精品解析：宁夏银川市唐徕中学2025-2026学年第二学期高三考前模拟考试数学试卷

银川唐徕中学2026届高三第四次模拟考试数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（，为虚数单位），则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为2 C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为24 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件，相互独立的充要条件是 B. 一组样本数据，，…，的方差，若，则这组样本数据的方差为1 C. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 D. 若，记函数，，则的图象关于点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则_________． 13. 已知，则________；________． 14. 已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数在内不单调，求实数的取值范围． 18. 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 （1）根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． （2）据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 19. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川唐徕中学2026届高三第四次模拟考试数学试卷 本试卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷上作答无效． 3．非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（，为虚数单位），则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和复数相等可求得a，b，由此可求得答案. 【详解】解：∵，∴， ∴，解得， 则实数， 故选：C. 2. 已知全集 小于 20 的质数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 小于 20 的质数 . 因为， 所以. 3. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 4. 已知圆台的上､下底面面积分别为，且，圆台的高为3，轴截面面积为9，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的上下底面半径为， 因为，所以，则， 则轴截面面积为，得， 则该圆台的体积为 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 6. 已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 7. 已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为2 C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据原函数的图象、导函数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，所以. 由，可知有两个极值点， 且，，不妨设，且，则A C选项错误. 所以在区间上，递增；在区间上，递减. BD选项符合. 故选：BD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件，相互独立的充要条件是 B. 一组样本数据，，…，的方差，若，则这组样本数据的方差为1 C. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 D. 若，记函数，，则的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件的定义判断A的正误，根据方差公式计算出均值后判断B的正误，根据总体方差的计算公式计算后判断C的正误，根据正态分布的对称性可判断D的正误. 【详解】对于A，若， 因为， 故， 从而，故独立， 若独立，则也相互独立，故， 故，相互独立的充要条件是，故A正确； 对于B，由题设有， 故，故，故，故B正确； 对于C，若两层的样本容量分别为，则总体均值为， 则总体方差， 若，则，故C错误； 对于D，因为，故， 故，故的图象关于点对称，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置上． 12. 从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则_________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】从6张卡片中随机抽取2张的组合数为：， 事件的组合数为：， 事件B的组合数为：， 则， ，， ． 13. 已知，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 14. 已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理推导与的比值，结合长度求出，再在中通过余弦定理计算即可. 【详解】在与中，由正弦定理，，， 因为为等边三角形，故，即， 因此 ，又 ，解得， 在中，由余弦定理， ， 故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由为等差数列，可得，然后由可得答案； （2）由（1）讨论的正负性，然后由可得答案. 【小问1详解】 因，则为首项为23，公差为的等差数列， 则. 又，则， 时，, 又满足，则； 【小问2详解】 由（1），当时，令，可得； . 则当时，； 当时，. 综上：. 16. 如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【小问1详解】 以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． 【小问2详解】 ，又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 17. 已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由与直线斜率相等可得答案； （2）注意到，函数在上不单调等价于在上有变号零点，据此可得答案. 【小问1详解】 ，. 因，则直线斜率为， 由题可得； 【小问2详解】 ， 因在上不单调等价于在上有变号零点， 又，令， 由在上有变号零点，可得方程在上有解， 因，则，结合在上单调，从而. 又注意到当时，在上单调递增，不满足题意， 综上可得. 18. 蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 （1）根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． （2）据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1）①，理由见解析；. （2）①；②，． 【解析】 【分析】（1）根据残差可选模型①，再根据题设中的数据和公式可求回归方程； （2）①根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；②利用二项分布可求期望和方差. 【小问1详解】 ①理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好． 令，则，， 所以， 因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 令，得， 故当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以取得最大值时对应的概率． ②由①知，当时，，即每年需要人工防治的概率为， 且服从二项分布．所以， ． 19. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 【答案】（1）， （2）最大值． （3）5 【解析】 【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率； （2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及可得的面积最大即可求解； （3）由题意知，，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可. 【小问1详解】 设半椭圆的方程为（，且）． 由半圆的半径为1，得，， 故，，，，所以，， 所以，解得， 所以半椭圆的方程为， 所以半椭圆的离心率． 【小问2详解】 如图，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方， 由，得，解得或， 所以，则直线的方程为， 又等于半径1，所以． 显然，当点S在半圆上且时，的面积最大． 因为点到直线的距离， 所以点S到直线的距离， 故， 所以面积的最大值． 【小问3详解】 由题意知，． 因为，所以由对称性可知，为椭圆截直线所得弦的长． 设，且与椭圆交于点和． 由，得，则， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $