精品解析：江苏南通市启东市长江中学2025-2026学年八年级下学期6月数学错题再练2

2025-2026学年启东市长江中学第二学期八年级数学错题再练2 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的认识，只含有一个未知数且未知数最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①在分母中含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ③只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； ④只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意． 是一元二次方程的是③，④，共两个， 故选：B． 2. 数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 阿基米德三角形 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ） A. 100° B. 90° C. 70° D. 110° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据三角形内角和定理可得∠ACB=30°，根据旋转的性质可得∠ACA′=60°，则∠BCA′=90°. 考点：旋转图形的性质 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键． 5. 已知点，点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟知关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点，点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选：A． 6. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，理解一元二次方程根的判别式是解答关键． 根据一元二次方程无实数根来列出方程求解． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， ． 故选：D． 8. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 10. 如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，始终有， ∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ∴在 中，， ∴的最小值为， 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12小题每小题3分，第13~16小题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为_______． 【答案】20% 【解析】 【分析】设第一季度平均每月的增长率为，结合已知1月和3月的产量，可列出关于的一元二次方程．解一元二次方程，结合增长率为正数的实际意义，筛选得到符合要求的解． 【详解】解：设第一季度平均每月的增长率为， 由题意得：， 解得：，， 增长率不能为负数， 舍去． 故答案为． 13. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在线段上，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得，由旋转知，，从而求出的度数，即可解决问题． 【详解】在中，，， ∴， 由旋转得，， ∴． 14. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 15. 已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案； 【详解】解：由条件可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，得到相等角和边，然后根据三角形的三边关系得出何时为最大值，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2）方程没有实数根 （3），. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根据题目系数特点，灵活选择解法，理解一元二次方程根的判别式是解答关键． （1）先整理，用因式分解法比较简便； （2）先求出判别式来判别方程根的情况，若有根再用公式法求解； （3）把看作一个整体，运用因式分解法比较简便． 【小问1详解】 解：移项变形得 ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：移项变形得 ， 这里，，， ， 此方程没有实数解； 【小问3详解】 解：由原方程分解因式得 ， ，， ，． 18. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2）详见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）将以点C为旋转中心旋转得到，请画出； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图：即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画图即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）连接交y轴于点F即为所求，然后写出点F的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：旋转中心的坐标为． 20. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据平行线的判定得出； （2）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设与相交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴，． 在中，． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式计算即可； （2）求出一元二次方程的两个根，再利用勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵， ∴ ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）∵ ∴， ∴，， ∴两直角边分别是，，斜边长为10， ∴， 解得：（舍去），, ∴k的值时5． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、勾股定理、根的判别式，准确计算是解题的关键． 22. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2）不能成功围成花圃，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设米，则米，由题意可列出关于x的一元一次不等式和一元二次方程，解出不等式的解集和方程的解，即得出答案； （2）设米，则米，由题意可列出关于y的一元二次方程，由方程无解，即得出不能成功围成花圃． 【小问1详解】 解：设米，则米， ∵墙可利用的最大长度为15米， ∴， 解得：． ∵围成的花圃面积为40平方米， ∴， 解得：（舍）， ∴的长为10米． 【小问2详解】 设米，则米， 由题意得：， 整理，得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不能成功围成花圃． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 23. 如图，是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点顺时针方向旋转后，得到． （1）求点P和点Q之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）点P与Q之间的距离为6 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明出为等边三角形，得到即可求解； （2）首先求出，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 是等边三角形， ， 将绕点顺时针方向旋转得到， ，， 为等边三角形， ， 点和点的距离为6； 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， 由旋转得，， 在中，， 为直角三角形，且， ． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 25. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于________．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，． （2）求的度数； （3）求正方形的边长． 【答案】（1）（2）（3）． 【解析】 【分析】（1）将绕点旋转至，利用正三角形性质得为等边三角形，结合勾股定理逆定理证为直角三角形，进而求． （2）将绕点旋转至，利用正方形性质得为等腰直角三角形，结合勾股定理逆定理证为直角三角形，求． （3）构造等腰直角三角形，利用勾股定理计算正方形边长． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转至，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， ∵旋转得， ∴， 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转至，连接， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形与等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一三角形中分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年启东市长江中学第二学期八年级数学错题再练2 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 阿基米德三角形 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 3. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ） A. 100° B. 90° C. 70° D. 110° 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 10. 如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12小题每小题3分，第13~16小题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 12. 某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为_______． 13. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在线段上，连接，则______． 14. 如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是______． 15. 已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 16. 如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）将以点C为旋转中心旋转得到，请画出； （2）平移，若点A的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，写出旋转中心的坐标：_______． 20. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，，求线段的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）若此一元二次方程的两根是两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值． 22. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米． （1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长； （2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 23. 如图，是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点顺时针方向旋转后，得到． （1）求点P和点Q之间的距离； （2）求的度数． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 25. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于________．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，． （2）求的度数； （3）求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $