专题02 平行线中拐点模型（期末复习专项训练）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“猪蹄”“铅笔头”等形象化模型分类，系统整合平行线拐点问题，通过辅助线构造与角关系推导，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |猪蹄模型|9题（含证明探究）|过拐点作平行线，转化内错角/同旁内角|基于平行线性质，推导“∠B+∠D=∠BED”核心关系| |铅笔头模型|7题（含情境应用）|构造平行线，利用平角或互补关系|延伸“猪蹄”模型，形成“∠B+∠D+∠BED=360°”拓展| |锯齿/臭脚/骨折模型|各3-5题|多拐点分段作辅助线，角关系累加/差运算|从单拐点到多拐点，深化平行线性质的递推应用| |三角尺模型|8题（含动态旋转）|结合特殊角（30°/45°/60°），模型与三角板性质融合|关联实际操作，提升空间观念与模型应用意识| |综合攻坚|23题|多模型交叉，辅助线综合运用|整合六类模型，强化知识迁移与问题解决能力|

专题02 平行线中拐点模型 目 录 A题型建模・专项突破 题型一、“猪蹄”模型 1 题型二、“铅笔头”模型 4 题型三、“锯齿”模型 7 题型四、“臭脚”模型 8 题型五、“骨折”模型 11 题型六、“三角尺”模型 13 B综合攻坚・能力跃升 15 题型建模·专项突破 A 题型一、“猪蹄”模型 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 2．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 3．如图所示，，于点D，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，平分，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．已知，如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，求的度数． 8．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 9．问题探究： 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图①，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系：已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明．然后思路就卡壳了，不知道怎么证明 问题解答： (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，帮助她继续完成证明：（可继续添加辅助线） 问题迁移： (3)如图④，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点平分平分，求的度数． 题型二、“铅笔头”模型 10．皮影戏是民间古老的传统艺术，如图是皮影造型抽象出的几何图形，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图， ，则 _______________． 12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 13．如图，，，，则________． 14．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 15．综合实践： (1)【问题情境】如图，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可得的度数是________； (2)【问题迁移】如图，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？小颖根据小明的思路，过点作，即可求得与，之间的数量关系，请说明理由； (3)【联想拓展】在（）的条件下，当点在的延长线上时，如图．请求出与，之间的数量关系． 16．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 题型三、“锯齿”模型 17．如图，，则________． 18．【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 19．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 题型四、“臭脚”模型 20．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某校将“抖空竹”定为特色体育项目每天大课间进行训练，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 21．如图所示，，，，求的度数. 22．已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 23．数学兴趣小组进行平行线性质的探究，过程如下： 已知直线，是平面内一动点． 探究一：当动点位于两平行线之间时． （1）如图1，若，，则________． （2）如图2，若，，则________． 探究二：当动点位于两平行线同侧时． （3）如图3，小智认为，与满足“”，于是进行了证明，请你补充结论或填上适当的理由． 证明：如图，过点作， ∴（   ）． ∵（已知）， ∴________ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）． （4）如图4，请写出，与之间的数量关系，并加以证明． 24．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 题型五、“骨折”模型 25．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 28．有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 29．已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 题型六、“三角尺”模型 30．将一副三角板按如图放置，点A，C，B共线，直线，则（　　） A． B． C． D． 31．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 32．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 ______ ． 33．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是_____（填序号） 34．如图，将一副三角板的直角顶点A重合，则下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中所有正确的结论序号有________． 35．【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 36．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 37．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点与点重合，与相交于点，则_____________； (2)将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，则______________； (3)将图1中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_______________秒时，边恰好与边平行．（直接写出结果） 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图摆放的一副直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东济南·月考）将一副三角板按如图放置，，，；则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·广东汕头·月考）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______． 10．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确的是______（填序号） 11．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 12．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）构造辅助线是解决几何问题的核心方法，它能够实现角的转移与转化，是初中几何从直观识图迈向逻辑推理的关键一步． (1)【感知发现】 如图，，请探究，，三者之间的数量关系，并说明理由： (2)【迁移应用】 某数学兴趣小组以“一个含角的直角三角尺和直尺”为背景开展数学活动． 将直角三角尺与直尺按如图所示的位置摆放，请直接写出与之间的数量关系： 将直角三角尺与直尺按如图所示的位置摆放，请写出与之间的数量关系并说明理由． 13．（25-26七年级下·福建福州·期中）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， ________，， 又． ________． 【问题解决】 (1)阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 (2)如图2所示，已知，、交于点，，求的度数． 【拓展探究】 (3)如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求的度数． 14．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 15．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 16．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 17．（25-26七年级下·山东·期中）问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______ ）， ∴______（______ ）， ∴， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交CD的延长线于点G…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，FD平分．若，请直接写出的度数． 18．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）结合图形，解答下列各题： (1)问题：如图所示，若，，求的度数． (2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 19．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图1，是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，且． (1)求证：； (2)如图2，过点作直线，使，且直线与的平分线交于点，若，求的度数． 20．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 21．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样．在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点交于点．请判断与有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，求的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，，平分，且，，求的度数． 22．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的“倍补充周角”．例如，，则为的“6倍补充周角”． (1)若，则的“倍补充周角”的度数为_____°； (2)如图，在平面内，点为直线上一点，点为直线上一点．连接，； ①点、分别在线段、上（如图1）．若点在直线上方，先探究，，这三个角的数量关系．再求当是的“7倍补充周角”且时，的度数． ②如图，若点为平行线、之间一个动点，连接，和的角平分线交于点．若，，是的“4倍补充周角”，求的度数（用含和的代数式表示）． 23．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线中拐点模型目 录 A题型建模・专项突破 题型一、“猪蹄”模型 1 题型二、“铅笔头”模型 10 题型三、“锯齿”模型 20 题型四、“臭脚”模型 25 题型五、“骨折”模型 33 题型六、“三角尺”模型 41 B综合攻坚・能力跃升 52 题型建模·专项突破 A 题型一、“猪蹄”模型 1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 2．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 3．如图所示，，于点D，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行线的判定和性质得到，，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ∴． 4．如图，已知，平分，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过F作，根据平行线的判定与性质可得出，，，结合角的和差关系可求出，，根据角平分线的定义得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 5．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．已知，如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，利用平行线的性质得出，，然后再根据角的和差关系即可得出的度数． 【详解】解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，过点作． 因为，，所以， 所以，， 所以． 8．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （2）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （3）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】（1）解：过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （3）解：∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． 9．问题探究： 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图①，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系：已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明． 李思同学：如图③，过点作，则，再证明．然后思路就卡壳了，不知道怎么证明 问题解答： (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，帮助她继续完成证明：（可继续添加辅助线） 问题迁移： (3)如图④，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点平分平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定及性质证明即可； （2）过点作，交于点F，则，，由得到，因此； （3）由角平分线的定义得到，过点H作，则，进而得到，由平行线的判定得到，因此，再根据平分得到，从而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：过点作，交于点F，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 过点H作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 题型二、“铅笔头”模型 10．皮影戏是民间古老的传统艺术，如图是皮影造型抽象出的几何图形，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据平行线的性质以及角的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为___________． 【答案】/度 【分析】过C作，根据平行线的判定与性质可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：过C作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，，，，则________． 【答案】/80度 【分析】过的顶点作的平行线，利用平行线的性质求出，从而得解． 【详解】解：过的顶点作的平行线， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 14．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质可得，结合已知等量代换得出，即可得证； （2）过点作，可得，根据平行于同一条直线的两直线平行可得，得到，即可得证； （3）过的顶点作平行线，即过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解； （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作， ， 工作篮底部与支撑平台平行，即， ， ， ， ； （4）解：如图所示，过点作， ， ， ， 底部支架与吊线平行，即， ， ， ． 15．综合实践： (1)【问题情境】如图，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可得的度数是________； (2)【问题迁移】如图，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？小颖根据小明的思路，过点作，即可求得与，之间的数量关系，请说明理由； (3)【联想拓展】在（）的条件下，当点在的延长线上时，如图．请求出与，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，理解题意、作出适合的辅助线是解题的关键． （）过点作，则，然后根据平行线的性质进行计算，即可求解； （）过点作，则，然后根据平行线的性质进行计算，即可求解； （）过点作，则，然后根据平行线的性质进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作， ∴， ∴，， ∴． 16．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）发现由平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （2）过点P作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则； （3）①过点M作，由平行线的性质得出，由，推出，得出，即可得出结果； ②过点P作，过点F作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，推出，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点P作． ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴ (平行于同一直线的两直线平行)， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又， ∴． （2）； 证明：过点P作，如图2所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①；理由如下： 过点M作，如图3所示：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②； 证明：过点P作，过点F作，如图4所示：    ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 题型三、“锯齿”模型 17．如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 18．【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 19．（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 题型四、“臭脚”模型 20．为增强学生体质，感受中国的传统文化，某校将“抖空竹”定为特色体育项目每天大课间进行训练，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图①所示，若将图①抽象成图②的数学问题：，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，得，根据平行线的性质求出，得出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，可求出． 【详解】解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图所示，，，，求的度数. 【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， 又因为，得到，所以. 【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， ， 即， ， 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质. 22．已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过点作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）过点作，由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴． 23．数学兴趣小组进行平行线性质的探究，过程如下： 已知直线，是平面内一动点． 探究一：当动点位于两平行线之间时． （1）如图1，若，，则________． （2）如图2，若，，则________． 探究二：当动点位于两平行线同侧时． （3）如图3，小智认为，与满足“”，于是进行了证明，请你补充结论或填上适当的理由． 证明：如图，过点作， ∴（   ）． ∵（已知）， ∴________ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）． （4）如图4，请写出，与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3）两直线平行，内错角相等；，，等量代换；（4），证明见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，添加合适的平行线作辅助线是关键． （1）过点P作，证明，，即可得到答案； （2）过点P作，证明，，即可得到答案； （3）过点作，证明．，根据和等量代换即可得到结论； （4）过点作，证明，．根据和等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （3）证明：如图，过点作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；，，等量代换 （4） 证明：如图，过点作， ∴． ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． 24．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 题型五、“骨折”模型 25．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过E作，根据平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过E作， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∴． 26．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 27．已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，解决此类题目的基本思路是过拐点作平行线． （1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答即可； （2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证． 【详解】（1）解：图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）证明：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 29．已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析；当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过P作，则，根据平行线的性质求出的度数即可解答； （2）过P作，则，根据平行线的性质即可得到； （3）根据点的运动轨迹，分类讨论：当点在射线上时；当点在射线上时；根据平行线的性质与判定定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六、“三角尺”模型 30．将一副三角板按如图放置，点A，C，B共线，直线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点G，根据题意可得，进而可得，进而根据平行线的性质以及三角板中的角度计算即可求解． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由题意得，，，结合可得，进而可判定，根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 32．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角板的性质，由三角板可知，，又，则，，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，和交于点， 由三角板可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 33．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是_____（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据三角板的特点可得，则由平角的定义可判断①；可证明，据此可判断②；如图所示，延长交于点，由平行线的性质得到，再求出的度数即可判断③④． 【详解】解：根据题意，，， ∴，，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； 如图所示，延长交于点，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 34．如图，将一副三角板的直角顶点A重合，则下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中所有正确的结论序号有________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据两块三角板的特殊角，平行线的判定和性质，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：如图1，如果， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故结论②正确，符合题意； 如图2，如果 ∴， ∵， ∴， 故结论③正确，符合题意； 要使，需有， 则需有， 即， 则此时，， 则， 故结论④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． 35．【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 36．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，．     (1)填空：与的数量关系：_____；理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究以下问题： ①当时．画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否还存在一组边互相平行？请直接写出此时角度所有可能的值． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)①图见解析，；②存在，或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中的角度计算，余角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据余角的性质进行解答即可； （2）根据角度之间的关系进行解答即可； （3）①根据题意画出图形，作，利用平行线的性质进行解答即可； ②分别画出图形，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：①如图3，当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②存在， 如图4，当时，， ∴； 如图5，当时，； 如图6，当时，， ∴； 如图7，当时，， ∴．      综上，当时，；当时，；当时，；当时，． 37．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图1中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得点与点重合，与相交于点，则_____________； (2)将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，则______________； (3)将图1中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_______________秒时，边恰好与边平行．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)5或17 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理可得，代入数据计算即可得解； （2）根据角平分线的定义求出，利用内错角相等两直线平行求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； （3）分在上方时，，设与相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列式求出，即可得解；在的下方时，，设直线与相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得°，然后利用三角形的内角和定理求出，再求出旋转角即可． 【详解】（1）【小问1详解】 解：在中，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图1，在上方时，设与相交于， ， ， 在中，， ， ， 旋转角为， 秒； 在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中，， 旋转角为， 秒； 综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行． 综合攻坚·能力跃升 B 1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，推出，，结合已知条件求出的度数，进而求出的度数即可得解． 【详解】解：过点作，交于点， 四边形是长方形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图摆放的一副直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，根据即可得出答案． 【详解】解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵在和中，，， ∴，， ∴，， ∴， 故的度数是． 4．（25-26六年级下·山东济南·月考）将一副三角板按如图放置，，，；则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角板的度数，平行线的判定与性质以及角的和差进行证明判断即可得到答案． 【详解】解： ， ， ，故①正确； ，， ，故②正确； ， ， ， ∴，故③正确； ， ， ，故④正确； 故正确的结论有①②③④共4个． 5．（2026七年级下·重庆璧山·专题练习）如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论： ①若，，则； ②当时，若，则； ③． 其中正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点B作，则，由平行线的性质可得，判断①；同①可知，由平行线的性质可推出再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可判断②③． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； 同①可知：； ∵，， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 过点D作，则， ∴， ∴ ；故②正确； 过点B作，过点D作，则，   同理可得，， ∵，， ∴，， ∴ ． ∴．故③正确； 综上：正确的有①②③，共3个． 6．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作 ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 当在和之间时，，即 ∴， 当在的上方时，如图所示， 同理可得 当在的下方时，如图所示， 同理可得 故选：D． 8．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，、的交点为，现作如下操作：第一次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第二次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，；第三次操作，分别作和的三等分线，交点为，即，，…；第次操作，分别作和的三等分线，交点为．若度，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，则，，从而可得，结合，得出，分别表示出、、，得出规律即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， …， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26七年级下·广东汕头·月考）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可求解； 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴ ， ， ∵，， ∴，， ∴． 10．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确的是______（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据题意可知，证明，可判断①错误；根据，可判断②正确；根据平行线的性质可判断③正确；证明，即可判断④正确． 【详解】解：由题意，知， ， ， ， 不能证明，故①错误； ， ，故②正确； ， ， ，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 11．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 【答案】或/或 【分析】分点在直线左侧和点在直线右侧两种情况，利用平行线的性质及角的和差关系分别列方程求解即可． 【详解】解：如图，当点在直线左侧时，设与交于点，运动时间为，过点作，， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， 解得：； 如图，当点在直线右侧时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：射线旋转了或秒． 12．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）构造辅助线是解决几何问题的核心方法，它能够实现角的转移与转化，是初中几何从直观识图迈向逻辑推理的关键一步． (1)【感知发现】 如图，，请探究，，三者之间的数量关系，并说明理由： (2)【迁移应用】 某数学兴趣小组以“一个含角的直角三角尺和直尺”为背景开展数学活动． 将直角三角尺与直尺按如图所示的位置摆放，请直接写出与之间的数量关系： 将直角三角尺与直尺按如图所示的位置摆放，请写出与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2) ； ． 【分析】（）过作，则，所以，，进而可得； （）过作，则，所以，，进而可得； 过作，则，所以，，进而可得． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·福建福州·期中）综合与实践 【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， ________，， 又． ________． 【问题解决】 (1)阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 (2)如图2所示，已知，、交于点，，求的度数． 【拓展探究】 (3)如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据证明过程填写即可； （2）过点作，可得，则可得，，即可求解； （3）过点作，可得，由平分，平分，可得，，设，，可得，由，可得，，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作， ，， 又， ． （2）解：过点作，如图， ， ∴， ，， ． （3）解：过点作，如图， ， ， 平分，平分， ，， 设，， ，， ，， ， ， ， ，， ∴． 14．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，得到，结合题意可得，推出，即可求解； （2）过点作，得到，结合题意可得，推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)的值为或或． 【分析】（1）利用平行线的性质与判定定理得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，根据角的计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点作， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当旋转到，时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ②当旋转到，时，如下图， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ③当旋转到，时，如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴． 综上所述：的值为或或． 16．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过P点作直线，则可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得． （2）如图，过E点作直线，过F点作直线，则可得．根据平行线的性质可得， ， ．根据角平分线的定义可得，．由可得，结合（1）中的结论可得，进而可得 ． （3）如图，过F点作直线，则可得．由（1）得，，，进而可得．由角平分线的定义可得，，由（1）得 ． 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，过E点作直线，过F点作直线． ∵， ∴， ∴， ， ， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， 即， ∴， 由（1）知， ∴， ． （3）解：如图，过F点作直线． ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， 由（1）得 ． 17．（25-26七年级下·山东·期中）问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______ ）， ∴______（______ ）， ∴， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交CD的延长线于点G…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，FD平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即． （2）证明：如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解∶如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）结合图形，解答下列各题： (1)问题：如图所示，若，，求的度数． (2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用与平行的性质，推出也平行于；再依据平行线的性质，通过内错角相等求出的度数，借助同旁内角互补算出的度数，最后将与相加，得到的度数； （2）过点作，结合与平行的条件，得出平行于;利用平行线内错角相等的性质，分别得到与、与的等量关系，再根据角的组成关系，通过等量代换整理出与、的数量关系； （3）根据角平分线的定义，将表示为的一半、表示为的一半，结合第（2）题可得出、，代入角平分线的等量关系，整理后得到与的数量关系，即可计算出的度数． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）的结论，同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 19．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图1，是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，且． (1)求证：； (2)如图2，过点作直线，使，且直线与的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点B作，根据平行线的性质得出，根据平行线的判定得出，最后根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）过点B作，过点D作，根据平行线的性质证明，，根据，得出，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：过点B作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）解：过点B作，过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）作，利用平行线的性质结合对顶角相等即可求解； （3）作，，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：作，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样．在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点交于点．请判断与有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，求的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，，平分，且，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据不同同学的方法提示，运用平行线的性质分别推理即可； （2）过点作，依次求出即可得解； （3）过点作，过点作延长交于点，则，由于，得到，由可得． 【详解】（1）解：选择明明同学， 在点处作， ， ， ， ， ， ， 即； 选择欣欣同学， 过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， 即； （2）解：过点作， ， ，， 平分， ， ， ， 即的度数为； （3）解：过点作，过点作，反向延长得射线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 平分， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 22．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的“倍补充周角”．例如，，则为的“6倍补充周角”． (1)若，则的“倍补充周角”的度数为_____°； (2)如图，在平面内，点为直线上一点，点为直线上一点．连接，； ①点、分别在线段、上（如图1）．若点在直线上方，先探究，，这三个角的数量关系．再求当是的“7倍补充周角”且时，的度数． ②如图，若点为平行线、之间一个动点，连接，和的角平分线交于点．若，，是的“4倍补充周角”，求的度数（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，的度数为； ②或 【分析】（1）根据“倍补充周角”的定义求解即可； （2）①根据平行线的性质与判定求出三个角之间的关系，再根据“7倍补充周角”的定义求出的度数即可； ②分点P在左侧和点P在右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“倍补充周角”的为， 由题意得， 解得， ∴的“倍补充周角”的度数为； （2）解：①过点P作， ∵是的“7倍补充周角”， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ②如图，当点P在左侧时，过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵和的角平分线交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵是的“4倍补充周角”， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在右侧时，过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵和的角平分线交于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵是的“4倍补充周角”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）过点作直线，利用平行线的性质求解； （2）设，则可得，列方程求得，根据平行线的性质可得，再利用平行线的性质求得即可； （3）分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，过点作直线， ， ， ， ． ， ； （2）解：设， 则， ， ， （对顶角相等）， ， 解得， ， ， ， ， 如图，过点作， ， ， ， ， ， 的平分线与直线交于点， ， ， ， （3）解：如图，过点作，过点作，过点作， 当时，延长交于点， 根据题意可得，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 当时，延长交于点， 此时，， ， ， ， ， ， ， 可得， 解得； 综上，当时，或或． 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $