衔接点04 几何图形（讲义，苏科版）数学小升初衔接

衔接点04 几何图形 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。 衔接引导 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180°”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。 考点阐释 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1.（2024·四川绵阳·小升初真题）已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米. 【答案】2 【分析】如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的边长，宽等于正方形边长一半的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积. 【详解】2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方厘米） 阴影部分的面积是2平方厘米. 变式1.（2025·全国·小升初模拟）求下图中涂色部分的面积。 【答案】25平方厘米 【分析】 把上面两个阴影部分面积分别移到下面，如图：，则阴影部分面积＝长是10厘米，宽是（10÷2）厘米的长方形面积－底是10厘米，高是（10÷2）厘米的三角形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×（10÷2）－10×（10÷2）÷2 ＝10×5－10×5÷2 ＝50－50÷2 ＝50－25 ＝25（平方厘米） 阴影部分面积是25平方厘米。 变式2.（2025·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm） 【答案】50 dm2；56.52 dm2 【分析】（1）由图可知，将左边和中间两部分平移至右边空白处，所以涂色部分的面积等于长5×2＝10dm、宽5dm的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式即可求解； （2）由图可知，将下面小半圆移至上面空白部分处，拼成一个大半圆，再根据圆的面积＝，再除以2，即可求出涂色面积。 【详解】（1）长：5×2＝10（dm） 10×5＝50（dm2） 所以，这个涂色部分的面积50 dm2。 （2）3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（dm2） 所以，这个涂色部分的面积56.52dm2。 变式3.（24-25六年级上·四川巴中·期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图形的面积时都有用到，请用已学知识和方法来解决下面的问题吧。 如图1，若AD＝8厘米，BC＝16厘米，求阴影部分的面积。 先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。 【答案】作图见详解；32平方厘米 【详解】如图： 8÷2＝4（厘米） 4×4÷2＋（16－4）×4÷2＝8＋12×4÷2＝8＋24＝32（平方厘米） 答：阴影部分的面积是32平方厘米。 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1.（24-25六年级下·四川内江·期末）如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的面积是( )。 【答案】99 【详解】如图：把小阴影三角形以O点为旋转中心，逆时针旋转90°，则红色阴影的小三角形就是原黑色小阴影三角形，剩下的阴影部分的面积就转化成红色小三角形与大黑色直角三角形组成的底为9、高为22的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 9×22÷2＝9×（22÷2）＝9×11＝99 所以剩下的阴影部分的面积是99。 变式1.（2024·河北·小升初模拟）如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和是39平方厘米。大三角形ABC的面积是( )平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以用方程） 【答案】75 【分析】由于空白部分是一个正方形，把乙逆时针旋转90°，则会得到一个底是：4＋9＝13（厘米），高是正方形边长是三角形；由于这个三角形的面积是39平方厘米，根据三角形的面积公式：底×高÷2，可以求出正方形的边长，之后再求出大三角形ABC的两条直角边，代入面积公式即可求解。 【详解】39×2÷（4＋9） ＝78÷13 ＝6（厘米） （4＋6）×（9＋6）÷2 ＝10×15÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。 变式2.（2025六年级下·全国·竞赛）如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】4.71平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分为不规则图形可考虑整体减去空白。AC左边为半圆，右边为扇形CAB，所以图形总面积为半圆面积＋扇形CAB面积，阴影部分面积为半圆面积＋扇形CAB面积－半圆面积＝扇形CAB面积，所以阴影部分面积转化为扇形CAB的面积，旋转轴AB长3厘米为扇形CAB的半径，根据扇形面积公式计算即可 【详解】（平方厘米） 变式3.（2023·全国·小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm，π取3.14） （1）    （2） 【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米 【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90°然后再平移，阴影部分的面积相当于底是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出阴影部分的面积. （2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积恰好是上底为4，下底为7，高为4的梯形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2. 【详解】（1）8×4÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 阴影部分的面积是16平方厘米. （2）（4＋7）×4÷2 ＝44÷2 ＝22（平方厘米） 阴影部分的面积是22平方厘米. 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 例1.（2024六年级下·江苏·专题练习）求下面各图涂色部分的面积. 【答案】44dm2；9.435dm2 【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8＋6）dm，高为8dm的三角形的面积即可； （2）用上底为3dm，下底为4dm，高为（3＋4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的，再减去底和高都为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积. 【详解】8×8＋6×6－（6＋8）×8÷2 ＝64＋36－14×8÷2 ＝100－112÷2 ＝100－56 ＝44（dm2） 变式1.（2024·全国·小升初模拟）求涂色部分的面积。（单位：dm） 【答案】25.12平方分米；10.26平方分米 【分析】（1）阴影部分的面积等于以8分米为半径的圆面积的减去一个以8分米为直径的半圆的面积，据此结合圆的面积公式：S＝π（d÷2）2＝πr2列式计算； （2）阴影部分的面积等于以6分米为半径的圆的面积减去一个底是6分米高是6分米的三角形的面积，据此结合圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2列式计算。 【详解】3.14×82×－3.14×（8÷2）2× ＝3.14×64×－3.14×42× ＝200.96×－3.14×16× ＝50.24－50.24× ＝50.24－25.12 ＝25.12（平方分米）     3.14×62×－6×6÷2 ＝3.14×36×－36÷2 ＝113.04×－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方分米） 变式2.（2024·江苏扬州·小升初真题）一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积＝大半圆的面积－小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】16÷2＝8（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×82÷2－3.14×42 ＝3.14×64÷2－3.14×16 ＝100.48－50.24 ＝50.24（平方厘米） 答：这个零件横截面（涂色部分）的面积是50.24平方厘米。 变式3.（24-25六年级下·海南海口·期末）如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 【答案】2.28平方厘米 【分析】观察可知，如下图用半径为2厘米的圆的面积减空白1，就是阴影2，再减去阴影1即可得解。根据减法的运算性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，而空白1与阴影1的和等于正方形面积与圆的面积的差，所以两阴影部分面积的差等于半径为2厘米的圆的面积减正方形面积与圆的面积之差，根据、圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 答：两阴影部分面积相差2.28平方厘米。 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 例1.（2024·浙江·小升初模拟）下图阴影部分的面积是30cm2，圆环的面积是（    ）cm2。 A．251.2 B．188.4 C．2826 D．1256 【答案】B 【分析】根据题意，可把外圆的半径用R表示，小圆的半径用r表示，大三角形的面积为R2，小三角形的面积r2，可用大三角形的面积减去小三角形的面积计算出（R2－r2）然后再代入圆环的面积公式S＝π（R2－r2）进行计算即可得到答案。 【详解】R2－r2＝30 解：（R2－r2）＝30 （R2－r2）÷＝30÷ （R2－r2）×2＝30×2 R2－r2＝60 3.14×60＝188.4（cm2） 圆环的面积是188.4cm2。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查的是圆环的面积公式的灵活应用。 变式1.（2025六年级·广东·培优）如图所示的两个同心圆，圆心为O，里边包含一个直角三角形AOB，且OA与小圆相交于点D，OB与小圆相交于点C，四边形ABCD的面积为50cm2，那么圆环的面积是（    ）cm2。（π取3.14） A．300 B．157 C．314 D．628 【答案】C 【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r。由题意可知， 即 圆环的面积：（cm2）故答案为：C 变式2.（2024·全国·小升初模拟）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】45平方厘米 【分析】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r。 则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2 ＝141.3÷3.14 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 【点睛】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。 变式3.（2025五年级·全国·课后作业）如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积． 【答案】234平方厘米 【详解】试题分析：此题是求图中组合图形的面积，可以利用辅助线将它转换成规则图形，如图，连接BH，将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积和即可解决问题．利用三角形面积公式进行解决． 解：如图，连接BH， AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米， 因为F、G分别是四等分点， 所以BF=AB==6（厘米）， DG=24=6（厘米）， S△BFH+S△DHG， =BF×AHDG×HD， =， =3×AH+3×DH， =3×（AH+DH）， =3×AD， =3×26， =78（平方厘米）， 因为E是BC的中点，BE=13厘米， S△BEH=×13×24=156（平方厘米）， 78+156=234（平方厘米）， 答：阴影部分的面积为234平方厘米． 点评：组合图形的面积计算，转化成规则图形的面积计算时解题的关键． 题型5、等积变换法求面积（体积） 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 例1.（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【详解】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14＝3.14×42×6＋3.14×42×14＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14）＝3.14×16×20＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 变式1.（2024六年级·全国·专题练习）如下图，在梯形中，三角形的面积等于30平方厘米，，梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【详解】思路点拨因为三角形与三角形同底等高， 所以三角形与三角形的面积相等， 同时减去三角形，三角形与三角形的面积相等，都等于30平方厘米。 因为三角形与三角形同高，，即， 所以三角形的面积是10平方厘米，三角形的面积是40平方厘米。 因为三角形与三角形同高，， 所以三角形的面积是（平方厘米）。 此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的面积相加，（平方厘米）就是梯形的面积。 因为三角形与三角形的面积相等， 所以三角形的面积是30平方厘米。 因为， 所以三角形的面积是10平方厘米，三角形的面积是90平方厘米。 梯形的面积是：（平方厘米） 答：梯形的面积是160平方厘米。 注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积。本题把梯形转化成三角形，运用三角形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。 变式2.（2025六年级下·西藏·专题练习）如图是一个平行四边形，且AB＝BC＝CD，DE＝EF。则甲、乙两个三角形的面积比是( )∶( )。 【答案】 3 2 【分析】连接平行四边形的对角线，如图：，由此可知，甲的面积＝×平行四边形面积的一半，即××平行四边形，即×平行四边形面积；乙的面积＝×平行四边形面积的一半，即××平行四边形，即×平行四边形面积；再根据比的意义，进而求出甲、乙两个三角形的面积比。 【详解】根据分析可知，甲三角形面积＝×平行四边形面积；乙三角形面积＝×平行四边形面积。 甲∶乙＝（×平行四边形面积）∶（×平行四边形面积） ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶2 甲、乙两个三角形的面积比是3∶2。 变式3.（24-25六年级上·浙江温州·期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【答案】440平方米 【分析】连接BD，如图所示： 三角形面积＝底×高÷2，三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE＝2AE，那么三角形BEF的面积是三角形AEF面积的2倍； FG＝GD，那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么这两个三角形的面积相等； 同理，BH＝HC，那么三角形BHD和三角形HCD等底等高，面积相等。 将空白部分的面积相加，求出种植郁金香的面积即可。 【详解】25×2＝50（平方米） 50＋150＋150＋90＝440（平方米） 答：郁金香的面积是440平方米。 【点睛】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法求组合图形的面积是解题的关键。 题型6、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 例1.（2024·全国·小升初模拟）如图，大小两个长方形部分重叠，算一算两块没有重合的阴影部分面积的差是多少？（单位：厘米） 【答案】28平方厘米 【分析】大长方形没有重合的阴影部分的面积等于大长方形面积减去重合部分面积，小长方形没有重合的阴影部分的面积等于小长方形面积减去重合部分面积；因为重合面积相等，所以两块没有重合的阴影部分面积差就是大长方形面积与小长方形面积差，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】6×8－5×4 ＝48－20 ＝28（平方厘米） 没有重叠的阴影部分面积相差28平方厘米。 【点睛】本题考查长方形的面积重叠问题，解答本题的关键是理解没有重合的阴影部分面积差就是大长方形面积与小长方形面积差。 变式1.（2025六年级下·江苏·培优）如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘米，求BC的长。 【答案】6厘米 【分析】观察图形可知，图为一个直角三角形和一个半圆重叠而成，重叠部分（空白部分）面积相等。，，可知与的差为与的差。（平方厘米），因为比大1.12平方厘米，可得（平方厘米） 根据三角形面积公式，知道底边长4×2＝8cm，知道面积即可求高BC，BC＝24×2÷8＝6（厘米） 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 4×2＝8（厘米） 24×2÷8＝6（厘米） 变式2.（24-25五年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】根据题意：如图，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，则三角形EFG的面积＋10平方厘米＋梯形BCFG的面积＝平行四边形ABCD的面积，又因为三角形EFG的面积＋梯形BCFG的面积＝三角形BCE的面积，所以三角形BCE的面积＋10平方厘米＝平行四边形ABCD的面积；CF是平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，则高CF＝平行四边形的面积÷底，EF＝CE－CF。 【详解】10×8÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 40＋10＝50（平方厘米） 50÷10＝5（厘米） 8－5＝3（厘米） 答：EF的长是3厘米。 变式3.（2024·四川绵阳·小升初真题）如图：直角三角形ABC的直角边AB＝6厘米，BC＝4厘米，以AB为直径画半圆，则阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大( )平方厘米。（圆周率π取3） 【答案】1.5 【分析】 由图可知，阴影部分②的面积＋空白部分③的面积＝直角三角形ABC的面积；阴影部分①的面积＋空白部分③的面积＝半圆的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2，圆的面积＝πr2，代入相应数值，分别计算出三角形面积和半圆的面积，即可比较阴影部分②的面积和阴影部分①的面积，据此解答。 【详解】三角形ABC面积：6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 半圆面积：3×（6÷2）2÷2 ＝3×32÷2 ＝3×9÷2 ＝27÷2 ＝13.5（平方厘米） 因为空白面积③是相等的，所以13.5－12＝1.5（平方厘米）。 因此阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大1.5平方厘米。 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1.（2024六年级下·江苏·培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上．三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米．图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？ 【答案】8平方厘米 【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2），由此即可求出答案． 【详解】解：20×3-36-8×2=60-36-16=8（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米． 变式1.（2024·全国·小升初模拟）如图，△ABC是直角三角形，AC＝4厘米，BC＝AC，以BC、AC分别为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积． 【答案】3.85平方厘米 【分析】两个半圆的面积和减去直角三角形ABC的面积是阴影部分的面积据此解答。 【详解】大半圆的面积：3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方厘米）； 小半圆的面积：3.14×（4÷2÷2）2÷2 ＝3.14×1÷2 ＝1.57（平方厘米） 三角形的面积：4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米） 阴影部分面积：6.28＋1.57－4 ＝7.85－4 ＝3.85（平方厘米） 答：阴影部分的面积为3.85平方厘米。 【点睛】掌握三角形的面积以及圆的面积公式，关键是要搞清楚哪些部分是被重复计算的，要仔细分析题目找出阴影部分面积的计算方法。 变式2.（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。 【答案】2 【分析】首先根据题目说明，令A＝8，B＝9，C＝11.根据容斥定理代入计算，即可求得A、B、C的公共部分面积。 【详解】设阴影部分的面积是x，由容斥原理知 28－（5＋3＋4）＋x＝18， 故x＝2 答：A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积为2. 变式3.（2025六年级下·广东·培优）如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE＝6厘米，CB＝8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】平方厘米 【分析】观察图形可知，图中有3个图形重叠而成，也称为图形的容斥。现将重叠后分成的小图形进行编号，如图。可得，，，所求阴影部分。观察等量关系可得 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1.（2024·山东·小升初模拟）如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这个长方形的长是 cm，圆的面积是 cm2。 【答案】 12.56 50.24 【分析】把一个圆剪拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，圆的面积等于长方形的面积； 根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再除以2，即是近似长方形的长；根据长方形的面积公式S＝ab，求出这个长方形的面积，也就是这个圆的面积。 【详解】长方形的长： 3.14×4×2÷2＝12.56（cm） 圆的面积： 12.56×4＝50.24（cm2） 这个长方形的长是12.56cm，面积是50.24cm2。 变式1.（2024·甘肃定西·小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（    ）cm2。 A．48 B．96 C．104 D．128 【答案】C 【分析】梯形的面积＝长方形面积－三角形的面积，根据公式长方形面积＝长×宽求出长为16 cm，宽为8 cm的长方形面积；根据三角形面积＝底×高÷2求出底为8cm，高为6cm的三角形面积，最后相减即可。 【详解】16×8－6×8÷2 ＝128－24 ＝104（cm2） 所以这个梯形的面积是104cm2。 故答案为：C 变式2.（2025六年级·江苏培优）如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米，正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π＝3） 【答案】129 【分析】如图： 通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【详解】2×3×5÷2＋2×3×13＋2×3×12÷2＝15＋78＋36＝129（厘米） 点A经过的路径长129厘米。 变式3.（24-25六年级上·江苏扬州·期末）同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证：①102－62＝（      ）×（      ）     ②                                         （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（      ） 【答案】（1）①（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （2）（a－b）×（a＋b）（3） 【详解】（1）①102－62＝100－36＝64 （10－6）×（10＋6）＝4×16＝64所以，102－62＝（10－6）×（10＋6） ②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39 （0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39 所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（答案不唯一） （2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b） （3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2] ＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）＝×××××＝ 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1.（24-25六年级下·福建莆田·期末）沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？    【答案】56分钟 【详解】×3.14×（2÷2）2×3＝×3.14×1×3＝3.14（立方厘米）       ×3.14×（8÷2）2×12＝×3.14×16×12＝200.96（立方厘米） ×3.14×（4÷2）2×（12－6）＝×3.14×4×6＝25.12（立方厘米） 200.96—25.12＝175.84（立方厘米） 175.84÷3.14＝56（分钟） 答：现在已经计量了56分钟。 变式1.（2024·河北保定·小升初真题）用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会增加 平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第三种切分方式表面积会增加 平方厘米。但无论怎样切，体积都是 立方厘米。 【答案】 6.28 5 7.85 【分析】第一种切分方式，表面积增加两个切面的面积，即两个圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的高；第三种切分方式，根据圆柱体积公式的推导过程可知，拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加两个长方形的面积，每个的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，根据长方形的面积公式：长方形的面积＝长宽，把数据代入公式求出增加的面积；无论怎样切，体积都不变，然后根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方厘米） 10÷2÷2 ＝5÷2 ＝2.5（厘米） 2.5×（2÷2）×2 ＝2.5×1×2 ＝5（平方厘米） 3.14×（2÷2）2×2.5 ＝3.14×12×2.5 ＝3.14×1×2.5 ＝7.85（立方厘米） 用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径是2厘米，第一种切分方式表面积会增加6.28平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米；第三种切分方式表面积会增加5平方厘米。但无论怎样切，体积都是7.85立方厘米。 变式2.（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这物体的表面积？ 【答案】198平方厘米 【分析】根据题意可知表面积减少了6个边长为2厘米正方形的面积，即减少的面积为：6×（2×2）＝24平方厘米；同时表面积也增加了12个长5厘米宽2厘米的长方形的面积，再从中去掉两个棱长2厘米的正方体的表面积，即增加的表面积为：12×（5×2）－6×（2×2）平方厘米；据此进行解答。 【详解】正方体木块上面： 减少了的面积：6×（2×2）＝24（平方厘米） 增加了的面积：12×（5×2）－2×6×（2×2）＝120－48＝72（平方厘米） 5×5×6－24＋72 ＝150－24＋72 ＝198（平方厘米） 答：这个物体的表面积是198平方厘米。 变式3.（24-25五年级下·浙江温州·期末）阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题： 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。      ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共 8 块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？      ①三面涂色的小正方体共 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数＝ ，各类块数之和＝ 。 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体（a、b、c均为大于2的整数），表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共 8 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共块。④没有涂色的小正方体共 块。 【答案】 8 36 52 24 120 120 【详解】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块 ②两面涂色的小正方体： 4×（6－2）＋4×（4－2）＋4×（5－2）＝4×4＋4×2＋4×3＝16＋8＋12＝36（块） ③一面涂色的小正方体：（6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝4×3×2＋2×3×2＋4×2×2＝24＋12＋16＝52（块） ④没有涂色的小正方体：（6－2）×（4－2）×（5－2）＝4×2×3＝24（块） 总块数：6×4×5＝24×5＝120（块） 各类块数之和：8＋36＋52＋24＝44＋52＋24＝120（块） 用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体，表面涂上颜色。 ②两面涂色的小正方体共块。 ④没有涂色的小正方体共块。 1．（23-24六年级下·湖南株洲·期末）如图，图中A、B两部分的面积比是（    ）。 A．1∶3 B．2∶5 C．3∶8 D．4∶9 【答案】A 【详解】假设，由题可得： A、B两部分的面积和：4×4－3.14×42×＝4×4－3.14×16×＝16－12.56＝3.44 4÷2＝2 A部分的面积：2×2－3.14×22×＝2×2－3.14×4×＝4－3.14＝0.86 B部分的面积：3.44－0.86＝2.58 A、B两部分的面积比：0.86∶2.58＝86∶258＝1∶3故答案为：A 2．（23-24六年级下·陕西西安·开学考试）在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是（    ）。 A．10 B．12 C．24 D．30 【答案】C 【详解】因为AB＝30厘米，BC＝40厘米，所以AC＝BD＝50厘米 （厘米） （厘米） 在长方形中，厘米，厘米，P为上一点，垂直于，垂直于，则与的长度之和是24厘米。 故答案为：C 3．（2024·江苏扬州·小升初模拟）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是( ) 平方厘米。 【答案】20 【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面积的，正方形面积就是重叠部分的面积×4，即可解答。 【详解】 5×4＝20（平方厘米） 【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。 4．（2024·安徽·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 【答案】12 【详解】因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×27＝18（cm2）； 因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×18＝12（cm2）； 由上可知，三角形的面积是12cm2。 5.（24-25六年级下·湖南邵阳·期末）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E、F、G、H分别是正方形四条边上的中点，则阴影部分的面积是( )。    【答案】20 【分析】如图所示，将原图进行割补，则可以得出，正方形的面积就等于5个小正方形的面积和，于是阴影部分的面积就等于大正方形的面积除以5，据此即可得解。 【详解】将原图割补为下图：    S阴影＝100÷5＝100÷5＝20（cm2）阴影部分的面积是20cm2。 6．（2024·江苏南通·小升初真题）观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算每个圆柱的体积是（    ）。 A．8 B．20 C．50 D．24 【答案】D 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆锥体积看作1份，则每个圆柱体积是3份，根据长方体体积＝长×宽×高，求出排出的水的体积，即3个圆柱和1个圆锥的体积和，体积和÷总份数＝一份数，一份数×3＝每个圆柱的体积。 【详解】5×4×4÷（3＋3＋3＋1） ＝80÷10 ＝8 8×3＝24 每个圆柱的体积是24。 故答案为：D 7．（2024·浙江杭州·小升初真题）如图ABCD是一个梯形，AE＝ED，F是ED的中点。则阴影部分与空白部分的面积比是( )∶( )。 【答案】 1 5 【分析】 如图所示，分别取AE、BC的中点G、H，分别连接CG，AC，AH，因为F是ED的中点，所以三角形CFD的面积等于三角形CEF的面积，三角形CEF的面积等于三角形CEG的面积，也就是梯形ABCD被分成6个面积相等的三角形；其中阴影部分的面积有1份，空白部分的面积有5份，据此得到阴影部分与空白部分的面积比。 【详解】根据分析可知：梯形ABCD被分成6个面积相等的三角形，阴影部分的面积有1份，空白部分的面积有5份。 因此阴影部分与空白部分的面积比是1∶5。 8．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】628 【分析】观察图形可知，4个空白部分完全相同，把每个空白部分中的空白小半圆和阴影小半圆的位置对调，即可看出每个空白部分是一个直径为（40÷2）cm的半圆； 那么阴影部分的面积＝半径为（40÷2）cm大圆的面积－4个直径为（40÷2）cm空白半圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（40÷2）2－3.14×（40÷2÷2）2÷2×4 ＝3.14×202－3.14×102÷2×4 ＝3.14×400－3.14×100÷2×4 ＝1256－628 ＝628（cm2） 阴影部分的面积是628cm2。 9．（2024·浙江·小升初模拟）ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB＝BC＝10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。（的值取3.14） 【答案】32.125平方厘米 【分析】，如图所示，将原图中的等腰三角形ABC添补成正方形ABCE，连接DE，整个图形由正方形ABCE和直径为10厘米的半圆组成，也是三角形ADE和两个阴影部分面积组成，D是半圆周的中点，三角形ADE的高是：圆的半径＋等腰直角三角形腰的长，即：10＋10÷2厘米，三角形ABE的底等于三角形ABC的腰，即：AE＝AB＝10厘米，阴影部分面积＝（正方形面积＋半圆面积－三角形ADE的面积）÷2，即可算出。 【详解】如图所示，将原图中的等腰三角形ABC添补成正方形ABCE，连接DE [10×10＋3.14×（10÷2）2÷2－10×（10＋10÷2）÷2]÷2 ＝[100＋3.14×25÷2－10×15÷2]÷2 ＝[100＋78.5÷2－150÷2]÷2 ＝[100＋39.25－75]÷2 ＝[139.25－75]÷2 ＝64.25÷2 ＝32.125（平方厘米） 答：阴影部分面积是32.125平方厘米。 【点睛】解决本题的关键是做出合适的辅助线，将图形进行相应转换，利用已知的条件求的阴影部分的面积。 10．（2024六年级下·山东·专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 【答案】8平方厘米 【详解】如下图箭头所示移动阴影部分，这样阴影部分的面积＝正方形的面积－4个等腰直角三角形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求解。 （平方厘米） 答：四个扇形的弧围成的阴影部分面积是8平方厘米。 11．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图BC＝12cm，CD＝DE＝6cm，①与②两阴影部分的面积的差（较大的减去较小的）是多少？ 【答案】12.78cm2 【详解】如下图所示，用③表示一块阴影部分的面积，则①－②＝（①＋③）－（②＋③）。用半径是12cm的大扇形的面积减去半径是6cm的小扇形的面积即可得出①与③两阴影部分的面积之和，而②与③两阴影部分的面积之和等于长方形的面积，那么用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去长方形的面积，即可求出①与②两阴影部分的面积的差。图中扇形的面积是整圆面积的，根据S＝πr2求出整圆面积，再除以4分别求出两个扇形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积。最后根据上面的分析结果进行解答。 ＝3.14×27－72（cm2） 答：①与②两阴影部分的面积的差是12.78cm2。 12．（2025六年级下·浙江·期中）如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【分析】观察图形，CD扫过的面积阴影部分为不规则图形，考虑整体－空白的算法。在图中画出AC旋转后AE如图所示，可得总面积为扇形CAE面积＋△AFE面积，空白部分面积为△ADC面积＋扇形DAF面积，由题可知△AFE面积＝△ADC面积，所以阴影部分面积为扇形CAE面积－扇形DAF面积 【详解】（平方厘米）（平方厘米） 78.5－50.24＝28.26（平方厘米） 13．（2024·江苏·小升初模拟）一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降( )厘米。 【答案】2.5 【分析】设B升高了x厘米，则A下降了（4－x）厘米；B 升高部分的体积等于A下降部分的体积；根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；A下降部分的体积是：15×（4－x）立方厘米；B升高部分的体积是：25x立方厘米；列方程：15×（4－x）＝25x，解方程，即可解答。 【详解】解：设B升高了x厘米；则A下降了（4－x）厘米。 15×（4－x）＝25x 15×4－15x＝25x 25x＋15x＝60 40x＝60 x＝60÷40 x＝1.5 A下降：4－1.5＝2.5（厘米） 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用A下降部分的体积等于B升高部分的体积，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 14．（2023·四川成都·小升初真题）如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE＝AB。若阴影部分的面积是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】224 【详解】高相等，面积比等于底边比；BE＝AB △BCE的面积＝×△ABC的面积 △ACE的面积＝（1－）×△ABC的面积＝×△ABC的面积 CD＝BC △CDE的面积＝×△BCE的面积 △CDE的面积＝××△ABC的面积 △CDE的面积∶△ACE的面积＝（×）∶＝∶＝（×8）∶（×8）＝1∶6 根据风筝模型，可知DF∶AF＝1∶6 △DEF的面积∶△AEF的面积＝1∶6 △AEF的面积：12×6＝72（平方厘米） △ADE的面积：72＋12＝84（平方厘米） BE＝AB 则AE＝AB △ADE的面积＝×△ABD的面积 △ABD的面积：84÷＝84×＝112（平方厘米） D为BC的中点 所以BD＝CD △ABD的面积＝△ACD的面积 △ABC的面积：112＋112＝224（平方厘米） 三角形ABC的面积是224平方厘米。 15．（24-25六年级上·广东江门·期中）三角形ABC的面积是24平方厘米，AD＝DE＝EC，F是BC的中点，G是FC的中点，求阴影面积。 【答案】14平方厘米 【分析】根据题意，AD＝DE＝EC，则三角形ABD的底是三角形ABC底的，高等于三角形ABC的高，三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形ABD的面积为24×＝8（平方厘米）；那么三角形BDC的面积＝三角形ABC的面积－三角形ABD的面积＝24－8＝16（平方厘米），因为F是BC的中点，则三角形DFC的底是三角形BDC底的一半，它们的高相等，所以三角形DFC的面积＝三角形BDC面积的一半＝16÷2＝8（平方厘米），同理，因为DE＝EC，则三角形EFD的面积＝三角形DFC面积的一半＝8÷2＝4（平方厘米）；那么三角形EFC面积也是4平方厘米，而G是FC的中点，所以三角形EGC的面积是三角形EFC面积的一半，是4÷2＝2（平方厘米）。最后将阴影部分面积相加即可得到答案。 【详解】三角形ABD的面积：24×＝8（平方厘米） 三角形EFD的面积：（24－8）÷2÷2 ＝16÷2÷2 ＝4（平方厘米） 三角形EGC的面积：4÷2＝2（平方厘米） 阴影部分的面积：8＋4＋2＝14（平方厘米） 则阴影面积是14平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是根据各三角形底和高的关系，确定它们面积之间的关系，然后分别求出各阴影三角形的面积。 16．（2024·江苏·小升初模拟）一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？ 【答案】25.6厘米 【分析】物体部分浸入水中，当轻轻提起物体时，水的体积不变，提起的那部分铁棒的体积＝容器中下降那部分水的体积，下降那部分水的底面积＝容器的底面积一铁棒的底面积。用“提起的那部分铁棒的体积÷（容器的底面积一铁块的底面积）”求出水面下降的高度，再加上提起的24厘米就是露出水面的铁棒上被水浸湿的部分的长度。 【详解】15×15×24÷（60×60－15×15）＋24 ＝5400÷3375＋24 ＝1.6＋24 ＝25.6（厘米） 答：伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长25.6厘米。 【点睛】解决此类物体部分浸入水中的问题，要注意当轻轻提起物体时，提起的那部分物体的体积＝容器中下降那部分水的体积。 17．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【答案】（1）见详解（2）平；高的一半；三角形面积的一半；24平方厘米 （3）①见详解②385立方米③25×（5－1） 【详解】（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽可知，平行四边形的面积＝底×高。 （2）12×2＝24（平方厘米） 在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（平）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（高的一半），面积是（三角形面积的一半），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（24平方厘米）。 （3）①把两个完全一样的游泳池模型拼成一个长是25米，宽是11米，高是（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②25×11×（1.2＋1.6）÷2＝25×11×2.8÷2＝385（立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③25×（5－1）＝25×4＝100（米） 答：至少要购进25×（5－1）米的分道线，才能保证5个泳道的分道。 18．（2025六年级下·江苏·专题练习）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 【答案】(1)144 (2) 【详解】（1）边长是27厘米的等边三角形，周长是27×3＝81（厘米）。 第一个“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是144厘米。 （2）边长为a厘米等边三角形，周长是（3a）厘米。 第一次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第三次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 衔接点04几何图形 小学视角 学业要求·思维衔接坊 初中展望 衔接引导 知识过渡·方法训练营 讲义（知识衔接篇） 项目闯关·题型对点练/变式挑战台 综合演练·能力进阶场 学业要求·思维衔接坊 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角 初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化 形、四边形、圆)的周长与面积、立体图形（长、正 极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对 方体、圆柱、圆锥)的表面积与体积。培养的核心数图形特征的研究上，而要转入对其性质较为系 学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。 统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这 对从来没有进行过数学证明的学生来说，要掌 握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论 之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培养的 核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、 推理能力等。 衔接另引导 在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思 维能力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等 于180”这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上 给予严格论证。 1/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识过渡·方法训练营 考点阐释 1、基本公式 正方形：C=4a;S=a×a。长方形：C=(a+b×2;S=ab。平行四边形：S=ah。 三角形：S=ah÷2。梯形：S=(a+b)×h÷2。圆：C=元d=2πr;S=元r2。 正方体S表=a×a×6;V=a×a×a 长方体S表=（(ab+ah+bh)×2;V=abh 圆柱体、圆锥体(h:高；S:底面积；：底面半径) 圆柱侧面积：S=2πr·h;圆柱表面积：S=2πr·h+2πr2;圆柱体积：V=S·h;圆锥体积： S.h 3 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1)割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2)和差法求面积；3)等积变换（化线段比为面积比）；4) 运用整体思想；5)差不变；6)容斥原理（韦恩图）等。 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。 通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后 我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最 常用的方法。 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个 局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白S乙-S 空白。 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果， 利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那 部分面积。 2/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 项目闯关·题型对点练 题型1、割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 F D S阴影=S正方形FEBC S阴影=S正方形ABHG S用影=SMADC S阴影=S扇形ncE 1 Sm影F4 正方形HBCD=SXROC B S阴影=S扇形ACB-SMACD B 例1.(2024四川绵阳·小升初真题)已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米 3/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1.(2025全国小升初模拟)求下图中涂色部分的面积。 10cm 变式2.(2025全国小升初模拟)求涂色部分的面积。（单位：dm) 5 55 变式3.(24-25六年级上四川巴中期末)转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知 识和方法来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图 形的面积时都有用到，请用己学知识和方法来解决下面的问题吧。 如图1，若AD=8厘米，BC=16厘米，求阴影部分的面积。 先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。 D A D B E C B E 图1 图2 题型2、割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 4/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D S阴影=SMADC E S阴影=S扇形B0E B S阴影=S扇形BOD S阴影=S扇形ABE一S形MBY N S影=S正方形MEQC D BMV B M 安 D F E E S阴影=S长方形ACDF S阴影=SAMB0 B B A OE B OE S阴影=S扇形B0C D D 例1.(24-25六年级下四川内江·期末)如图，在一个三角形中剪掉一个最大的正方形，剩下的阴影部分的 面积是( ) 5/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9 22 变式1.(2024河北小升初模拟)如图：大三角形的空白部分是一个正方形，三角形甲与三角形乙的面积和 是39平方厘米。大三角形ABC的面积是( )平方厘米。（提示：可以用拼一拼转化的方法，也可以 用方程) 4厘米 甲 9厘米 变式2.(2025六年级下·全国竞赛)如图是一个直径为3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半 圆逆时针旋转60°，此时B点移动到C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 60 变式3.(2023全国小升初模拟)求阴影部分面积.（单位：cm,π取3.14） (1) 题型3、和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 F D S阴影=S扇形EAF-SMADE B B 6/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B S阴影=S半圆Hc+S半限Bc-SMACB E B D S阴影=S扇形BOE+SSOCE-S扇形DOC S阴影=S扇形4Oc+SAROC S阴影=S扇形A0B-SABOA B B 例1.(2024六年级下江苏·专题练习)求下面各图涂色部分的面积 45 6dm 4dm 3dm 8dm 变式1.(2024全国小升初模拟)求涂色部分的面积。（单位：dm) 10 变式2.(2024江苏扬州小升初真题)一个零件横截面的形状如图。这个零件横截面（涂色部分）的面积是 多少平方厘米？ 16cm 变式3.(24-25六年级下.海南海口期末)如图，正方形边长2厘米，两阴影部分面积相差多少？ 7/20 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型4、整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整 体代换即可。 例1.(2024浙江小升初模拟)下图阴影部分的面积是30cm2,圆环的面积是（）cm2。 A.251.2 B.188.4 C.2826 D.1256 变式1.(2025六年级广东培优)如图所示的两个同心圆，圆心为O,里边包含一个直角三角形AOB,且 OA与小圆相交于点D,OB与小圆相交于点C,四边形ABCD的面积为50cm2,那么圆环的面积是()cm2 。（π取3.14)》 A.300 B.157 C.314 D.628 变式2.(2024全国小升初模拟)如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘 米？ 变式3.（2025五年级全国·课后作业)如图，长方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点， 8/20 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积. H 题型5、等积变换法求面积（体积） 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 例1.(2024浙江宁波小升初真题)（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水 的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 8cm 4cm 个6cm 变式1.(2024六年级全国·专题练习)如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米， BD=4ED,梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ A D B C 变式2.(2025六年级下·西藏专题练习)如图是一个平行四边形，且AB=BC=CD,DE=EF。则甲、乙两 个三角形的面积比是( )( F 甲 B C D 变式3.(24-25六年级上·浙江温州期末)如图，已知有一块四边形花圃ABCD,其中E,F分别为AB,AG 上的点，且BE=2AE,G,H分别是DF,BC上的点，且BH=HC,FG=GD,连接EF,BF,BG,HD, 将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方 9/20 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ E B G D 题型6、差不变思想（原理） 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白S乙+S空白，反之亦 可。 例1.(2024全国小升初模拟)如图，大小两个长方形部分重叠，算一算两块没有重合的阴影部分面积的差 是多少？（单位：厘米） 8 变式1.(2025六年级下江苏培优)如图，半圆的半径是4厘米，图形甲面积比图形乙面积大1.12平方厘 米，求BC的长。 乙 甲 A B 变式2.(24-25五年级上·全国·课后作业)如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE 的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？ 10/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E G 10 变式3.(2024四川绵阳·小升初真题)如图：直角三角形ABC的直角边AB=6厘米，BC=4厘米，以AB 为直径画半圆，则阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大( )平方厘米。（圆周率元取3） ① 题型7、容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其 精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原 理在求解阴影部分面积时的妙用。 例1.(2024六年级下·江苏·培优)如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同重 叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米.图中阴影部分的面积之和是多少平方 厘米？ 8 变式L(2024全国小计初授拉)如图，△ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=方AC以BC、AC分别 为直径画▣半圆，两个半圆的交点D在AB边上，求图中阴影部分的面积 D B 11/20 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2.(2025六年级下·全国竞赛)如图所示，A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片， 它们重叠放在一起盖住的面积是18，且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4，求A、B、 C三个图形公共部分（阴影部分）的面积。 变式3.(2025六年级下广东培优)如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。CE=6厘米， CB=8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看， 与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图 形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 例1.(2024山东小升初模拟)如图，把一个圆沿半径分成若干等份，拼成一个宽4cm的近似的长方形，这 个长方形的长是 cm. 圆的面积是 cm2。 4cm ?cm 变式1.(2024甘肃定西·小升初真题)如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是() cm2。 8cm 16cm 12/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.48 B.96 C.104 D.128 变式2.(2025六年级江苏培优)如图1，长方形木块长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米， 正方形木桩边长为17厘米。木块从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木 块滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长 厘米。（π=3） 图1 图2 图3 变式3.(24-25六年级上江苏扬州期末)同学们，“观察一猜想一验证一应用”是我们常用的数学探究方法。 在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出 了两种不同的方法（如图）。 方法1： 3 方法2： 3 3 3 5-3 5 S=52-3 =63》x5+3 这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52-32=(5-3)×(5+3)。 仔细观察这个等式，想一想：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？ (1)请举2个例子验证：①102-6=()×（)② (2)如果用a和b表示两个数（且a>b),这样的规律可以表示为：a2-b2=(）×() 3)根据以上结论计算：1-（兮）列×1-（孕×1-(）匀=（) 题型9、立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接 问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 例1.(24-25六年级下·福建莆田·期末)沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从 一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下 部，那么现在己经计量了多少分钟？ 13/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8cm 12cm 2cm 3cm 12cm 不 4cm 6cm -8cm- 变式1.(2024河北保定小升初真题)用三种不同的方式对完全相同的圆柱进行切分。已知圆柱的底面直径 是2厘米，第一种切分方式表面积会增加 平方厘米；第二种切分方式表面积会增加10平方厘米； 第三种切分方式表面积会增加 平方厘米。但无论怎样切，体积都是 立方厘米。 “上 -20 第一种 第二种 第三种 变式2.(2025六年级下·全国竞赛)如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、 后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这 物体的表面积？ 5 变式3.(24-25五年级下.浙江温州期末)阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题： 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会 出现4种不同的涂色情况。 14/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ① ② ③ ④ ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共2×12=24块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共4×6=24块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共2×2×2=8块。 检验：总块数=4×4×4=64，各类块数之和=8+24+24+8=64。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、 两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共 块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共 块。④没有涂色的小正方体共 块。 检验：总块数=」 各类块数之和= 【探索问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长acm、宽bcm、高ccm的长方体(a、b、c均为大于2的 整数)，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块。②两面涂色的小正方体共 块。 ③一面涂色的小正方体共2(a-2)b-2)+2(b-2)(c-2)+2(a-2)(c-2)块。④没有涂色的小正方体共块。 综合演练·能力进阶场 1.(23-24六年级下.湖南株洲期末)如图，图中A、B两部分的面积比是()。 15/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A a A.1:3 B.2:5 C.3:8 D.4:9 2.(23-24六年级下.陕西西安·开学考试)在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，P为BC上一 点，PO垂直于AC,PR垂直于BD,则PO与PR的长度之和是()。 D O R A.10 B.12 C.24 D.30 3.(2024江苏扬州小升初模拟)如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正 方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是( 平方厘米。 4.(2024安微小丹初真题)如图，三角形48C的面积27em,CE-BC,BDB,三角形BD的面 积是( )cm2. E B D 5.(24-25六年级下·湖南邵阳期末)如图，正方形ABCD的边长为10cm,E、F、G、H分别是正方形四条边 上的中点，则阴影部分的面积是( ）cm2. 16/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G D H E 6.(2024江苏南通·小升初真题)观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆 锥。推理并计算每个圆柱的体积是()。 A.8 B.20 C.50 D.24 7.(2024浙江杭州·小升初真题)如图ABCD是一个梯形，AE=ED,F是ED的中点。则阴影部分与空白 部分的面积比是( )( ) E F D 8. (2024河南南阳·小升初真题)如图，己知AB=40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连 接而成，那么阴影部分的面积是( )cm2。(x取3.14) 9,(2024浙江小升初模拟)ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。已知AB= BC=10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米。（π的值取3.14） 17/20 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(2024六年级下.山东专题练习)求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、 H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。 H 11,(24-25六年级下.陕西咸阳·期末)如图BC=12cm,CD=DE=6cm,①与2两阴影部分的面积的差（较 大的减去较小的)是多少？ B ① D 12.(2025六年级下·浙江·期中)如图，长方形ABCD把这个长方形绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫 过的阴影部分面积。（单位：厘米） 10 13.(2024江苏小升初模拟)一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面 积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取 一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降( )厘米。 A h 18/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(2023四川成都小升初真题)如上图，在△ABC中，D为BC的中点，BE=AB。若阴影部分的面积 41 是12平方厘米，则三角形ABC的面积是( 平方厘米。 15.(24-25六年级上·广东江门期中)三角形ABC的面积是24平方厘米，AD=DE=EC,F是BC的中点， G是FC的中点，求阴影面积。 A D B F G 16.（(2024江苏小升初模拟)一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里 直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。 现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？ ① ② 17. (2024河南郑州小升初真题)在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 (1)观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 高 宽 底 长 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 (2)在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个()角。我们也可以用 这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是()， 面积是( ),这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12 平方厘米，则原来三角形的面积是()。 19/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3么 (3)伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a)。 游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b)。 25m E1.2m 11m f1.2m 1.6m 1.6m 25m a 6 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计 了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 18.（2025六年级下·江苏.专题练习)在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角 形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形， 并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②）。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③）周长是( )厘 米。 (2)如果一个边长为a厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。 (用含有a的式子表示) ② ③ 20/20