湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷

**基本信息** 涵盖高二数学核心知识，创新设计“攀登数列”“美好成长”等新定义问题，结合药物试验、销售数据等真实情境，考查数学抽象、数据观念与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数、空间向量、立体几何距离、数列新定义、概率|第4题以“攀登数列”整合递增、周期等数列性质，考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|线性回归、函数性质、路径计数|第9题结合销售数据考查回归方程与残差，体现数据应用| |填空题|3/15|独立性检验、数列递推、正态分布|第13题“美好成长”数列定义，考查归纳与递推能力| |解答题|5/77|导数综合、独立性检验、立体几何、双曲线|15题导数应用（单调性、恒成立、证明），19题双曲线轨迹与面积定值，考查逻辑推理与综合运算|

湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．设向量，则与夹角的余弦值为（   ） A．0 B． C． D．1 3．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“攀登数列”．有下列命题： ①存在递增数列，使得它是“攀登数列”； ②存在周期数列，使得它是“攀登数列”； ③存在等差数列，使得它是“攀登数列”； ④若数列为公比为的等比数列，对于任意，存在，使得为攀登数列． 其中所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 7．袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球.从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（    ） A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．的极小值点小于极大值点，且极小值为 D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（    ） 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③. 参考数据：，，，. A．y关于x的线性回归方程为： B．相关系数（小数点后保留两位） C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 10．已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止.则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得________． 发病 未发病 合计 接种 3 27 30 未接种 17 13 30 合计 20 40 60 参考公式：，其中． 13．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”､将数列1，3进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列，设第次“美好成长”后得到数列为，记，则数列的通项公式为__________. 14．已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 16．为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； (2)能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 18．如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19．已知双曲线的实轴的长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程； (3)设为双曲线上任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为.的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题(解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C A C D ABD BCD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】依题意，， 所以. 2．B 【详解】， 故. 3．B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 4．B 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出，作差后，分类讨论公差的的3种情况来判断；对于④，求出，作差后对分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当时，满足为递增数列， 而，， 则，即， 因此，存在递增数列，使得它是“攀登数列”，故①正确； 对于②，当周期数列为时，周期为2， 对任意的，都有， 因此，存在周期数列，使得它是“攀登数列”，故②正确； 对于③，设等差数列的公差为，则，， 要使数列为“攀登数列”， 则，对任意的恒成立， 当时，是开口向上的二次函数， 当时，，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意. 综上所述，不存在等差数列，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列的公比为，， 则， 所以， 当为奇数时，由于，则， 要使，则需使，即符合题意； 当为偶数时，由于， 则（*）， 因， 由于方程的根为，而，则， 而，则由（*）可得， 又，要使，需使，即符合题意. 综上所述，存在，对于任意，使得为攀登数列，故④正确. 5．C 【分析】利用概率的性质结合对立事件的概率公式得到，，最后结合条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 而， 由条件概率公式得，故C正确. 6．A 【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根. 当时，，只有一个零点，不符合题意，所以. 当时，方程等价于. 令，则问题转化为直线与函数的图象有两个不同的交点. 求导得：.令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值.当时，；当时，.函数的图象大致如下： 由图象可知，当直线与函数的图象有两个不同的交点时， 需满足. 当时，直线与图象只有一个交点； 当时，直线与图象最多一个交点； 当时，直线与图象无交点. 故实数的取值范围为. 7．C 【分析】首先对前4次取球的颜色分类，再根据排列数和组合数公式列式，最后根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】前4次只取到红球和黄球（两种颜色都有），第5次取到白球，； 前4次只取到白球和黄球（两种颜色都有），第5次取到红球，； 前4次只取到白球和红球（两种颜色都有），第5次取到黄球，. 所以. 故选：C. 8．D 【分析】利用的几何意义可判断AB；求导，结合切点与另一个切点，可得的单调性，进而可得结论. 【详解】由，得， 可得表示曲线上的过点与原点的直线的斜率， 由图形可知，先增大，后减小，又增大， 所以有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB错误； 设切点的坐标为，则由条件得有两个解， 其中一个解为，另一个解设为，显然有， 当时，；当时，，当，. ，， ∴当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴当时，有极大值，且极大值为. 当时，有极小值，且的极小值点大于极大值点，故C错误，D正确； 9．ABD 【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B. 【详解】计算均值： ， ， 选项A：根据公式， ， 线性回归方程为，A正确； 选项B：相关系数，B正确； 选项C：代入回归方程： ，预测月销售量为千件，不是千件，C错误； 选项D：时， ，残差 ，D正确. 10．BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 11．BCD 【解析】利用组合计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误；计算出乙经过处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误；计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断D选项的正误. 【详解】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走， 则甲从到达处的方法有种，A选项错误； B选项，甲经过到达处，可分为两步： 第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种. 甲经过到达的方法数为种，B选项正确； C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， 甲、乙两人在处相遇的方法数为， 甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确； D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有步向右走，后三步只有步向右走， 乙到处，前三步有步向下走，后三步只有步向下走， 所以，两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种； 故甲、乙两人相遇的概率，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：本题考查格点问题，解决这类问题可利用如下结论求解： 在平面直角坐标系中，从到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法种数为（或）种. 12．14.7 【分析】根据公式计算得解. 【详解】, 故答案为：14.7 13． 【分析】由已知可得，则，构造数列，利用等比数列的通项公式即可求解． 【详解】 由得，，所以数列是以首项为， 公比为3的等比数列，故 故答案为：. 14． 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，， 则原不等式转化为， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此 15．(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 16．(1)，，有效，理由见解析 (2)有的把握认为药物对预防疾病有效． 【分析】（1）根据条件概率的概念，计算事件的概率，进而判定药物X对预防疾病Y是否有效． （2）根据独立性检验方法，计算，进而判断药物是否有效. 【详解】（1）在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得， 在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得 ， 未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异． 因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效． （2）零假设：药物对预防疾病无效， 由列联表得到， 所以有的把握认为药物对预防疾病有效． 17．(1) (2)8186人 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定定理证明平面，继而即可证得； （2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式求解即得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因平面，所以. （2）由题意以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，，. 设平面的法向量是， 则，取，可得， 易得是平面ABCD的一个法向量， 则， 故平面PBQ与平面ABCD夹角的余弦值为. 19．(1) (2)或 (3)是， 【分析】1）根据实轴的长为，离心率，求出即可求得双曲线的标准方程; （2）假设直线的方程与双曲线的标准方程联立，通过韦达定理表示出线段的中点的坐标，从而求出轨迹方程； （3）设，求出点双曲线两条渐近线的距离，再利用分别取两条渐近线的法向量为求出两条渐近线的夹角，由于与两条渐近线垂直，故与该夹角互补，从而表示出面积，再判断是否为定值. 【详解】（1）由双曲线的实轴的长为，得，所以， 又，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 联立，消去并整理，得 ， 由直线与双曲线有两个交点，得， 且 ，解得且． 设，则，故， 由且，得或， 将代入，整理得， 因为，所以，即 ， 故线段的中点的轨迹方程为或． （3）的面积是定值．理由如下： 设，则，双曲线的渐近线方程分别为 ． 点到两条渐近线的距离分别为， 故．分别取两条渐近线的法向量为， 则， 由于与两条渐近线垂直，所以，与该夹角互补 故， 所以的面积， 故的面积为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $