衔接点03 列方程解应用题（讲义，苏科版）数学小升初衔接

衔接点03 列方程解应用题 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 初中阶段在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接引导 为了让学生后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 考点阐释 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、找等量关系与列方程 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1.（24-25五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】根据题干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可。 【详解】A．18－3x＝6表示“18比3x多6”，与题干不符； B．3x－6＝18表示“3x减去6就是18”，即“3x比18多6”，与题干相符合； C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，与题干相符； 正确的有2个 故答案为：B 变式1.（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数；②足球队人数田径队人数 ③篮球队人数田径队人数；④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 【答案】C 【详解】①＝，田径队人数是篮球队人数的，足球队人数田径队人数，原等量关系错误； ②足球队人数田径队人数，等量关系正确； ③篮球队人数田径队人数，等量关系正确； ④篮球队人数田径队人数，等量关系正确。 其中正确的只有②③④。故答案为：C 变式2.（2024·河南安阳·小升初真题）根据所给信息，如图图形可以用方程“x＋x＝60”来表示的有（    ）个。 A．3 B．2 C．1 【答案】B 【分析】图形1：圆柱和圆锥等底等高，所以圆锥的体积＝圆柱的体积，圆柱的体积是x立方厘米，圆柱体积＋圆锥体积＝60cm3，可得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“”来表示； 图形2：根据三角形面积＝底×高÷2，所以高＝三角形面积×2÷底，已知三角形面积是xcm2，底边长是15cm，则高为：2x÷15＝（cm），可得阴影三角形的面积：5×÷2，两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，x＋5×÷2＝60，化简得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“”来表示； 图形3：根据图示可知土地面积是60cm2，种牡丹的面积为土地面积的为xcm2，没种牡丹的面积为xcm2。根据总面积加起来是60平方厘米，列方程为x＋x＝60（cm2），所以图形不可以用方程“”来表示；据此解答。 【详解】根据分析： 图形1：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，列式为：； 图形2：两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，2x÷15＝（cm），x＋5×÷2＝60，x＋×＝60，x＋x＝60，列式为：； 图形3：种蔬菜的面积是xcm2，空白地方的面积是xcm2，列式为：。 前两幅图图形可以用方程“”来表示。即只有2个图形满足题意。 故答案为：B 变式3.（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 ( ) ＝ 根据上面的数量关系式列出方程： 。 【答案】 “丰春”号的速度×时间 － “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 32×7.5－7.5＝30 【分析】根据“路程＝速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了7.5千米，“振兴”号7.5小时行驶了（32×7.5）千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程。 【详解】数量关系式：“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间＝两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：32×7.5－7.5＝30。 题型2、数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1.（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 【答案】B 【详解】解：设有辆车，根据“若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车”可得乘车的总人数为； 根据“若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘”可得乘车的总人数为． 再根据乘车的总人数不变列出方程．故选：B． 变式1.（2024·湖南岳阳·小升初真题）鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有( )只，兔有( )只。 【答案】 23 12 【分析】设鸡有x只，则兔有只，则鸡有2x只脚，兔有4只脚，再根据鸡脚＋兔脚＝94只，列出方程解答即可。 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只， 兔：（只） 所以鸡有23只，兔有12只。 变式2.（24-25七年级下·山西临汾·期中）《九章算术》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思：用绳子量井深，把绳三折来量，并外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设井深为尺，根据题意，得．故选：D 变式2．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为： ． 【答案】 【详解】解：设甲有钱x枚，则乙有钱枚， 由题意得：，即．故答案为：． 变式3．（2025·江西·模拟预测）《九章算法比类大全》是明代吴敬撰写的算书，书中载有一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，顶尖共有几盏灯？”（注：从塔的底层开始，每层的灯数是上一层灯数的2倍，直到顶层为止）根据诗中大意，则最中间层灯的盏数为 ． 【答案】24 【详解】解：设顶层的灯有x盏，由题意，得．解得． ∴塔的顶层有3盏灯．故最中间层灯的盏数为24．故答案为：24． 题型3、行程问题 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1.（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 【答案】货车的速度是63千米/时；客车的速度是77千米/时 【分析】已知路程和相遇时间，以及两车速度差，通过设货车速度为x千米/时，利用客车与货车速度关系表示出客车速度；再依据相遇问题“路程＝速度和×相遇时间”这一公式列出方程求解。 【详解】解：设货车速度为x千米/时，则客车速度为（x＋14）千米/时。 （x＋x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6÷6＝840÷6 2x＋14＝140 2x＋14－14＝140－14 2x＝126 2x÷2＝126÷2 x＝63 x＋14＝63＋14＝77 答：货车的速度是63千米/时，客车的速度是77千米/时。 变式1.（2024·浙江杭州·小升初模拟）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇。A、B两地相距（    ）米。 A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【详解】解：设两人x分钟后相遇。 （90－60）x＝180×2 30x＝180×2 30x÷30＝180×2÷30 x＝12 12×（90＋60）÷2 ＝12×150÷2 ＝1800÷2 ＝900（米） 故答案为：A 变式2.（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 【答案】（1）80；120； （2）当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【分析】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据，结合题意得：3.6×（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。 （2）两车行驶过程中有2次两车之间的距离是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；相遇后：点C（6，480），慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，计算慢车行驶20km需要的时间，再加上6即可得解。 【详解】（1）解：设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h。 （9－3.6）×a＝3.6×b 把代入关系式3.6×（a＋b）＝720 慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h。 （2）相遇前：（80＋120）x＝720－500 解： 相遇后：因为点C（6，480），慢车再行驶20千米两车之间的距离为500千米。 20÷80＝0.25（时） x＝6＋0.25＝6.25（时） 答：当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【点睛】根据题意找出关系式，有两个未知数的，要先替换为一个未知数，解方程；相遇前两车有一次距离500km；相遇后两车又有一次距离500km；还要注意，快车已到乙地，两车距离不到500km，慢车还得再行20km。 变式3.（24-25五年级上·山东济南·期末）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72＋3x＋135＝540 216＋3x＋135＝540 351＋3x＝540 3x＝540－351 3x＝189 x＝189÷3 x＝63 答：货车每小时行驶63千米。 题型4、工程问题 【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1.（2024·河南鹤壁·小升初真题）工程队修一段公路，原计划每天修3.2千米，15天完成，实际每天修4千米，可以几天可以修完？ 【答案】12天 【详解】解：设实际天可以修完。 答：实际12天可以修完。 变式1.（2024·江苏常州·小升初真题）为进一步发挥生态优势、建设美丽乡村，溧阳某网红村要修缮一条廊桥，全长360米，第一天修了25%，再修多少米可以修完这条廊桥的？ 【答案】126米 【分析】先算出第一天修的长度，用廊桥全长乘第一天修的比例25%，再算出这条廊桥的长度，最后用廊桥的的长度减去第一天修的长度，得到还需修的长度。 【详解】360×－360×25% ＝216－360×0.25 ＝216－90 ＝126（米） 答：再修126米可以修完这条廊桥的。 变式2.（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为1÷12＝，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为8x，乙队单独做3天的工作量为（－x）×3，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量＝”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。 8x＋（－x）×3＝ 8x＋－3x＝ 5x＋＝ 5x＋－＝－ 5x＝－ 5x＝ ×5x＝× x＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×20 ＝20（天） 答：乙队20天可以修完这条路。 变式3.（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【答案】(1)乙管开了小时； (2)三管一起开放，小时注满一空水池． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 题型5、年龄问题 【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1.（2024·山东青岛·小升初真题）爸爸比小磊大28岁，爸爸今年的年龄是小磊的3倍。小磊今年几岁？ 【答案】14岁 【分析】根据“爸爸今年的年龄是小磊的3倍”，可以设小磊今年岁，则爸爸今年3x岁； 根据“爸爸比小磊大28岁”可得出等量关系：爸爸今年的年龄－小磊今年的年龄＝爸爸比小磊大的年龄，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设小磊今年岁，则爸爸今年岁。 －＝28 ＝28 ÷2＝28÷2 ＝14 答：小磊今年14岁。 变式1.（2025六年级下·江苏·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁。 【答案】54 分析： 【详解】解：设女儿现在的年龄是x岁。 x＋2（x－4）＝79 x＋2x－8＝79 3x＝87 x＝29 29－4＋29＝54（岁） 变式2.（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 【答案】 54 29 【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋4＝儿子现在的年龄，年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，所以爸爸＋儿子的年龄＝79＋4＝83，设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是（83－x）岁，再根据年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，列出方程解决问题。 【详解】解：设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是79＋4－x＝（83－x）岁，根据题意可得方程： x－（83－x）＋x＝79 x－83＋x＋x＝79 3x－83＋83＝79＋83 3x＝162 3x÷3＝162÷3 x＝54 83－54＝29（岁） 现在爸爸54岁，儿子29岁。 【点睛】解决本题的关键是明确年龄差不变，再列方程解答。 变式3.（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁 【分析】三人增长的岁数一样。也就是爸爸增长的岁数＝哥哥的增长岁数＝妹妹增长的岁数。当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是x岁，爸爸的年龄是3x岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁时，爸爸是增长了（34－3x）岁，妹妹和哥哥也都增长了（34－3x）岁。这时候妹妹的年龄是（9＋34－3x）岁，哥哥的年龄是（x＋34－3x）岁，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式：哥哥的年龄＝妹妹的年龄×2。解方程得出哥哥的年龄为13岁，这时候爸爸的年龄39岁，妹妹的年龄是9岁，三个人这时候的年龄总和是61岁，现在三个人的年龄和是70岁，相差9岁，这个相差的9岁是三个人一起增长的年龄，所以每个人增长了3岁。 【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 3×13＝39（岁） 9＋13＋39＝61（岁） （70－61）÷3 ＝9÷3 ＝3（岁） 妹妹：9＋3＝12（岁） 哥哥：13＋3＝16（岁） 爸爸：39＋3＝42（岁） 答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。 题型6、数字与日历问题 【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1.（24-25七年级下·吉林长春·期中）把这个数填入的正方形方格中，不管是把横着的个数相加，还是把竖着的个数相加，或者把斜着的个数相加，个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程进行求解即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 变式1.（2024·河南郑州·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18，则原数的个位数与十位数的和为（    ）。 A．8 B．10 C．12 D．21 【答案】B 【详解】解：设个位数字为x。 10x＋x－（10×x＋x）＝18 x＋x－（x＋x）＝18 x－x－（x－x）＝18 x－x＝18 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 6×＝4 6＋4＝10 所以原数的个位数与十位数的和为10。故答案为：B 变式2.（2023·山西·小升初模拟）一个两位数，个位与十位上的数字的和是9。如果这个两位数减去27，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换。求原来的数？ 【答案】63 【详解】解：设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x和9﹣x，得： 10x＋9﹣x﹣27＝10×（9﹣x）＋x 9x﹣18＝90﹣9x 18x＝108 x＝6 9﹣6＝3 这个两位数就是63。 变式3.（24-25六年级下·重庆渝中·期末）如图，是某月的月历。 （1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由。 （3）在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】（1）5倍（2）都成立；理由见详解（3）不能 【详解】（1）9＋15＋16＋17＋23＝80 80÷16＝5 答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍。 （2）假设中间数为x。 （x－1）＋x＋（x＋1）＋（x－7）＋（x＋7） ＝ x－1＋ x ＋ x＋1＋ x－7＋ x＋7 ＝5x 5x÷x＝5 答：这个结论对于任何一个月的月历都成立。 （3）解：设中间数为x。 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 答：在该月历上，20是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数。 题型7、牛吃草问题 【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1.（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 【答案】12 【详解】求每周新长草量（20×10－24×6）÷（10－6）＝（200－144）÷4＝56÷4＝14（份） 求牧场原有的草量24×6－14×6＝144－84＝60（份） 计算可供19头牛吃的周数 解：设可供19头牛吃x周。 19x＝60＋14x 19x－14x＝60＋14x－14x 5x÷5＝60÷5 5x×＝60× x＝12 可供19头牛吃12周。 变式1.（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 【答案】156 【详解】解：设扶梯每分钟走x个台阶。 3x＋3×35＝4x＋4×22 3x＋105＝4x＋88 3x＋105－3x＝4x＋88－3x 105＝x＋88 105－88＝x＋88－88 17＝x x＝17 3×17＋3×35 ＝51＋105 ＝156（级） 这个自动扶梯共有156级台阶露在外面。 变式2.（2024·全国·小升初模拟）一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 【答案】40头 【分析】设1头牛1天吃1份草，根据题中的两种情况，先求出原草量和草的增长速度，然后考虑题目的问题。 【详解】解：设1头牛1天吃1份草； （份/天） （份） 设原有x头牛； 答：这群牛原来有40头。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，对于这种牛数量变化的情况，可以用方程求解，整体考虑问题。 变式3.（2024·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 【答案】3 【分析】据已知条件，一个窗口8分钟一共放走了25×8＝200（人），8分钟内共来了10×8＝80（人），所以原来有200－80＝120（人）；开两个窗口则每分钟可放25×2＝50（人），则可设x分钟后就暂时无人排队了，x分钟共来人10x人，可得方程：50x－10x＝120，解此方程即可。 【详解】原来有： 25×8－10×8 ＝200－80 ＝120（人） 设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程： （25×2）x－10x＝120 解：50x－10x＝120 40x＝120 x＝120÷40 x＝3 所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。 【点睛】此题的解题关键是要先求出原来等着的有多少人，再找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 题型8、销售问题 【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1.（2024六年级·全国·竞赛）一件产品，每件成本价为400元，售价510元，预计明年若售价降低，销售量将提高，要使利润不变，成本应降低( )元。 【答案】10.4 【分析】本题可以用方程来解决，设成本应降低x元，将原来的销量看作单位“1”，根据“利润＝售价－成本”分别求出今年和明年的利润，根据利润不变可以列出方程，从而解决问题。 【详解】解：设成本应降低x元。 因此成本应降低10.4元。 变式1.（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？ 【答案】1200元 【分析】设每台空调的进价为x元，根据“将进价加35%定价”，知道定价为（1＋35%）x元，按定价打九折出售，意思是按定价的90%出售，卖价为即（1＋35%）x×90%元，由数量关系：卖价－进价－50＝208，即可列出方程解决问题。 【详解】解：设每台空调的进价为x元。 （1＋35%）x×90%－x－50＝208 1.35x×0.9－x＝258 1.215x－x＝258 0.215x＝258 x＝258÷0.215 x＝1200 答：每台空调的进价是1200元。 变式2.（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 【答案】标价200元；六折 【详解】（1）解：设每件衣服的标价是元。 50%＋20＝80%－40 80%－50%＝20＋40 0.3＝60 ＝60÷0.3 ＝200 （2）200×50%＋20 ＝200×0.5＋20 ＝100＋20 ＝120（元） 120÷200×100% ＝0.6×100% ＝60% 60%＝六折 答：每件衣服的标价是200元，要保证不亏，最多能打六折。 变式3.（2024·河北邯郸·小升初真题）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动。 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠。 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠。 若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数。 （1）方案一购物优惠后所花的钱数是（    ），方案二购物优惠后所花的钱数是（    ）。 （2）当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ （3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？ 【答案】（1）0.9x元；（200＋0.8x）元； （2）2000元； （3）方案二更省钱，可节省70元 【分析】（1）方案一，九折优惠，即现价是原价的90%，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用原价乘90%，即是现价；方案二，交纳200元会费，商品八折优惠，即现价是原价的80%，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用原价乘80%，求出商品的现价，再加上会费，即是实际需付的钱数。 （2）求当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同，即上一题两种方案用字母表示的式子相等，据此列出方程，并求解。 （3）已知购买2700元的一部手机，把2700它代入第（1）题两种方案用字母表示的式子中，计算出得数，再比较，得出哪种方案更省钱，再用减法求出节省的钱数。 【详解】（1）x×90%＝0.9x（元） 200＋80%x＝（200＋0.8x）（元） 所以方案一购物优惠后所花的钱数是0.9x元，方案二购物优惠后所花的钱数是（200＋0.8x）元。 （2）0.9x＝200＋0.8x 解：0.9x－0.8x＝200＋0.8x－0.8x 0.1x＝200 0.1x÷0.1＝200÷0.1 x＝2000 答：当商品价格为2000元时，两种优惠所花的钱数相同。 （3）方案一： 2700×0.9＝2430（元） 方案二： 200＋2700×0.8 ＝200＋2160 ＝2360（元） 2430＞2360，即方案二更省钱。 2430－2360＝70（元），即可节省70元。 答：若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，方案二更省钱，可节省70元。 题型9、分段计费问题 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1.（2024·吉林长春·小升初真题）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元会员费，每次游泳另外收费10元（一年内有效）。 （1）爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程。 （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程。 【答案】（1）年卡；过程见详解 （2）15次 【分析】（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳2×12＝24次。 方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量＝总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用； 方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费10元，那么游泳24次需另收费24×10＝240元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用； 再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算。 （2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等；等量关系：单次卡每次的费用×次数＝年卡的费用＋每次游泳另外的收费×次数，据此列出方程，并求解。 【详解】（1）爸爸一年游泳：2×12＝24（次） 单次卡： 30×24＝720（元） 年卡： 300＋24×10 ＝300＋240 ＝540（元） 720＞540 答：年卡更划算。 （2）解：设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等。 30＝300＋10 30－10＝300 20＝300 ＝300÷20 ＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 变式1.（2025六年级下·广东·专题练习）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500不超过1000元的部分 60 超过1000不超过3000元的部分 70 …… 【答案】2000元 【详解】解：设住院医疗费是x元。 答：此人住院的医疗费是2000元。 变式2.（2025六年级下·广东·专题练习）重庆市电价阶梯式收费标准如下表。 分档 用户年用电量（千瓦时） 电费价格（元/千瓦时） 第一档 0～2400（含） 0.52 第二档 2401～4800（含） 0.57 第三档 4801以上 0.82 （1）李阿姨家七月和八月的阶梯电量使用情况如图。李阿姨家八月应付电费多少元？ （2）2023年5月13日，重庆市发展改革委印发了《关于建立居民分时电价机制的通知》，2023年6月1日起，“一户一表”城乡居民用户和居民充电设施用户自愿选择是否执行（分时电价如图）。已经有阶梯电价为什么还要建立分时电价呢？ 【答案】（1）881.58元；（2）见解答 【详解】（1）2400×0.52＋（4800－2400）×0.57＋（5034－4800）×0.82＝1248＋1368＋191.88＝2807.88（元） 2400×0.52＋（3590－2400）×0.57＝1248＋678.3＝1926.3（元） 2807.88－1926.3＝881.58（元） 答：李阿姨家八月应付电费881.58元。 （2）答：重庆市有阶梯电价还要建立分时电价的原因如下（答案不唯一，合理即可）： 阶梯电价主要是鼓励总体节约用电； 而分时电价更强调“错峰用电”，通过调高高峰时段电价、降低低谷时段电价，引导居民将用电需求尽可能转移到低谷时段，从而减轻电网高峰负荷、提高用电效率。配合使用能够更好地促进节约、均衡用电。 变式3.（2025六年级下·重庆·培优）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择。某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）。 TAXI（出租车）起步价：14元 超公里费：不足3公里按3公里计，超过3公里2.4元/公里 滴滴快车 起步价：12元 里程费：2.5元/公里 时长费：0.4元/分钟 神州专车 起步价：10元 里程费：2.8元/公里 时长费：0.5元/分钟 （1）如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们的费用分别是多少元？ （2）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车从甲地到丙地，结果到达目的地时收费相同，求甲、丙两地间的里程数。 【答案】（1）他们的费用分别是30.8元，43元，45.5元（2）甲、乙两地间的里程数为12千米 （3）甲、丙两地间的里程数为5千米或30千米。 【详解】（1）乘坐TAXI（出租车）的费用为14＋2.4×（10－3）＝30.8（元）； 乘坐滴滴快车的费用为12＋2.5×10＋0.460＝43（元）； 乘坐神州专车的费用为10＋2.8×10＋0.560＝45.5（元）。 答：他们的费用分别是30.8元，43元，45.5元； （2）设甲、乙两地间的里程数为x千米， 根据题意得：12＋2.5x＋0.4×60×[14＋2.4（x－3）]＝13.6，解得：x＝12 答：甲、乙两地间的里程数为12千米； （3）设甲、丙两地间的里程数为y千米， 当0＜y≤8时，12＋2.5y＋0.4×60×（10＋2.8y＋0.5×60×）×0.8＋5.3，解得：y＝5 当y＞8时，12＋2.5y＋0.4×60×6.5＝（10＋2.8y＋0.5×60×）×0.8＋5.3，解得：y＝30 答：甲、丙两地间的里程数为5千米或30千米。 1．（24-25六年级上·北京·期末）以下等量关系中，不能在如图中找到的是（    ）。 A．松树的棵数×＝桦树的棵数 B．柏树的棵数÷＝桦树的棵数 C．松树的棵数×＝柏树的棵数 D．柏树的棵数÷÷＝200棵 【答案】C 【详解】由分析可知：桦树的棵数＝松树的棵数×，A选项正确； 柏树的棵数＝桦树的棵数×，则柏树的棵数÷＝桦树的棵数，B选项正确； 松树的棵数××＝柏树的棵数，则柏树的棵数÷÷＝松树的棵数，所以C选项是错误的，D选项正确。 故答案为：C 2.（24-25六年级上·吉林长春·期末）一家商店以进价提高40%的价格标价一种商品，然后以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元。这种商品的进价是多少元？（    ） A．150元 B．125元 C．175元 D．100元 【答案】B 【详解】解：设这种商品的进价为元。 （1＋40%）×80%－＝15 1.4×0.8－＝15 1.12－＝15 0.12＝15 ＝15÷0.12 ＝125 这种商品的进价是125元。故答案为：B 3．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）某手工工厂加工一批手工画，每天加工20幅，15天可以完成任务。实际4天加工了100幅，照这样的工作效率，多少天可以完成这批任务？用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（    ）。 A．（20×15）∶x＝100∶4 B．100∶4＝x∶（20×15） C．100∶4＝15∶x D．100∶4＝20∶x 【答案】A 【详解】解：设x天可以完成任务。 （20×15）∶x＝100∶4 300∶x＝100∶4 100x＝300×4 100x＝1200 100x÷100＝1200÷100 x＝12 用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（20×15）∶x＝100∶4。故答案为：A 4．（2024·河南周口·小升初真题）甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组的3倍，变化后乙组有（    ）个人。 A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【详解】解：设从乙组调人到甲组。 3×（27－x）＝33＋x 3×27－3x＝33＋x 81－3x＝33＋x 81－33＝3x＋x 4x＝48 x＝12 27－12＝15 则变化后乙组有15个人。故答案为：B 5．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 6．（2024·河北·小升初模拟）哥哥比弟弟大10岁，5年前哥哥的年龄是弟弟的3倍，弟弟现在的年龄是（    ） A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．5岁 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设弟弟现在的年龄是岁，则哥哥现在岁，根据“5年前哥哥的年龄是弟弟的3倍”，列式，计算即可作答． 【详解】解：依题意，设弟弟现在的年龄是岁，则哥哥现在岁， 故 解得 ∴弟弟现在的年龄是10岁 故选：A 7．（24-25七年级下·吉林长春·期中）从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 【答案】120千米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度等于路程乘以时间为等量关系列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米， 则未开通高速公路之前的道路为千米， 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米 8．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】70元 【分析】把商品原来每件的定件100元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的5%，则每件减少了100×5%＝5元； 已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了20件，加上原来订购的80件，现在一共订购100件； 根据“获得的利润反而比原来多100元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数－原来每件商品的利润×原来订购的件数＝降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解； 最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价。 【详解】减价：100×5% ＝100×0.05 ＝5（元） 多订购的件数：5÷1×4＝20（件） 降价后共订购：80＋20＝100（件） 解：设原来每件商品的利润为元。 （－5）×100－80＝100 100－500－80＝100 20－500＝100 20＝100＋500 20＝600 ＝600÷20 ＝30 100－30＝70（元） 答：这种商品的成本是70元。 【点睛】关键是抓住降价前后利润的变化，找出等量关系，根据等量关系列方程解决问题。 9．（2024·四川成都·小升初真题）春节期间，某商店按下面两种方式促销。第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元。刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元。已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是多少元？ 【答案】120元和240元 【分析】其中一件按第一种方式促销是（第一件的原价－20）×80%，另一件按第二种方式促销是第二种原件×80%－20。这两种商品共花了252元。可以设第一件商品原价x元，第二件商品原价y元。则，通过化简得出第一种商品和第二种商品的总价是360元。根据要求假设其中一件商品的原价是另一件的2倍，两件商品的原价分别120元、360元。符合要求。假设其中一件商品的原价是另一件的3倍时，两件商品的原价分别90元、270元不符合两件商品的原价都大于100元。 【详解】解：设第一件商品原价x元，第二件商品原价y元。 设其中一件商品的原价是另一件的2倍。 第一件商品原价：360÷（1＋2） ＝360÷3 ＝120（元） 第二件商品原价：120×2＝240（元） 答：这两件商品的原价分别是120元和240元。 10．（2023·四川·小升初真题）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 【答案】（1）120件；（2）150元 【分析】（1）设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件，数量关系式：第二批衬衫的单价－第一批衬衫的单价。单价＝总价÷数量，列出方程求出方程的解。 （2）两批衬衫全部售完利润率为25%，就是售完的价格比本钱多20%，也就是售完的钱是本钱的（1＋20%）。第一批和第二批的总共购进了360件，其中的310件是按照标价卖出，50件是按照标价的80%售出，即数量关系式：310×标价＋50×标价的80%＝本钱的125%。设每件衬衫的标价应该是y元列出方程求出方程的解。 【详解】（1）解：设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件。 答：该商家购进的第一批衬衫是120件。 （2）2×120＝240（件） 设：每件衬衫的标价应该是y元。 答：每件衬衫的标价应该是150元。 11．（24-25六年级上·广东江门·期中）2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【答案】400米 【详解】解：设跑道长是x米，杨老师跑第一圈的速度是a，则刘老师跑第一圈的速度是a。 杨老师跑第二圈时的速度：（1＋）a＝a 刘老师跑第二圈的速度：a×（1＋）＝a×＝a 杨老师跑第一圈所用时间： 刘老师跑第一圈所用时间：x÷a＝x×＝ 刘老师比杨老师多用时间：x÷a－＝x×－＝－＝ 第一次相遇点按杨老师前进方向距出发点：x÷（a＋a）×a＝x÷a×a＝x××a＝x（米） 杨老师、刘老师第二次相遇时共同跑的路程： x－×a＝x－x＝x（米） 第二次相遇按刘老师前进方向距出发点： x ÷（a＋a）×a＝x ÷×a＝x ××a＝x（米） x－x＝190 x－x＝190 x＝190 x×＝190× x＝400 答：这条椭圆形跑道长400米。 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月份应缴纳电费元，求小刚家七月份的用电量． 【答案】(1)五， (2) (3) 【分析】本题主要考查正负数的实际意义、列代数式和解一元一次方程的知识点，掌握以上知识是解题的关键： （1）根据正负数表示的意义，结合表格找到最多的加上基础量进行计算即可解答； （2）根据表格求出用电量，结合收费标准列式计算即可得到答案； （3）根据收费标准，判断出小刚家七月份用电量超过了度，再设小刚家七月份的用电量为度，利用前两档满额计算加上第三档的即可得到答案； 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度）， 故答案为：五，； （2）解：小刚家一月份用电：（度）， 小刚家一月份应交纳电费：（元）， 故答案为：； （3）解：居民每月用电量为度时，电费为：（元）， 居民每月用电量为度时，电费为：（元）， ∵， ∴小刚家七月份用电量超过了度， 设小刚家七月份的用电量为度， 即：， 解得：， 答：小刚家七月份的用电量为度； 13．（2025七年级上·重庆·专题练习）11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资＋奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 【答案】(1)1盒饼干售价为370元 (2)每盒糖果的进价为250元 (3)当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和正确列方程并求解． （1）设1盒饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，根据购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元，建立一元一次方程，求解即可； （2）根据题意得12月份1盒饼干售价为410元，1盒糖果的售价为400元，饼干销售量为500盒，糖果的销售量为盒，根据总销售额等于总成本，建立一元一次方程，求解即可； （3）由销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元，可计算出月成交销售额为376000元，设购进饼干的数量为m盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额为376000元，建立一元一次方程，求解出m的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，由题意得， ， 解得：， 答：1盒饼干售价为370元． （2）解：12月份1盒饼干售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干销售量为500盒，糖果的销售量为（盒）， 设每盒饼干的进价为y元，则每盒糖果的进价为元，由题意得， ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为250元． （3）解：由题意得， （元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， ①当饼干的数量大于1500盒，糖果的数量小于500盒时， 此时饼干的总进价为， 糖果的总进价为， ∴， 解得：， （盒）； ②当饼干的数量大于1000盒小于1500盒，糖果的数量大于500盒小于1000盒时， 此时饼干的总进价为， 糖果的总进价为：， ∴， 解得：， （盒）； 综上，购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒；或购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒； 当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利： （元）； 当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利： （元）， 答：当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点03 列方程解应用题 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 初中阶段在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接引导 为了让学生后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 考点阐释 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、找等量关系与列方程 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1.（24-25五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 变式1.（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数；②足球队人数田径队人数 ③篮球队人数田径队人数；④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 变式2.（2024·河南安阳·小升初真题）根据所给信息，如图图形可以用方程“x＋x＝60”来表示的有（    ）个。 A．3 B．2 C．1 变式3.（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 ( ) ＝ 根据上面的数量关系式列出方程： 。 题型2、数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1.（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 变式1.（2024·湖南岳阳·小升初真题）鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有( )只，兔有( )只。 变式2.（24-25七年级下·山西临汾·期中）《九章算术》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思：用绳子量井深，把绳三折来量，并外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 变式3．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为： ． 题型3、行程问题 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1.（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 变式1.（2024·浙江杭州·小升初模拟）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回。在离B地180米处与甲相遇。A、B两地相距（    ）米。 A．900 B．720 C．540 D．1080 变式2.（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 变式3.（24-25五年级上·山东济南·期末）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 题型4、工程问题 【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1.（2024·河南鹤壁·小升初真题）工程队修一段公路，原计划每天修3.2千米，15天完成，实际每天修4千米，可以几天可以修完？ 变式1.（2024·江苏常州·小升初真题）为进一步发挥生态优势、建设美丽乡村，溧阳某网红村要修缮一条廊桥，全长360米，第一天修了25%，再修多少米可以修完这条廊桥的？ 变式2.（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 变式3.（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 题型5、年龄问题 【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1.（2024·山东青岛·小升初真题）爸爸比小磊大28岁，爸爸今年的年龄是小磊的3倍。小磊今年几岁？ 变式1.（2025六年级下·江苏·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是( )岁。 变式2.（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 变式3.（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 题型6、数字与日历问题 【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1.（24-25七年级下·吉林长春·期中）把这个数填入的正方形方格中，不管是把横着的个数相加，还是把竖着的个数相加，或者把斜着的个数相加，个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中的值为（   ） A． B． C． D． 变式1.（2024·河南郑州·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位和个位上的数交换位置后，新数比原数大18，则原数的个位数与十位数的和为（    ）。 A．8 B．10 C．12 D．21 变式2.（2023·山西·小升初模拟）一个两位数，个位与十位上的数字的和是9。如果这个两位数减去27，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换。求原来的数？ 变式3.（24-25六年级下·重庆渝中·期末）如图，是某月的月历。 （1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由。 （3）在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 题型7、牛吃草问题 【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1.（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 变式1.（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 变式2.（2024·全国·小升初模拟）一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 变式3.（2024·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 题型8、销售问题 【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1.（2024六年级·全国·竞赛）一件产品，每件成本价为400元，售价510元，预计明年若售价降低，销售量将提高，要使利润不变，成本应降低( )元。 变式1.（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？ 变式2.（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 变式3.（2024·河北邯郸·小升初真题）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动。 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠。 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠。 若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数。 （1）方案一购物优惠后所花的钱数是（    ），方案二购物优惠后所花的钱数是（    ）。 （2）当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ （3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？ 题型9、分段计费问题 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1.（2024·吉林长春·小升初真题）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元会员费，每次游泳另外收费10元（一年内有效）。 （1）爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程。 （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程。 变式1.（2025六年级下·广东·专题练习）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500不超过1000元的部分 60 超过1000不超过3000元的部分 70 …… 变式2.（2025六年级下·广东·专题练习）重庆市电价阶梯式收费标准如下表。 分档 用户年用电量（千瓦时） 电费价格（元/千瓦时） 第一档 0～2400（含） 0.52 第二档 2401～4800（含） 0.57 第三档 4801以上 0.82 （1）李阿姨家七月和八月的阶梯电量使用情况如图。李阿姨家八月应付电费多少元？ （2）2023年5月13日，重庆市发展改革委印发了《关于建立居民分时电价机制的通知》，2023年6月1日起，“一户一表”城乡居民用户和居民充电设施用户自愿选择是否执行（分时电价如图）。已经有阶梯电价为什么还要建立分时电价呢？ 变式3.（2025六年级下·重庆·培优）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择。某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）。 TAXI（出租车）起步价：14元 超公里费：不足3公里按3公里计，超过3公里2.4元/公里 滴滴快车 起步价：12元 里程费：2.5元/公里 时长费：0.4元/分钟 神州专车 起步价：10元 里程费：2.8元/公里 时长费：0.5元/分钟 （1）如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们的费用分别是多少元？ （2）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （3）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车从甲地到丙地，结果到达目的地时收费相同，求甲、丙两地间的里程数。 1．（24-25六年级上·北京·期末）以下等量关系中，不能在如图中找到的是（    ）。 A．松树的棵数×＝桦树的棵数 B．柏树的棵数÷＝桦树的棵数 C．松树的棵数×＝柏树的棵数 D．柏树的棵数÷÷＝200棵 2.（24-25六年级上·吉林长春·期末）一家商店以进价提高40%的价格标价一种商品，然后以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元。这种商品的进价是多少元？（    ） A．150元 B．125元 C．175元 D．100元 3．（23-24六年级下·贵州六盘水·期中）某手工工厂加工一批手工画，每天加工20幅，15天可以完成任务。实际4天加工了100幅，照这样的工作效率，多少天可以完成这批任务？用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（    ）。 A．（20×15）∶x＝100∶4 B．100∶4＝x∶（20×15） C．100∶4＝15∶x D．100∶4＝20∶x 4．（2024·河南周口·小升初真题）甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组的3倍，变化后乙组有（    ）个人。 A．10 B．15 C．18 D．20 5．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·小升初模拟）哥哥比弟弟大10岁，5年前哥哥的年龄是弟弟的3倍，弟弟现在的年龄是（    ） A．10岁 B．15岁 C．20岁 D．5岁 7．（24-25七年级下·吉林长春·期中）从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 8．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 9．（2024·四川成都·小升初真题）春节期间，某商店按下面两种方式促销。第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元。刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元。已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是多少元？ 10．（2023·四川·小升初真题）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 11．（24-25六年级上·广东江门·期中）2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月份应缴纳电费元，求小刚家七月份的用电量． 13．（2025七年级上·重庆·专题练习）11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资＋奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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