专题07 期末真题易错百练通关（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

**基本信息** 聚焦期末高频易错点，以50道山东各地期末真题构建10大压轴题型训练体系，强化几何变换、函数综合及代数运算的综合应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|5题|矩形/菱形/正方形折叠|轴对称性质与四边形性质结合| |最值问题|5题|动点与几何图形最值|转化思想（对称/垂线段最短）| |综合问题|5题|多结论几何判断|三角形与四边形性质综合推理| |分母有理化|5题|二次根式化简运算|平方差公式与分式性质应用| |整数部分与小数部分|5题|无理数估算|不等式估值与代数变形| |一次函数相关最值|5题|函数与几何结合最值|函数增减性与几何性质综合| |一次函数与几何综合|5题|函数图像与几何证明|数形结合思想应用| |一次函数实际问题|5题|充电/租车等情境|数学建模与数据处理| |平移旋转几何证明|5题|旋转性质应用|全等/相似三角形判定推理| |平移旋转最值|5题|旋转动点最值|变换性质与轨迹分析|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07期末真题易错百练通关 (50题10大压轴题型) 真题实战·百练通关 题型1折叠问题 题型6一次函数相关最值问题 题型2最值问题 题型7一次函数与几何综合 题型3综合问题 题型8一次函数相关实标问题 题型4分母有理化 题型9平移与旋转相关几何证明 题型5整数部分与小数部分 题型10平移与旋转相关最值问题 题型一折叠问题（共5小题） 1.(24-25八年级下·山东威海期末)如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C,D分别落在C,D处， EC'交AD于点G.若LAFE=55°，则LEGD=() A.65 B.70° C.75 D.85° 2.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M和N分别是AB和 AD上一点，沿MN将△AMN折叠，点A恰好落在边BC的中点E上.若AB=2,则ME的长为 D B 3.(24-25八年级下·山东德州期末)如图，矩形ABCD沿AC折叠，使点D落在点E的位置，AE与BC 相交于点F,若AB=6,BC=8,则BF的长是() 1/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A.3 n. 4.（24-25八年级下·山东临沂期末)如图，己知正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边AD、BC 上，若将正方形ABCD沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF= 5.(24-25八年级下山东枣庄·期末)如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好 落在DC的延长线上的点E处.若∠D=60°，AB=3,则AC为· D 题型二最值问题（共5小题） 6.(24-25八年级下·山东临沂期末)如图，正方形ABCD的边长为6，以AB边为底向外作等腰Rt△ABE ,点P是对角线AC上的一个动点，连接PB,PE,则PB+PE的最小值是() 4 D B A.82 B.9W2 C.3W10 D.3+3W2 7.(24-25八年级下·山东济南期末)如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O,M是A0的中 点，线段EF(点E在点F的左边)在直线BD上运动，连结AF、ME,若AB=2√2，EF=1,则 AF+ME的最小值是() 2/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A.√1o B.2V2+1 C.42 D.4 8.(24-25八年级下山东临沂期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=25,点P为 AB上任意一点（不与点A重合），以PA,PC为邻边作PAOC,连接P2,则PQ最小值为() A B A.3 B.4 C.25 D. 9.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，点E是矩形ABCD内部一个动点，满足AE=AB,F为AE上 二点且A4A,当AD3,4B=8时，则BP+CE的最小值为一 C E 10.(24-25八年级下山东日照期末)如图，口ABCD中∠D=75°，AB=4,AC=BC,点E为线段AD上 一动点，过点E作EF⊥AC于点F,连接BE,点G为BE中点，连接GF.则GF的最小值为· E D 题型三综合问题（共5小题） 11.(24-25八年级下山东济南期末)如图，在正方形ABCD中，点0是对角线AC,BD交点，过点0作 射线OM,ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°，OC,EF交于点G,有下列结论：① △D0F≌△COE,②CF=BE,③F0=FG;④四边形CE0F的面积为正方形ABCD面积的；：⑤ 3/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OF2+OE2=EF2.其中正确的个数是() E G A.2 B.3 C.4 D.5 12.(24-25八年级下山东青岛期末)如图，在口ABCD中，LB=60°，AB1AC,点E是线段BC上一 动点，连接DE,过点C作线段DE的垂线，垂足为F,与AD交于点G,下列选项正确的有 G D B E ①SABC=SHDE; ②四边形AECG是平行四边形； ③连接EG,当GE⊥AC时，四边形CDGE是平行四边形； ④当AE1BC时，DE= 2 AB 13.(24-25八年级下山东烟台期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,对角线AC,BD相 交于点O,P是对角线BD上的一动点，则①AC=2;②OB=√5OA;③若M为AB上的一个动点，则 PM+A的最小筐为5：@若PN1AB于点AMPN上D于点N,则PM+PN=号BD, 其中正确的有 (填序号). N D M 14.(24-25八年级下·山东菏泽期末)如图，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,CF⊥AB于 点F,点D,E分别在边AC,BC上，连接DE,CE=AD,下列结论：①AB=2CF;②DF=EF;③ ∠DEF=45°，其中正确的结论的个数有() 4/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 15.(24-25八年级下山东东营·期末)如图，在ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE, BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC;②△DBF≌△ABC;③四边形AEFD是平行四边形： ④LDFE=110°；⑤S四边形4EFD=5.正确的个数是() D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型四分母有理化（共5小题） 16.(24-25八年级下山东淄博期末)阅读下列材料： 1xV2- =√2-1； √2+1（2+12-1 1x(5-v2) 6+9j店5-5： 1 1x(V4-3 4+3(4+5V4-B) =2-V3: 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化. 回答下列问题： (①)将万+石分母有理化后的结果为 (2)当n为正整数时， √n+1+√n 1 1 1 (3)计算 1 2++5+5+4+++、 2026+√2025 ×(√2026+1)的值. 17.(2425八年级下山东泰安期末)在进行二次根式运算时，我们有时会遇到2这样的式子，小明 3+1 和小新对这类式子有不同的化简方法. 5/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小明的方法： 2 2×3-1 2x(5--5-1 3+1(3+(3- 2 小新的方法： 23-1 （(5+5-5-1 V5+1√5+1 V3+1 )请你选择一种你喜欢的方法化简：√万十5· 2 2 2 2 2 2 (2化简：V5++5+5+7+5+…+2023+V202i+2025+V2023 V2025 18.(24-25八年级下山东德州期末)为我们定义一种运算一取一个实数的整数部分，即取出不超过 实数x的最大整数，简称取整，记为[x.这里[x=x-a,x+a=x,其中[x是一个整数，0≤a<1,a称 为实数x的“小数部分”，记作{Zn},所以有x=x]+{Z}.例如，[2.5]=2，[-14.3]=-15， {Z245=2.45-[2.45]=2.45-2=0.45,{Z16}=-1.6-[-1.6=-1.6-(-2)=0.4. 关于取整运算有部分性质如下： ①x-1<[x≤x; ②若n为整数，则[x+n=[x]+n, 请根据以上材料，解决问题： ()[o= ;若m=[-π，n={Z.},则m2+mn= (用含π的式子表示)； 1 2记M-2+5+5*2+5++226+202判： 十 ,求的 19.(24-25八年级下山东德州期末)【阅读理解】 11x2-0=2-1; 例：2+12+MV2-0 1x(3-√2) 5+5(6+2N625-5. 1 根据阅读解决以下问题： 1 V5-2’化简a,b. 1 (1)已知a= 5+2,b= 6/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (2)求a2-4ab+b2的值. 20.(24-25八年级下山东聊城期末)先阅读，再解答：由(7+v5)(V万-V5)=(°-V5=2可以看 出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式. 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.例如： 1 万-√5 √7-5 V7+57+57-5 2 请完成下列问题： (1)√5-√2的有理化因式是 3 (2)化去式子分母中的根号： 3-6 ； (直接写结果) 1 (3)利用你发现的规律计算： 十…十 (2025+1. V2+1V3+V2√4+V3 √2025+√/2024 题型五整数部分与小数部分（共5小题） 21.(24-25八年级下山东烟台期末)阅读下列材料： :4<√万<5，即2<√7<3， .√万的整数部分为2，小数部分为万-2· 根据材料提示，进行解答： (1)√28的整数部分是 ，2√3的小数部分是 (2)如果√5的小数部分为m,18的整数部分为n,求2m+n-√5的值. 22.（24-25八年级下·山东济南期末)[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫 做分母有理化.通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的. 1 1x(3-√2) 例如：化简5+万·解：5+万32X85-5. 1 [理解应用] 2 (化简：5+5 (2②)若a是6的小数部分，化简 a 1 1 1 3)化简：5+十5+V5+万+5+…+2023+202 7/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.(24-25八年级下山东泰安期末)大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的 小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用√-1来表示√2的小数部分，因为√2的整数部分是1，将 √2减去其整数部分，差就是其小数部分.请解答： (1)请写出√13的整数部分和小数部分各是多少？ (2)如果√5的小数部分为a,√17的整数部分是b,求ab-√5的值： (3)已知：10+√5=x+y,其中x是整数部分，y是小数部分，且0<y<1,求x-y的相反数. 24.(24-25八年级下山东菏泽期末)阅读下列材料，然后回答问题. 2 在进行二次根式运第时，我们有时会碰上3这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 2 2xV5-1 2×5- 3+13+1×5-1（-1P 5-1 以上这种化简的步骤叫作分母有理化， 2 (化简5+万 1 (②已知2-5 的整数部分为a,小数部分为b,求a2+b的值. 25.(24-25八年级下山东德州期中)已知a=3-√5，b=3+√5. (1)求a+b和ab的值； (2)求a2+b2-3ab的值： (3)若a的整数部分是x,b的小数部分是y,求ax-by的值. 题型六一次函数相关最值问题（共5小题） 26.(24-25八年级下山东临沂期末)如图，直线AB:y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.直线 CD:y=kx+b(k≠0)经过点C(-2,0),D(0,1),与直线AB交于点E. B (I)求直线CD的函数关系式； (2)连接BC,求△BCE的面积； 8/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (3)已知点Q的坐标为(m,3),则m为何值时，A+QE最小，最小值是多少， 27.(24-25八年级下·山东滨州期末)将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴 上，点C在y轴上，0C=6,直线y=弓经过点B E B D E 图1 图2 (I)如图1，将△OAB沿直线OB折叠，点A落在点D处，OD交BC边于点E.试求直线0D的解析式： (2)如图2，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE取得最小值时E点的坐标 28.(24-25八年级下·山东临沂期末)已知一次函数y=(k-2)x+1,若当-1≤x≤2时，函数有最大值为 3,则k的值为() A.3 B.3或4 C.6 D.0或3 29.（24-25八年级下山东日照期末)一次函数y=x+3(k为常数，且k≠0)，当-3≤x≤4时，y的 最大位是？，则太的值是 30.(24-25八年级下·山东临沂期末)已知一次函数y=x+b(k≠0)的图象经过点A1,4)和点B(2,2). (1)求该一次函数的解析式； (2)当-2≤x≤2时，求函数的最大值； (3)若一次函数y2=-x+2m-6,当x<m时，总有，>y2.求m的取值范围. 题型七一次函数与几何综合（共5小题） 31.(24-25八年级下山东济宁.期末)如图，直线y=-x+2分别与x轴、y轴交于A,B两点，从点P(1,0) 射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到点P,则光线所经过的路线长是() B A.10 B.2 C.3 D.2+N5 9/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32.(24-25八年级下山东济南期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+4(k≠0)与x轴交 于点A(3,0),与y轴交于点B,直线BC:y=2x+4与x轴交于点C. 备用图 (1)求直线AB的解析式和线段AB,AC的长. (2)在线段BC上有一动点P(不与点B,C重合)，过点P作PD⊥x轴于点D,PE⊥AB于点E,以PD, PE为邻边作PDFE. ①求。PDFE的周长. ②当。PDFE为菱形时，直接写出点F的坐标， 3.(2425八年级下山东期城期末)如图。直线片=+6与x排交于点4，与y销交于点B,与直 线y2=x交于点E,点E的横坐标为3. B (1)直接写出b的值：- (②在X维上有一点P0,过点P作x销的垂线，与直线以=+B交于点C,与直线为=x交于点D, 若OB=CD,求m的值」 34.（24-25八年级下山东滨州期末)已知直线y=c+3与x轴的负半轴交于点A,与y轴的正半轴交于 点B,且0B=30A. (1)求k的值： (2)若将直线AB向下平移n(n>0)个单位长度后与x轴交于点C,求n为何值时，ABC的面积等于9？ 35,（2425八年级下山东聊城期未)如图，y=+6与直线)行交于点4，与x轴y轴分别交于 2 10/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B,C B (1)求出点A,B,C的坐标； (2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的表达式. 题型八一次函数相关实际问题（共5小题） 36.(24-25八年级下·山东日照·期末)探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系. 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧 气.因此，随着燃烧时间的不 素材一 断增长，容器内的氧气含量越 来越低，当容器内的含氧量约 为16%时，蜡烛会熄灭. 使用氧气含量检测仪器定时 测量密闭容器中的氧气含 量，记录数据，并根据数据绘 制出如图所示的函数图象.其 中(s为燃烧时间，y%)为 氧气含量. 素材二 y/% 50 8 0120 亦 完成下列任务 11/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 当燃烧时间为150s时，密闭容 任务一 器中的氧气含量是多少？ 请预测当蜡烛燃烧多长时间 任务二 时，会因为氧气不足而熄灭？ 37.(24-25八年级下·山东济南·期末)在2025年5月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了 新型无人机，其中A、B两款无人机备受关注，已知A款无人机比B款无人机每架多5万元，用80万元购 买A款无人机与用60万元购买B款无人机的数量相等. (1)求A、B两款无人机的单价各是多少？ (2)某企业打算购买A、B两款无人机共12架，且A款无人机的购买数量不少于B款无人机购买数量的2倍， 求该企业购买多少架A款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 38.(24-25八年级下·山东聊城期末)某学校拟向公交公司租借A、B两种客车共12辆，用于接送八年 级师生去社会实践基地参加研学活动.若每位老师带队20名学生，测还剩35名学生没老师带；若每位老 师带队22名学生，就有一位老师少带5名学生. (1)参加此次研学的老师和学生各有多少人？ (2)若要求A型车的数量不少于B型车的2倍，A型车的租金为600元/辆，B型车的租金为450元/辆，那 么租借B型车多少辆时，支付的租车费用最低？请求出最低费用. 39.(24-25八年级下·山东临沂期末)新能源汽车主要使用电力作为动力装置，不仅减少了对环境的污染， 而且使用成本低·如表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y%)与己 行驶里程xkm)的关系. 己行驶里程x(km 0 100 200 300 显示电量y(%) 100 75 50 25 y/% 100 75 50 25 100200300400x/km 12/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)在如图的平面直角坐标系中描出数据对应的点并连线： (2)根据以上信息求出y与x的函数关系式： (3)此新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶260km后，求此时仪表盘显示电量 40.(24-25八年级下·山东临沂期末)某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进 行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y(单位：kw·h)与充电时间x(单位：h)之间的函数 图象，其中折线ABC表示用快速充电器充电时y与x的函数关系；线段AD表示用普通充电器充电时y2与 x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题： y/(kw.h) 100- E 10A 012 2 x/h 33 (1)求用快速充电器充电时，汽车电池电量乃关于充电时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范 围 (2)该品牌汽车电池电量从10kw·h充到100kw·h,快速充电器比普通充电器少用多少小时？ 题型九平移与旋转相关几何证明（共5小题） 41.(24-25八年级下·山东济南期末)旋转是几何中的一种重要变换，学校数学兴趣小组在研究三角形旋 转的过程中，进行了如下探究：△ACB是等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC,将线段CD绕点 C顺时针旋转90°得到线段CE,连接AD,BE B 图1 图2 备用图 【观察猜想】(1)如图1，当点D在线段AC上时，AD和BE的数量关系是 ，位置关系是 【探索证明】(2)如图2，当点E在恰巧落在线段AB上时，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立？ 若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由： 【拓展探究】(3)连接BD,若BD=8,CD=3,且直线AD与直线CD相交所成的锐角为45°时，请直 接写出线段AE的长 13/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 42.(24-25八年级下山东菏泽期末)实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，∠BAC=90°， AB=AC,点D为斜边BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接CE. 图1 图2 图3 (I)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明： (2)【探究应用】如图2，点D为等腰直角三角形ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段 AE,连接CE.若B,D,E三点共线，求证：∠BEC=90°； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形ABC的直角边长为2√2，点D是线段BC上的动点，将线段 AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接DE,CE,点D在运动过程中，当aDEC的周长最小时， CE的长为 (直接写答案)· 43.(24-25八年级下山东聊城期末)点P为ABC中内任一点，连接AP,BP,CP,将△ACP绕点A 逆时针旋转60°，得到△AED. D (I)如图，试判断△ADP的形状，并说明理由. (2)若点P是ABC内一个动点，试说明当点B,P,D,E四个点满足什么位置条件时，PA+PB+PC的和 最小 44.(24-25八年级下山东菏泽期末)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角 ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，小敏将一块含45°角的三角板NPQ先放在ABC上，使点Q与点A 重合，然后从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边QN所在的直线交直线BC于点D, 直角边OP所在的直线交直线BC于点E. 14/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A(2) A(2) A(O B D M B D B D 图1 图2 图3 (I)李敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现：若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC,请你 证明李敏发现的结论； (2)当0°<a≤45°时，李敏在旋转中还发现线段BD,CE,DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE ,同组的王颖和宋亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 王颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF（如图2)； 宋亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3)； 请你从中任选一种方法进行证明， 45.(24-25八年级下山东聊城期末)综合与实践旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转 可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的 B E 图1 图2 图3 【问题初探】(1)如图1，在ABC中，BA=4,BC=6,BD为AC边上的中线，求BD的取值范围.解 答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED,根据BE的取值范围可以解得BD的取值 范围.请画出△CED并直接写出BD的取值范围： 【问题解决】(2)如图2，P为等边ABC内一点，满足PA=2,PB=√，PC=1,求∠BPC的大小.这 个问题可以将△BPC绕点B逆时针旋转60°求解，下面是小明的部分解答过程： 解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A, CP=AP'=1,BP=BP'=V3,∠PBP'=60°，∠BPC=∠BP'A. …… 请补全余下的解答过程； 【问题拓展】(3)如图3，点E,F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，且满足LEAF=45°，BE=I, 15/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 DF=2,求EF的长 题型十平移与旋转相关最值问题（共5小题） 46.(24-25八年级下山东菏泽期末)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将ABC绕顶点C逆时 针旋转得到△A'B'C,点M是BC的中点，点P是AB的中点，连接PM,若BC=4,AC=6,则线段 PM长度的最小值是() A.2W2 B.√13-2 C.2 D.2√6-1 47.(24-25八年级下·山东济南期末)如图，在等边ABC中，BC=4,P是AC边上的高BD上的一动 点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°到CN,连接DN,则线段DN的最小值为() A.2 B.1 C.5 D.2 48.(24-25八年级下山东济南期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2,P是BC 边上的一动点，连接AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接CQ,则线段CQ的最小值为() P C A. B.1 C.√5 D.2 49.(2425八年级下山东济南期末)如图，等腰Rt△ABC,∠B=90°，AB=6,点D为边AB上一点， BD=2,点E为边AC上一点，连结DE,将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,连结AF,BF,则 AF+BF的最小值为一· 16/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 50.(24-25八年级下山东淄博·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4,点P是 边BC上一动点，连接AP,将AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ,连接C2,则C2长的最小值为 B 2 考题猜想·高分必刷 1.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合）， 过点C作CN⊥DM交AB于点N,连结OM、ON、MN·下列四个结论：①△CNB≌△DMC;②aOMN是 等腰直角三角形；③四边形ONBM的面积是正方形面积的四分之一；④AN2+CM2=MW2.其中结论正确 的有()个. A.4 B.3 C.2 D.1 2.第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过A点的直线折叠，使点B落在AD边上的点B处，得到折痕 AE,然后把纸片展平.第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点C落在 17/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EB'上的点C处，得到折痕DF,再把纸片展平.若AB=I0,BC=I6,EF=() ⊙ B 】 E E 图1 图2 A.2 B.3 c D.} 3.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,D是AB的中点，H是AB上一个动点，过点H分别作HE⊥AC、 HF⊥BC,垂足分别为E、F,EF与CH交于点G,连接AG,BG,DE,DF,下列结论错误的是() A.CG+FG的最小值为22 B.DE+DF的最小值为4 C.AG+BG的最小值为21O D.S△4DE+S△BDF的最小值为6 2+V5(2+5)(2+5 4.二次根式除法可以这样做：如 2-5(2-52+5) =7+45.像这样通过分子、分母同乘一个式 子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化.有下列结论： ①将式子5- 万进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以√2+√5： ②若a是V2的小数部分，则三的值为√5+1： 1 1 ③比较两个二次根式的大小： 6-2V5-5 ④、2 2 2 2 3+5+5V3+3W5+7N5+57+…+997+97N9 13 3 ⑤若x=Vn+1-Vn ,y=,且19x2+123y+19y2=1985,则整数n=2. n+1+n 以上结论正确的有()个. A.2 B.3 C.4 D.5 5.二次根式除法可以这祥解：如+-2+2+ 2-5(2-32+5 =7+4√3.像这样通过分子、分母同乘以一个 18/20 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（)①若α 是2的小数部分，则2的值为2+1： ②比较两个二次根式的大小6-25-万： 1 1 3元+元，2+7J5+5万99W97十9/W99). ③计算2 2 2 2 1 @对于式子后一2，对它的分子分母同时乘以5-V5或5或7-210，均不能对其分母有理化： ⑤设实数，y满足(x+V2+2024y+V2+2024=2024,则(x+y)2+2024=2024: ⑥若x= Vn+1-√n ,y=,且19x2+123y+19y2=1985,则正整数n=2. n+l+n A.①④⑤ B.②③④ C.②④⑤⑥ D.②④⑥ 6.如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=2x-1与x轴相交于点A,以OA,为边向上作正方形0A,B,C, 延长CB,交直线I于点A;以CA,为边向上方作正方形C,AB,C2,延长CB2交直线I于点A;以C2A,为边 向上方作正方形C2A,B,C3…,则点B的横坐标为() B C B. A B A? A 39 A. 2100 B.39 29 C.310 2100 D.3100 299 7.如图，直线4：y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b),直线4与Z与x轴分别交于A、B两点. B (1)求b、m的值： 19/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-y=- (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组 -y=-4 的解 (3)求两函数图像与x轴所围成的△APB的面积： (4)垂直于x轴的直线x=a(a>I)与直线，Z分别交于点C、D,若线段CD的长为4，求出a的值. 8.探究解题 D 图1 图2 图3 (1)问题解决：如图1，P是等边ABC内一点，且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋 转后，得到△P'AB,则点P与P之间的距离为PP=-，∠APB=-度. (2)类比探究：如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗？ 写出完整的解答过程。 (3)迁移运用：如图3，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,∠APB=459,则PC=-·(直 接写出答案) 20/20 专题07 期末真题易错百练通关 （50题10大压轴题型） 题型1 折叠问题 题型6 一次函数相关最值问题 题型2 最值问题 题型7 一次函数与几何综合 题型3 综合问题 题型8 一次函数相关实际问题 题型4 分母有理化 题型9 平移与旋转相关几何证明 题型5 整数部分与小数部分 题型10 平移与旋转相关最值问题 题型一 折叠问题（共5小题） 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，把矩形纸片沿折叠，点C，D分别落在，处，交于点G．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，根据矩形的性质、平行线的性质可求出，根据折叠可求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作交的延长线于点，由，求得，则，所以，，由菱形的性质得，则，由折叠得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，，点为的中点， ， ， 由折叠得， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为： 3．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，已知正方形的边长为10，点E、F分别在边、上，若将正方形沿直线折叠，使得点A恰好落在边的中点G处，则 _________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，连接，过点F作于点M，证明四边形是矩形，得到，再证明，得到，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点M，，的交点为， ∴， ∴四边形是矩形，， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，含的直角三角形． 由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 最值问题（共5小题） 6．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形的边长为6，以边为底向外作等腰，点P是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，正方形的性质． 利用轴对称-最短路线问题，作辅助线，根据等腰直角三角形的性质，正方形的性质解答． 【详解】解：如图，作B点关于直线的对称点，正好落于点D，连接交于点P，连接，此时的值最小， 由作图知道，， ， 正方形的边长为6，是等腰直角三角形，由勾股定理得， ，，， 在中， ， 的最小值 故选：C． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，已知正方形的对角线、交于，是的中点，线段（点在点的左边）在直线上运动，连结、．若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作的中点，连接、、、，与交于点， 四边形是正方形， ，，， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是正方形， 、关于对称， ， ，即点与点重合时，最小，最小值为的长， ，， 中，． 故选：A． 8．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，，，点为上任意一点（不与点重合），以，为邻边作，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：设与的交点为O， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为3． 故选：A 9．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，点E是矩形内部一个动点，满足，F为AE上一点且，当，时，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、E、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 在和中， ， ， ，当且仅当C、E、G三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， 在中，， 即， 的最小值为， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型三 综合问题（共5小题） 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 12．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点E是线段上一动点，连接，过点C作线段的垂线，垂足为F，与交于点G，下列选项正确的有_________． ①； ②四边形是平行四边形； ③连接，当时，四边形是平行四边形； ④当时，． 【答案】①③④ 【分析】过点A作于点H，由平行四边形性质得，由，判断选项①；由与不一定垂直， ，得与不一定平行，判断选项②；当时，由，得，由，判断选项③；由，得，得，当时，得，得，得，由 ，得，判断选项④． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中，， 且， ∴， ∴选项①正确； ∵点E是线段上一动点， ∴与不一定垂直， ∵， ∴与不一定平行， ∴四边形不一定是平行四边形， ∴选项②不正确； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴选项③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴选项④正确； ∴正确的选项有①③④， 故答案为：①③④． 13．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，则①；②；③若M为上的一个动点，则的最小值为；④若于点M，于点N，则． 其中正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 14．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵在等腰直角中，，，， ∴，，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确；， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴；故③正确； 故选D． 15．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 ，故②正确； 同理可证： 四边形是平行四边形，故③正确； ，故④错误； 过作于，如图所示：    则 四边形是平行四边形 ，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③，共3个． 故选：B 题型四 分母有理化（共5小题） 16．（24-25八年级下·山东淄博·期末）阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 17．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到这样的式子，小明和小新对这类式子有不同的化简方法． 小明的方法： 小新的方法： (1)请你选择一种你喜欢的方法化简：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分母有理化的知识，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法． （1）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案； （2）结合题意，可将原式化为，继而求得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（24-25八年级下·山东德州·期末） 为我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数，简称取整，记为．这里，其中是一个整数，，a称为实数x的“小数部分”，记作，所以有．例如，，，，． 关于取整运算有部分性质如下： ①； ②若n为整数，则． 请根据以上材料，解决问题： (1)________；若，则________（用含的式子表示）； (2)记，求； (3)若，求x的值． 【答案】(1)3；； (2) (3)或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴；； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， 解得； ； 是整数， 或， 解得或． 19．（24-25八年级下·山东德州·期末）【阅读理解】 例：； ． 根据阅读解决以下问题： (1)已知，，化简a，b． (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)14 【详解】（1）解： ， ． （2）解：原式， 当，时， 原式， ， ， ． 20．（24-25八年级下·山东聊城·期末）先阅读，再解答：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是______； (2)化去式子分母中的根号：______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【详解】（1）解：， 所以的有理化因式是． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解：， 原式 ． 题型五 整数部分与小数部分（共5小题） 21．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是__________，的小数部分是__________； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确估计出无理数的大小． （1）估算出，，即可求解； （2）估算出，，可得m，n的值，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是5； ∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分是3 ∴的小数部分是； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴，， ∴的整数部分为3，的整数部分为4， ∵的小数部分为m，的整数部分为n， ∴，， ∴． 22．（24-25八年级下·山东济南·期末）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可； （2）求出的整数部分，进而表示出小数部分确定出a，代入原式分母有理化计算即可； （3）原式各项进行分母有理化，计算即可求出值． 【详解】（1）解：（1） ； （2）∵a是的小数部分，且， ∴， ∴； （3） ． 23．（24-25八年级下·山东泰安·期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是 (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算解答即可； （2）根据无理数的估算求出a、b，计算即可； （3）根据无理数的估算求出x、y，根据相反数的概念解答即可． 【详解】（1）， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）， 的小数部分为： ， 的整数部分是； ． （3），其中x是整数，且， 为的整数部分，y为的小数部分， ， ， ，， ， 的相反数是． 24．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． (1)化简． (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）将进行分母有理化为，进而可得的整数部分为，小数部分为，代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵， 又∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， 则 25．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：由（1）得：，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵a的整数部分是x， ∴， ∵b的小数部分是y， ∴， ∴． 题型六 一次函数相关最值问题（共5小题） 26．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B．直线经过点，与直线交于点E． (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)已知点Q的坐标为，则为何值时，最小，最小值是多少． 【答案】(1) (2) (3)当时，最小值是 【详解】（1）解：把代入直线解析式， 得：，解得：， 则直线解析式为； （2）对于直线， 令，得到，令，得到，即， ， ， 联立得：， 解得：，即， 则； （3）作出A关于的对称点，连接，与交于点Q， 此时最小， 由对称可知得， ， ， ， 当时，， 当时，最小值是． 27．（24-25八年级下·山东滨州·期末）将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，直线经过点B． (1)如图1，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．试求直线的解析式； (2)如图2，点D是中点，点E在上，求取得最小值时E点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， 又直线经过点，将代入， 得：， ， ， 设，则， 又， ， 又折叠， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式为：， 将：点的坐标代入解析式，得：， 直线的解析式为：． （2）解：点是中点， ， 过点作与点关于点对称，连接，与交于点，则点为所求的点 ， ∵， 设直线的解析式为：， 代入得：， 解得： 直线的解析式为：， 令，则 点的坐标为：． 28．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（   ） A．3 B．3或4 C．6 D．0或3 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据一次函数的增减性，分和两种情况求解即可． 【详解】解：当，即时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 当，即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 所以k的值为0或3． 故选：D． 29．（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 30．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数（）的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值； (3)若一次函数，当时，总有．求m的取值范围． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式是解题的关键． （1）点和点代入解方程组即得； （2）根据一次函数随x的变化情况求解即可； （3）求出两直线交点横坐标，根据图象确定m的取值范围． 【详解】（1）解：（1）将，代入，得 . 解得，. ∴； （2）根据题意画出如下草图： 由图象可知，在范围内， 当时，的值最大，此时， ∴最大值为10； （3）由题意画出如下草图： 由图象可知，两条直线交点的左侧，总有. 而两直线交点的横坐标为， 故.所以. 题型七 一次函数与几何综合（共5小题） 31．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理等知识点，由题意由题意知的点点，点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则；．由而求得． 【详解】解：由题意知中， 当时，， 当时，，得到； ∴点，点， ∴， ∴，    ∵点， 设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则． 作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点， 则， ∴共线，， ∵， 即； ∴． 故选：A． 32．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点 (1)求直线的解析式和线段，的长． (2)在线段上有一动点不与点，重合，过点作轴于点，于点，以，为邻边作 ①求的周长． ②当为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；， (2)①；② 【详解】（1）解：将点代入， ， ， 直线的解析式为； 直线与轴的交点为， ∴ ， 直线与轴的交点为， ； （2）①连接， ， ， ， 的周长； ②四边形是菱形， ， ， ， 将代入得 ， ， 设， ， 解得， ， 33．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与 直线交于点E，点E的横坐标为3． (1)直接写出的值： ； (2)在轴上有一点，过点作轴的垂线，与直线交于点，与直线交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2)m的值为或9． 【详解】（1）解：点在直线上，点的横坐标为． ∴， ∴把代入直线， ∴； （2）∵， 当时，， ∴，即：， ∵ ∴， 如图， ∵点C在直线上，点D在直线上， ∴或， 解得：或， 即：或． 答：m的值为或9． 34．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知直线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且． (1)求的值； (2)若将直线向下平移个单位长度后与轴交于点，求为何值时，的面积等于9？ 【答案】(1)3 (2)18 【详解】（1）解：设点坐标为，其中，则由，得点． 点和点在直线上， 解得，， 的值是3． （2）解：由（1）可知将直线向下平移个单位长度后所得直线解析式为 ， 取，得， 解得， 点． 要使得的面积等于9，需满足， 解得，（不符合题意，舍去）， 故当为18时，的面积等于9． 35．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，与直线交于点A，与x轴，y轴分别交于点B，C． (1)求出点A，B，C的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为，求直线的表达式． 【答案】(1)，，． (2) 【详解】（1）解：联立解析式得： 由，解得， 所以， 当，代入直线，得，解得，即； 当，，即， （2）解：设， 因为且，所以， 所以，所以， 设直线表达式为， 把代入得： 所以，所以， 所以直线的表达式为． 题型八 一次函数相关实际问题（共5小题） 36．（24-25八年级下·山东日照·期末）探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中为燃烧时间，为氧气含量．    完成下列任务 任务一 当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】任务一：；任务二：340s 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 任务一：先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后再进行计算即可解答； 任务二：利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为： 把代入中得： ， 解得， ， 当时，， ∴当燃烧时间为时，密闭容器中的氧气含量是； 任务二：当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭， ∴把代入中得：， 解得：， ∴当蜡烛燃烧340s时，会因为氧气不足而熄灭． 37．（24-25八年级下·山东济南·期末）在年月份举办的第九届世界无人机大会上，众多企业展示了新型无人机，其中、两款无人机备受关注．已知款无人机比款无人机每架多万元，用万元购买款无人机与用万元购买款无人机的数量相等． (1)求、两款无人机的单价各是多少？ (2)某企业打算购买、两款无人机共架，且款无人机的购买数量不少于款无人机购买数量的倍，求该企业购买多少架款无人机时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)万元，万元 (2)， 【详解】（1）解：设款无人机的单价为万元，则款无人机的单价为万元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 万元 答：款无人机的单价为万元，款无人机的单价为万元． （2）设该企业购买架款无人机，则购买架款无人机． 根据题意，得， 解得， 设总花费万元，则， ， 随的增大而增大， ， 当时值最小， 答：该企业购买架款无人机时花费最少，最少费用是万元． 38．（24-25八年级下·山东聊城·期末）某学校拟向公交公司租借A、B两种客车共12辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加研学活动．若每位老师带队20名学生，则还剩35名学生没老师带；若每位老师带队22名学生，就有一位老师少带5名学生． (1)参加此次研学的老师和学生各有多少人？ (2)若要求A型车的数量不少于B型车的2倍，A型车的租金为600元/辆，B型车的租金为450元/辆，那么租借B型车多少辆时，支付的租车费用最低？请求出最低费用． 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有20人，学生435人 (2)租借B型车4辆时，支付的租车费用最低，最低费用为6600元 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有x人， 根据题意得：， 解得：， ， 答：参加此次研学活动的老师有20人，学生435人； （2）解：设租B型车m辆， 依题意得：， 解得：． 设租车费用为w元， 依题意得：， ∵， ∴w的值随m值的增大而减小， ∴当时， w的值最小， 最小值为6600． 答：租借B型车4辆时，支付的租车费用最低，最低费用为6600元． 39．（24-25八年级下·山东临沂·期末）新能源汽车主要使用电力作为动力装置，不仅减少了对环境的污染，而且使用成本低如表是一辆新能源汽车在充满电量的状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程的关系． 已行驶里程 显示电量 (1)在如图的平面直角坐标系中描出数据对应的点并连线； (2)根据以上信息求出与的函数关系式； (3)此新能源汽车在充满电量的状态下出发，行驶后，求此时仪表盘显示电量． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)行驶后，仪表盘显示电量为 【分析】（1）根据表格描点，连线即可； （2）用待定系数法可得； （3）在中，令得，故行驶后，仪表盘显示电量为． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）描点，连线如图： （2）解：设， 把，代入得：， 解得， ； （3）解：在中，令得， 行驶后，仪表盘显示电量为． 40．（24-25八年级下·山东临沂·期末）某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的函数图象，其中折线表示用快速充电器充电时与的函数关系；线段表示用普通充电器充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)求用快速充电器充电时，汽车电池电量关于充电时间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)该品牌汽车电池电量从充到，快速充电器比普通充电器少用多少小时? 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，设， 由题意得， 解得， ∴， 当时，设， 由题意得， 解得， ∴. ∴， （2）解：设关于的函数解析式为， 由题意得，， 解得， ∴关于的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 答：该品牌汽车电池，快速充电器比普通充电器少用． 题型九 平移与旋转相关几何证明（共5小题） 41．（24-25八年级下·山东济南·期末）旋转是几何中的一种重要变换，学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：是等腰直角三角形，其中，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． 【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，和的数量关系是______，位置关系是______； 【探索证明】（2）如图2，当点E在恰巧落在线段上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】（3）连接，若，，且直线与直线相交所成的锐角为时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或． 【详解】（1）解：线段绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，即， 故答案为：，； （2）成立， 证明：线段绕点C顺时针旋转得到线段， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：∵直线与直线相交所成的锐角为， ∴或， 当，且点D在左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 即点D在延长线上， 同（2）可证， ，， 在中， ， ， 在中， ， ， ； ②当，且点D在右侧时，如图， 同理， ∴， 即， 同（2）可证， ，， ∴点D在上， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ； ③当，且点D在左侧时，如图， 同理， ∴， 即， 同（2）可证， ，， ∴点D在延长线上， 在中， ， ， ， ， 在中， ； ④当，且点D在右侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 即点D在上， 同理可证， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ； 综上所述，或． 42．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）实践探究题 【问题情境】 在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，三点共线，求证：； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为______（直接写答案）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)详见解析 (3)2 【详解】（1）解：，理由如下， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，即，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 又，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意，， 同理，， ∴， ∴的周长为， 又∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴的值越小，则的值越小，由此的周长最小， 根据点到直线，垂线段最短，如图所述，过点作于点， ∴当点重合，即时，的值最小，则的值最小， ∴的周长最小，此时， 故答案为：． 43．（24-25八年级下·山东聊城·期末）点为中内任一点，连接，，，将绕点逆时针旋转，得到． (1)如图，试判断的形状，并说明理由． (2)若点是内一个动点，试说明当点B，P，D，E四个点满足什么位置条件时，PA的和最小． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)四个点在一条直线上时，的和最小，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可知由旋转得到， ， ， 又， 为等边三角形． （2）解：当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 理由：由（1）可知为等边三角形， ， ， 观察图可知，当点B，P，D，E四个点在一条直线上时，的和最小． 44．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角中，，，小敏将一块含角的三角板先放在上，使点Q与点A重合，然后从边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线于点D，直角边所在的直线交直线于点E． (1)李敏在线段上取一点M，连接，旋转中发现：若平分，则也平分，请你证明李敏发现的结论； (2)当时，李敏在旋转中还发现线段，，之间存在如下等量关系：，同组的王颖和宋亮随后想出了两种不同的方法进行解决： 王颖的方法：将沿所在的直线对折得到，连接（如图2）； 宋亮的方法：将绕点A逆时针旋转90°得到，连接（如图3）； 请你从中任选一种方法进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即平分； （2）选择小颖的方法． 证明：由折叠可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知，， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 在中，， ∴； 选择小亮的方法． 证明：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 即． 45．（24-25八年级下·山东聊城·期末）综合与实践  旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将已知条件集中或转化，以达到解决问题的目的． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，根据的取值范围可以解得的取值范围．请画出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图2，为等边内一点，满足， ，，求的大小．这个问题可以将绕点逆时针旋转求解，下面是小明的部分解答过程： 解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ． …… 请补全余下的解答过程； 【问题拓展】（3）如图3，点，分别在正方形的边与上，且满足，，，求的长． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点在的延长线上，， ∴， ， ∴． 在与中， ∴． ∴ 题型十 平移与旋转相关最值问题（共5小题） 46．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是三角形三边关系的应用． 根据勾股定理求出，然后由三角形三边关系进行计算． 【详解】解：由，，， 得：， 旋转得到，是的中点，是的中点， 得：，， ∴． 故选：B ． 47．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取中点，连接，证明，则，那么当时，最小，即最小，再由角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取中点，连接，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∴此时， ∴最小值为1， 故选：B． 48．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，P是边上的一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 即点P与点F重合，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故线段长度的最小值是， 故选：B． 49．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与垂直的射线上运动， 作点关于的对称点，连接与射线交于点， ∴，则， 根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，即， 过点作的垂线，交于点，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵点关于的对称点为， ∴，则， ∵，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 50．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 【答案】2 【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图， ∵，， ∴． 由旋转可知，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴当最短时，最小． ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最短，即为的长． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为2． 故答案为：2． 1．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点(点不与重合)，过点作交于点,连结．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积是正方形面积的四分之一；④．其中结论正确的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题综合考查正方形性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形判定、勾股定理，通过证明三角形全等，推导边、角及面积关系，逐一验证4个结论． 【详解】解：结论①：， 四边形是正方形， , ， ， ， 又， ， 在和中： ， 结论①正确； 结论②：是等腰直角三角形， 由，得， 正方形中，是对角线交点， ，， 在和中： ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，②正确； 结论③：四边形 的面积是正方形面积的四分之一， 由，得 ， ， 正方形对角线平分面积，， 四边形 的面积是正方形面积的四分之一，③正确； 结论④：， 由正方形性质，， 又， ， 在中，由勾股定理： ， 代入，，得 ，④正确， 综上，①②③④均正确，共4个． 2．第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得，利用勾股定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得：， 即：． 3．如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 【分析】由 ，，，得四边形 是矩形，对角线 与 交于中点 ；对选项A，由矩形性质得 ，从而 ，利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项B，连接 ，由 ， 为 中点，得 为等腰直角三角形，，，；在 中 ，，得 ；同理 ；进而利用 ，， 证明 ，得 ；再利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项C， 是 的中点，而 各边中点连成的中位线 平行于 且过 中点，故 在中位线 上；作 关于 的对称点 ，则 ，当 、、 共线时取等，利用 及勾股定理求 ；对选项D，由 得 ，从而 为定值，与 的位置无关． 【详解】解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，， ， 到直线 的距离最短时，， 此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 4．二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小： ④； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】①利用分式的性质进行分母有理化即可；②先确定的小数部分，然后分母有理化化简即可；③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；④通过分母有理化找到运算规律，然后化简求值即可；⑤先将分母有理化，根据倒数得出，进一步化简求值即可． 【详解】解：，所以分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； 若a是的小数部分，则，∴，故②错误； ,, ,, ∴, ∴ 故③正确； ， ， ； 故④错误； ， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：， 故⑤正确． 5．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【详解】解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 综上所述：正确的有②④⑤⑥． 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，以为边向上作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，延长交直线于点；以为边向上方作正方形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形性质，可得到、的坐标，同理可得、的坐标，进而得到、的横坐标，根据点的坐标变化可找到变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：对于， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，即，解得， ， 四边形是正方形， 的横坐标是， ， 的横坐标为， 的横坐标为． 7．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于A、B两点． (1)求b、m的值； (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组的解； (3)求两函数图像与x轴所围成的的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）由点在直线上， 利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值； （2）根据（1）可得P点的坐标，再根据二元一次方程组的解是对应一次函数图像交点的坐标； （3）先求出点A、B的坐标，然后根据求解即可； （4）先用a表示出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，然后求解即可解答． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ，即， ∵点在直线上， ，解得：． （2）解：由（1）可知：直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． （3）解：令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． （4）解：当时，， ∵， ∴，即，解得：或（不合题意，舍去） ∴． 8．探究解题 (1)问题解决：如图1，P是等边内一点，且，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为 ， 度． (2)类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程． (3)迁移运用：如图3，若点P是正方形外一点，，，则 ．（直接写出答案） 【答案】(1)6，150 (2)解：∵四边形是正方形， ∴， 如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理得：， ，， ， 是直角三角形，， ， ； (3) 【分析】（1）利用旋转性质证明是等边三角形，利用勾股定理证明是直角三角形即可求解； （2）将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，利用勾股定理证明是直角三角形，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，利用旋转性质证明是等腰直角三角形，推出在线段上，证明是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图1，连接， 是等边三角形， ， 为绕点逆时针旋转所得， ∴， ， 又旋转后与重合，与重合， ， 是等边三角形， ，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ． （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接， 则，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在线段上， ， 是直角三角形， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $