专题06 期末真题常考百练通关（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

**基本信息** 聚焦八年级下册期末高频考点，以18大压轴题型系统整合四边形、二次根式、函数等核心知识，通过90道真题实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形|20题（四边形角度/线段/面积/证明）|结合平行四边形、菱形等性质，考查计算与证明|从图形性质到量的关系，培养几何直观与推理能力| |代数运算|20题（二次根式有意义条件/化简/计算/求值）|覆盖概念辨析与运算技巧，结合数轴与代数式|从概念到运算，发展符号意识与运算能力| |函数应用|25题（图像/关系式/性质/平移/综合应用）|含实际问题与方程不等式综合，强调数形结合|从图像到性质再到应用，构建函数模型观念| |图形变换|10题（平移/旋转）|结合网格与动态问题，考查变换性质|通过运动变化，培养空间观念与几何直观| |数据统计|5题（平均数/方差/中位数等）|分析实际数据，注重统计量应用|从数据到结论，发展数据意识与应用能力|

专题06 期末真题常考百练通关（90题18大压轴题型） 题型1 四边形相关角度求解 题型10 函数关系式 题型2 四边形相关线段求解 题型11 一次函数的性质 题型3 四边形相关面积求解 题型12 一次函数的平移 题型4 四边形相关基础证明 题型13 一次函数与方程综合 题型5 二次根式有意义条件 题型14 一次函数与不等式综合 题型6 二次根式化简 题型15 一次函数相关实际问题 题型7 二次根式简单计算 题型16 图形的平移 题型8 二次根式化简求值 题型17 图形的旋转 题型9 函数的图像 题型18 数据的分析 题型一 四边形相关角度求解（共5小题） 1．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形对角相等，可得，再结合，即可求出度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，菱形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角相等，每一条对角线平分一组对角求解即可． 【详解】解∶∵菱形中，， ∴， 故选∶B． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．过点作，得出，，进而得到，再根据平行四边形对边平行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 5．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，三角形内角和定理． 先证明是的中位线，得到，进而得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型二 四边形相关线段求解（共5小题） 6．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，和的角平分线分别交于点E和点F，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等角对等边等知识．由平行四边形的两组对边互相平行，又平分，由此可以推出，则；同理可得，，而，由此可以求出长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故选：D． 7．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点是上一点，，，则平行四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的周长等知识．由平行四边形的性质得，因为点是上一点，，所以，而，求三角形中位线定理得，即可求得▱的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， 点是上一点，， ， 是的中点，是的中点，， ， ， ▱的周长为， 故选：D． 8．（24-25八年级下·山东·期末）如图，在四边形中，，与相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半．先连接，，结合，E为中点得，根据等腰三角形的性质得，，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】证明：连接， 在和中 ∵，E为中点 ∴， ∴ ∵F为中点， ∴， ∵， ∴ 在中， ∴． 故选：C 9．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴，， ∴的周长为 故选：B． 10．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，也考查了平行线的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质．利用基本作图得到平分，，再证明得到，连接，交于点O，如图，接着证明四边形为菱形，所以，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点O，如图， ∵， 而， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 故选：C． 题型三 四边形相关面积求解（共5小题） 11．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 12．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．若，则阴影部分矩形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键． 设正方形边长为，正方形边长为，则，根据正方形和矩形的性质得，则阴影部分矩形的面积为：，由此即可得出答案． 【详解】设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴阴影部分矩形的面积为：， ， ， ， ∴阴影部分矩形的面积为16． 故选：B． 13．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 14．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如果边长是的菱形有一个内角为，则这个菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，根据菱形的性质求出菱形的边长，根据含度角的直角三角形的性质求出菱形的高，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，四边形为菱形，则，过点作，则：， ∵菱形的边长是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为； 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，矩形中，于点，连接，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 过点作于点，通过角直角三角形的性质以及勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四 四边形相关基础证明（共5小题） 16．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 17．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，菱形中，，相交于点，于点，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， 在与中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ， 在与中 ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由，D是的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出的长． 【详解】（1）证明：，D为的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：， ， 为的中点，， ∴， ， 四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键． 19．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图①所示，四边形是菱形，，边长为3，在菱形内作等边三角形，边长为，点E，F分别在，上，以点A为旋转中心将顺时针转动，旋转角为，如图②所示． (1)在图②中证明； (2)如图②所示，过点E作，若旋转角，求和的长度； (3)当时，求旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)旋转角的度数为或 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由得是等腰直角三角形，得出，求出，在中，由勾股定理求出，即可得出的长； （3）先由已知得，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出点M与A重合，求出，进而得或． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得：； （3）解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，即， 解得：，即点M与A重合， ∴， 分两种情况： 如图①所示，； 如图②所示，； 综上所述：当时，旋转角的度数为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 20．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】此题是四边形的综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出≌，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明≌可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）解：是等边三角形， 理由：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， 连接， ，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：如图中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， 四边形为正方形． 是的平分线，， ， ∵， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ≌， ，． ， 是等腰直角三角形． 是的中点， ， ，， ， ． 题型五 二次根式有意义条件（共5小题） 21．（24-25八年级下·山东济宁·期末）若有意义，则的值可以是（   ） A． B．0 C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可，熟记二次根式的被开方数是非负数是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则的值可以是7， 故选：． 22．（24-25八年级下·山东滨州·期末）要使根式在实数范围内有意义，则必须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数是非负数，可得：，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故选：A． 23．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数必须非负． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：由题意，得． 解得：， 故选：D． 24．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式被开方数非负、分式分母不为0，并综合这两个条件确定 x 的取值范围． 根据二次根式有意义的条件，列出，求出；根据分式有意义的条件，得出；综合两个条件，确定x的最终取值范围并选择对应选项． 【详解】对于二次根式，被开方数必须是非负数，即，解得． 对于分式，分母不能为0，即． 结合以上两个条件，已包含（因为），所以x的取值范围是． 故选：B． 25．（24-25八年级下·山东德州·期末）若式子有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件可知，被开方数必须非负，分母不为0，即，解不等式即可得到答案． 【详解】解：式子有意义， ， 解得， 故选：B． 题型六 二次根式化简（共5小题） 26．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知点在第三象限内，化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，点的坐标，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征易得，，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：点在第三象限内， ，， ， 故选D． 27．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 逐一分析各选项的化简过程，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，原化简结果错误，故此选项不符合题意； B、，原化简过程错误，故此选项不符合题意； C、，原化简结果错误，故此选项不符合题意； D、，化简正确，故此选项符合题意； 故选：D． 28．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如果，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的性质，根据二次根式与绝对值的性质，分析等式成立的条件． 【详解】由题意，， ∴， 解得 故选B． 29．（24-25八年级下·山东日照·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 30．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质以及有理数乘法法则的应用，解题的关键是根据已知条件求出、的值． 先根据绝对值和二次根式性质求出、可能的值，再依据确定、的具体取值，最后计算． 【详解】解：由题意可得：，． ，这表示和异号， 又， ，结合，则． 把代入，可得． 故选：A． 题型七 二次根式简单计算（共5小题） 31．（24-25八年级下·山东济宁·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、与不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 32．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项运算错误； B、，故此选项运算正确； C、，故此选项运算错误； D、，故此选项运算错误； 故选：B． 33．（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法及减法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 逐一验证各选项的二次根式运算是否正确，依据二次根式的化简及运算法则进行判断． 【详解】解：选项A：， 化简得，则左边为，右边，显然，故选项A错误，不符合题意； 选项B：， 根据二次根式乘法法则，，与右边相等，故选项B正确，符合题意； 选项C：， 合并同类项得，而右边为2，显然，故选项C错误，不符合题意； 选项D：， 化简，则左边为，右边为，显然，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 34．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则验证算式的正误即可． 【详解】解：A．有理数3与无理数不能直接合并，结果为，而表示3乘以，显然不等，故该选项计算错误，不符合题意； B．二次根式减法需被开方数相同才能合并，与无法相减得到，实际差值为，故该选项计算错误，不符合题意； C．根据二次根式乘法法则：等式成立，故该选项计算正确，符合题意； D．根据二次根式除法法则：结果不等于，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 35．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括加减、乘除及化简，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】选项A：二次根式加减需为同类根式（被开方数相同），而与不同类，无法合并，故A错误； 选项B：根据二次根式除法法则：，则，故B错误； 选项C：化简：，故C正确； 选项D： 根据算术平方根的非负性：，故D错误； 故选：C． 题型八 二次根式化简求值（共5小题） 36．（24-25八年级下·山东临沂·期末）计算： (1) (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)21 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 37．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ． 38．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2) (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)6 (3)20 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式，准确计算． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式性质进行计算即可； （3）先将代数式变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 39．（24-25八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)已知，，求． 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再计算加减法； （2）由完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）先求出的值，再由完全平方公式将变形为，在代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：∵，， ∴， ∴． 40．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 题型九 函数的图像（共5小题） 41．（24-25七年级下·山东济南·期末）涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂．退潮时，潮水高度不断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海．如图呈现了某地一天内潮水高度的变化情况，下列说法错误的是（    ） A．该地当日时潮水高度最大，高度为 B．该地当日时和时潮水高度相同 C．该地当日到适合赶海 D．该地当日到适合赶海 【答案】D 【分析】根据图象信息逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知， 该地当日时潮水高度最大，高度为，故选项A说法正确，不符合题意； 该地当日时和时潮水高度相同，均为3.5m，故选项B说法正确，不符合题意； 该地当日到适合赶海，故选项C说法正确，不符合题意； 该地当日到，夜间不安全，不适合赶海，故原说法错误，故选项D符合题意． 42．（24-25八年级下·山东聊城·期末）某次大型活动中，组委会用无人机航拍活动过程．已知无人机的上升速度和下降速度相同．无人机的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．无人机的上升速度是 B．表示的数是3 C．无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有9min D．表示的数是15 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息：根据函数图象的信息即可得到答案 【详解】解：由分钟图象可得，无人机上升的速度为：（米/分钟），故A正确； ，故B错误； 无人机在米高的上空停留的时间是：； 无人机在米高的上空停留的时间是：； ∴无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有， 故C正确； ，故D正确； 故选：B 43．（24-25八年级下·山东聊城·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①良马的速度比劣马的速度快80里/日；②劣马比良马早出发12日；③点表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，看懂图象，从图象上获取准确信息是解答的关键．从图象中找到两马的起始时间可判断①；根据图象的交点可判断②；求出两马的速度可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①良马的速度为（里/日）， 劣马的速度为（里/日）， （里/日）， ∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意， ②由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意； ③两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意． 故正确的是②③． 故选：C． 44．（24-25八年级下·山东临沂·期末）A、B两地相距，甲车从A地匀速驶向B地，乙车从B地匀速驶向A地，其中乙车的速度大于甲车的速度，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间距离与甲车行驶时间之间的关系如图所示．则下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶的速度为 B．乙车行驶的速度为 C．甲车出发h或h时间两车相距 D．乙车到终点时，甲距离终点 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，用函数图形中有效的获取信息，逐一进行分析，判断即可． 【详解】解：由图象可知，乙车行驶5小时到达目的地，两车行驶3小时相遇，当行驶5小时时，甲车行驶了， ∴甲车的速度为，乙车行驶的速度为； 当乙车到终点时，甲距离终点；故选项A，B，D的说法正确，不符合题意； 当两车相遇前相距时，则：，解得：； 当两车相遇后相距时，则：，解得：； ∴甲车出发h或h时间两车相距；故选项C说法错误，符合题意； 故选C． 45．（24-25八年级下·山东临沂·期末）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：①；②；③甲的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象． 根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度和乙的速度可以计算出的值，即可判断①，②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故③错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故①错误，②正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故④错误； 则正确的有1个， 故选：A． 题型十 函数关系式（共5小题） 46．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若正比例函数过点，当时，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，准确的计算是解题的关键．根据题意，将点代入计算求出的值，得到正比例函数表达式，再将代入表达式计算即可得到答案． 【详解】解：正比例函数过点， 将点代入，得， 则正比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 47．（24-25八年级下·山东滨州·期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，属于常考题型，掌握求解的方法是关键. 设，再利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设， 把，代入得：， 解得：. 所以与的函数关系式是：，即. 故答案为：. 48．（24-25八年级下·山东德州·期末）已知一次函数的图象经过点和点，则这个函数的解析式是______． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：设函数解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式为． 49．（24-25八年级下·山东临沂·期末）若点在第一象限，且，点坐标为，设的面积为，则用含的式子表示为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及求三角形的面积，能够根据点的坐标得出三角形的边长是解题关键．根据点的坐标将三角形边长表示出来，然后根据三角形面积公式即可列式表示出． 【详解】解：∵点P的坐标为且在第一象限，点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在该函数的图形上，理由见解析 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，判定点是否在函数图象上． （1）先设与的函数表达式为：，把时，代入求出k的值，然后把结果变成的形式即可； （2）把代入（1）中求出的函数解析式，通过计算看左右两边是否相等，若相等，点在函数图象上，否则就不在函数图象上． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 当时，， ，即． 解得：， ，即． 与的函数解析式为：． （2）点在该函数的图形上，理由如下： 把点代入， 左边，右边， 左边右边， 点在该函数的图象上． 题型十一 一次函数的性质（共5小题） 51．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（   ） A．3 B．3或4 C．6 D．0或3 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据一次函数的增减性，分和两种情况求解即可． 【详解】解：当，即时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 当，即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 所以k的值为0或3． 故选：D． 52．（24-25八年级下·山东聊城·期末）若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性，当即时，函数y随x的增大而减小，即可得答案． 【详解】解：由题意，点A和B在函数的图象上，且当时，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 选项中只有满足， 故选：A． 53．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵直线， ∴y随x的增大而增大，直线过第一、三、四象限，当时，， ∵，，为直线上的三个点，且， ∴若，则，同号，但不能确定，的正负， 故选项A不符合题意； 若，则，异号， ∵， ∴，， ∴，在第三象限， ∴，， ∴， 故选项B符合题意； 若，则，同号，或，但不能确定、的正负， 故选项C不符合题意； 若，则，异号，，但不能确定、的正负，故选项D不符合题意； 故选：B． 54．（24-25八年级下·山东滨州·期末）一次函数，若随的增大而增大，则的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数图象的性质．根据一次函数的增减性，由大于零得出k的取值范围，再结合选项确定答案． 【详解】一次函数中，函数值随的增大而增大的条件是， 解得， 选项中只有满足， 故选：A． 55．（24-25八年级下·山东临沂·期末）对于一次函数，下列结论中正确的个数是（   ） ①它的图象与y轴交于点，②y随x的增大而减小，③当时，，④它的图象经过第一、二、三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：当时，，故图象与y轴交于点 ，正确． 结论②：函数中，故y随x的增大而增大，而非减小，错误． 结论③：解不等式得，即当时，，结论③错误． 结论④：，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，结论④错误． 故选：A 题型十二 一次函数的平移（共5小题） 56．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数平移的规律，向左平移m个单位后的解析式为．将点代入解析式即可求解m的值． 【详解】原函数向左平移m个单位后，解析式变为． ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得方程： 解得：． 故选A． 57．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）若将直线向上平移3个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．不经过第一象限 C．平移后的直线可看作二元一次方程 D．与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数的图象及性质．根据一次函数图象的平移规律得到新直线的解析式，再根据一次函数图象及性质逐一分析各选项是否正确即可． 【详解】解：向上平移3个单位，得到． A：平移后的直线随的增大而增大，故本选项描述错误； B：平移后的直线经过第一、二、三象限，故本选项描述错误； C：平移后的直线可整理为，与选项中的不符，故本选项的描述错误； D：对于直线，令，得，则直线与轴交于点，故本选项的描述正确． 故选：D 58．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，设出直线的解析式，代入点，求出直线的解析式即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线与直线平行， ∴， 把代入得， 解得， ∴线的解析式为． 故答案为：． 59．（24-25八年级下·山东聊城·期末）把直线（b为常数）向左平移3个单位长度后过点，则b的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移得，再把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵把直线（为常数）向左平移3个单位长度后过点， ∴， ∴把代入， 得， 解得． 故答案为：． 60．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数的平移法则可得平移后的函数解析式为，再求出时的值即可得解． 【详解】解：将函数的图象向上平移6个单位长度得到的函数解析式为， 令，则， 解得：， ∴将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为， 故选：D． 题型十三 一次函数与方程综合（共5小题） 61．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平面直角坐标系等知识点，掌握非负性的性质成为解题的关键． 先根据绝对值、算术平方根的非负性求得x、y的值，然后确定交点所在的象限即可解答． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴两个函数图象的交点坐标为， ∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意． 故选A． 62．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）已知直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，先求得交点坐标，再根据两条直线的交点的坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：， ∴ 即直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是； 故答案为：． 63．（24-25八年级下·山东聊城·期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，一次函数的图象与的图象交于点，根据图象分析，一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程；根据两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象交于点， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 64．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，已知直线和直线交于点，若二元一次方程组的解为、，则______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据两条直线的交点的横纵坐标即为方程组的解，得到的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴的解为：， ∴； 故答案为：3． 65．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，关键知识点为：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解．据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于的方程组的解就是交点的坐标， 即， 故选：A． 题型十四 一次函数与不等式综合（共5小题） 66．（24-25八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 67．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　） A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与一元一次不等式及一次函数与二元一次方程组是解题的关键．依据题意，根据一次函数与一元一次不等式的关系及一次函数与二元一次方程组及一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由题意，直线的图象在第二、三、四象限， ， 故A正确，不合题意； 直线与直线的交点的横坐标为， 方程的解是， 故B正确，不合题意； 直线的图象与y轴交于正半轴， ， 故C正确，不合题意； 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， 不等式的解集为， 故D错误，符合题意． 故选：D． 68．（24-25八年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数（为常数）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， A、当时，，原说法错误，不符合题意； B、方程的解是，原说法错误，不符合题意； C、当时，，正确，符合题意； D、不等式的解集是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 69．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，函数（）的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一次函数图象与性质求不等式解集，先将代入函数，求出，过点作轴的垂线，如图所示，求关于的不等式的解集就是求函数图象在函数的图象上方部分对应的的范围，数形结合即可得到答案，掌握由一次函数图象与性质求不等式解集的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：函数（）的图象与函数的图象交于点，且的纵坐标为， 当时，，解得，即， 过点作轴的垂线，如图所示： 函数与函数的图象交于点， 求关于的不等式的解集就是求函数图象在函数的图象上方部分对应的的范围， 当时，函数图象在函数的图象上方， 不等式的解集为， 故选：A． 70．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．结合图形，当时，一次函数和的图象在轴上方，且图象在下方，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，一次函数和的交点坐标为， 当时，一次函数和的图象在轴上方，且图象在下方， 则关于x的不等式组的解集是， 故选：C． 题型十五 一次函数相关实际问题（共5小题） 71．（24-25八年级下·山东滨州·期末）为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 72．（24-25八年级下·山东德州·期末）已知等腰三角形的周长为20．则底边长关于腰长的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再利用三角形三边关系求得，据此判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 73．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．对于选项AB观察图象即可；选项C根据变量的变化规律计算即可；选项D，当时，求出对应t的值，再根据该图象的增减性判断即可． 【详解】解：A．随着的增大而减小，A不正确，不符合题意； B．当时，，随着的增大而，B不正确，不符合题意； C．距离地面高度增加，气温下降，则与的函数表达式为，C不正确，不符合题意； D．当时，，随着的增大而减小，当大于时，气温低于，D正确，符合题意． 故选：D． 74．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）某工厂计划生产 A、B两种型号桌椅共 500 套，生产每套 A 型号桌椅需木料，可获得利润100元；生产每套B型号桌椅需木料 ，可获得利润120元，设生产A型桌椅x套，全部销售 A、B两种型号桌椅可获得总利润为 y元． (1)求y与x间的函数表达式； (2)若该工厂生产 A、B两种型号桌椅需要的木料不超过 求生产 A、B两种型号桌椅分别为多少套时，可获得的总利润最多？最多总利润为多少元？ 【答案】(1) (2)A生产240套，B生产260套，利润最大为55200元 【分析】此题考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式的应用，找出题中的等量关系及不等关系是解本题的关键． （1）设生产A型桌椅套，则B型桌椅为套，根据题意列函数表达式即可； （2）根据“该工厂生产 A、B两种型号桌椅需要的木料不超过 ”列出不等式求出的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设生产A型桌椅套，则B型桌椅为套． 则总利润． （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵函数中y随增大而减小， 故当时，利润最大． 此时B型桌椅数量为套， 最大利润为：元， 答：生产A型桌椅240套，B型桌椅260套时，总利润最多，最多总利润为 55200 元． 75．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进，两类图书共100本，且类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，已知类图书每本的进价是35元、售价为40元，类图书每本的进价是50元、售价为58元．求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】该书店购进类图书25本，类图书75本时所获利润最大，最大利润为725元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式，是解题的关键．设购进类图书本，获得利润为元，根据利润售价进价，列出函数解析式，根据类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的，列出不等式，求出，根据一次函数增减性进行求解即可． 【详解】解：设购进类图书本，获得利润为元， 根据题意得： ， 类图书的购进数量不少于类图书的购进数量的， ， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 答：该书店购进类图书25本，类图书75本时所获利润最大，最大利润为725元． 题型十六 图形的平移（共5小题） 76．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握平移的性质是解题关键．过点作于点，与交于点，由平移的性质可知，，，，，进而推出，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得出，再结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，与交于点， ， ， 由平移的性质可知，，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：B． 77．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，边长为1的网格中有一个“柳叶”形图形，它是由，和线段，围成的，两条弧的圆心分别是点F和点A，半径都等于4，则“柳叶”形的面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质、扇形面积的计算，掌握其面积公式及性质是解决此题的关键．根据“柳叶”形的面积=长方形的面积-空白部分的面积可得答案． 【详解】解：∵将图形中左边空白部分向右平移的长度，两空白部分正好重叠在一起， ∴两空白部分的面积之和=边长为4的正方形面积， ∴“柳叶”形的面积． 故选：A． 78．（24-25八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移．根据点平移的坐标变换规律：左减右加，上加下减解答可得． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是，即， 故选：B． 79．（24-25八年级下·山东济南·期末）若将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，理解并掌握平面直角坐标系中点的平移规律是解题的关键． 【详解】将点向左平移2个单位后得到的点的坐标为，即． 故答案为：． 80．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______． 【答案】15 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 先根据图形平移的性质得出，故可得出，，进而可得出，据此可得出结论． 【详解】解：沿着方向平移到的位置， ，，， ∴， ，， ， ∵， 故答案为：． 题型十七 图形的旋转（共5小题） 81．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 82．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据三角形内角和定理计算出，再根据旋转的性质得到，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后计算即可． 【详解】解：在中， ，， ， 绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上， ， ， ， ． 故选：C． 83．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，中，，将绕点A顺时针旋转后得到，连接．若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键．由旋转的性质可得，，，可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 84．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到； ②由平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得出结论； ③根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； ④勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故②正确，符合题意； ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 故④错误，不符合题意． 综上，共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 85．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角． 根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 题型十八 数据的分析（共5小题） 86．（24-25八年级下·山东济宁·期末）已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 【答案】B 【分析】本题考查平均数公式及方差公式，根据题中的平均数为3，方差为2，运用平均数公式及方差公式表示出来，然后代值表示数据的平均数与方差即可得到答案，熟记平均数公式及方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：一组数据的平均数为3，方差为2， ，； 数据的平均数是； 方差是 ， ， 故选：B． 87．（24-25八年级下·山东济宁·期末）习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．分别根据折线统计图和中位数、众数定义求解即可． 【详解】解：学生课外阅读量的本数为：，，，，，，，，，，，，， 中间的数据为， 中位数为 ， 出现次数最多的数据为， 众数为． 故选：B． 88．（24-25八年级下·山东德州·期末）某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示： 则下列关于此足球队年龄的描述，正确的是（    ） A．平均数是14岁 B．众数为8人 C．中位数为15岁 D．方差为2 【答案】C 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，中位数和众数、方差．注意找中位数时一定要先按大小排列，再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果是奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则正中间两个数的平均数为中位数．由条形统计图可知各年龄段的人数，从而可求得年龄的平均数、众数、中位数、方差，根据四个统计量的含义可以解释其意义． 【详解】解：足球队共有人， 平均数为：； 15出现次数最多，则众数为：15， 中位数为第11和12位的平均数，，， 则中位数为：， 方差为； 观察四个选项，选项C符合题意． 故选：C． 89．（24-25八年级下·山东德州·期末）某市新教师招聘中，七位评委独立给出分数，得到一组数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新数，那么这两组数的相关统计量中，一定相等的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：一列数去掉最大的和最小的，众数，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变， 则这两组数的相关统计量中，一定相等的是中位数． 故选：C． 90．（24-25八年级下·山东临沂·期末）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天阅读1小时”的要求，学校要求学生每天坚持阅读．小亮记录了自己一周内每天阅读的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，下列关于小亮该周每天阅读的描述，错误的是（   ） A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为1.1 【答案】D 【分析】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键． 根据折线图分别求出平均数、众数、 中位数和方差进行判断即可，平均数的计算方法是：一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数． 【详解】解：根据折线图小亮每天阅读时间为：， A、平均数是分钟，故该选项正确，但不符合题意； B、这组数的众数是67分钟，故该选项正确，但不符合题意； C、将这组数由小到大排列为：，中位数是67，故该选项正确，但不符合题意； D、方差为 ，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 1．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 2．如图，将平行四边形沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F．若，，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解四边形是平行四边形，且，得，，，，设，，再结合折叠性质得，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质，全等三角形的判定与性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴，，，， ∴， 设， ∴， 由翻折性质得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵ ∴， 在和中， ， ，故选项C正确，不符合题意； ∵， 与不垂直，故选项D不正确，符合题意， 故选：D． 3．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 4．下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：A. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； B. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，化简后为整数，故与不是同类二次根式，故选项不符合题意； D. 为最简二次根式，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 6．如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是__________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律．由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，，，…，，由此即可求解． 【详解】解：如图， ，…都是边长为4的等边三角形， ∴， …，， ∵在y轴上， 轴，轴，… 延长交x轴于点C， ∵点在直线上， ∴设， 是等边三角形，且边长为4， ． ∴的坐标为， 同理、， ， ∴的坐标为， 故答案为：． 7．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如（1）中图，即为所求． （3）解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【详解】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 9．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【答案】(1)29，28， (2)甲队员表现更好 (3)乙在篮板方面表现的更好 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； （2）解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． （3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06期末真题常考百练通关(90题18大压轴题型) 真题实战·百练通关 题型1四边形相关角度求解 题型10函数关系式 题型2 四边形相关线段求解 题型11一次函数的性质 题型3“四边形相关面积求解 题型12一次函数的平移 题型4 四边形相关基础证明 题型13次函数与方程综合 题型5二次根式有意文条件 题型14一次函数与不等式综合 题型6二次根式化简 题型15一次函数相关实标问题 题型7二次根式简单计算 题型16 图形的平移 题型8次根式化简求值 题型17 图形的旋转 题型9函数的图像 题型18数据的分析 题型一四边形相关角度求解（共5小题） 1.(24-25八年级下·山东滨州期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=280°，则∠D的度数是 () A.120° B.130 C.140° D.150 2.(24-25八年级下山东德州期末)如图，菱形ABCD中，∠ABC=52°，则∠ADB的度数为(). A.24° B.269 C.38 D.52° 3.(24-25八年级下·山东青岛期末)如图，直线m∥n,四边形ABCD为平行四边形，顶点B恰好落在 直线n上，若∠1=18°，∠2=13°，则∠D等于() 1/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.148° B.151° C.149 D.150° 4.(24-25八年级下·山东临沂期末)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,过点O 作BD的垂线交BC于点F.若∠ADB=26°，则LFOC的度数为() D A.22° B.26° C.32° D.38 5.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，在ABC中，点D,E分别是AC,BC的中点，若∠A=45°， ∠CED=70°，则∠C的度数为() A.45° B.60 C.65 D.70° 题型二四边形相关线段求解（共5小题） 6.(24-25八年级下·山东济南期末)如图，在口ABCD中，AB=3,AD=5,∠ABC和LBCD的角平分线 分别交AD于点E和点F,则EF的值为() B A.3 B.2 C.2.5 D.1 7.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是 AB上一点，AE=BE=3,EO=4,则平行四边形ABCD的周长为() E C A.6 B.8 C.14 D.28 2/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(24-25八年级下山东期末)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点O, E,F分别是AC,BD的中点，连接EF,若EF=3,BD=8,则AC的长为() A.5 B.8 C.10 D.12 9.(24-25八年级下·山东菏泽·期末)如图，☐ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AC=8cm,BD=12cm,AB=5cm,则aOCD的周长为() A.13cm B.15cm C.16cm D.17cm 10.(24-25八年级下·山东日照·期末)如图，在口ABCD中，用尺规作∠ABC的平分线BG,交AD于点G ,若AE=12,AB=8,则BG的长为() D E C A.10 B.20 C.47 D.43 题型三四边形相关面积求解（共5小题） 11.(24-25八年级下山东菏泽期末)如图，在口ABCD中，AB=4,BD=10,AC⊥AB,则口ABCD的 面积是() A.12 B.20 C.24 D.40 3/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 12.(24-25八年级下·山东淄博·期末)如图，在矩形ABCD中，摆放着正方形ADFE(点E在AB上)和 正方形EHGB（点G在BC上)，延长GH交AD于点R.若S正方形4DFE=28,S正方形EHB=12,则阴影部分矩 形RDCG的面积等于() D R G H B A.15 B.16 C.17 D.18 13.(24-25八年级下·山东菏泽·期末)中国古代数学家刘微在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积 公式的出入相补法.如图，在ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,，过点A作AF⊥DE,垂 足为F,将ABC分割后拼接成长方形DCHG.若DE=6,GB=4,则ABC的面积是 A G 14.(24-25八年级下山东滨州期末)如果边长是6的菱形有一个内角为120°，则这个菱形的面积是 15.(24-25八年级下山东济宁·期末)如图，矩形ABCD中，∠ADB=30°，AB=2,CE⊥BD于点E,连接 AE,则△AEC的面积是 D 题型四四边形相关基础证明（共5小题） 16.(24-25八年级下山东滨州·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，E是AD的中 点，EF⊥AB交AB于点F,OG⊥AB交AB于点G, 4/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C E B F G (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AB=20,0G=8,求BG的长 17.(24-25八年级下山东济宁期末)如图，菱形ABCD中，AC,BD相交于点0，AE1BC于点E,交 BD于点M,连接EO并延长EO交AD于点F,连接FC交BD于点N,连接AN,CM. (I)求证：四边形AECF是矩形； (2)求证：四边形MCNA是菱形， 18.（24-25八年级下山东济南期末)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过点A作 AE∥BC,且AE=DC,连接CE. D (I)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若AB=5,BC=6,求CE的长. 19.(24-25八年级下山东青岛期末)如图①所示，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，边长为3，在 菱形内作等边三角形AEF,边长为2√2，点E,F分别在AB,AC上，以点A为旋转中心将△AEF顺时 针转动，旋转角为α，如图②所示 5/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 D E B ① ② (I)在图②中证明BE=CF; (2)如图②所示，过点E作EM⊥AB,若旋转角a=45°，求EM和CF的长度； (3)当CF=√17时，求旋转角的度数。 20.(24-25八年级下山东济宁.期末)如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延 长线于F,以EC、CF为邻边作oECFG. D E G 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：四边形ECFG是菱形； (2)如图2，若LABC=120°，连接BD、BG和DG,判断△DGB的形状？并说明理由； (3)如图3，若∠ABC=90°，AB=3,AD=5,M是EF的中点，N是BD的中点，直接写出MN的长. 题型五二次根式有意义条件（共5小题） 21.(24-25八年级下山东济宁.期末)若√x-5有意义，则x的值可以是() A.-6 B.0 C.4 D.7 22.(24-25八年级下·山东滨州期末)要使根式√x-1在实数范围内有意义，则x必须满足() A.x21 B.x2-1 C.x>1 D.x≠1 23.(24-25八年级下山东菏泽期末)若二次根式√x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x≠3 B. C.x2-3 D.x23 24.(24-25八年级下山东指泽期末)代数式V2x有意义，则x的取值范围是(） A.x≥且r≠0B.x≥ 1 1 2 C.x>且x≠0 2 D.x72 25.(2425八年级下山东德州期未)若式子K中有意义，则实数x的取值范围是（） A.x≠-1 B.x>-1 C.x2-1 D.x≥0 6/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六二次根式化简（共5小题） 26.(24-25八年级下·山东淄博期末)已知点P(x,)在第三象限内，化简V的结果是（) A.yV-x对 B.-y√x C.yy D.-y/y 27.（24-25八年级下山东淄博期末)下列各式化简正确的是() A.√27=9V5 B.V-4)x(-9=4×V9=6 c.425 D@得四 28.(24-25八年级下山东聊城期末)如果V4a-1)2=1-4a,则() A.ag B.as4 1 C. 、1 D.a24 29.(24-25八年级下山东日照期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简V云-Vb-a2的结 果是() b 220”12→ A.-b B.b C.2a-b D.b-2a 30.(24-25八年级下山东济宁期末)已知m=3,(V=2,且mn<0,则m-n的值为() A.-5 B.5 C.-2 D.2 题型七二次根式简单计算（共5小题） 31.(24-25八年级下山东济宁.期末)下列计算正确的是（) A.V3+V6=3 B.√5+V6=32 C.√5x√6=32 D.6-3=5 32.(24-25八年级下山东烟台期末)下列运算正确的是(). A.5+5=√⑧ B.√5x√6=32 C.5÷V5=1 D.V-7=-7 33.(24-25八年级下·山东临沂期末)下列计算正确的是() A.V12-V3=V9B.√2xV6=2V5C.2√5-V5=2 34.(24-25八年级下·山东淄博期末)下列运算结果正确的是() 7/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A.3+V2=32 B.√5-√2=V5 C.√5.6=3√2 D.5÷6=√2 35.(24-25八年级下山东聊城期末)下列计算正确的是() A.2√5+4√2=6√7 B.√27÷5=9 C.18=3V2 D.V(-22=-2 题型八二次根式化简求值（共5小题） 36.(24-25八年级下·山东临沂期末)计算： a层-ga-}6 (2)已知x=√5+2，y=√5-2，求x2+3xy+y2的值. ⑦.(2425八年级下山东淄博期末)1)计算：2-3}+V2 (2)已知x=2-√5，y=2+√5，求x2+y+y2的值. 38.（24-25八年级下山东菏泽期末)计算： 0s-8+25 ②正-5-2同 3 (3)已知a=5+2,b=5-2,求代数式a2+2ab+b2的值. 39.(24-25八年级下·山东威海期末)计算下列各题： aio层周品 (26-⑧)(-6-22)+(2+3-(N2-: (3)已知a=√6-5，b=√6+5，求a2-ab+b2. 40.(24-25八年级下山东泰安期末)解方程： 阅读材料，解答下列问题 材料：已知V5-x-√2-x=1,求5-x+√2-x的值， 小明同学是这样解答的： 8/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :(5-x-2-(5-x+2-x=(5--（2-x=5-x-2+x=3, "√5-x-V2-x=1 :V5-x+√2-x=3 这种方法称为构造对偶式” 问题：己知1+x++x=5. (1)求√1+x-+x的值： (2)求x的值. 题型九函数的图像（共5小题） 41.(24-25七年级下·山东济南期末)涨潮时，潮水高度不断上升，海水淹没滩涂.退潮时，潮水高度不 断下降，露出滩涂，若此时潮水高度小于当日潮水最大高度的一半，则适合赶海.如图呈现了某地一天内 潮水高度的变化情况，下列说法错误的是() 个潮水高度/m 4 2 0:002:004:006:008:0010:0012:0014:0016:0018:0020:0022:0024:00时间 A.该地当日10：00时潮水高度最大，高度为4m B.该地当日8：00时和12：00时潮水高度相同 C.该地当日15：00到19：00适合赶海 D.该地当日2：00到4：00适合赶海 42.(24-25八年级下·山东聊城期末)某次大型活动中，组委会用无人机航拍活动过程.已知无人机的上 升速度和下降速度相同.无人机的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：min)之间的关系如图所 示，下列说法错误的是() h/m 75 50 67 12 b7/min A.无人机的上升速度是25m/min 9/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.a表示的数是3 C.无人机在空中保持高度不变进行拍摄，拍摄的时间共有9min D.b表示的数是15 43.(24-25八年级下山东聊城期末)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题， 其中良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间t(单位：日)的函数图象如图所示，下列说法：① 良马的速度比劣马的速度快80里/日；②劣马比良马早出发12日；③点A表示的实际意义是劣马出发32 日时，良马追上劣马.其中正确的是() s/里 良马 劣马 4800 B 01232拍 A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 44.(24-25八年级下·山东临沂期末)A、B两地相距330km,甲车从A地匀速驶向B地，乙车从B地匀 速驶向A地，其中乙车的速度大于甲车的速度，两车同时出发，各自到达目的地后停止.两车之间距离 yk)与甲车行驶时间xh)之间的关系如图所示.则下列说法错误的是() 330 220 035 A.甲车行驶的速度为44km/h B.乙车行驶的速度为66km/h C。甲车出发h或引h时间两车相距40mD。乙车到终点时，甲距离终点1Okn 11 45.（24-25八年级下山东临沂期末)甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲匀速骑 行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距 离y(米)和骑行的时间x(秒)之间的函数关系图象如图所示，下列说法：①a=450;②b=150;③甲 的速度为8米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒.其中正确的结论有() 10/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/米 600k-- 0 60 100 6 x/秒 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型士函数关系式（共5小题） 46.(24-25八年级下山东临沂期末)若正比例函数y=c过点(1,2)，当x=-1时，y= 47.(24-25八年级下山东滨州期末)若y与x-5成正比例，且当x=-1时，y=18,则y与x的函数关 系式是 48.(24-25八年级下山东德州期末)已知一次函数的图象经过点(-4,9)和点(6,3)，则这个函数的解析 式是 49.(24-25八年级下山东临沂期末)若点P(x,y)在第一象限，且x+y=6,点A坐标为8,0)，设 △AP0的面积为S,则用含x的式子表示S为 50.(24-25八年级下山东济宁.期末)己知y与2x-3成正比例，且当x=1时，y=3. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)判断点M(2,-3)是否在这个函数的图象上，并说明理由. 题型十一一次函数的性质（共5小题） 51.(24-25八年级下·山东临沂期末)已知一次函数y=(k-2)x+1,若当-1≤x≤2时，函数有最大值为 3,则k的值为() A.3 B.3或4 C.6 D.0或3 52.(24-25八年级下山东聊城期末)若点(x,)和x2,y2)都在一次函数y=k-1x+4(k为常数) 的图象上，且当x<x2时，y>y2,则k的值可能是() A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=3 53.(24-25八年级下·山东滨州期末)已知(a,m)，(b,n),（c,p)为直线y=2x-3上的三个点，且 c<b<a,则以下判断正确的是() 11/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.若ab>0,则mn>0 B.若ab<0,则p>0 C.若bc>0,则mn>0 D.若bc<0,则p>0 54.(24-25八年级下山东滨州期末)一次函数y=k-3)x,若y随x的增大而增大，则k的值可以是() A.4 B.3 C.2 D.0 55.(24-25八年级下山东临沂期末)对于一次函数y=2x-1,下列结论中正确的个数是() ①它的图象与y第交于点0-小，②随x的塔大而减小，@当x>时，y<0,国它的图象经过第、三、 三象限. A.1 B.2 C.3 D.4 题型土二一次函数的平移（共5小题） 56.(24-25八年级下·山东聊城期末)在平面直角坐标系中，将正比例函数y=3x的图象向左平移m个单 位长度后，图象经过点1,6)，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.6 57.(24-25八年级下·山东菏泽期末)若将直线y=。x向上平移3个单位长度，则关于平移后的直线， 下列描述正确的是（) A.y随x的增大而减小 B.不经过第一象限 C.平移后的直线可看作二元一次方程x+y-3=0 D.与y轴交于点(0,3 58.(24-25八年级下山东滨州期末)己知直线4的解析式为y=-x-3,若直线马与直线4平行，且过点 (4,-5),则直线☑的解析式为 59.(24-25八年级下山东聊城期末)把直线y=-2x+b(b为常数)向左平移3个单位长度后过点(1,0)， 则b的值为 60.(24-25八年级下山东烟台期末)在平面直角坐标系中，将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度， 则平移后的图象与x轴交点的坐标为() A.0,6 B.（6,0 C.2,0 D.（-2,0) 题型士三一次函数与方程综合（共5小题） 61.(24-25八年级下山东临沂·期末)已知方程√x+y-4+|x-y+2=0的解与下列选项中两个函数图象 12/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 的交点相对应的是() 子0 D. 62. (24-25八年级下山东潍坊期末)已知直线y=kx+b(k≠0)与直线y=-2x+4相交于点A(1,m),则 -kx+y=b 关于x,y的二元一次方程组 2x+y=4的解是 63.(24-25八年级下山东聊城期末)数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很 多问题可迎刃而解，且解法简洁.如图，一次函数y=x-2的图象与y=x+b的图象交于点A(3,,根据 图象分析，一元一次方程x-2=kx+b的解为 y=x-2 y=kx+b 64.(24-25八年级下山东济南期末)如图，己知直线y=ax-b和直线y=交于点P,若二元一次方程 kx-y=0 ar-少=6的解为x’,则x+y= 组 13/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=ax-b y=kx 65.(24-25八年级下·山东枣庄·期末)如图，一次函数y=2x和y=ax+4的图象交于点 3 则关于 y=2x x,y的方程组 y=ax+4 解为() y=ax+4. ,V=2 3 x=3 x=3 [x=2 A 2 B 3 D y=3 J= (y=2 y=3 2 题型土四一次函数与不等式综合（共5小题） 66. (24-25八年级下·山东临沂阶段检测)如图，一次函数y=x+b的图象经过第二、三、四象限，且 与x轴交于点(-2,0)，则不等式kx+b<0的解集是() A.x>-2 B.x<-2 C.x>0 D.x<0 67.（24-25八年级下山东枣庄·期末)如图，已知直线y=ax-2与直线y=mx+b的交点的横坐标为-5， 根据图象，下列结论中错误的是（) 14/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=mx+b y=ax-2 A.a<0 B.方程ax-2=mx+b的解是x=-5 C.b>0 D.不等式mx+b≥ax-2的解集是x≤-5 68.(24-25八年级下山东滨州期末)在平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b(α，b为常数)的图象如 图所示，那么下列说法正确的是() y=ax+b A.当x>2时，y<0 B.方程ax+b=0的解是x=-4 C.当y>4时，x>0 D.不等式ax+b≥0的解集是x≥0 69.(24-25八年级下山东济宁期末)如图，函数y=x+b(k≠0)的图象经过点B(2,0),与函数 y=2x的图象交于点A,则不等式kx+b<2x的解集为() 1y=2x B y=kx+b A.x>1 B.x<1 C.x>2 D.x<2 70.(24-25八年级下山东青岛·期末)如图，己知一次函数y,=kx+b的图象经过点A(-3,4)和点B(-5,0) ,正比例函数y2=kx的图象经过点A,则关于x的不等式组0<kx+b<k2x的解集是() 15/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-4<x<3B.0<x<3 C.-5<x<-3 D.-4<x<-2 题型土五一次函数相关实际问题（共5小题） 71.(24-25八年级下·山东滨州期末)为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两 种类型的羽毛球拍.已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛 球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍.那么最省钱的购买方案是() A.买22副A种球拍和8副B种球拍 B.买21副A种球拍和9副B种球拍 C.买20副A种球拍和10副B种球拍 D.买19副A种球拍和11副B种球拍 72.(24-25八年级下山东德州·期末)己知等腰三角形的周长为20.则底边长y关于腰长x的函数图象为 () 20 A. B 2 .10叶 D.10-R 050x 可50x 73.(24-25八年级下山东潍坊期末)空中气温t(℃)与距离地面高度h(km)之间的函数关系如图所示.下 列说法正确的是() t/C 24 16 Ol 1 2 3 4h(km) A.t随着h的增大而增大 B,地面的气温为0℃ 16/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.t与h的函数表达式为t=6h+24 D当h大于3m时，气温低于20 74.(24-25八年级下山东菏泽期末)某工厂计划生产A、B两种型号桌椅共500套，生产每套A型号 桌椅需木料0.5m3,可获得利润100元；生产每套B型号桌椅需木料0.7m3,可获得利润120元，设生产 A型桌椅x套，全部销售A、B两种型号桌椅可获得总利润为y元 (I)求y与x间的函数表达式： (2)若该工厂生产A、B两种型号桌椅需要的木料不超过302m3,求生产A、B两种型号桌椅分别为多少套 时，可获得的总利润最多？最多总利润为多少元？ 75.(24-25八年级下山东菏泽·期末)4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思 想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”.某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A,B两类 图书共10本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的胸进数量的？，已知A类图书每本的进价是35 元、售价为40元，B类图书每本的进价是50元、售价为58元.求如何进货才能使书店所获利润最大， 最大利润为多少元？ 题型土六图形的平移（共5小题） 76.(24-25八年级下·山东青岛期末)如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定 方向平移到△DEF的位置.若LC=30°，AC=BC=9,DG=3,则阴影部分的面积为() A.16 B.18 C.20 D.22 77.(24-25八年级下山东菏泽期末)如图，边长为1的网格中有一个“柳叶”形图形，它是由DG,EB和 线段DE,GB围成的，两条弧的圆心分别是点F和点A,半径都等于4，则“柳叶”形的面积为() 17/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A A.4 B.j C.' 78.(24-25八年级下山东济南期末)在平面直角坐标系中，将点M(-2,1)向左平移3个单位长度，再向 上平移2个单位长度得到点N的坐标是() A.（-4,4 B.（-5,3 C.(1,-1) D.-5,-1 79.(24-25八年级下山东济南期末)若将点A1,3)向左平移2个单位后得到的点的坐标为 80.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形 沿着BC方向平移3cm到aDEF的位置，若AB=6cm,DH=2cm,则阴影部分的面积等于cm2. E B D 题型土士图形的旋转（共5小题） 81.(24-25八年级下山东日照·期末)如图，O是等边三角形ABC内一点，OA=3,0B=4,OC=5, 将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆 时针旋转60°得到；②点O与O的距离为4；③LA0B=150°；④S40s=6,其中正确的结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 82.(24-25八年级下·山东济南期末)如图，在ABC中，∠BAC=110°，∠C=25°，将ABC绕点A按 逆时针方向旋转得到△AB'C',若点B恰好落在BC边上，则LB'AC的度数为() 18/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B A.10 B.15° C.20° D.25° 83.(24-25八年级下·山东菏泽期末)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将ABC绕点A顺时针旋转 90°后得到△AB'C',连接CC'.若LCC'B'=30°，则∠B的度数为() B B A A.65° B.70° C.75° D.80° 84.(24-25八年级下山东青岛期末)在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究 性学习.在ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,将△DBE绕点D按顺时 针方向旋转得到△DFG,点B,E的对应点分别是点F,G.GF交AE于点H,连接DH,BF.若 GF∥AB,下列结论正确的有() ①AE=GF;②AE⊥DG;③四边形DHFB为平行四边形；④若AC=6,BC=8,则DG=4. G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 85.(24-25八年级下山东济南期末)如图，在口ABCD中，∠B=65°，将▣ABCD绕顶点A按顺时针方 向旋转得到口AB'CD',当CD首次经过点D时，旋转角的度数为() B 19/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 A.70° B.65 C.50° D.45° 题型土八数据的分析（共5小题） 86.(24-25八年级下山东济宁.期末)已知一组数据m,,k的平均数为3，方差为2，那么数据 2m-1,2n-1,2k-1的平均数与方差分别是() A.3,2 B.5,8 C.5,4 D.3,8 87.（24-25八年级下山东济宁·期末)习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长” 读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组13名学生的课外阅读量，则本组学生课外 阅读量的中位数和众数依次是() 人数（人） 4 阅读量（本） A.1,1 B.2,1 C.1,2 D.2,5 88.(24-25八年级下山东德州期末)某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示： 人数 10 6 0131415161718年龄/岁 则下列关于此足球队年龄的描述，正确的是() A.平均数是14岁 B.众数为8人 C.中位数为15岁D.方差为2 89.(24-25八年级下山东德州期末)某市新教师招聘中，七位评委独立给出分数，得到一组数.若去掉 一个最高分和一个最低分，得到一组新数，那么这两组数的相关统计量中，一定相等的是() A.方差 B.众数 C.中位数 D.平均数 90.（24-25八年级下·山东临沂期末)为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天阅读1小时”的要求， 学校要求学生每天坚持阅读.小亮记录了自己一周内每天阅读的时间（单位：分钟），并制作了如图所示 的统计图. 20/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 时间/分钟 100 90 80 70 75 70 79 60 65 -67 67 50 三四五六日星期 根据统计图，下列关于小亮该周每天阅读的描述，错误的是() A.平均数为70分钟 B.众数为67分钟C.中位数为67分钟D.方差为1.1 2 考题猜想·高分必刷 1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH的长是() D C B A.4.8 B.2.4 C.5 D.以上都不对 2.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B=80°， ∠ACE=2LECD,则下列结论不正确的是() D B- A.AF=CD B.∠BAC=60° C.△AEF≌△CDFD.AE⊥CE 3.若√189n是整数，且n是正整数，则n的最小值是() A.16 B.21 C.27 D.32 4.下列二次根式与√5是同类二次根式的是() B.√10 C.V25 D.35 21/24 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 5.如图，直线：y=x+1与直线Z:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集 为 V 6.如图放置的△OAB,△B,4,B2,△B2AB,都是边长为4的等边三角形，边A0在y轴上，点B,B, 8在直线)9上，则点的坐标足 B2 7.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， ABC的顶点都在格点上. 4 3 B 5-4-3-2-10 2 3.45 2 3 4 ---1------ (1)将ABC向右平移6个单位长度得到△A,B,C,请画出△A,B,C; (2)画出△A,B,C关于点0的中心对称图形△4，B,C: (3)若将ABC绕某一点旋转可得到△4，B,C2,旋转中心的坐标为 8.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,5)，(3,0).将线段AB向下平移2个单位长度， 再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD: 22/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)直接写出坐标：点C(_),点D(_). (②)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N 从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ (3)点P是直线BD上一个动点，连接PC,PA,当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD, ∠PAB的数量关系. 9.为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组 织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况. 信息1：甲的得分情况：20,14,28,30,32,32； 乙的得分情况：24,28,24,28,28,27. 信息2： 甲、 乙篮板箱线图 16 14 12 0 8 6 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 甲 26 32 m 乙 26.5 2 27.5 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的m=,1= S吊S2(填“>=”或“<”)； (2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙 23/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 24/24