精品解析：江苏省南通市启东市长江中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

长江中学八年级数学下第二次月考 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．设快递量平均每年增长率为x，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 4. 用“配方法”解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式． 详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5. 设，是方程 的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1·x2的值，把通分后代入计算即可. 【详解】∵， ∴x1+x2=-4，x1·x2=-3， ∴=. 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：， . 6. 若与点关于原点对称，则的值是（　　） A. 12 B. C. 64 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 7. 小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1； ∴， 又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项不符合题意； C. 中，，，故该选项符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，四边形中，，将绕点B逆时针旋转得，连接，当的长取得最大值时，长为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，二次根式的乘法，勾股定理，旋转的性质．连接，证明，可得，，从而得到当点三点共线时，取得最大值，连接，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即当点三点共线时，取得最大值， 如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即当的长取得最大值时，长为． 故选：D． 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足，可得是方程的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵方程满足， ∴是方程的根， ∴成立，不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，， ∴，B，D选项不符合题意； 故选：A． 10. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，由一元二次方程根的定义可得，即可求解； 【详解】和是方程的两个根， ， ， ，， 故选A． 【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键． 二、填空题（11、12题每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个解是0，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出m的值是关键，注意二次项系数不为0； 把代入原方程可得关于m的方程，解方程即可得解，注意. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解是0， ∴且， 解得：； 故答案为：. 12. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 13. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么，，，，的平均数和方差分别是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，方差的计算，解题的关键是掌握平均数和方差公式．根据平均数，方差公式回答即可． 【详解】解：，，，，的平均数是， ， 设是，，，，的平均数， ， ， ， ， ， ，，，，方差是， ， 令是，，，，的方差，其平均数 ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若关于x一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 15. 若点与关于点对称，则点的坐标是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，设，由题意得出点是线段的中点，计算即可得出答案． 【详解】解：设， ∵点与关于点对称， ∴点是线段中点， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 16. 如图，点O是平行四边形的对称中心，点E、F分别为边上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过A作于H，由含角直角三角形的性质解得，再由勾股定理解得，从而求出，根据平行四边形中心对称的性质得到，再证明，最后由全等三角形面积相等解答． 【详解】解：如图所示，连接，过A作于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵点O是平行四边形的对称中心， ∴O是的中点， ∴， ∵平行四边形， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 17. 关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 18. 平面直角坐标系中，已知点，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，点关于轴对称点，点关于原点对称点……，按此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面直角坐标系点的坐标规律探索问题．求出、、、点的坐标，观察规律，根据规律求解即可． 【详解】解：点，点关于轴对称点， ∴， 点关于原点对称点，∴， 点关于轴对称点，∴， 点关于轴对称点，∴， …… 由此发现，三次为一循环， 点与点，与重合， ∵， ∴与重合，即点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题： 19. 解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 20. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________． （3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________． 【答案】（1）见解析 （2）直角坐标系见解析，，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； （2）根据点B的坐标为作出直角坐标系，写出点的坐标即可； （3）根据关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 直角坐标系如图： 则A点坐标为，C点坐标为， 故答案为：，； 【小问3详解】 ∵点是点C关于原点的对称点， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转－作图，坐标与图形，关于原点对称，熟练掌握平面直角坐标系以及旋转的性质是解本题的关键． 21. 体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示． （1）求女生进球数的平均数、中位数； （2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？ 【答案】（1）平均数为：2；中位数为：2；（2）450人． 【解析】 【详解】解：（1）由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：（1×1+2×4+1×3+4×2）÷8=2.5（个）； ∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2； ∴女生进球数的中位数为：2． （2）样本中优秀率为：， 故全校有女生1200人，“优秀”等级的女生为：1200×=450（人）， 答：“优秀”等级的女生约为450人． 22. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染个人． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． 【小问2详解】 则第三轮的患病人数为：． 故答案为：． 23. 已知关于x的方程x2－2x＋m－2=0有两个实数根x1、x2． （1） 求m的取值范围； （2） 求3x1＋3x2－x1x2的最小值． 【答案】（1）m≤3；（2）5． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=m﹣2，则3x1+3x2﹣x1x2=﹣m+8，然后根据m的范围和一次函数的性质确定3x1+3x2﹣x1x2的最小值． 【详解】（1）根据题意得：△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）≥0，解得：m≤3； （2）根据题意得：x1+x2=2，x1x2=m﹣2，3x1+3x2﹣x1x2=6﹣（m﹣2）=﹣m+8，而m≤3，所以当m=3时，3x1+3x2﹣x1x2的值最小，最小值为：﹣3+8=5． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了判别式的意义和一次函数的性质． 24. 已知的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． （1）k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用一元二次方程根与系数的关系求出，再根据“△ABC是以BC为斜边的直角三角形”，得出关于的方程求解； （2）分和两种情况，分别求解，再求出的周长． 【小问1详解】 解：∵的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 当是以为斜边的直角三角形时，， ∴，解得：或（舍去）， 当时，是以为斜边的直角三角形； 【小问2详解】 ∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得不存在； 当时，， ∴，, 解得或4， ∴或4， ∴的周长为或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是等腰三角形没有指定腰是需要分情况讨论． 25. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边）． （1）若花园的面积为400米2，求的长； （2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625米2？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）10米或40米 （2）不能，见解析 【解析】 【分析】（1）设长为米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案； （2）设的长为米，则的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设的长为米，则的长为米， 由题意得：， 解得：， 即的长为10米或40米； 【小问2详解】 解：花园的面积不能为625米2， 理由如下： 设的长为米，则的长为米， 由题意得： ， 解得：， 当时，， 即当米，米30米， ∴花园的面积不能为625米2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26. 如图，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，连接交延长线于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1）正方形，理由见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，正方形判定，勾股定理，旋转性质等． （1）先判定，利用全等性质判定为矩形，继而判定为正方形； （2）根据题意设正方形 的边长为，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为5， ∴， 设正方形 的边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，，解得：， ∴线段的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长江中学八年级数学下第二次月考 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A B. C D. 3. 受电子商务的发展及国家法治环境改善等因素的影响，某公司快递业务量迅猛发展，2021年公司快递业务量为100万件，2023年快递业务量达到144万件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用“配方法”解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，是方程 的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若与点关于原点对称，则的值是（　　） A. 12 B. C. 64 D. 7. 小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，，将绕点B逆时针旋转得，连接，当的长取得最大值时，长为（　　） A. 6 B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知和是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2023 二、填空题（11、12题每题3分，13-18题每题4分，共30分） 11. 若关于x的一元二次方程有一个解是0，则_______ 12. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 13. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么，，，，的平均数和方差分别是__________． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 15. 若点与关于点对称，则点的坐标是____________． 16. 如图，点O是平行四边形的对称中心，点E、F分别为边上任意一点，且O、E、F三点在一条直线上，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ________________ ． 17. 关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是____________． 18. 平面直角坐标系中，已知点，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，点关于轴对称点，点关于原点对称点……，按此规律，则点的坐标为______． 三、解答题： 19. 解下列方程： （1） （2）． 20. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在中，． （1）试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为___________，C点坐标为___________． （3）若点是点C关于原点的对称点，则的坐标为___________． 21. 体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示． （1）求女生进球数的平均数、中位数； （2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？ 22. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。 （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？ 23. 已知关于x的方程x2－2x＋m－2=0有两个实数根x1、x2． （1） 求m取值范围； （2） 求3x1＋3x2－x1x2的最小值． 24. 已知两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． （1）k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 25. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边）． （1）若花园的面积为400米2，求的长； （2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625米2？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 26. 如图，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，连接交延长线于点F． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$