专题01 二次根式（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以“题型建模-综合攻坚”双模块构建二次根式专项训练，通过14类分层题型系统覆盖概念、性质、运算及应用，融合方法提炼与逻辑递进，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念|3题型（概念、有意义条件、求参）|定义辨析法、参数取值范围判定|从概念生成到参数应用，构建基础认知链| |性质应用|4题型（性质、最简、同类及求参）|性质逆推法、最简判定法则|以性质为核心，延伸至最简与同类二次根式的关联| |运算化简|5题型（混合运算、大小比较等）|分母有理化技巧、复合根式配方法|从基础运算到复杂化简，强化运算能力与推理意识| |综合拓展|2题型（应用、规律探究）|实际问题建模、规律归纳法|结合几何与代数情境，提升应用意识与创新意识|

专题01 二次根式 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的概念 1 题型二、二次根式有意义的条件（常考点） 2 题型三、二次根式中求参问题 2 题型四、二次根式的性质（常考点） 3 题型五、最简二次根式 4 题型六、同类二次根式 5 题型七、最简二次根式中求参问题 6 题型八、二次根式的混合运算（常考点） 6 题型九、二次根式的大小比较 9 题型十、分母有理化（重点） 10 题型十一、复合二次根式的化简 13 题型十二、二次根式的化简求值（重点） 15 题型十三、二次根式的应用（难点） 17 题型十四、二次根式中规律探究（难点） 21 B综合攻坚・能力跃升 23 题型建模·专项突破 A 题型一、二次根式的概念 1．下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．当时，二次根式的值为_________． 题型二、二次根式有意义的条件（常考点） 6．要使在实数范围内有意义，，应满足（    ） A．，均为非负数 B． C．， D． 7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 10．若有意义，则这个式子的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 11．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 13．代数式有意义，则x取值范围为______． 14．写出使二次根式有意义的x的一个值________． 15．要使式子在实数范围有意义，则的取值范围为_______________． 16．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 题型三、二次根式中求参问题 17．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 18．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 20．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 22．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 23．已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 题型四、二次根式的性质（常考点） 24．当时，化简的正确结果是（   ） A． B．1 C． D． 25．下列各数中，结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 26．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 27．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 28．已知，，那么________． 29．已知，则的算术平方根是______． 30．若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 31．实数、在数轴上的对应点如图所示，请你化简：． 32．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______； (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 题型五、最简二次根式 33．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 34．下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 35．下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 36．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于；②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式；④计算的结果是1． 38．若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为______． 39．化简：_____． 40．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 41．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 42.计算： (1) (2) 题型六、同类二次根式 43．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 44．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 45．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 46．若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 47．下列关于二次根式的说法不正确的是（    ） A．是2的算术平方根 B．若，则 C．与是同类二次根式 D． 48．若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 49．若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 50．若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 51．若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是____． 52．若最简根式与是同类二次根式，则________． 53．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 54．已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 题型七、最简二次根式中求参问题 55．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 56．已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 57．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 58．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 59．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 60．若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 题型八、二次根式的混合运算（常考点） 61．计算： (1) (2) (3) (4) 62．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 63．计算 (1)； (2)． 64．计算： (1)； (2)． 65．计算： (1) (2) 66．计算： (1) (2) 67．计算： (1) (2) 68．计算 (1) (2) (3) 69．计算： (1)； (2)． 70．计算 (1)； (2)． 71．计算： (1)； (2)． 72．计算： (1) (2) 题型九、二次根式的大小比较 73．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 74．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 75．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 76．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 77．在算式的□中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（   ） A． B． C． D． 78．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 79．比较大小：5______（填“”“”“”）． 80．比较大小：_______（填“”、“”或“”） 81．比较大小：____．（用“”或“”填空）． 82．请写出一个小于2的最简二次根式________． 83．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 84．已知，，则a与b的大小关系为________． 85．已知：，求证： 题型十、分母有理化（重点） 86．将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 87．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 88．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 89．已知，，则的值为______． 90．已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 91．阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 92．观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． 93．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 94．请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 95．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 题型十一、复合二次根式的化简 96．计算（   ） A． B． C．5 D．1 97．化简：___________． 98．化简的结果是______________． 99．化简： ______． 100．计算：． 101．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 102．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 103．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么， ，双重二次根式得以化简． 例如：化简，∵，且， ，∵， ． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)化简：； (3)计算：． 题型十二、二次根式的化简求值（重点） 104．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 105．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 106．已知，，求代数式的值． 107．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 108．先化简，再求值：，其中． 109．已知，，求的值． 110．已知，求代数式的值． 111．先化简，再求值：，其中． 112．已知，求的值． 113．已知． (1)求的值； (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 题型十三、二次根式的应用（难点） 114．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 115．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 116．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 117．七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么a的值（   ） A． B． C． D． 118．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形中，若，则__________． 119．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为4、5、6，则的面积是______． 120．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母表示周期（单位：），表示摆长（单位：），则计算公式为，其中．若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．（取3） 121．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 122．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 123．善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： (1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示：__________，__________； (2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； (3)若，且均为正整数，求的值． 题型十四、二次根式中规律探究（难点） 124．按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 125．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 126．有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论： ①； ②对第个式子进行操作可得； ③前10个式子之和为； ④如果前个式子之和为，那么． 小明得出的结论中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 127．观察下列各式的规律： ； ； ，若，则______． 128．观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为________． 129．观察下列各式的规律： ①；        ②；    ③  … (1)针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； (2)请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 130．观察下列各式： ，即： ，即： ，即． (1)根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； (2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 131．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 132．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）； （2）． 验证：（1）． （2）． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：_____；_____； (2)通过上述探究你能猜测出：_____，并验证你的结论． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 4．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025·内蒙古通辽·三模）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 10．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 11．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)； (2)． 14．（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照上述规律，回答以下问题： (1)直接写出下列等式： ①第6个等式： ；②第个等式： ； (2)求的值． 17．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： 方法一（）． 方法二（）． (1)参照方法一（），化简：； (2)参照方法二（），化简：； (3)化简． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）春节期间，小明因能够背诵《前赤壁赋》获得东坡赤壁景区的门票及赠书《苏东坡谪居黄州》，图书封面为长方形，长与宽的比为，面积为． (1)请求出图书封面的长和宽分别是多少？ (2)景区内文创店为游客的图书加盖纪念章，小明选择了一个面积为圆形印章“东坡古韵”和一个面积为正方形印章“逢考必过”，计划在图书扉页的长方形框内盖章，已知长方形的边是封面宽的，边是封面长的，请问小明应选择哪个印章才能保证完整地印在长方形框内？ 19．（25-26八年级下·北京·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 21．（25-26八年级下·江西赣州·期中）【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 22．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）【定义理解】 材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． 例如：如图1， 材料2：我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【操作发现】 下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图②，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图③，连接，再将矩形沿过点的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图④，过点作于点，得到矩形． 【初步应用】 (1)如图2，若黄金矩形的长，请直接写出它的宽___________． (2)在矩形中，．请判断图④中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 【迁移拓展】 (3)小明用一张宽为的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长的长度___________． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、二次根式的概念 1 题型二、二次根式有意义的条件（常考点） 3 题型三、二次根式中求参问题 6 题型四、二次根式的性质（常考点） 9 题型五、最简二次根式 13 题型六、同类二次根式 17 题型七、最简二次根式中求参问题 22 题型八、二次根式的混合运算（常考点） 24 题型九、二次根式的大小比较 30 题型十、分母有理化（重点） 35 题型十一、复合二次根式的化简 42 题型十二、二次根式的化简求值（重点） 48 题型十三、二次根式的应用（难点） 54 题型十四、二次根式中规律探究（难点） 61 B综合攻坚・能力跃升 67 题型建模·专项突破 A 题型一、二次根式的概念 1．下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2；被开方数为非负数，结合定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的根指数为，不符合二次根式根指数为的要求，故A不是二次根式； 选项B中，当时被开方数为负数，式子无意义，故B不一定是二次根式； 选项C中对任意实数，都有， ，满足二次根式定义，故C一定是二次根式； 选项D中，当时，被开方数为负数，式子无意义，故D不一定是二次根式． 2．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 4．下列各式中是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 题型二、二次根式有意义的条件（常考点） 6．要使在实数范围内有意义，，应满足（    ） A．，均为非负数 B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数的性质，分析a、b需满足的关系即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数 ∴要使在实数范围内有意义，需满足 故选：D． 7．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解题的关键； 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴解集在数轴上表示，如图， 故选：C． 8．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，即，求解即可得出答案． 【详解】解：∵ 被开方数必须满足， ∴ ， 故选B． 9．以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0 对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意． 对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意． 对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意． 对于选项D：∵不论为何实数，， ∴，二次根式有意义； 又∵， ∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意． 故选：D． 10．若有意义，则这个式子的值为（    ） A．4 B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：若有意义，则 ，由最后一个即可确定， 此时． 11．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：二次根式有意义的条件：被开方数非负，即，解得 ； 分式有意义的条件：分母不为0，即，解得； 综上，的取值范围是且． 13．代数式有意义，则x取值范围为______． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0，且分母不等于0，列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，． 14．写出使二次根式有意义的x的一个值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据该条件列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围，再从这个范围内任取一个符合条件的数值即可． 【详解】解：二次根式有意义， 被开方数， 解得：， 取（满足的任意实数均可）， 故答案为：3（答案不唯一）． 15．要使式子在实数范围有意义，则的取值范围为_______________． 【答案】且 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵在实数范围有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 16．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解． 【详解】∵ 代数式 在实数范围内有意义， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 题型三、二次根式中求参问题 17．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 18．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 19．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 20．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 21．若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 【答案】3 【分析】本题先化简二次根式，再根据二次根式为整数的性质，确定的最小正整数值． 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又是正整数， 可取的最小正整数为． 22．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 23．已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 题型四、二次根式的性质（常考点） 24．当时，化简的正确结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，然后化简带字母的绝对值． 【详解】解： ， ． 25．下列各数中，结果是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式性质 ，分别计算各选项． 【详解】解：∵ A选项，结果为负数，符合要求； B选项，结果为正数； C选项，结果为正数； D选项，结果为正数． 26．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 将原二次根式中的和都扩大到原来的倍，得到新表达式，通过计算新表达式与原表达式的关系，判断变化倍数. 【详解】解：∵ 原二次根式为 ， 将和都扩大到原来的倍，得新表达式为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 新值缩小到原来的 . 故选：D． 27．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解： ． 28．已知，，那么________． 【答案】0.0133 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键． 通过比较与的值，发现是的十分之一，根据平方根的性质，可推导出是的百分之一． 【详解】解：由已知，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 因此． 故答案为：． 29．已知，则的算术平方根是______． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 a 的值，再代入方程求出 b 的值，然后计算 ，最后求算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则， 即， 解得， 则， 因此的算术平方根是， 故答案为：5． 30．若，，为的三边长，且，判断是什么形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形．理由见解析 【分析】此题考查了二次根式和绝对值的非负性的应用，等边三角形的判定，首先由得到，推出，，得到，进而求解即可． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ， ， ． ，， ，， ，， ． 是等边三角形． 31．实数、在数轴上的对应点如图所示，请你化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，先根据数轴判断出、、的符号，再利用二次根式的性质化简即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知：， ∴原式 ． 32．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：______，______； (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ①化简：______，______； ②化简：． 【答案】(1)7， (2)①，；② 【分析】（1）利用二次根式的性质将根式转化为绝对值形式即可； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴上点的位置关系及距离原点的远近，判断绝对值内部式子的正负性，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， 而数轴上b在右侧且更靠近， ∴不成立，即， ∴，； ②∵，， ∴，， ∴． 题型五、最简二次根式 33．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开尽方的因数或因式． 逐一分析各选项是否满足最简二次根式的两个条件，排除不符合的选项，确定符合条件的选项． 【详解】解：A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、，被开方数不含分母，且不含能开尽方的因数，是最简二次根式，此选项符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； D、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式，此选项不符合题意． 故选：． 34．下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义． B、，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式的定义． C、被开方数含分母，不符合最简二次根式的定义． D、的被开方数3不含分母，且3不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义． 35．下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 36．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 37．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于；②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式；④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 38．若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为______． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 39．化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 【详解】， 故答案为：． 40．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是___________（填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 41．把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将写成，然后利用进行化简即可； （2）先将写成，然后利用进行化简即可； （3）先将写成，然后利用进行化简即可； 本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 42.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先确定分母的有理化因式，再将分子分母同乘以该因式，最后化简得出结果． 【详解】（1）． （2）． 【点睛】本题考查二次根式的化简，需通过分母有理化将分母中的根号去掉，即可求解． 题型六、同类二次根式 43．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、不能与合并，故不符合题意； B、不能与合并，故不符合题意； C、能与合并，故符合题意； D、不能与合并，故不符合题意； 故选：C． 44．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 45．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴其被开方数为2， ∵与可进行加减运算， ∴它们为同类二次根式，故 化简后被开方数也应为2， 又∵为最简二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 46．若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式可以合并， 二者是同类二次根式，化简后被开方数相等， 得 ， 解得 ． 47．下列关于二次根式的说法不正确的是（    ） A．是2的算术平方根 B．若，则 C．与是同类二次根式 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据算术平方根的定义即可判定；根据二次根式有意义即可判定，将与化简为最简二次根式，即可判定为同类二次根式；结合完全平方公式即可判定． 【详解】解：．是2的算术平方根，该选项正确，不符合题意； ．若，则a和b同为正号，那么，成立，该选项正确，不符合题意； ．与是同类二次根式，该选项正确，不符合题意； ．，该选项错误，符合题意； 故选：D． 48．若与可以合并成一项，则m可以是（   ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，把每个选项代入化简，检验化简后被开方数是否相同． 【详解】解：A、把50代入化简得：，故A选项不符合题意； B、把15代入化简得：，故B选项不符合题意； C、把0.5代入化简得：，故C选项不符合题意； D、把代入化简得：，故D选项符合题意； 故选：D． 49．若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】3 【分析】首先化简，然后根据同类二次根式的定义得到求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ∴． 50．若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【答案】2 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，求出． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， ． 故答案为2． 51．若最简二次根式与可以合并，使有意义的的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据已知得出，求出的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得∶， 要使有意义，必须≥， 解得： 故答案为： 52．若最简根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．根据同类二次根式的定义可得，求解即可． 【详解】解：最简根式与是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 53．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【答案】(1)不是； (2)不是． 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． ∴和不是同类二次根式； （2）解：； ． ∴和不是同类二次根式． 54．已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 题型七、最简二次根式中求参问题 55．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 56．已知与为最简二次根式且被开方数相同，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据被开方数相同和根指数为2即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， 故选：A． 57．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 58．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 59．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 60．若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 题型八、二次根式的混合运算（常考点） 61．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 62．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式， （2）解：原式， （3）解：原式， （4）解：原式． 63．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接利用二次根式的性质、平方差公式化简，进而计算得出答案． 【详解】（1）解：+ ； （2）解： ． 64．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 65．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 66．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再计算加减即可； （2）先去绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 67．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再根据合并同类二次根式的法则合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 68．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 69．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）先化简，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算绝对值和二次根式除法，再算加法． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 70．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 71．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可； （2）先计算括号内的乘法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型九、二次根式的大小比较 73．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 74．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 75．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 76．数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 77．在算式的□中填入一个运算符号，使其结果最大，则这个运算符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则． 先利用二次根式的加减乘除运算法则进行求解，然后再比较结果的大小即可． 【详解】解：A. ； B. ； C. ； D. ； ∵，，且，， ， ， ∴最大的数为， 故选：A． 78．已知甲、乙、丙三数，甲，乙，丙，则甲、乙、丙的大小关系为（   ） A．甲=乙=丙 B．丙<甲<乙 C．甲<丙<乙 D．丙<乙<甲 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是确定各数在哪两个整数之间．由可知，，再将甲、乙、丙进行比较即可． 【详解】解：， ，， ∴丙<乙<甲． 故选：D． 79．比较大小：5______（填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 80．比较大小：_______（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 81．比较大小：____．（用“”或“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较．先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【详解】解：，， ∵ ∴， 故答案为：． 82．请写出一个小于2的最简二次根式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键； 最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴小于2的最简二次根式是， 故答案为：（答案不唯一）． 83．比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用平方法以及作差法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 84．已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 85．已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 题型十、分母有理化（重点） 86．将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 87．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 88．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 89．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 90．已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分，的整数部分为， ∴的小数部分， ∴． 故答案为：． 91．阅读下面问题： ；；，……．试求： (1)的值； (2)（为正整数）的值． (3)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）利用分母有理化进行运算，从而可求解； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 92．观察下列各式： ； 试求下列各式的值： (1)______； (2)（为正整数）______； (3)______； (4)（为正整数）=______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后化简二次根式后进行有理数的减法运算； （4）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 93．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 94．请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，将含根式的分式转化为两个根式的差，归纳出通项公式； （2）先利用（1）的结论，将每一项裂成两个根式的差，抵消中间项后，最后计算首尾两项的差得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 95．阅读理解材料．分母有理化，指的是将原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去，例如： ①； ②． 等运算都是分母有理化．根据上述材料， (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母都乘，再进行计算即可； （2）分式的分子和分母都乘，再进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据二次根式的加减进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 题型十一、复合二次根式的化简 96．计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 97．化简：___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 98．化简的结果是______________． 【答案】 【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可． 【详解】解：原式 ． 99．化简： ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 100．计算：． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行简便运算. 【详解】设原式， 则 ． ， ∴原式． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解题的关键熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式． 101．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 102．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 103．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢?如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么， ，双重二次根式得以化简． 例如：化简，∵，且， ，∵， ． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）解：∵且， ， ， 故答案为：； ∵且， ， ， 故答案为：； （2）解：∵且， ， ， ； （3）解： ， ，， 题型十二、二次根式的化简求值（重点） 104．已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）把，代入求值即可； （2）先根据x、y的值求得，根据分式的加减得出 ，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵ ， ∴ ． 105．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，且，， ∴． 106．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，代数式求值，平方差公式，先利用平方差公式将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ，， ． 107．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出的值是解题的关键． （1）先把x、y分母有理化得到，，则可求出的值，再由计算求解即可； （2）根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴ ． 108．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 109．已知，，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，将变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 110．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据求得，后代入代数式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，平方差公式和代数式求值，把要求的代数式进行正确变形化简是解题的关键． 【详解】解：由得， 故 ． 111．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，代数求值等，解题的关键是掌握二次根式的各运算法则． 先进行二次根式的混合运算，再代数求值． 【详解】解：原式． 将代入，得原式． 112．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．先将原式中的分子、分母因式分解，利用完全平方公式化简和二次根式的性质把原式化简，然后代入计算得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， 当时， 原式 ． 113．已知． (1)求的值； (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化． （1）先求出，然后将化为，再代入求值即可； （2）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算． 【详解】（1）解：因为， ∴， ∴ ． （2）解：因为为的整数部分，为的小数部分，，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 题型十三、二次根式的应用（难点） 114．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为 ， ∵ ， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为 ， 故选：D 115．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 116．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 117．七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么a的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设阴影小正方形的边长为，根据阴影部分面积为梯形的面积列方程即可求出x值，然后求边长即可． 【详解】解：设小正方形边长为，依题意可得， ， 解得：， ． 118．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形中，若，则__________． 【答案】 【分析】设，根据面积求出两个正方形的边长，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，设， ∵面积为50和18的两个正方形， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴， ∴， 解得． 故． 119．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为4、5、6，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意把a、b、c的值代入公式中化简求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 120．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母表示周期（单位：），表示摆长（单位：），则计算公式为，其中．若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．（取3） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除，根据计算公式为，代入数据计算即可，解题的关键是运用公式求出这个座钟的周期． 【详解】解：当时， ． ∴摆针摆动一个来回所需时间为． 121．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； （2）解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， （块）． 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 122．如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算、长方体的面积与体积计算，熟练掌握正方形、长方体的相关公式及二次根式运算法则是解答本题的关键． （1）利用正方形面积公式求出原纸板面积，结合剪掉的小正方形面积，计算剩余纸板的面积； （2）先确定长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式，结合二次根式乘法法则计算体积； （3）分析长方体侧面的形状与尺寸，利用长方形面积公式计算单个侧面面积，进而求出总侧面积． 【详解】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： ． （2）解：长方体盒子的体积为：． （3）解：长方体盒子的侧面积为：． 123．善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： (1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示：__________，__________； (2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； (3)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（）根据小汇的方法解答即可； （）根据小汇和小文探索的方法解答即可； （）根据小汇和小文探索的方法解答即可； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的恒等变形，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，， ∴，； （3）解：∵， ∴，， ∵均为正整数， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； ∴的值为或． 题型十四、二次根式中规律探究（难点） 124．按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 125．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 126．有依次排列的一列式子：，，，小明对前两个式子进行操作时发现：，，根据操作，小明得出来下面几个结论： ①； ②对第个式子进行操作可得； ③前10个式子之和为； ④如果前个式子之和为，那么． 小明得出的结论中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过阅读题中给出的操作方法，总结出规律即可． 【详解】解：根据规律可知， ，故①②都正确； 前10个式子之和为，故③正确； 如果前个式子之和为， 则，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和规律性问题，解题关键是严格按照规律进行运算即可． 127．观察下列各式的规律： ； ； ，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用根号内的分数的分母与根号外的数字之间的关系即可求得结论，找出根号内的分数的分母与根号外的数字之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴， 故答案为：． 128．观察下列各式： ， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，能用含n的等式表示出第n个式子是解题的关键． 观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 129．观察下列各式的规律： ①；        ②；    ③  … (1)针对上述①②③三个式子的规律，写出第④个等式：__________________________； (2)请用含（为任意自然数，且）的式子表示，写出满足上述规律的等式，并证明所写等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子写出第④个等式即可； （2）根据题干所给式子得出规律，验证即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：第④个等式：； （2）解：由题意可得：， 右边左边， 故等式成立． 130．观察下列各式： ，即： ，即： ，即． (1)根据你发现的规律填空： __________________________，即_____________； (2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究； （1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案； （2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当为不小于2的自然数时，总有：，由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子． 【详解】（1）解：； 即； （2）解：观察、分析前面四个式子可知： 当为不小于2的自然数时：，理由如下： ． 故当为不小于2的自然数时：． 131．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题目中所给的四个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第个等式，通过化简二次根式，证明等式成立． 【详解】（1）解：∵第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ……， ∴第个等式为：． （2）解：猜想的第个等式为，证明如下： 左边 ∵， ∴左边右边， ∴猜想正确． 132．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）； （2）． 验证：（1）． （2）． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：_____；_____； (2)通过上述探究你能猜测出：_____，并验证你的结论． 【答案】(1)；； (2)，见详解． 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索、二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据所列等式及其验证过程即可求解； （2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证即可． 【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想；； （2）猜想， 验证如下： ． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 2．（25-26七年级下·上海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 3．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 4．（25-26八年级下·安徽·期中）已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 【详解】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 5．（2025·内蒙古通辽·三模）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件得，求出，从而可判断出正确答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 在数轴上表示为： 6．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用分类讨论思想，根据题目条件逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：由题意得，，则化为 ① 当时： 又， ∴， 若，不满足，故，即，①正确； ② 当时： ∴ ∴ ∵， ∴所有符合条件的整式为：，，， 求和得，故②错误； ③ 当时： ， ， ∵， 分类列举得： 当，符合条件的有共3个； 当，符合条件的有共4个； 当，符合条件的有共2个； 当，无符合条件的；总共有个，不是10个，故③错误； ④ 计算所有满足条件的整式个数：有1个，有4个，有9个；时， ，无符合条件的整式；总共有个，不是17个，故④错误， 综上，只有1个结论正确． 8．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 【答案】1 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，再代入原式求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 10．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 且 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解不等式得且， 因此的取值范围为且． 11．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 12．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简二次根式并根据二次根式的乘法运算法则计算，然后算减法即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开计算，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）原式先计算括号内的，再进行二次根式的乘除法，然后再进行加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照上述规律，回答以下问题： (1)直接写出下列等式： ①第6个等式： ；②第个等式： ； (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第6个等式即可；第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （2）利用规律求解即可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 因此第6个等式，， 得， 第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为； （2）解： ． 17．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： 方法一（）． 方法二（）． (1)参照方法一（），化简：； (2)参照方法二（），化简：； (3)化简． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）参照方法一（）即可求解； （）参照方法二（）即可求解； （）把原式裂项化为，然后通过二次根式加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）春节期间，小明因能够背诵《前赤壁赋》获得东坡赤壁景区的门票及赠书《苏东坡谪居黄州》，图书封面为长方形，长与宽的比为，面积为． (1)请求出图书封面的长和宽分别是多少？ (2)景区内文创店为游客的图书加盖纪念章，小明选择了一个面积为圆形印章“东坡古韵”和一个面积为正方形印章“逢考必过”，计划在图书扉页的长方形框内盖章，已知长方形的边是封面宽的，边是封面长的，请问小明应选择哪个印章才能保证完整地印在长方形框内？ 【答案】(1)长，宽； (2)正方形印章能保证完整地印在长方形框内． 【分析】（1）设长为，宽为，根据题意得出，然后利用算术平方根求解即可； （2）分别求出，，然后确定圆形印章的直径和正方形印章的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：∵长与宽的比为， ∴设长为，宽为， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴长，宽； （2）∵长方形的边是封面宽的，边是封面长的， ∴，， ∵圆形印章面积为， ∴半径为，直径为， ∴圆形印章不能完整地印在长方形框内； ∵正方形印章的面积为， ∴边长为， ∴正方形印章能保证完整地印在长方形框内． 19．（25-26八年级下·北京·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）运用完全平方公式计算即可； （）根据无理数的估算得到的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴ ． （2）解：∵，， ∴， ∴小数部分， ，， ∴小数部分， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·福建福州·期中）小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 21．（25-26八年级下·江西赣州·期中）【阅读理解】我们将与称为一对“有理化因子”，因为，所以构造“有理化因子”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 【问题解决】根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)有理化因子与之间的关系是___________； A．互为相反数    B．绝对值相等    C．互为倒数 (2)已知，求的值； (3)计算：的值． 【答案】(1)C (2) (3)2025 【分析】（1）将与进行相乘判断关系即可； （2）先化简x和y的值，再根据提取公因式化简求解即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴有理化因子与互为倒数． 故选：C； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 22．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）【定义理解】 材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为． 例如：如图1， 材料2：我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形的宽为，长为，如果，那么矩形为黄金矩形． 【操作发现】 下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形 第一步：如图①，将矩形纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第二步：如图②，将纸片折叠，使得与重合，折痕为，展开． 第三步：如图③，连接，再将矩形沿过点的直线折叠，使得的对应边落在边上，展开． 第四步：如图④，过点作于点，得到矩形． 【初步应用】 (1)如图2，若黄金矩形的长，请直接写出它的宽___________． (2)在矩形中，．请判断图④中矩形是不是黄金矩形，并说明理由． 【迁移拓展】 (3)小明用一张宽为的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点恰好是线段的黄金分割点，请直接写出长的长度___________． 【答案】(1) (2)矩形是黄金矩形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据定义证明即可； （3）由题意得，，由（2）可得，根据点是线段的黄金分割点，分类讨论，或，分别求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）矩形是黄金矩形，理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：，， 又∵， ∴， 又由折叠的性质可得， ， ， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 矩形是黄金矩形； （3）由题意得，， 由（2）可得，则同理可得， 由折叠的性质可知：， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 当时，则， ； 当时，则， ， ； 综上所述，的长为或． 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $