）﹣2 ； 解：原式=2+4-4 ………………………… 3分 =2 ………………………… 4分 （2）． 解：原式=………………………… 6分 =1 ………………………… 8分 20．（本题满分8分） 解：由①得： …………………………2分 由②得： …………………………4分 ∴不等式组的解集为： …………………6分 ∴不等式组的最大负整数解是：-5 ……………………8分 21．（本题满分8分） （1） 40% ， 144 ； …………………4分 （2）补全条形图如图 …………………6分 （3）（3）1000×10%＝100（人）． ∴全校最喜欢踢毽子的学生人数约是100人． …………………8分 22．（本题满分8分） （1） ； …………………2分 （2） 开始 横坐标 -1 0 1 2 …………………6分 纵坐标 0 1 2 -1 1 2 -1 0 2 -1 0 1 共有12种等可能的结果，其中点M（m，n）在第二象限的结果有：（﹣1，1），（﹣1，2），共2种 ∴点M（m，n）在第二象限的概率为＝． …………………8分 23．（本题满分10分） （1）解：设甲工程队每天整治河道x米，则乙工程队每天整治河道（1500﹣x）米， …………………1分 依题意，得 …………………3分 解这个方程，x＝900 …………………7分 经检验，x＝900是原方程的解且符合题意． …………………9分 答：甲工程队每天整治河道900米． …………………10分 24．（本题满分10分） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，OD＝OB， ∵AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO． 在△DOF与△BOE中， ， ∴△DOF≌△BOE（ASA）， ……………3分 ∴OE＝OF， ∵OE＝3， ∴EF＝6； ……………5分 （2）四边形AECF是菱形， 理由：∵OE＝OF，OD＝OB， ∴四边形AECF是平行四边形， ……………8分 ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形． ……………10分 25．（本题满分10分） （1）解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下： 连接OD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAC＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC， ∴直线BC与⊙O相切．……………5分 （2）∵l＝，AE＝4，劣弧DE的长为π， ∴∠DOE＝60°． ∵∠ODB＝90°， ∴BD＝OD＝2， ∴S△BOD＝BD•OD＝． S扇形DOE＝π.……………10分 答：BE与劣弧DE所围成的部分的面积为﹣π． 26．（本题满分10分） 解：（1）如图1中，线段AD即为所求；……………2分 （2）如图1中，点E即为所求；……………5分 （3）如图2中，点F，射线AF，点G即为所求；……………7分 （4）如图2中，线段MN即为所求．……………10分 （其中（2）的方法二：如图所示）． 27．（本题满分12分） 解：（1）∵y＝ax2+4ax+c＝a（x+2）2﹣4a+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵A（﹣6，0）， ∴B（2，0）， ∴OB＝2， ∴OC＝3OB＝6， ∴C（0，6）， 将B、C两点坐标代入y＝ax2+4ax+c， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+6，……………1分 设直线AC的解析式为y＝kx+m， ∴，∴， ∴直线AC的解析式为y＝x+6； ……………2分 （2）∵y＝﹣x2﹣2x+6＝﹣（x+2）2+8， ∴顶点D（﹣2，8）， 过D作DM⊥y轴于M， 则M（0，8）， ∵C（0，6）， ∴DM＝CM＝2， ∴∠MCD＝45°，CD＝2， ∵OA＝OC＝6， ∴∠OCA＝45°， ∴∠ACD＝90°，AC＝， Rt△ACD中，， ∵直线AE与y轴交点N（0，﹣2）， ∴ON＝2， ∴tan∠BAE＝＝， ∴∠CAD＝∠BAE， ∴∠CAE﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠BAE＝∠OAC＝45°；……………6分 （3）∵PQ⊥y轴，ER⊥x轴， ∴∠OQE＝∠ROQ＝∠QOR＝90°， ∴四边形OQER为矩形， ∴QR＝OE， ∴当OE⊥AC时，QR＝OE最短， ∵OA＝OC＝6， ∴△AOC为等腰直角三角形，此时E为线段AC的中点， ∴最短长度QR＝OE＝AC＝3， ∵E（﹣3，3），PQ⊥y轴， ∴P点纵坐标也为3， ∴﹣x2﹣2x+6＝3， 解得， ∴点P的坐标为（﹣2+，3）或（﹣2﹣，3），……………10分（一个两分） ∴QR的最短长度为．……………12分 28．（本题满分12分） 解：（1）或4；……………2分 （2）根据分割勾股点定义可得： ①BM2+DN2＝MN2， 此时DF＝FC；……………4分 ②BM2+MN2＝DN2， 此时2DF＝5FC；……………6分 ③MN2+DN2＝BM2， 此时不存在；……………7分 综上，FD与FC的数量关系为DF＝FC或2DF＝5FC； （3）①PC是定值4；……………10分 ②S△PMN=24+16．……………12分 $ 2026年九年级中考三模考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟 ） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效。 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．的倒数是（ ▲ ） A． B．5 C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ） A． B． C． D． 3.下列运算正确的是（ ▲ ） A. 5a2+3a2＝8a4 B. a3•a4＝a12 C. a+2b＝2ab D. a5÷a2＝a3 4.某学校数学社团15名同学积极参加“一日捐”捐款活动，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（ ▲ ） 捐款数额（元） 10 20 30 50 100 人数 2 4 5 3 1 A．众数是100元 B．极差是20元 C．中位数是30元 D．平均数是30元 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABD=35°，∠ACB=45°，则∠BAD等于（ ▲ ） A. 100 B. 90° C. 80° D. 70° 6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB=12，根据作图痕迹可得CD的长为（ ▲ ） A．3 B．4 C．6 D．8 7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则cos∠ADC的值为（ ▲ ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 8. 如图，在矩形AOBC中，OB＝3，OA＝2．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，则此时k的值为（ ▲ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上） 9．我国“科学”号远洋科考船在最深约为11000m的马里亚纳海沟南侧发现了近10片珊瑚林，将11000用科学记数法表示为 ▲ ． 10．在函数中，自变量x的取值范围是 ▲ ． 11．分解因式：4x2－9＝ ▲ ． 12．多边形的每个内角的度数都等于135°，则这个多边形的边数为 ▲ ． 13．若m=2+n，则4n-4m+2的值为 ▲ ． 14．已知扇形的圆心角为120°，半径等于6，则用该扇形围成的圆锥的底面半径为 ▲ ． 15．已知点A（1，2）在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ▲ ． 16.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝32cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 ▲ cm． 17.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为 ▲ ． 18. 定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论：①当m＝3时，函数图像的顶点坐标是（﹣1，﹣9）；②当m＞1时，函数图像截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图像经过两个定点．其中正确的结论有 ▲ .（填序号） 第16题图 第17题图 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19.（本题满分8分）计算与化简：（1）计算：2tan45º+-（）﹣2 ； （2）化简：． 20.（本题满分8分）解不等式组并写出它的最大负整数解． 21．（本题满分8分）某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题． （1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 ▲ ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 ▲ 度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校有学生1000人，请根据样本估计全校最喜欢踢毽子的学生人数约是多少？ 22．（本题满分8分）在一个不透明的盒子里装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字-1，0，1，2，这些卡片除数字外都一样，将卡片搅匀. （1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到数字0的概率是 ▲ ； （2）先从盒子中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的横坐标，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，记下数字作为点A的纵坐标，利用画树状图或列表的方法，求点A落在第二象限的概率. 23.（本题满分10分）“绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务．甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治1800米所用的时间与乙工程队整治1200米所用的时间相等．求甲工程队每天整治河道多少米？ 24．（本题满分10分）如图，£ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE． （1）若OE＝3，求EF的长； （2）判断四边形AECF的形状，并说明理由． 25．（本题满分10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上点0为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AE＝4，劣弧DE的长为，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 26.（本题满分10分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积； （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB； （3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； （4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）． 27． （本题满分12分）综合实践 问题情境：校园为优化夜间操场照明，在操场上方架设高空射灯投射装置，灯光在地面形成的照明边界轮廓可近似看作抛物线. 建立如图1所示的平面直角坐标系，该抛物线解析式为y＝ax2+4ax+c，灯光与地面（x轴）交于点A（﹣6，0）和点B，灯光发射口在y轴上的点C处，且发射口高度OC＝3OB． （1）直接写出抛物线的解析式及直线AC的解析式； （2）如图2，该抛物线的顶点D为射灯最高照射点位，为监测灯光边界的地下延伸范围，在边界点A 处布设地下预埋激光探测线，其解析式为y＝﹣x﹣2 ，探测线与抛物线在第四象限交于点E, 求∠CAE﹣∠CAD的度数． （3）若点 P 是该抛物线上任意一点，作PQ⊥y轴垂足为点Q，直线PQ交直线AC于F，再过点F作x轴的垂线垂足为R，为安装照明感应监控设备，要求线段QR最短，求此时点P的坐标及QR的最短长度． 备用图 28.（本题满分12分） 为丰富校园数学实践活动，某数学兴趣小组开展线段勾股分割探究活动，现定义如下： 如图1，点M，N在线段AB上，若以线段AM，MN，NB为边恰好能组成一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点． （1）如图1，M，N为线段AB的勾股分割点，且AM＝5，MN＝3，则NB＝　 　 ； （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，F为CD边上一动点，AE，AF分别交BD于点M，N，当点M，N为线段BD的勾股分割点时，求FD与FC的数量关系； （3）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点（AB＞AM≥BN），过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P． ①PC的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②直接写出△PMN面积的最大值． 第页 共6页1 学科网（北京）股份有限公司 $