专题03 实数（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以题型建模为核心，构建从概念辨析到综合应用的完整训练体系，突出方法提炼与知识逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念|3题型（平方根/立方根/实数分类）|定义辨析法、分类标准确立|从平方根/立方根定义到实数分类，构建数系扩展逻辑| |性质应用|2题型（算术平方根性质/小数点规律）|非负性应用、小数点移动规律归纳|性质推导→规律总结→逆向应用，形成性质应用链条| |运算技巧|3题型（无理数估算/大小比较/混合运算）|夹逼法、作差法、分步运算法则|从估算到比较再到混合运算，提升运算能力与推理意识| |综合拓展|5题型（数轴/程序设计/新定义/实际应用/规律探究）|数形结合、程序转化、新定义迁移、建模分析、规律归纳|从单一应用到跨情境综合，培养创新意识与应用能力|

专题03 实数目 录 A题型建模・专项突破 题型一、平方根、算术平方根的识别与简单计算 1 题型二、立方根的识别与简单计算 2 题型三、算术平方根的性质（常考点） 3 题型四、实数的分类 3 题型五、无理数的估算（重点） 5 题型六、算术平方根与立方根小数点移动规律 6 题型七、实数与数轴 8 题型八、实数的大小比较 10 题型九、实数的混合运算 12 题型十、实数与程序设计 14 题型十一、实数下的新定义问题 15 题型十二、实数的实际应用（重点） 17 题型十三、实数的规律性问题（难点） 19 B综合攻坚・能力跃升 22 题型建模·专项突破 A 题型一、平方根、算术平方根的识别与简单计算 1．下列说法正确的是（   ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是3 C．的平方根是5 D．4的平方根是 2．下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B． C． D．的算术平方根是 3．的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 5．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算：______；______；______． 7．比大2的数是________． 8．的平方根是______，的算术平方根是______ 题型二、立方根的识别与简单计算 9．下列结论正确的是（   ） A．没有平方根 B．立方根等于本身的数只有0 C．4的立方根是 D． 10．下列说法中正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 11．下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0和1 B．立方根等于它本身的数是0和 C．算术平方根等于它本身的数是0和1 D．以上说法都不对 12．下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 13．的立方根是（   ） A．8 B． C． D．2 14．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．化简：______，______，______． 16．2是______的立方根；______的立方根是． 17．0的立方根是________，立方根等于它本身的数是________． 18．若，，且，则的值为________． 19．当x取_________时，有意义． 题型三、算术平方根的性质（常考点） 20．若实数，满足，则的值为__________． 21．若，则________． 22．|，则_____． 23．若，求的值． 24．若，求的值． 25．已知：与互为相反数，求的算术平方根 题型四、实数的分类 26．实数，，，，，0，中，是无理数的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．下列命题中，真命题是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．立方根等于它本身的数是0或1 D．数轴上的点表示的数是实数 28．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 29．把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 30．把下列各数填入相应的集合里： （两个1之间依次增加一个0）. 正数集合：{                                            …}； 负数集合：{                                            …}； 有理数集合：{                                            …}； 无理数集合：{                                            …}． 31．请把下列各数填入相应的集合中： ，，0，，，，5，（每两个3之间逐次加一个0）． 正分数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 32．把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{                …}； (2)分数集合{                …}； (3)无理数集合{                …}． 33．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 34．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                             …}； 无理数集合：{                             …}； 正实数集合：{                             …}； 负实数集合：{                             …}． 题型五、无理数的估算（重点） 35．在到之间的整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 36．下列整数与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 37．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 38．大于且小于的整数有_____ 个． 39．已知n是正整数，且，则n的值为________ 40．如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个． 41．设是的整数部分，，求的值． 42．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 43．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 44．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 题型六、算术平方根与立方根小数点移动规律 45．已知，，则（ ） A． B． C． D． 46．已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 47．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 48．已知，，则_______． 49．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 50．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则________． 51．先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 52．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 题型七、实数与数轴 53．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 54．如图，数轴上点N表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 55．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D．或 56．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 57．如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为__________． 58．如图，在中，， ，在数轴上，点A表示的数是1，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数是_________． 59．如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数之间，则的值是___________． 60．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 61．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 62．文字解答题 (1)若，都是实数且，求的平方根； (2)实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 63．如图，一个直径为4的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求的值． (2)求的算术平方根． (3)若在数轴上有一点，点表示的数为，且的值为，在（1）的情况下，求点与点之间的距离． 题型八、实数的大小比较 64．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 65．在四个实数，0，，中，最小的实数是（   ） A． B．0 C． D． 66．比较大小：______．(填“”，“”号) 67．比较大小：______．（填“”“”或“”） 68．写出一个比大且比小的整数________． 69．比较大小：_________． 70．比较大小：（1）___________；（2）__________． 71．作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 72．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）： ，，，． 73．在数轴上标出下列各数，并把它们用“<”连接起来． ，0，． 74．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 题型九、实数的混合运算 75．计算： (1)； (2)； 76．计算：． 77．计算： 78．计算： (1)； (2)． 79．计算： (1)； (2)． 80．计算： (1) (2) 81．计算 (1) (2) (3) 82．计算： (1) (2) 83．计算： (1)； (2) 题型十、实数与程序设计 84．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 85．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 86．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 87．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______． 88．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 89．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 90．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 题型十一、实数下的新定义问题 91．定义一种新的加法运算法则：，其中a，b，c，d均为实数．若，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 92．设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（    ） A．，则 B． C． D． 93．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 94．定义新运算：，则，则的值是______． 95．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 96．定义新运算：对于任意数a，b均有，则方程的解为______． 97．定义：若有理数，满足等式，则称，是“雉水有理数对”，记作．如：数对，都是“雉水有理数对”． (1)判断数对是否为“雉水有理数对”，并说明理由； (2)若是“雉水有理数对”，求m的值． 98．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 99．数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话． 林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“”，其运算法则是……． 小明：我根据加乘运算的法则得到，． 请根据加乘运算的法则解决下列问题． (1)填空：____________，____________． (2)求的值． 100．若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 101．新定义：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空：_______； (2)求的值． 题型十二、实数的实际应用（重点） 102．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 103．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 104．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 105．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 106．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 题型十三、实数的规律性问题（难点） 107．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 108．规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 109．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 110．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 111．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 112．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为__________． 113．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 114．[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 115．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 116．设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）下列说法：①表示非负数a的平方根，表示a的立方根；②平方根等于本身的数是0；③64的平方根是，立方根是；④一定是负数，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）以下说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知点均不为，则直线平行轴；⑤若，则．其中说法正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·山东潍坊·一模）如图，数轴上、、、四个点中有一个点为原点，且，这四个点分别对应的实数是、、、，满足，则下列关于原点的位置判断正确的是（   ） A．在点处 B．在点处 C．在点处 D．在点处 4．（2026·广东佛山·一模）定义一种新运算：对于两个非零实数，，，其中、为常数．若，则的值是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 6．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 7．（2026·河南信阳·一模）一个正整数a满足，则________． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）计算： (1) (2) 10．（25-26七年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 11．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知：实数a，b满足． (1)求a与b的值； (2)当一个正实数x的两个平方根分别为和时，求x的值． 12．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）有一块面积为的正方形纸片． (1)此正方形的边长约为________；（精确到十分位，参考数据：，） (2)小丽想沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．她的想法能实现吗？为什么？ 13．（25-26七年级下·山东临沂·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 14．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 15．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 16．（25-26七年级下·山东日照·期中）阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 17．（25-26八年级下·福建福州·期中）先观察下列等式： ①； ②； ③． 解答下列问题： (1)根据上面等式提供的信息，猜想出第④个式子是：______； (2)化简下列式子：． 18．（25-26七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 19．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数目 录 A题型建模・专项突破 题型一、平方根、算术平方根的识别与简单计算 1 题型二、立方根的识别与简单计算 4 题型三、算术平方根的性质（常考点） 8 题型四、实数的分类 10 题型五、无理数的估算（重点） 15 题型六、算术平方根与立方根小数点移动规律 19 题型七、实数与数轴 24 题型八、实数的大小比较 30 题型九、实数的混合运算 35 题型十、实数与程序设计 39 题型十一、实数下的新定义问题 44 题型十二、实数的实际应用（重点） 50 题型十三、实数的规律性问题（难点） 53 B综合攻坚・能力跃升 61 题型建模·专项突破 A 题型一、平方根、算术平方根的识别与简单计算 1．下列说法正确的是（   ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是3 C．的平方根是5 D．4的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的定义，是基础概念题． 根据平方根，算术平方根的定义对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、1的平方根是，1的算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而5的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B． C． D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义． 平方根和算术平方根的定义，逐一分析选项． 【详解】解：A、16的平方根是，4是16的算术平方根，故A错误，不符合题意； B、表示25的算术平方根，结果为5，而非，故B错误，不符合题意； C、表示49的算术平方根的相反数，即，而非7，故C错误，不符合题意； D、是正数且满足，因此是的算术平方根，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的值，再根据平方根的定义计算结果，注意区分所求的是哪个数的平方根． 【详解】解∶∵ ， 又∵ ， ∴ 的平方根为， 即的平方根是． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 【答案】D 【分析】根据平方根的相关定义对每个选项做出判断即可得到答案． 【详解】解：A、64的平方根是，故A选项错误； B、没有平方根，2的平方根是，故B选项错误； C、，9的平方根是，即的平方根是，故C选项错误； D、16的平方根是4和，故D选项正确． 【点睛】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 5．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义及性质，解题的关键是明确算术平方根的结果为非负数，以及平方根与平方运算的区别． 逐一计算每个选项的表达式，结合算术平方根和平方根的定义判断正误． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 6．计算：______；______；______． 【答案】 【详解】解：；；． 7．比大2的数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根及实数的运算，先计算的值，再求比它大 2 的数即可． 【详解】解：∵， 比大2的数为． 故答案为：． 8．的平方根是______，的算术平方根是______ 【答案】 / 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，理解平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方运算得到4，再求平方根；直接根据算术平方根定义求解即可． 【详解】解： = 4，4 的平方根是； 的算术平方根是． 故答案为，． 题型二、立方根的识别与简单计算 9．下列结论正确的是（   ） A．没有平方根 B．立方根等于本身的数只有0 C．4的立方根是 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，立方根，正确掌握相关性质或内容是解题的关键．根据负数没有平方根，立方根等于本身的数有0，和，4的立方根是，，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是负数，负数没有平方根，原说法是正确的，故该选项符合题意； B、立方根等于本身的数有0，和，原说法是不正确的，故该选项不符合题意； C、4的立方根是，则，原说法是不正确的，故该选项不符合题意； D、，原说法是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：A 10．下列说法中正确的是（   ） A．没有立方根 B．1的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据的立方根是，的立方根是，的立方根是，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意； B、1的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意； C、的立方根是，原说法正确，故该选项符合题意； D、的立方根是，原说法不正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 11．下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0和1 B．立方根等于它本身的数是0和 C．算术平方根等于它本身的数是0和1 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟记概念以及特殊数是解题的关键．根据平方根，算术平方根，立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、平方根等于它本身的数是0，的平方根是，故本选项不正确； B、立方根等于它本身的数是0、、，故本选项错误； C、算术平方根等于它本身的数是0和1，故本选项正确； D、错误． 故选：C． 12．下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根为非负数，立方根可为负数． 本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：∵ 算术平方根定义，表示的算术平方根；立方根定义，表示的立方根． A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误； 故选：B． 13．的立方根是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查求算术平方根及立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题关键．先计算的值，再求其立方根即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴的立方根是． 故选：D． 14．下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，理解平方根、算术平方根以及立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的对应进行判断即可． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； ，因此选项B不符合题意； ，因此选项C不符合题意； ，因此选项D符合题意． 故选：D． 15．化简：______，______，______． 【答案】 /0.5 / 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质是解题的关键．根据立方根的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，，． 16．2是______的立方根；______的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 17．0的立方根是________，立方根等于它本身的数是________． 【答案】 0 ，0 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握立方根的概念是解题关键． 本题根据立方根的概念，进行作答，即可求解． 【详解】解：0的立方根是0，立方根等于它本身的数是0，； 故答案为：0；，0 18．若，，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平方根与立方根的概念，根据平方根与立方根的概念，结合，得到，的值，将，的值代入中求解，即可解题． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 则的值为， 故答案为：． 19．当x取_________时，有意义． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【详解】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数． 故答案为：任意实数． 题型三、算术平方根的性质（常考点） 20．若实数，满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 21．若，则________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值．将方程中的二次项配成完全平方，利用非负数的和为零则每个非负数均为零的性质可得到a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵且， ∴且， ∴且， 解得 ，， 所以 ． 故答案为 1． 22．|，则_____． 【答案】5 【分析】本题考查的是非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须同时为零． 【详解】因为且，且， 所以且． 由，得，即． 由．得，即． 因此． 故答案为：5． 23．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，理解非负数的性质是解题的关键．因为算术平方根，平方数，且它们的和为0，所以且 【详解】解：由得，即；由得，即， 所以. 24．若，求的值． 【答案】 【分析】该题考查了算术平方根、绝对值、平方的非负性，根据非负数的性质求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 25．已知：与互为相反数，求的算术平方根 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性，算术平方根，解题的关键是掌握二次根式的非负性． 利用二次根式的非负性得出，然后求其算术平方根即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴ 解得， ∴， ∴的算术平方根为1． 题型四、实数的分类 26．实数，，，，，0，中，是无理数的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义． 通过判断每个数是否为无理数（即无限不循环小数）来计数．有理数包括整数、有限小数和无限循环小数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数， ∴是无理数的有，，共2个， 故选：A． 27．下列命题中，真命题是（   ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数是无理数 C．立方根等于它本身的数是0或1 D．数轴上的点表示的数是实数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类、立方根的性质以及实数与数轴的关系，根据定义逐一判断各选项，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故A错误； B、带根号的数不一定无理，如是有理数，故B错误； C、立方根等于它本身的数是0、1、，故C错误； D、数轴上的点与实数一一对应，故D正确； 故选：D． 28．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 29．把，，0，，，填在相应的集合内： (1)有理数集合｛ ……｝ (2)无理数集合｛ ……｝ (3)正实数集合｛ ……｝ (4)负实数集合｛ ……｝ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】有理数包括整数和分数(有限小数、无限循环小数)；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 【详解】（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 30．把下列各数填入相应的集合里： （两个1之间依次增加一个0）. 正数集合：{                                            …}； 负数集合：{                                            …}； 有理数集合：{                                            …}； 无理数集合：{                                            …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的分类、有理数分类、无理数的定义等知识点，掌握相关定义是解题的关键. 根据实数、有理数、无理数等定义逐个判断即可． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 有理数集合：； 无理数集合：{，，（两个1之间依次增加一个0）…}． 31．请把下列各数填入相应的集合中： ，，0，，，，5，（每两个3之间逐次加一个0）． 正分数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，；，；0，5． 【分析】本题考查了求相反数，求绝对值，实数的分类． 先计算相反数、绝对值，再分别根据正分数、负有理数、非负整数的定义作答即可． 【详解】，， 正分数集合：{，…}； 负有理数集合：{，…}； 非负整数集合：{0，5…}． 故答案为：，；，；0，5． 32．把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，0，，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），3.14 (1)负实数集合{                …}； (2)分数集合{                …}； (3)无理数集合{                …}． 【答案】(1)，，，， (2)，3.14 (3)，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 【分析】本题考查了实数的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小于0的实数为负实数进行逐个分析，即可作答； （2）结合分数的定义进行逐个分析，即可作答． （3）根据无限不循环小数即为无理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ∴ ∴负实数集合{，，，，，…}； （2）解：依题意，，不是分数， ∴分数集合{，3.14，…}； （3）解：依题意， ∴，不是无理数， ∴无理数集合{，，，0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），…} 33．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 34．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                             …}； 无理数集合：{                             …}； 正实数集合：{                             …}； 负实数集合：{                             …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 题型五、无理数的估算（重点） 35．在到之间的整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算． 判断出和的取值范围，进而确定到之间的整数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在到之间的整数是2和3． 故选：B． 36．下列整数与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，通过比较与相邻整数的差，判断其最接近的整数. 【详解】解：， ， ， 又 ，，， 与更接近， 与的值最接近的是. 故选：C． 37．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；通过估算的范围，利用不等式性质加1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：C． 38．大于且小于的整数有_____ 个． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的大小比较法则和估算无理数的大小的应用．先估算出的范围，再根据实数的大小比较法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴大于且小于的整数有，，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 39．已知n是正整数，且，则n的值为________ 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算． 估算数值，即可估算的值，然后根据，确定正整数的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：9． 40．如图，数轴上，两点表示的数分别为和6.3，则，两点之间表示整数的点共有_________个． 【答案】5 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以估算无理数的大小． 根据题意和数轴的特点可以求得在数和之间的整数有几个，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴在数和之间的整数有，共有个． 故答案为：． 41．设是的整数部分，，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查的是无理数的整数部分的含义，算术平方根的含义，求解一个数的立方根，掌握“无理数的估算方法，算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键；由可得m的值，再利用算术平方根的含义求解n，再求解的立方根即可． 【详解】解： ，即， 的整数部分为5， 即， 又 ， ， ． 42．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)的平方根为； (3)的值是． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 的立方根是， ， ， 解得； 是的算术平方根， ， ． （2）解：， 的平方根为． （3）解：由（1）得， ， ， 整数部分，小数部分， ． 43．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． （1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1）， 的整数部分为，小数部分为， ； （2）， ， 的整数部分，的小数部分， ， 的平方根为． 44．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 题型六、算术平方根与立方根小数点移动规律 45．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 46．已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，理解小数点的移动规律是解此题的关键． 据算术平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行求解即可． 【详解】解：因为， 即， 所以， 故选：D． 47．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 48．已知，，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 49．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 50．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则________． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 51．先填写下表，通过观察后再回答问题． ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 100 10000 1000000 100000000 ．．． ．．． (1)被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． (2)已知：，你能求出的值吗？ (3)试比较与的大小． 【答案】(1)填表见解析；有规律，见解析； (2) (3)当时，；当或时，；当时，． 【分析】本题考查了算术平方根的规律题，根据题意发现规律是解题关键． （1）先根据算术平方根的定义填表，再观察表格，即可发现位置规律； （2）根据（1）所得规律，观察发现小数点向右移动3位为，则被开方数向右移动6位，即可求出的值； （3）根据表格作答即可． 【详解】（1）解：填表如下： ．．． 0.000001 0.0001 0.01 1 ．．． 0.001 0.01 0.1 1 100 10000 1000000 100000000 ．．． 10 100 1000 10000 ．．． 观察发现，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有规律：当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点左（或向右）移动1位； （2）解：观察发现小数点向右移动3位为， 则被开方数向右移动6位，即； （3）解：由表格可知，当时，；当或时，；当时，． 52．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 题型七、实数与数轴 53．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， 结合选项可知，只有D选项结论正确． 故选：D． 54．如图，数轴上点N表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先得出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值即可得出答案． 【详解】解：根据数轴上可知点：， ．，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：A． 55．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出圆的周长是解题关键． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴圆的周长， ∵该圆可向右滚动一周，也可向左滚动一周， ∴点表示的数是或 故选：D 56．如图，实数在数轴上的对应点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据无理数的估算方法得到的取值范围，再根据数轴上的点所表示数的特征进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 观察数轴可知，点表示的数在和之间，故选：D． 57．如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 58．如图，在中，， ，在数轴上，点A表示的数是1，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数是_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据作图得出的长，再求出点D到原点的距离，即可得出点D表示的数． 【详解】解：由题意得， ∵点A表示的数是1， ∴点D到原点的距离是， ∵点D在数轴的负半轴， ∴点D表示的数是． 故答案为：． 59．如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数之间，则的值是___________． 【答案】14 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的周长为：， ∵， ∴，即， ∴向右滚动2周后点A所处的位置在4与5之间，即， ∴． 故答案为：14． 60．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值计算，根据数轴得到，，是解题的关键．先根据数轴得到，，，再根据算术平方根的性质化简即可． 【详解】解：依题意得到，，， 则原式 ． 61．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 62．文字解答题 (1)若，都是实数且，求的平方根； (2)实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查实数与数轴，算术平方根的化简，绝对值的化简，立方根，平方根的定义． （1）根据二次根式的性质求出的值，再代入，结合平方根的定义即可解答； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，再分别化简计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：，解得， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：根据题意得：，， ∴，，， ． 63．如图，一个直径为4的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求的值． (2)求的算术平方根． (3)若在数轴上有一点，点表示的数为，且的值为，在（1）的情况下，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及数轴上两点间距离的计算，熟练运用相关公式和法则是解答本题的关键． （1）利用圆的周长公式求出圆滚动一周的长度，结合滚动方向确定的值； （2）将的值代入式子，依次进行立方根运算、实数运算和算术平方根运算； （3）根据数轴上两点间距离公式，结合和的值计算两点间距离． 【详解】（1）圆的直径为， 圆的周长， 又点在原点的左侧， ． （2）， ， 的算术平方根为， 的算术平方根为2． （3）， 由数轴上两点间的距离公式得：， 点与点之间的距离为． 题型八、实数的大小比较 64．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 65．在四个实数，0，，中，最小的实数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键. 利用“负数比较大小，绝对值越大的数越小，0大于所有负数”的规则，先估算无理数的范围，再比较所有数的大小即可. 【详解】解：∵ ∴ 对三个负数取绝对值得 ，， ∵ ∴ 又∵大于所有负数 ∴ ∴ 四个实数中最小的是， 故选：A. 66．比较大小：______．(填“”，“”号) 【答案】 【分析】先比较两个负数的绝对值大小，再依据两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 67．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：根据绝对值的定义，可得，， 因为，即， 所以． 68．写出一个比大且比小的整数________． 【答案】2 【分析】此题主要考查了实数的大小的估算，其中“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．先估算无理数，，然后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，, ∴比大且比小的整数是． 故答案为：． 69．比较大小：_________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的比较大小． 比较两个负数的大小，需先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】解：因为，， ∴， ∴． 故答案为：． 70．比较大小：（1）___________；（2）__________． 【答案】 【分析】（1）将两数同时进行和的最小公倍数的乘方运算，转化为整数比较大小． （2）采用作差法，两数作差，判断得数的小于，即可得到答案． 【详解】解：（1）取和的最小公倍数，对两个数同时进行次方运算， ， ∵， ∴； （2）两数作差，判断符号， ， ∵， ∴，即差为负数， ∴． 71．作图并比较大小： (1)如图，先在数轴上准确作出对应的点，再用小黑点标明，，，，，这个数依次对应的点，点，点，点，点； (2)用“”号将这几个数连接起来． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、利用数轴比较有理数的大小、实数的大小比较，解题关键是熟练掌握数轴上表示数及比较大小． （1）先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为，再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时，再在数轴上找出点，点，点，点，即可得图； （2）结合数轴即可比较实数大小． 【详解】（1）解：先作顶点在数轴原点，边长为的正方形，正方形的对角线即为， 再以原点为圆心，正方形对角线为边长在数轴上作圆，交数轴于点，此时， 再在数轴上找出点，点，点，点，即可得下图： （2）解：由（1）得，． 72．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）： ，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了实数大小比较，立方根，实数与数轴，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．先化简，再根据数轴上数的特点表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【详解】解：， 在数轴上表示如下： 73．在数轴上标出下列各数，并把它们用“<”连接起来． ，0，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了实数大小比较、在数轴上表示实数、算术平方根、立方根等知识点，正确在数轴上表示有理数成为解题的关键． 先根据相反数、绝对值、算术平方根、乘方、立方根化简，然后在数轴上表示，最后从左向右排列并用“<”连接即可． 【详解】解：，． 在数轴上表示如图： 所以． 74．把下列各数按从小到大的顺序用“”排列起来： ，，，，． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，先对无理数进行估算，再根据无理数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴；； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九、实数的混合运算 75．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 76．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 77．计算： 【答案】 【详解】解：原式 78．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先根据立方根、算术平方根和绝对值的定义进行运算，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 79．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算算术平方根、幂及绝对值，再算加减即可得到答案； （2）先算立方根、算术平方根，再计算加减即可得到答案 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 80．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算算术平方根，立方根，乘方，化简绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先运算算术平方根，乘方，化简绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 81．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据乘方、绝对值、平方根的性质求解即可． （2）根据有理数混合运算法则、平方根的性质求解即可． （3）根据有理数混合运算法则、平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 82．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先计算乘方、开方与绝对值，再按顺序进行加减运算，最终得到； （）先计算乘方、开方，再按从左到右的顺序进行乘除运算，最后进行加减运算，化简后得到． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 83．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据立方根和平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十、实数与程序设计 84．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 85．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为81时，输出的数为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，有理数，无理数的定义，求算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．根据算术平方根的求解，判断有理数以及无理数即可得出结果． 【详解】解：当输入的数为81时，取算术平方根，则， 9不是无理数，取算术平方根，则， 3不是无理数，取算术平方根，则，是无理数， 则输出的数为， 故选：D． 86．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 87．在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、无理数，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 88．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：若开始输入的的值是27， 由题可得：27的立方根为3，是有理数， 3的算术平方根是，是无理数，输出， 则输出的的值为． 故答案为：． 89．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 90．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 题型十一、实数下的新定义问题 91．定义一种新的加法运算法则：，其中a，b，c，d均为实数．若，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查实数的运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于和的方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将已知条件转化为方程求解. 【详解】解：∵ , ∴ , , ∴ , . 故选：B． 92．设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（    ） A．，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此可判断A；根据新定义可得，据此可判断B；当时，，，据此可判断C；根据新定义可得，据此可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴当，， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴当时，， ， ∴此时等式不成立，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴， ∴，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 93．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 94．定义新运算：，则，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义先将式子转化为，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ． 95．规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则可以化简为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减．根据新定义可得 ，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 96．定义新运算：对于任意数a，b均有，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查新运算的定义，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵对于任意数a，b均有， ∴， ， 解得． 故答案为：． 97．定义：若有理数，满足等式，则称，是“雉水有理数对”，记作．如：数对，都是“雉水有理数对”． (1)判断数对是否为“雉水有理数对”，并说明理由； (2)若是“雉水有理数对”，求m的值． 【答案】(1)数对是“雉水有理数对”．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，计算即可求解． （2）根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：数对是“雉水有理数对”. 理由：∵，， ∴， ∴数对 是“雉水有理数对”； （2）解：∵是“雉水有理数对”， ∴，解得． 98．对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（）按照给出的方法进行计算即可； （）按照给的方法进行整理后，再整体代入进行求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：, ∵, ∴原式， 故的值为． 99．数学课上，围绕新定义的运算，林老师和小明进行了一段对话． 林老师：我定义了一种新的运算，叫加乘运算．运算符号记作“”，其运算法则是……． 小明：我根据加乘运算的法则得到，． 请根据加乘运算的法则解决下列问题． (1)填空：____________，____________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． ()根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加； ()先计算括号里，再计算括号外面的解答即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：； （2）解： ． 100．若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 【答案】(1) (2) 2 (3)或 【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解； ② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于； （2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴数，的另一个“平方和数”为． ②∵，且， ∴还可以是数，的“平方和数”． （2）解：（2）由题意得 ∵平方数具有非负性， ∴， 要使两个非负数的和为，必须两个数都为： 解得 ：，． （3）解：（3）根据题意，得 当时，； 当时，． ∴或． 【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解． 101．新定义：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空：_______； (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的加减运算、求代数式的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）对和的大小进行分类讨论，分情况计算出最后的结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：当时，； 当时，； 当时， ， 综上，的值为或或． 题型十二、实数的实际应用（重点） 102．如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 103．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 104．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 105．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 106．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 题型十三、实数的规律性问题（难点） 107．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 108．规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 109．观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（    ）． A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与实数规律有关的计算，根据已知等式，得到，进而求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵，…， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 110．观察下列各式：    请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字类规律探究根据前几个式子的规律，写出第个式子即可求解．通过观察给定等式，发现每个等式均符合相同规律，即根式部分的结构和简化形式具有一致性，从而归纳出用正整数表示的一般等式． 【详解】解：根据等式的规律可得：（为正整数） 故答案为：（为正整数）． 111．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是_________. 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 112．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算的规律，实数与数轴，先求出点B表示的数得到，则表示的数为，再求出表示的数为，则，然后依次表示，，；；即可找到规律求解． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ，∴，则表示的数为， ∵， ∴ ∴， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； ……， 以此类推可得，当n为奇数时，当n为偶数时， ∴ 故答案为：． 113．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 114．[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； …… 【实践探究】 （1）计算：______，______； （2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）； 【迁移应用】 （3）计算：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由（1）得：； 故答案为： （3） 115．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 116．设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题，关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，即可求解； （2）观察题中的几个计算结果，即可求解； （3）根据（2）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，…， ∴， 故答案为：； （3）解：可得， ∴ ． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）下列说法：①表示非负数a的平方根，表示a的立方根；②平方根等于本身的数是0；③64的平方根是，立方根是；④一定是负数，正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义，逐个判断四个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案； 【详解】解：①根据定义，非负数的平方根是，仅表示非负数的算术平方根，因此①说法错误； ②∵正数的平方根有两个，均不等于本身，只有的平方根是，等于本身，∴平方根等于本身的数只有，②说法正确； ③∵，，∴的平方根是，立方根是，不是，③说法错误； ④当时，，不是负数，因此④说法错误； 综上，正确的说法共个． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）以下说法：①有理数与数轴上的点一一对应；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④已知点均不为，则直线平行轴；⑤若，则．其中说法正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题为概念判断题，逐个分析每个说法是否符合初中数学概念，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：①错误：是实数与数轴上的点一一对应，有理数只是实数的一部分，因此说法错误； ②错误：只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行；若点在已知直线上，不存在平行于已知直线的直线，因此说法错误； ③错误：结论成立的前提是“在同一平面内”，题目缺少该限定，说法错误； ④正确：点和横坐标相同、纵坐标不同（），且，因此直线为，平行于轴，说法正确； ⑤正确：由得，根据立方根性质，因此，说法正确； 综上，正确的说法共个． 3．（2026·山东潍坊·一模）如图，数轴上、、、四个点中有一个点为原点，且，这四个点分别对应的实数是、、、，满足，则下列关于原点的位置判断正确的是（   ） A．在点处 B．在点处 C．在点处 D．在点处 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置关系确定，，，的正负性，结合及分情况讨论原点的位置，排除矛盾选项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知， 若原点在点处，则，此时，， ， ，即，则点与点重合，不符合题意， 故原点不在点处； 若原点在点处，则，此时，，， ， ，即， ， ，即， ，故原点在点处，符合题意； 若原点在点处，则，此时，， ， ，即， ， ，即， ，解得，则点与点重合，不符合题意， 故原点不在点处； 若原点在点处，则，此时，， ， ，即， ，， ，不可能等于，故原点不在点处． 4．（2026·广东佛山·一模）定义一种新运算：对于两个非零实数，，，其中、为常数．若，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据新定义的运算法则和已知条件推算出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故①正确； ②∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故②错误； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是①③． 6．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 【答案】/ 【分析】先把两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形面积为2，可得小正方形对角线长为，再根据题意即可得点B表示的数． 【详解】解：如图，由两个小正方形拼成正方形，则的面积为2， ∴， ∵以表示数的点为圆心，正方形对角线的长为半径画半圆，交数轴于点A和点B， ∴点B表示的数为． 7．（2026·河南信阳·一模）一个正整数a满足，则________． 【答案】5 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，即可得到正整数的值. 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 10．（25-26七年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根、立方根及绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知：实数a，b满足． (1)求a与b的值； (2)当一个正实数x的两个平方根分别为和时，求x的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出和的值； （2）根据正实数的两个平方根互为相反数，列出等式求出的值，再根据平方根的定义计算得到的值； 【详解】（1）解：，，且， ，， ∴，； （2）解：正实数的两个平方根分别为和 ， 将，代入得， 解得：， ． 12．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）有一块面积为的正方形纸片． (1)此正方形的边长约为________；（精确到十分位，参考数据：，） (2)小丽想沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为．她的想法能实现吗？为什么？ 【答案】(1) 21.1 (2) 能实现，理由见解析. 【分析】（1）先根据正方形面积公式得到边长为，再进行变形，结合给出的参考数据计算近似值，精确到十分位即可得到结果； （2）根据长宽比设出长方形的长和宽，由面积列方程求出长与宽，再将长、宽与正方形边长比较大小，即可判断能否实现想法． 【详解】（1）解：∵正方形纸片的面积为 ∴正方形的边长为 ∵，且 ∴ 即此正方形的边长约为； （2）解：设长方形纸片的长为，则宽为，其中 根据题意得 整理得 ∵ ∴ ∴长方形的长为 ，宽为 ∵，，即长方形的长与宽均小于正方形的边长 ， ∴小丽的想法能实现． 13．（25-26七年级下·山东临沂·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． （1）设绣布的长为，宽为，根据面积公式列式得出，解出，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 即 ∴ ∵ ∴ ∴绣布的长为，宽为， 周长为． （2）解：能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 得， ∵取3， ∴ ∴， 解得（负值已舍去） 则， ∴ 由（1）得绣布的长为，宽为， ∵， ∴能够裁出来． 14．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）分别根据平方根、立方根、无理数的估算作答即可； （2）求出的值，进而求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的算术平方根是． 15．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 16．（25-26七年级下·山东日照·期中）阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8， ∴小数部分为； （2）解：∵即， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·福建福州·期中）先观察下列等式： ①； ②； ③． 解答下列问题： (1)根据上面等式提供的信息，猜想出第④个式子是：______； (2)化简下列式子：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据规律写出第④个式子即可求解； （2）根据规律化简每项，再相加即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 18．（25-26七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 【答案】(1)；0.86， (2)① ；② 【分析】(1)根据表示不超过的最大整数，进行计算。 (2) 本题考查连分数近似的新定义运算。按照给定的递推规则，依次计算，再代入连分数近似公式求值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即． （2）① 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ． (2) ② 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ， ． 19．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）探究解题 (1)如图1，将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形，则大正方形的边长=______； (2)在数轴上表示出点M，使点M表示的数为图1中大正方形的边长（要求保留痕迹并用简单语言描述确定点M位置的过程）； (3)按照国际标准，A系列纸为长方形，且长宽比为定值，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸······． 现将纸按如图2所示的方式折叠，会发现A系列纸的长宽比值=______；你能根据此比值计算纸的长与宽分别是多少毫米吗？（结果取整数，注：，，） 【答案】(1) (2)见详解 (3)，纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合等面积法以及算术平方根的应用，进行分析，即可作答． （2）结合题意，作出腰长为1的等腰，腰长，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是，再根据面积公式列式，然后计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵将两个边长为1的小正方形沿虚线剪裁后拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积， ∴大正方形的边长； （2）解：如图所示：作出腰长为1的等腰，腰长，连接，再以点为圆心，以的长为半径画弧交数轴的正方向于一点，即为点M， （3）解：由（1）得2个边长为1的正方形拼接成边长为的大正方形，此时小正方形的对角线就是大正方形的边长，故等腰直角三角形的斜边与腰长的比值为， 观察折叠过程，与（1）同理，得纸的长宽之比是， 设纸的宽为毫米，长为毫米， ∵纸面积平方毫米， ∴， 则， ； 答：纸的长是1183毫米，宽是845毫米． 20．（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $