精品解析：宁夏六盘山高级中学2026届高三考前模拟考试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2026届高三第三次模拟考试试卷 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为________. 14. 某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 16. 已知曲线. （1）求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在线段上． （1）若，求证：平面； （2）若平面平面，，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 18. 已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为； ②求面积的最小值. 19. （1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式； （2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数. ①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式： ②记，证明：数列中存在小于1的项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2026届高三第三次模拟考试试卷 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简得出，根据复数的几何意义即可得出答案. 【详解】由已知得， 则在复平面内对应的点的坐标为，该点在第三象限. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 4. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在中， 设，则， 又由椭圆定义可知 则离心率， 故选D. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由平方得：， 又因为，则，所以， 则，即. 6. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 7. 已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】整体代换法求得函数对称中心的横坐标，结合题设条件，得出，进而求得的最小值． 【详解】由题意，函数，又因为最小正周期为，所以，所以 令，解得 则函数的对称中心的横坐标为， 又因为，函数关于对称，函数在上单调， 所以， 当时，，即的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围. 【详解】作出图象如下： 由，且，则， 即有，，且，则， 故， 则. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用赋值法求或系数和判断A、C，由二项式定理求对应项系数判断B，对等式两侧求导，再应用赋值法求系数和判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 10. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，把点的坐标代入双曲线的方程，利用点差法求出直线的斜率，即得解. 【详解】设， 点是曲线：的弦的中点， . 把的坐标代入曲线的方程，可得 ，两式相减得， 即， ， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即. 故直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查中点弦所在直线方程的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】求出双人挑战组关卡挑战成功的概率，再结合条件概率公式求出每个关卡挑战不成功人数的期望，进而列式求解. 【详解】依题意，当参赛团队挑战赛通关时，每个关卡至少有1名选手挑战成功， 在挑战赛通关的情况下，设第个双人挑战组的挑战不成功的选手人数为， 的可能值为，挑战不成功的选手总人数，于是， 双人挑战组关卡挑战成功的概率，则， ，， 所以. 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值和样本成绩的中位数； （2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列． 【答案】（1），中位数为75 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）通过矩形面积和为1，可求，由中位数的计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 每组小矩形的面积之和为1，， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 中位数落在内， 设中位数为，则，解得，即中位数为75． 【小问2详解】 由分层抽样可知， 成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人， 故的可能取值为0，1，2， ， 0 1 2 16. 已知曲线. （1）求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，确定切线方程，进而可求解. （2）问题转换成曲线与直线有两个交点，通过求导，确定的图象，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. 【小问2详解】 因为，函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，， 且当时，，当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在线段上． （1）若，求证：平面； （2）若平面平面，，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析. （2）2 【解析】 【分析】（1）连接与相交于点，证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，利用表示直线与平面所成角的正弦值，列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 如图所示，连接与相交于点，连接， 因为底面为等腰梯形，所以. 所以，所以，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 则以为坐标原点，以向量方向为轴， 以平面内与垂直的方向为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 记直线与平面所成角为， 设，则. 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，，，所以. 所以， 即，解得，所以， 所以. 18. 已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【小问1详解】 由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为， ，解得； 抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 19. （1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式； （2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数. ①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式： ②记，证明：数列中存在小于1的项. 【答案】（1）；（2）①，；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得为等差数列，求出，从而可求出数列的通项公式； （2）①当时，利用累加法可得，由得，则，从而得，结合已知可得，进而得数列的通项公式：②解法一：由题意得，先证明：，当时，，分和证明，从而可证得结论；解法二：当时，由于，所以利用累加法可得，则得，从而得结论. 【详解】（1）因为对于，都有，所以为等差数列. ， ，. （2）①当时，因为，所以， 由累加法得，. 因为，故. 当时，也满足上式，所以，. 那么. 从而. 又因为，由两边夹定理可得，. 因此上面的推导过程中的等号都成立，即， ②法一：由题意得. 先证明：，当时，. （i）若，则当时，成立： （ii）若，取 当有. 即成立. 当时，. 所以数列中存在小于1的项； 法二：当时，因为，所以， 由累加法得，， 又，故. 当时，也满足上式，所以， 所以. 当，时，， 即，故即. 所以数列中存在小于1的项. 【点睛】关键点点睛：此题考查等差数的证明，考查利用累加法求数列的通项，考查数列与不等式的综合问题，解题的关键是根据已知条件合理利用放缩法推理证明，考查推理能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $